2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 計數(shù)原理、統(tǒng)計與概率之隨機(jī)事件、頻率與概率

第04講隨機(jī)事件、頻率與概率

（3類核心考點(diǎn)精講精練）

12.考情探究?

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、分步乘法計數(shù)原理及簡單應(yīng)用

2023年新II卷，第3題,5分

總體容量的計算實(shí)際問題中的組合計數(shù)問題

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分

【備考策略】1.理解隨機(jī)事件的定義

2.能正確區(qū)分必然事件、不可能事件、互斥事件與對立事件

3.理解頻率與概率的意義

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般結(jié)合后面學(xué)的互斥事件、獨(dú)立事件及概率的相關(guān)計算

一起考查，需強(qiáng)化概念理解

EIN?考點(diǎn)梳理

知識講解

i.事件的分類

必然事件在條件S下，一定會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的必然事件

確定事件

不可能事件在條件S下，一定不會發(fā)生的事件叫做相對于條件S的不可能事件

隨機(jī)事件在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做相對于條件S的隨機(jī)事件

2.事件的關(guān)系與運(yùn)算

定義符號表示

如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A（或稱事里A（或A三

包含關(guān)系

件A包含于事件8）B）

相等關(guān)系若22A且4=3

若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與4口2(或&+

并事件（和事件）

事件B的并事件（或和事件）B)

若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件8發(fā)生,則稱此事件為事件A

交事件（積事件）

與事件B的交事件（或積事件）

互斥事件若AC8為不可能事件，則稱事件A與事件8互斥AHB=0

Anj5=0；

若為不可能事件，AU8為必然事件，那么稱事件A與事件B互為P(AUB)=

對立事件

對立事件P(A)+P(B)

二1

互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者必須有

一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件.

3.頻率與概率

（1）在相同的條件S下重復(fù)〃次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱〃次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)“A為事件

A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例為（4）=皆為事件A出現(xiàn)的頻率.

（2）對于給定的隨機(jī)事件A,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率%（A）穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個

常數(shù)記作P（A）,稱為事件A的概率，簡稱為A的概率.

考點(diǎn)一、事件的判斷

典例引領(lǐng)

1.從5個男生、2個女生中任意選派3人，則下列事件中是必然事件的是（）

A.3個都是男生B.至少有1個男生C.3個都是女生D.至少有1個女生

【答案】B

【分析】根據(jù)題意及必然事件的概念即可得解.

【詳解】從5個男生、2個女生中任選派3人，由于女生只有2名，故至少有1個男生是必然事件，

故選：B.

2

2.有下列事件：①連續(xù)擲一枚硬幣兩次，兩次都出現(xiàn)正面朝上；②異性電荷相互吸引；③在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓

下，水在PC結(jié)冰；④買了一注彩票就得了特等獎.

其中是隨機(jī)事件的有（）

A.①②B.①④C,①③④D.②④

【答案】B

【分析】根據(jù)事件的知識求得正確答案.

【詳解】①④是隨機(jī)事件，②為必然事件，③為不可能事件.

故選：B

即時悒測

1.判斷下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是隨機(jī)事件？

（1）拋擲一塊石子，下落；.

（2）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0回時，冰融化；

（3）某人射擊一次，中靶；

（4）如果那么。一6>0；

（5）擲兩枚硬幣，均出現(xiàn)反面；

（6）拋擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和為15；

（7）從分別標(biāo)有號數(shù)1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽中任取一張，得到4號簽；

（8）某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到2次呼叫；

（9）綠葉植物，不會光合作用；

（10）在常溫下，焊錫熔化；

（11）若。為實(shí)數(shù),則同“；

（12）某人開車通過十個路口，都遇到綠燈；

其中必然事件有;不可能事件有;隨機(jī)事件有

【答案】（1）、（4）、（11）（2）、（6）、（9）、（10）（3）、（5）、（7）、（8）、（12）

【分析】由必然事件，不可能事件以及隨機(jī)事件的概念逐一判斷即可.

