2024學(xué)年內(nèi)蒙古前旗某中學(xué)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷（附答案解析）

2024學(xué)年內(nèi)蒙古前旗二中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期12月考試卷

一、單選題（本大題共8小題）

1.直線/：x+y+l=0的傾斜角0為（）

A.30°B.45°

C.135°D.150°

2.已知點(diǎn)Z。,4）到直線/:ax+y-1=0的距離為3,則實(shí)數(shù)。等于（）

3、3

A.3B.—C.0或3D.0或一

44

3.已知圓c：（x+i）2+（y+i/=4,則過點(diǎn)（1,2）的圓C的切線方程為（）

A.5x+12y-29=0B.5x+12y-29=0或％=1

C.5x-12j+19=0D.5%-12>+19=0或x=1

4.已知橢圓c：W+j=l（a>b>0）的離心率為暫，且過點(diǎn)（0,⑹，則C的方程為（）

22

5.已知雙曲線C:5=1k>0,6>0）的離心率為2,則C的漸近線方程是（）

ab

A.y=±-^-xB.V=±%C.y=±yplxD.y=±^3%

22

6.設(shè)橢圓C*+方=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為用耳，P是橢圓C上的點(diǎn)，PFQFE，

/尸片乙=30。，則橢圓C的離心率為（）

A."B.百C."D."

323

7.已知雙曲線=l的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為小鳥，雙曲線C上有一點(diǎn)尸，若|P局=5,則歸閭=

（）

A.9B.1C.1或9D.11或9

8.已知拋物線/=12%的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)夕在拋物線上，定點(diǎn)。（5,2）,則|尸。|+|P用的最小值為

（）

A.6B.7C.8D.9

二、多選題（本大題共3小題）

1

9.已知曲線C:f+叼2=i,則下列結(jié)論正確的有（）

A.若0＜機(jī)＜1,則C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓B.若加=1,則C是圓

C.若加＞1,則C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.若冽=0,則C是兩條平行于y軸的直線

22

10.已知吊耳是雙曲線土-匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，若p是雙曲線左支上的一個(gè)點(diǎn)，下列說法正確的

916

是（）

5

A.e=一

3

B.漸近線方程為y=±|x

C.若尸耳?*=32,則記尸耳的面積為16

D.若工=60°,貝建片尸工的面積為16G

11.設(shè)橢圓C：[+：=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法中正

確的是（）

A.|尸囿+|尸周=4B.橢圓C的離心率e=?

C.|尸用的最大值是3D.△尸耳月面積的最大值為百

三、填空題（本大題共3小題）

12.圓心在直線3無+了-5=0上，且經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)（3,-1）的圓的方程為

13.已知與B為雙曲線C:f-r=2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在C上，線質(zhì)=0,則2的面積

為.

22

14.已知橢圓]+?=1的左右焦點(diǎn)分別為片，8，點(diǎn)P在橢圓上，設(shè)線段尸片的中點(diǎn)為且

\OF2\=\OM\,則△用鳥的面積為.

四、解答題（本大題共5小題）

15.分別求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

⑴焦點(diǎn)為（-2,0）；

⑵焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

16.已知直線/：＞=左(1+1),圓C:x2+y2-4x-4y+4=0.

2

⑴若直線/與圓c相切，求上的值；

⑵記圓C的圓心為C,若直線/與圓C交于A,B兩點(diǎn)，V/8C為等邊三角形，求后的值.

17.如圖，在四棱錐中，底面/BCD是正方形，側(cè)棱底面/BCD,PD=DC=2,

￡是尸C的中點(diǎn)，作EF工PB交PB于點(diǎn)F.

⑴求證：PA//面EDB；

⑵求平面CP5與平面的夾角的大?。?/p>

⑶求點(diǎn)8到平面E陽的距離.

18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上兩定點(diǎn)4-血,0）,3（、歷,0）連線的斜率的積為定值試求：

⑴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

⑵是否存在過點(diǎn)（0,1）與（1）中曲線C相交所得弦長|初V1=謹(jǐn)?shù)闹本€，若存在，求直線/的方

3

程；若不存在，試說明理由.