【詳解】。）拋擲一塊石子，下落，是必然事件；

（2）在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下且溫度低于0回時，冰不可能融化，是不可能事件；

（3）某人射擊一次，可能中靶，也可能不中靶，是隨機(jī)事件；

（4）如果那么。-。>0必然成立，是必然事件；

（5）擲兩枚硬幣，有四種情況，均出現(xiàn)反面可能發(fā)生也可能不發(fā)生，是隨機(jī)事件；

（6）拋擲兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和最大為12,所以點(diǎn)數(shù)之和為15不可能發(fā)生，是不可能事件；

（7）從分別標(biāo)有號數(shù)1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽中任取一張，有5種情況，得到4號簽是隨機(jī)事件；

（8）某電話機(jī)在1分鐘內(nèi)收到呼叫次數(shù)不確定，所以收到2次呼叫是隨機(jī)事件；

（9）綠葉植物，都會光合作用，所以是不可能事件；

3

（10）焊錫熔點(diǎn)一般為183度，所以常溫不可能熔化，是不可能事件；

（11）若。為實(shí)數(shù)，則同2。必然成立，是必然事件；

（12）某人開車通過十個路口，紅綠燈都可能遇到，所以都遇到紅燈是隨機(jī)事件；

故答案為:⑴、（4）、（11）；（2）、（6）、（9）、（10）；（3）、（5）、（7）、（8）、（12）

考點(diǎn)二、事件的關(guān)系和運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.（2024?重慶?模擬預(yù)測）對于兩個事件A,2,則事件A3表示的含義是（）

A.A與8同時發(fā)生B.A與8有且僅有一個發(fā)生

C.A與3至少一個發(fā)生D.A與8不能同時發(fā)生

【答案】C

【分析】根據(jù)事件之間的和事件關(guān)系，可得答案.

【詳解】由A3表示的是A與8中至少一個發(fā)生.

故選：C.

2.（2023?四川宜賓?三模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件1表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)"，事件2表

示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)"，事件3表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)大于3",事件4表示“骰子向上的點(diǎn)數(shù)小于3"則

（）

A.事件1與事件3互斥B.事件1與事件2互為對立事件

C.事件2與事件3互斥D.事件3與事件4互為對立事件

【答案】B

【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件定義判斷求解.

【詳解】由題可知，事件1可表示為：A={1,3,5},事件2可表示為：5={2,4,6）,

事件3可表示為：C={4,5,6},事件4可表示為：。={1,2},

因?yàn)锳C={5},所以事件1與事件3不互斥，A錯誤；

因?yàn)锳cB為不可能事件，A3為必然事件，

所以事件1與事件2互為對立事件，B正確；

因?yàn)?C={4,6},所以事件2與事件3不互斥，C錯誤;

因?yàn)镃c。為不可能事件，CuD不為必然事件，

所以事件3與事件4不互為對立事件，D錯誤；

故選：B.

3.（21-22高一下?河南安陽,期末）從一批產(chǎn)品中逐個不放回地隨機(jī)抽取三件產(chǎn)品，設(shè)事件A為“三件產(chǎn)品全

不是次品"，事件3為“三件產(chǎn)品全是次品"，事件C為“三件產(chǎn)品不全是次品"，事件。為"第一件是次品"則

下列結(jié)論正確的是（）

4

A.8與。相互獨(dú)立B.8與C相互對立

C.AcDD.AcC=0

【答案】B

【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件，相互獨(dú)立事件的定義逐個判斷即可.

【詳解】A為三件產(chǎn)品全部是次品，指的是三件產(chǎn)品都是正品，

8為三件全是次品，

C為三件產(chǎn)品不全是次品，包括一件次品，兩件次品，三件全是正品三個事件，

。為第一件是次品，指的是最少有一件次品，包括一件次品，兩件次品，三件次品三個事件.

由此可知A與3是互斥事件，A與C是包含，不是互斥，B與C對立

故選:B.

4.（21-22高一下?全國?開學(xué)考試）（多選）在12件同類產(chǎn)品中，有9件正品和3件次品，從中任意抽出3

件產(chǎn)品，設(shè)事件A"3件產(chǎn)品都是次品"，事件至少有1件是次品"，事件C"至少有1件是正品"，則下列

結(jié)論正確的是（）

A.A與C為對立事件B.8與C不是互斥事件

C.AB=AD,P（3）+尸（C）=l

【答案】ABC

【分析】通過分析事件，從而判斷事件的關(guān)系.

【詳解】從中任意抽出3件產(chǎn)品，共有4種情況：3件產(chǎn)品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正

品，3件產(chǎn)品都是正品.

事件8的可能情況有：3件產(chǎn)品都是次品，2件次品1件正品，1件次品2件正品，

事件C的可能情況有：2件次品1件正品，1件次品2件正品，3件產(chǎn)品都是正品.

A與C為對立事件，故A正確；

3cC={2件次品1件正品，1件次品2件正品},則B與C不是互斥事件，故B正確；

AcB,;.Ac~\B=A,故C正確；

由上知尸（3）+尸（C）>1,故D錯誤.

故選：ABC

5.（2024?河北滄州?一模）（多選）某學(xué)校為了豐富同學(xué)們的課外活動，為同學(xué)們舉辦了四種科普活動：科

技展覽、科普講座、科技游藝、科技繪畫.記事件A:只參加科技游藝活動；事件8：至少參加兩種科普活

動；事件C：只參加一種科普活動；事件D:一種科普活動都不參加；事件E：至多參加一種科普活動，

則下列說法正確的是（）

A.A與D是互斥事件B.8與E是對立事件

C.E=C<JDD.A=Cc\E

【答案】ABC

【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念判斷AB的真假，根據(jù)事件的交、并的概念判斷CD的真假.

【詳解】對A：互斥事件表示兩事件的交集為空集.事件A：只參加科技游藝活動，

5

與事件。：一種科普活動都不參加，二者不可能同時發(fā)生，交集為空集，故A正確；

對B：對立事件表示兩事件互斥且必定有一個發(fā)生.事件8和事件E滿足兩個特點(diǎn)，故B正確；

對C：CuO表示：至多參加一種科普活動，即為事件E,故C正確；

對D：CE表示：只參加一種科普活動，但不一定是科技游藝活動，故D錯誤.

故選：ABC

即時檢測

1.（24-25高三上?江蘇南通?階段練習(xí)）不透明盒子中裝有除顏色外完全相同的2個紅球、2個白球，現(xiàn)從盒

子里隨機(jī)取2個球.記事件至少一個紅球，事件N：一個紅球一個白球，則下列說法正確的是（）

A.M+N=NB.MN=N

C.M與N互斥D.M與N獨(dú)立

【答案】B

【分析】根據(jù)事件至少一個紅球，則存在兩種情況，有一個紅球和一個白球，有兩個紅球；事件N：

一個紅球一個白球，根據(jù)事件的基本關(guān)系理解N發(fā)生，M一定發(fā)生，M發(fā)生，N不一定發(fā)生即可判斷和

事件，積事件，互斥關(guān)系，獨(dú)立關(guān)系.

【詳解】解：現(xiàn)從盒子里隨機(jī)取2個球.記事件至少一個紅球，則存在兩種情況，有一個紅球和一個

白球，有兩個紅球；

A.M+N=M,故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

B.MN=N,故選項(xiàng)正確，符合題意；

C.QMN=N,故M與N不互斥，故選項(xiàng)錯誤，不符合題意；

D.QMN=N,即N發(fā)生，M一定發(fā)生，M發(fā)生，N不一定發(fā)生，故”與N不獨(dú)立，故選項(xiàng)錯誤，不符

合題意；

故選：B.

2.（2023?四川內(nèi)江?三模）一個人連續(xù)射擊2次，則下列各事件關(guān)系中，說法正確的是（）

A.事件"兩次均擊中"與事件"至少一次擊中"互為對立事件

B.事件“第一次擊中"與事件"第二次擊中"為互斥事件

C.事件"兩次均未擊中"與事件"至多一次擊中"互為對立事件

D.事件"恰有一次擊中"與事件"兩次均擊中"為互斥事件

【答案】D

【分析】根據(jù)對立事件和互斥事件的概念，分析各個選項(xiàng)的內(nèi)容即可得到答案.

【詳解】一個人連續(xù)射擊2次，其可能結(jié)果為擊中0次，擊中1次，擊中2次，

其中“至少一次擊中"包括擊中一次和擊中兩次，

事件"兩次均擊中"包含于事件"至少一次擊中"，故A錯誤；

事件“第一次擊中"包含第一次擊中且第二次沒有擊中，或第一、二次都擊中，

事件“第二次擊中"包含第二次擊中且第一次沒有擊中，或第一、二次都擊中，故B錯誤；

6

事件"兩次均未擊中"與事件"至多一次擊中"可以同時發(fā)生，故C錯誤；

事件"恰有一次擊中"與事件"兩次均擊中"為互斥事件，故D正確；

故選：D

3.（2023?廣西柳州?模擬預(yù)測）從數(shù)學(xué)必修一、二和政治必修一、二共四本書中任取兩本書，那么互斥而不

對立的兩個事件是（）

A.至少有一本政治與都是數(shù)學(xué)B.至少有一本政治與都是政治

C.至少有一本政治與至少有一本數(shù)學(xué)D.恰有1本政治與恰有2本政治

【答案】D

【分析】總的可能的結(jié)果為"兩本政治"，"兩本數(shù)學(xué)"，"一本數(shù)學(xué)一本政治"，然后寫出各個事件包含的事件，

結(jié)合互斥事件與對立事件的概念，即可得出答案.