2

19.已知雙曲線。的中心在原點(diǎn)，過點(diǎn)（2,0）,且與雙曲線一一三=1有相同的漸近線.

⑴求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知A,3是雙曲線C上的兩點(diǎn)，且線段2B的中點(diǎn)為W（3,3）,求直線AB的方程；

22

⑶設(shè)雙曲線C：=一4=1（。>0,6>0）的半焦距為。，直線/過（。,0）,（0,6）兩點(diǎn)，已知原點(diǎn)到直線

ab

/的距離為"c,求雙曲線的離心率.

4

3

參考答案

1.【答案】C

【詳解】因?yàn)橹本€/：x+y+i=o的斜率為-1,

即tanc=—l,ae[0°,180°),

所以e=135°,

故選：C.

2.【答案】D

la+4-ll3

【詳解】由題意可得I,匕3,解得。=；或“=0,

故選：D

3.【答案】D

【詳解】C:(x+l『+(y+l)2=4,則其圓心坐標(biāo)為(-1,-1),半徑為2,

由于(1+1)2+(2+1『＞4,可知點(diǎn)(1,2)在圓外，

當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)切線方程為x=l,符合題意，

當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為＞-2=左(％-1),即狂-y-?+2=0,

\—k+1—A+2|55/

貝―J21=2,解得左=2，此時(shí)直線方程為＞—2=石(1—1),即5x—12歹+19=0.

綜上所述，切線方程為：5x-12j+19=0或x=l.

故選：D.

4.【答案】A

C_V2

a一亍

【詳解】由題意可得>=叵,解得。=2,

a2=b2+c2,

X2

所以橢圓。的方程為土+

42

故選：A

5.【答案】D

,故：=2，故="上j一1=6,

【詳解】因?yàn)殡x心率為2

4

故漸近線方程為：y=士瓜,

故選：D.

6.【答案】A

【詳解】在必消P&中，/刊例=30。，所以|尸聞=2|尸引,

又歸周+|尸用=勿，所以吠21=學(xué)

所以tan3(T=型，即胃一G,整理得e=9=Yi.

m二7=工a3

7.【答案】A

【詳解】根據(jù)雙曲線定義可得歸國-忸聞=2。=4,又盧耳|=5,

所以|尸閭=1或|尸居|=9,

又。2=/+/=9+27=36,c=6,

而\PF2\>c+a^S^\PF2\>c-a4,

所以|%|=9.

故選：A.

8.【答案】C

【詳解】因?yàn)?網(wǎng)1等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，作垂直于準(zhǔn)線于。，根據(jù)拋物線的定義可知

|叫=即,

所以當(dāng)PQ垂直于準(zhǔn)線時(shí)交準(zhǔn)線于&,IP0I+I尸可有最小值，|尸盟+|「。卜|PD|+|PQ|牛忸。最小

值為卜%=8.

當(dāng)且僅當(dāng)尸在E。與拋物線的交點(diǎn)時(shí)取得等號(hào).

5

故選：c.

9.【答案】ABD

【詳解】對(duì)于A,若0＜加＜1,則L＞1,

m

所以C是焦點(diǎn)在V軸上的橢圓，故A正確；

對(duì)于B,若加=1,則曲線UJ+Vw,

所以C是圓，故B正確；

對(duì)于C,若加〉1,貝!

m

所以C是焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,若加=0,則x=±l,

所以C是兩條平行于y軸的直線，故D正確.

故選：ABD.

10.【答案】ACD

【詳解】對(duì)于A,由題可得〃=3,Z?=4,c=5,則？=一=彳，故A正確；

a3

b

對(duì)于B,雙曲線的漸近線方程為：y=±-x=+4^-x,故B錯(cuò)誤；

a3

對(duì)于C,由題閨閭=2c=10,由圖結(jié)合雙曲線定義可得|尸閭-|尸叫=2a=6,

則（|平|一戶4『=+1尸用2-21尸閭.|尸引=36n忸￡『+1尸園2=100.