【詳解】從裝有2本數(shù)學(xué)和2本政治的四本書內(nèi)任取2本書，

可能的結(jié)果有："兩本政治"，"兩本數(shù)學(xué)"，"一本數(shù)學(xué)一本政治"，

“至少有一本政治”包含事件：“兩本政治"，"一本數(shù)學(xué)一本政治”.

對于A,事件“至少有一本政治"與事件"都是數(shù)學(xué)”是對立事件，故A錯誤；

對于B,事件“至少有一本政治"包含事件"都是政治"，兩個事件是包含關(guān)系，不是互斥事件，故B錯誤；

對于C,事件“至少有一本數(shù)學(xué)"包含事件："兩本數(shù)學(xué)"，"一本數(shù)學(xué)一本政治"，因此兩個事件都包含事件"一

本數(shù)學(xué)一本政治"，不是互斥事件，故C錯誤；

對于D,“恰有1本政治"表示事件"一本數(shù)學(xué)一本政治"，與事件"恰有2本政治”是互斥事件，但是不對立，

故D正確.

故選:D.

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）同時拋擲兩顆骰子，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，記"點(diǎn)數(shù)之和為5”是事件A,"點(diǎn)數(shù)之和為

4的倍數(shù)”是事件8,貝|（）

A.A+5為不可能事件B.A與B為互斥事件

C.為必然事件D.A與B為對立事件

【答案】B

【分析】利用事件的基本關(guān)系判斷即可.

【詳解】同時拋擲兩顆骰子，有36個結(jié)果，

"點(diǎn)數(shù)之和為5"是事件A有（L4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,共有4種情況;

“點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)"是事件B有。,3）,（3,1）,（2,2）,（2,6）,（6,2卜（3,5）,（5,3）,（4,4）,（6,6）,共有9種情況；

對于選項(xiàng)A:A+B表示"點(diǎn)數(shù)之和為5或是4的倍數(shù)”，不是不可能事件.故A錯誤；

對于選項(xiàng)B：A與2不可能同時發(fā)生.故B正確；

對于選項(xiàng)C：A3表示"點(diǎn)數(shù)之和為5且是4的倍數(shù)"，是不可能事件，故C錯誤；

對于選項(xiàng)D：A與B不能包含全部基本事件，故D錯誤.

故選:B.

5.（23-24高二上?四川攀枝花?期末）（多選）某人打靶時連續(xù)射擊兩次，記事件A為"第一次中靶"，事件8為

“至少一次中靶"，事件C為"至多一次中靶"，事件。為"兩次都沒中靶”.下列說法正確的是（）

7

A.AB=AB.8與C是互斥事件

C.CD=QD.B與。是互斥事件，且是對立事件

【答案】AD

【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的概念逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】由題意可知，事件。為"第一次中靶且第二次沒有中靶'“'第一次沒有中靶且第二次中靶""兩次都中

靶”"兩次都沒有中靶”；

事件B為“至少一次中靶"，即"第一次中靶且第二次沒有中靶""第一次沒有中靶且第二次中靶""兩次都中靶”;

事件C為"至多一次中靶〃，即“第一次中靶且第二次沒有中靶""第一次沒有中靶且第二次中靶""兩次都沒有

中靶"；

事件。為"兩次都沒中靶”；

故AB=A,8與C不是互斥事件，8與。是互斥事件，且是對立事件，C0*0.

故選:：AD.

考點(diǎn)三、頻率與概率

典例引領(lǐng)

1.（2022?山東威海?三模）甲、乙兩人相約在某健身房鍛煉身體，他們分別在兩個網(wǎng)站查看這家健身房的評

價.甲在網(wǎng)站A查到共有840人參與評價，其中好評率為95%,乙在網(wǎng)站8查到共有1260人參與評價，其

中好評率為85%.綜合考慮這兩個網(wǎng)站的信息，則這家健身房的總好評率為（）

A.88%B.89%C.91%D.92%

【答案】B

【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計算可得.

【詳解】由已知可得這家健身房的總好評率為84°*95%+1260*85%=89%

840+1260

故選：B.

2.（22-23高二上?湖北武漢?期中）在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗(yàn)，

發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）

A.0.55,0.55B.0.55,0.5C.0.5,0.5D.0.5,0.55

【答案】B

【分析】根據(jù)頻率的計算公式可求得頻率，結(jié)合概率的含義可確定概率，即得答案.

【詳解】某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了800次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了440次，

440

那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為—^=0.55,

X。。

由于每次拋硬幣時，正面朝上和反面朝上的機(jī)會相等，都是:，

8

故出現(xiàn)正面朝上的概率為1=0.5,

故選：B.

3.（2021?全國?模擬預(yù)測）某超市計劃按月訂購一種冷飲，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫

（單位：回）有關(guān).如果最高氣溫不低于25回，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20℃,25℃）,需求

量為300瓶；如果最高氣溫低于20回，需求量為100瓶.為了確定6月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年6月份

各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)45253818

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.若6月份這種冷飲一天的需求量不超過尤

瓶的概率估計值為0.1，則x=（）

A.100B.300C.400D.600

【答案】B

【分析】根據(jù)頻數(shù)分布表確定概率

【詳解】這種冷飲一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于250,

由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25回的頻率為備4+5=0.1,

所以6月份這種冷飲一天的需求量不超過300瓶的概率估計值為0.L

故選：B.

即時檢測

1.（23-24高二上?四川達(dá)州?階段練習(xí)）某人拋擲一枚硬幣80次，結(jié)果正面朝上有43次.設(shè)正面朝上為事件

A,則事件A出現(xiàn)的概率為一.

【答案】1/0.5

【分析】由題意知硬幣正反面出現(xiàn)的機(jī)會是均等的，即可得答案.

43

【詳解】由題意可知事件A出現(xiàn)的頻率為嬴，而概率是大量試驗(yàn)中，頻率趨于的一個穩(wěn)定值，

80

由于硬幣正反面出現(xiàn)的機(jī)會是均等的，故事件A出現(xiàn)的概率為1,

故答案為：~

2

2.（23-24高三上?重慶沙坪壩?期中）在一次男子羽毛球單打比賽中，運(yùn)動員甲和乙進(jìn)入了決賽（比賽采用3

局2勝制），假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率為0.6,現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計甲獲得冠軍的概率，先由計算機(jī)

產(chǎn)生：T5之間的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3表示一局比賽中甲勝，4,5表示一局比賽中乙勝、經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了

如下20組隨機(jī)數(shù)：

9

334221433551454452315142331423

212541121451231414312552324115

據(jù)此估計甲獲得冠軍的概率為.

【答案】0.65

【分析】由13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍，從而估計出概率.

【詳解】20組數(shù)據(jù)中，334,221,433,315,142,331,423,212,121,231,312,324,115共13組數(shù)據(jù)表示甲獲得冠軍,

故估計甲獲得冠軍的概率為=0.65.

故答案為：0.65

3.（2023?陜西西安?模擬預(yù)測）在一個口袋中放有機(jī)個白球和〃個紅球，這些球除顏色外都相同，某班50

名學(xué)生分別從口袋中每次摸一個球，記錄顏色后放回，每人連續(xù)摸10次，其中摸到白球的次數(shù)共152次,

以頻率估計概率，若從口袋中隨機(jī)摸1個球，則摸到紅球概率的估計值為.（小數(shù)點(diǎn)后保留一位小

數(shù)）

【答案】0.7

【分析】以頻率估計概率，直接運(yùn)算求解即可.

【詳解】由題意可知：一共摸500次，其中摸到白球的次數(shù)共152次，摸到紅球的次數(shù)共348次，

所以摸到紅球概率的估計值為端》0.7.

故答案為：0.7

IA.好題沖關(guān)

基礎(chǔ)過關(guān)

1.（22-23高二下?湖北荊州?階段練習(xí)）在一次拋硬幣的試驗(yàn)中，某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次

試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了560次，那么出現(xiàn)正面朝上的頻率和概率分別為（）

A.0.56,0.56B.0.56,0.5

C.0.5,0.5D.0.5,0.56

【答案】B

【分析】根據(jù)頻率和概率的定義求解.

【詳解】某同學(xué)用一枚質(zhì)地均勻的硬幣做了1000次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)正面朝上出現(xiàn)了560次，

那么出現(xiàn)正面朝上的頻率為意=0.56,

由于每次拋硬幣時，正面朝上和反面朝上的機(jī)會相等，都是

2

故出現(xiàn)正面朝上的概率為1=0.5.

2

10

故選:B.

2.（24-25高三上?重慶?開學(xué)考試）某池塘中飼養(yǎng)了48兩種不同品種的觀賞魚，假設(shè)魚群在池塘里是均勻

分布的.在池塘的東、南、西三個采樣點(diǎn)捕撈得到如下數(shù)據(jù)（單位：尾），若在采樣點(diǎn)北捕撈到20尾魚，則品

種A約有（）

采樣點(diǎn)品種A品種B

東209

南73

西178

A.6尾B.10尾C.13尾D.17尾

【答案】C

【分析】根據(jù)魚群在池塘里是均勻分布的，利用頻率求解.