則cosZFtPF2=忸用；忸,用=0,貝UsinAFXPF2=1,

12

2\PFt\-PF2\

得S.F、p%=；|尸片卜|空卜in/4桃=16,故C正確；

對(duì)于D,因/RPF?=60°,則cosNRPF=M］咤―中聞=

122閥卜叫2

2

則附|+忸區(qū)「-陽區(qū)「=附卜忸閭n（忸用-忸閭）2-山引=-|列訃依』，

6

得|力訃戶用=64,則邑耳時(shí)=曰尸7訃附現(xiàn)sinZF/工=16忑,故D正確.

43

由橢圓的定義可知|尸￡|+|尸閶=2。=4,故A正確；

離心率e=￡C=1故B錯(cuò)；

a2

由橢圓性質(zhì)可知"cV|尸耳|Va+c,所以歸用的最大值是3,故C對(duì);

因?yàn)榱睾?］|百聞,|%）|=|乃|,又-CMyMm，

當(dāng)/=±百時(shí)，即P在短軸的頂點(diǎn)時(shí)耳面積的取得最大值，

6歷L=5故口對(duì);

故選：ACD

12.【答案】卜一

【詳解】因?yàn)閳A心在直線3尤+了-5=0上，設(shè)圓心坐標(biāo)為（。,5-3a）,

因?yàn)閳A經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)（3,-1）,則亞+（5一3才=.一3）2+（6-392，解得“=不

故圓心坐標(biāo)為［,（）］,圓的半徑為r=g,

故所求圓的方程為口-;1+/=胃.

25

故答案為:

~9

13.【答案】2

7

【詳解】由--必=2得]一9=1,所以。=血/=也,0=戶1=2,山閭=4.

不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，則附卜附|=2a=2&,故戶可「+|也「-2|期卜|尸用=8

:兩.電=0,.?.所，兩，

.?.|期（+|尸琦=閨周2,即附「+|尸閶2=[6,

???I亞H尸月卜4,

此=J尸耳IV工1=2.

故答案為：2.

14.【答案】岳

【分析】

由余弦定理，結(jié)合橢圓的定義，可求得|刊訃|助|，因周，再用余弦定理和面積公式求解即可.

【詳解】

由題意可得。=3,b=M,。=百二^=2.

因?yàn)椤?M分別是與巴和打尸的中點(diǎn)，所以，|P周=2|OM|=2Wh2c=4,根據(jù)橢圓定義，可得

盧凡,+國司、尸耳2

16+16-47

|尸團(tuán)=2a-2c=2又因?yàn)榇蠊?2c=4,所以,cosNPF2K=

21PH2?閨廠,2x4x41

所以，

8

smZPF2Ft=Jl-co)NPF°F[=--，

8

故APT笆的面積是；|M用-sinNPFE=岳.

故答案為：厲.

15.【答案】（1）/=一8尤

(2)y2=5x^y2=-5x或/=5)或/=-5j.

【詳解】（1）由于焦點(diǎn)（-2,0）在x軸的負(fù)半軸上，且，=2,.10=4,

二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=-8"

（2）由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為:，可知p="

22

二所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為黃=5》或/=-5x或/=5了或工2=-5'

12

16.【答案】⑴左=0或%=《.

⑵k/

【詳解】（1）由圓C的方程x2+/-4x-4y+4=0可知圓心C（2,2）,半徑廠=2.

直線/：＞=左（％+1）,BPkx-y+k=0.

因?yàn)橹本€/與圓C相切，貝!）生3=2,解得左=0或左=”.

J/+15

（2）因?yàn)閂/2C為等邊三角形，所以圓心C到直線/的距離〃=也一"x2=g.

22

同樣根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得生邕=6.

Jr+1

化簡得6/一12米+1=0.