【詳解】解：因?yàn)轸~群在池塘里是均勻分布的，

20+7+1711

所以品種A約所占比為:

20+7+17+9+3+8-正

所以在采樣點(diǎn)北捕撈到20尾魚，則品種A約有77義20”13尾，

16

故選：C

3.（23-24高二上?廣東清遠(yuǎn)?階段練習(xí)）下列說法：①必然事件的概率為1.②如果某種彩票的中獎概率為七，

那么買10張這種彩票一定能中獎.③某事件的概率為1.1.④互斥事件一定是對立事件.其中正確的說法

是（）

A.①②③④B.①C.③④D.①④

【答案】B

【分析】由必然事件的概念即可判斷①；根據(jù)互斥事件概率的計算公式即可判斷②；由隨機(jī)事件概率的性

質(zhì)即可判斷③；根據(jù)互斥事件和對立事件的區(qū)別與聯(lián)系即可判斷④；

【詳解】根據(jù)必然事件和不可能事件的定義可知，必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,故①正確；

根據(jù)隨機(jī)事件的概率可知，買io張這種彩票也會有［1的可能性不中獎，所以②錯誤；

根據(jù)隨機(jī)事件概率的性質(zhì)可知，某事件的概率取值范圍為［0,1］,即③錯誤；

互斥事件和對立事件都不可能同時發(fā)生，但對立事件兩者必發(fā)生其一，而互斥事件還可能發(fā)生其他情況，

所以互斥事件不一定是對立事件，即④錯誤；

故選：B

4.（23-24高二上?河南信陽?階段練習(xí)）同時擲兩枚硬幣，"向上的面都是正面"為事件A,"向上的面至少有

一枚是正面"為事件8,則有（）

A.A=BB.A^BC.A^BD.A與8之間沒有關(guān)系

11

【答案】c

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合列舉法求得事件A和事件B,進(jìn)而得到兩事件的關(guān)系，得到答案.

【詳解】由同時拋擲兩枚硬幣，基本事件的空間為。=｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝,

其中事件A=｛（正，正）｝,事件3=｛（正，正），（正，反），（反，正）｝,

所以AuB.

故選：C.

5.（2023?山東?模擬預(yù)測）已知事件A,B滿足P（A）=Q5,P（B）=0.2,則（）

A.若8=A,則尸（AB）=0.5

B.若A與B互斥，則P（A+B）=0.7

C.若A與B相互獨(dú)立，貝”（瓦§）=0.9

D.若P（B|A）=0.2,則A與B不相互獨(dú)立

【答案】B

【分析】根據(jù)事件的包含關(guān)系，互斥事件的概率加法，以及獨(dú)立事件的概念及判定，以及概率乘法公式，

逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】對于A,若8=4,貝1」尸（9）=尸（3）=0.2,所以A錯誤；

對于B,若A與B互斥，則尸（A+3）=P（A）+P（3）=0.7,所以B正確；

對于C,若A與B相互獨(dú)立，可得可與后相互獨(dú)立，

所以尸（而）=P（A）-P（B）=（1-0.5）（l-0.2）=0.4,所以C錯誤；

對于D,由P（B|A）=0.2,可得「（3|A）=^^=^^=0.2,

所以P（A3）=0.1,所以P（A3）=P（A）P（B）,所以A與8相互獨(dú)立，所以D錯誤.

故選：B.

6.（23-24高二下?上海?期中）出卷老師今天買了一張刮刮樂彩票，刮出500元的概率是0.01%,則這件事.

發(fā)生（填"必然"、"可能"或"不可能"）.

【答案】可能

【分析】根據(jù)題意，由隨機(jī)事件的定義即可得到結(jié)果.

【詳解】根據(jù)概率的意義，刮出500元的概率是0.01%,

表示刮出500元的可能性是0.01%,所以這件事可能發(fā)生.

故答案為：可能

7.（22-23高三上?河南鄭州?階段練習(xí)）有下列事件：

①在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到80℃時會沸騰；

②實(shí)數(shù)的絕對值不小于零；

③某彩票中獎的概率為正篇，則買100000張這種彩票一定能中獎；

12

④連續(xù)兩次拋擲一枚骰子，兩次都出現(xiàn)2點(diǎn)向上.

其中必然事件是.

【答案】②

【分析】根據(jù)必然事件一定會發(fā)生逐個判斷即可

【詳解】因?yàn)樵跇?biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100國才會沸騰，所以①不是必然事件；

因?yàn)閷?shí)數(shù)的絕對值不小于零，所以②是必然事件；

因?yàn)槟巢势敝歇劦母怕蕿轸?，僅代表可能性，所以買100000張這種彩票不一定能中獎，即③不是必

然事件；

拋擲一枚骰子，每一面出現(xiàn)都是隨機(jī)的，所以④是隨機(jī)事件

故答案為：②

8.（2020高三?全國?專題練習(xí)）"鍵盤俠”一詞描述了部分網(wǎng)民在現(xiàn)實(shí)生活中膽小怕事、自私自利，卻習(xí)慣在

網(wǎng)絡(luò)上大放厥詞的一種現(xiàn)象.某地新聞欄目對該地區(qū)群眾對"鍵盤俠"的認(rèn)可程度進(jìn)行調(diào)查：在隨機(jī)抽取的

50人中，有14人持認(rèn)可態(tài)度，其余持反對態(tài)度，若該地區(qū)有9600人，則可估計該地區(qū)對“鍵盤俠"持反對

態(tài)度的有人.

【答案】6912

【解析】計算出對“鍵盤俠"持反對態(tài)度的頻率，由此計算出該地區(qū)對“鍵盤俠"持反對態(tài)度的人數(shù).

【詳解】在隨機(jī)抽取的50人中，持反對態(tài)度的頻率為1-5=1|,則可估計該地區(qū)對“鍵盤俠"持反對態(tài)度

18

的有9600、石=6912（人）.

故答案為：6912

【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用頻率進(jìn)行估計，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2023?全國?模擬預(yù)測）在對于一些敏感性問題調(diào)查時，被調(diào)查者往往不愿意給正確答復(fù)，因此需要特別

的調(diào)查方法.調(diào)查人員設(shè)計了一個隨機(jī)化裝置，在其中裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的50個黑球和50個

白球，每個被調(diào)查者隨機(jī)從該裝置中抽取一個球，若摸到黑球則需要如實(shí)回答問題一：你公歷生日是奇數(shù)

嗎？若摸到白球則如實(shí)回答問題二：你是否在考試中做過弊.若100人中有52人回答了"是"，48人回答了

"否則問題二"考試是否做過弊"回答"是"的百分比為（以100人的頻率估計概率）.

【答案】54%/0.54

【分析】計算出摸到黑球且回答"是"的人數(shù)，可求得摸到白球且回答"是"的人數(shù)，即可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可知，每名調(diào)查者從袋子中抽到1個白球或黑球的概率均為0.5,

所以，100人中回答第一個問題的人數(shù)為100x0.5=50,則另外50人回答了第二個問題，

11

在摸到黑球的前提下，回答"是"的概率為T，即摸到黑球且回答"是"的人數(shù)為50X彳=25,

22

則摸到白球且回答"是"的人數(shù)為52-25=27,

27

所以，問題二"考試是否做過弊"且回答"是"的百分比為二=0.54=54%.

13

故答案為：54%.

10.（22-23高一下?全國?課后作業(yè)）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記"向上的點(diǎn)數(shù)是4或5或6"為事件A,"向

上的點(diǎn)數(shù)是1或2"為事件"向上的點(diǎn)數(shù)是1或2或3或4"為事件C,"向上的點(diǎn)數(shù)大于3”為事件O,則

下列結(jié)論正確的是.（填序號）①A與8是互斥事件，但不是對立事件；②BgC；③A與C是互斥

事件；@A=D.

【答案】①②④

【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件，事件的包含關(guān)系，事件相等的定義判斷各命題即可.

【詳解】試驗(yàn)的樣本空間O={123,4,5,6},

根據(jù)題意，A={4,5,6},3={1,2},C={1,2,3,4},。={4,5,6}.

因?yàn)锳B=0,AuB={l,2,4,5,6}^Q,所以A與8是互斥事件，但不是對立事件，故①正確；

因?yàn)锽={1,2},C={1,2,3,4},所以8=故②正確；

因?yàn)锳C={4},所以A與C不是互斥事件，故③錯誤；

因?yàn)锳={4,5,6},￡>={4,5,6},所以A=O,故④正確.

故答案為：①②④.

能力提升

.___________

1.某超市計劃按月訂購一種冷飲，根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如

果最高氣溫不低于25。（3,需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間［20。（2,25。。內(nèi)，需求量為300瓶；如果

最高氣溫低于2（FC,需求量為100瓶.為了確定6月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年6月份各天的最高氣溫

數(shù)據(jù)，得到下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)

天數(shù)36253818

將最高氣溫位于各區(qū)間的頻率視為最高氣溫位于該區(qū)間的概率，若6月份這種冷飲一天的需求量不超過尤

瓶的概率估計值為0.1，則彳=（）

A.100B.300C.400D.600

【答案】B

【詳解】命題意圖本題考查用樣本頻率估計總體的概率.

解析由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25。（3的頻率為鬻=0.1,所以6月份這種冷飲一天的需求量不超過300

瓶的概率估計值為0.1.