解得發(fā)

6

17.【答案】（1）證明見解析；

⑶逑

3

【詳解】（1）在四棱錐P-/BCD中，底面48c。，4D,DCu底面/BCD,

則尸尸DLDC,由底面/BCD是正方形，得/DLDC,

以。為原點(diǎn)，直線。4QC,。尸分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

9

p

因?yàn)殛?DC=2,則2(2,0,0),8(2,2,0),尸(0,0,2),耳0,1』，C(0,2,0)

P2=(2,0,-2),55=(2,2,0),DE=(0,1,1),設(shè)平面EDB的法向量為、=(匹,必,馬),

DB-m=2x,+2y.=0,、_

則|—._，令兇=T,得歷=(1,T,1),則尸/.行=2-2=0，

DE?玩=弘+Z]=0

而P4?平面即3,所以尸4//平面四瓦

(2)由(1)知，C(0,2,0),且屈=(2,0,0),定=(0,2,-2),

設(shè)平面CPB的法向量為”=卜2，%尼)，

CB-n=2X7=0/、

則一，取力=1,得力=0,1,1,

PC-n=2y2-2z2=0

麗=(2,2,0),麗=(0,0,2),而7=(2,-2,0),貝lj麗?^5=2x2-2x2=0,而?而=0,

~DB±CA,DP1CA,則PBD的一個(gè)法向量為第=(2,-2,0),

一?h'CA-21

因止匕cos〈”,CA)=---=—j=------尸=——,

|列CZ|V2-2V22

__?—?2兀

而0W〈五,◎〉〈無，貝!］〈用C/〉=？-,

JT

所以平面CPB與平面尸5。的夾角為

(3)

因?yàn)榈酌?BCD,8Cu底面48CD,

所以3C_L尸。

10

底面/BCD是正方形，所以3C_LDC,

PDeDC=。,尸OCu平面PCD,

所以8C_L平面尸CD,尸Cu平面PCD,

所以8CL尸C,所以在△P5C為直角三角形,

又由題知跖,可，所以在AEPF也為直角三角形,

故APBC與aPEF相似,

2

則s"EPF=黑甯.

2g'

2百

EFPF=

噌3

_________2>/3

而尸3=@+22+2?=2。，所以PF_工_1,

PB一2百3

所以廠是線段PB中靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn),

由第(1)小問可知,￡>(0,0,0),磯0,1,1),8(2,2,0),尸(0,0,2),

因?yàn)槭蔷€段PB中靠近點(diǎn)P的三等分點(diǎn),所以點(diǎn)尸

設(shè)平面EFZ)的一個(gè)法向量為力=(x,%z),

224

而。尸,DE=(0,1,1),

3,3,3

--224

p-DF=-x-\--y+—z=0

則有《33，3,令z=-3,貝!]>=3,x=3,萬=(3,3,—3),

p-DE^y+z=0

p-BD12

=(-2,-2,0),?

|訓(xùn)麗「3右*2近一3)

設(shè)B點(diǎn)到平面E陽的距離為4,

V64A/3

X-------=--------

33

故8點(diǎn)到平面EFD的距離為逋.

3

11

V-2L

18.【答案】⑴萬+V=1(工工±也)；

(2)存在，x-y+l=O^x+y-1=O.

【詳解】(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸(x〃)，

VV1X2

由題意kPAkPB=----月----斤=一不，化簡整理得一+/=1,

X+A/2x—7222

2

故點(diǎn)P的軌跡C的方程是5+/=1("±近).

(2)直線斜率不存在時(shí)不合題意，

斜率存在時(shí)，設(shè)直線/:>=丘+1與曲線C的交點(diǎn)為M(XQ)N(X2，%),

y=kx+\，=,,

由；—一得（1+2左2"2+4區(qū)=0A=16左2—4（1+2左2）=4（2左2—1）>0,

x+2〉=2

4k

貝!Jxx+x2=—xxx2=0,

1+2左2

整理得一2=0解得r=1或父=-2(舍)

經(jīng)檢驗(yàn)，左=±1符合題意，直線/的方程為了=±%+1,