2.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)人={2名全是男生},B={2名全是女生},

C={恰有一名男生},。={至少有一名男生}，則下列關(guān)系不正確的是（）

A.A=DB.B￡）=0C.AVJC=DD.AUB=BUD

14

【答案】D

【分析】根據(jù)至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生，則AuC=。，可判斷A,C;事

件8與〃是互斥事件，判斷B;AB表示的是2名全是男生或2名全是女生，B。表示至少有一名男生,

由此判斷D.

【詳解】至少有1名男生包含2名全是男生、1名男生1名女生，故A=AVJC=D,

故A,C正確；

事件8與。是互斥事件，故BD=0,故B正確，

A8表示的是2名全是男生或2名全是女生，B。表示2名全是女生或名至少有一名男生，

故AuB/Bu。，D錯誤，

故選：D.

3.（23-24高二上?四川遂寧?階段練習(xí)）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：G="點(diǎn)數(shù)為其中

i=l,2,3,4,5,6；R="點(diǎn)數(shù)不大于2",2="點(diǎn)數(shù)大于2",2="點(diǎn)數(shù)大于4”下列結(jié)論是判斷錯誤的是（）

與互斥

A.GB.￡>,uZ>2=Q,DXD2=0

c.D3^D2D.C2,C3為對立事件

【答案】D

【分析】根據(jù)互斥事件和對立事件的定義判斷AD,由事件的運(yùn)算判斷B,由事件間關(guān)系判斷C.

【詳解】由題意G與C?不可能同時發(fā)生，它們互斥，A正確；

2中點(diǎn)數(shù)為1或2,2中點(diǎn)數(shù)為3,4,5或6,因此它們的并是必然事件，但它們不可能同時發(fā)生，因此。3

為不可能事件，B正確；

2發(fā)生時，2一定發(fā)生，但2發(fā)生時，2可能不發(fā)生，因此C正確；

與不可能同時發(fā)生，但也可能都不發(fā)生，互斥不對立，D錯誤；

故選：D.

4.（多選）某籃球運(yùn)動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：

投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)

1005518

記該籃球運(yùn)動員在一次投籃中，投中兩分球?yàn)槭录嗀,投中三分球?yàn)槭录詻]投中為事件C,用頻率估計

概率的方法，得到的下述結(jié)論中，正確的是（）

A.尸（A）=0.55B.P（B）=0.18

C.P（C）=0.27D.P（B+C）=0.55

【答案】ABC

【分析】求出事件42的頻率即得對應(yīng)概率，再用互斥事件的加法公式計算，然后逐一判斷得解.

551Q

【詳解】依題意，P（A）=—=0.55,P（B）=—=0.18,

顯然事件A,B互斥,P（C）=l-P（A+B）=l-P（A）-P（B）=0.27,

15

事件8,C互斥，貝!JP（3+C）=P（B）+P（C）=0.45,

于是得選項(xiàng)A,B,C都正確，選項(xiàng)D不正確.

故選：ABC.

5.（2024?云南昆明?三模）（多選）在一個有限樣本空間中，事件A8,C發(fā)生的概率滿足

P（A）=P（B）=P（C）=1,P（A8）=1,A與C互斥，則下列說法正確的是（）

A.P（AC）=1B.A與8相互獨(dú)立

1Q

C.P（ABC）=-D.P（AJBUC）＜-

【答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)互斥得到P（AC）=0,P（AC）=P（A）-P（AC）=1；B選項(xiàng)，根據(jù)

P（AuB）=P（A）+P（B）—尸（AcB）求出P（AcB）=；,故P（Ac3）=P（A）P（B）,B正確；C選項(xiàng)，A與C

QQ

互斥,故AB與C互斥，故C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)尸（Au3uC）=§-尸（2C）W§求出D正確.

【詳解】A選項(xiàng)，A與C互斥，故AcC=0,P（AC）=0,則「包含事件A,故尸（A。）=P（A）=g,A正

確；

B選項(xiàng)，P（AuB）=P（A）+P（B）-P（AnB）,

即:+gp（Acg）=|,故尸（ACB”）

故P（Ac3）=P（A）P⑻,A與B相互獨(dú)立,B正確;

C選項(xiàng)，A與C互斥，故A3與C互斥，故P（ABC）=P［（A3）cC］=0,C錯誤；

D選項(xiàng),P（AuBuC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）

33333'"9'"

QQ

因?yàn)镻（3C）20,^P（AuBoC）=--P（BC）＜-,D正確.

故選:ABD

真題感知

一、單選題

1.（重慶?高考真題）從一堆蘋果中任取10只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）

1251201