2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)講義：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（含對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用）（學(xué)生版+解析）

第04講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

（含對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用）

（8類核心考點(diǎn)精講精練）

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

2024年新I卷，第6題,5分判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

2024年新II卷，第8題,5分由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題

對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

2023年新I卷，第10題,5分對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

2021年新II卷，第7題,5分比較對(duì)數(shù)式的大小無(wú)

2020年新I卷，第12題,5分對(duì)數(shù)的運(yùn)算隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)

2020年新II卷,第7題,5分對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題?？純?nèi)容，設(shè)題多為函數(shù)性質(zhì)或函數(shù)模型，難度中等，分值為5-6

分

【備考策略】1.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，熟練指對(duì)互化，能用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或

常用對(duì)數(shù)

2.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，能畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

3.熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)>=1。8〃％（a>0且。片1）與指數(shù)函數(shù)丁=屋（4>0且。/1）的圖象關(guān)

系

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容通常會(huì)考查指對(duì)累的大小比較、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)的函數(shù)模型等，需要重點(diǎn)備

考復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)的定義

知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)的分類

知識(shí)點(diǎn)3對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

知識(shí)點(diǎn)4對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及一般形式

知識(shí)點(diǎn)5對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)1對(duì)數(shù)的運(yùn)算

考點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

考點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)4對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

核心考點(diǎn)考點(diǎn)5對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值

考點(diǎn)6對(duì)數(shù)函數(shù)中奇偶性的應(yīng)用

考點(diǎn)7對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小比較(含構(gòu)造函數(shù)比較大小)

考點(diǎn)8對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用

知識(shí)講解

1.對(duì)數(shù)的運(yùn)算

(1)對(duì)數(shù)的定義

如果a*=N(a>0且awl),那么把x叫做以a為底，N的對(duì)數(shù)，記作x=k)g“N,其中。叫做對(duì)數(shù)的底

數(shù)，N叫做真數(shù)

(2)對(duì)數(shù)的分類

一般對(duì)數(shù)：底數(shù)為。，a>0,且awl,記為log”N

常用對(duì)數(shù)：底數(shù)為10,記為IgN,即：log10^=lgx

自然對(duì)數(shù)：底數(shù)為e(e72.71828…)，記為InN,即：logex^kix

(3)對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

①兩個(gè)基本對(duì)數(shù)：①log。1=0,②log.a=1

②對(duì)數(shù)恒等式：①收N=N，②log.aN=N。

logb_lgb_]nb

③換底公式:log,6=c

logca1gaIna

171

推廣1：對(duì)數(shù)的倒數(shù)式log。6=-----=>log”b?log〃a=1

logz,a

推廣2：logflblog〃clog,a=1=logfl/?logfeclogcd=log.do

④積的對(duì)數(shù)：log〃（MN）=log〃M+k）g〃N；

⑤商的對(duì)數(shù)：log"—=logflM-logflN；

⑥累的對(duì)數(shù)：OlogZ?m^mlogb,?log?b=-k>gb,

flaana

m—n

?logbm=~\ogb,?log,?b=logbm

n/aa

2.對(duì)數(shù)函數(shù)

（1）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及一般形式

形如：>=logox（a>0且awl,x〉0）的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

（2）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>l0<a<l

\yiE

圖IiRv-log^v(a>l)

象

rR7

y-(i.o)*

定義域：（0,+oo）

值域：R

性當(dāng)x=l時(shí)，y=0即過(guò)定點(diǎn)（1,0）

質(zhì)當(dāng)0<x<l時(shí)，yG(-oo,0)；當(dāng)x>l時(shí)，ye<-oo,0)；

當(dāng)%>1時(shí)，ye(0,+oo)當(dāng)0<x<1時(shí)，yG(0,+oo)

在（0,+co）上為增函數(shù)（5）在（0,+co）上為減函數(shù)

3.對(duì)數(shù)型糖水不等式

(1)設(shè)n^N+,且n>l,則有l(wèi)og,I+1M<logn+2(H+l)

(2)設(shè)a>b>l,m>0,則有l(wèi)ogab<\oga+m(b+rn)

,

⑶上式的倒數(shù)形式：設(shè)a>b>l,m>0則有l(wèi)ogfoa>logb+m(a+m)

考點(diǎn)一、對(duì)數(shù)的運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.（2024?重慶?三模）已知。=log25,8=5",則而=

2.(2024?青海?模擬預(yù)測(cè))若。=log35,5"=6,貝l|abTog32=()

A.1B.-1C.2D.-2

3.(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))若實(shí)數(shù)m，n,/滿足夕"=7"=f且,+'=2,貝「=()

mn

A.2A/3B.12C.75D.735

2

1.(2024?河南鄭州?三模)已知log/+41og』=4,則幺的值為_________.

2b

115

2.(2024?全國(guó)?高考真題)已知。之且^1---------7=一不，則。=_____.

log8alog。42

3.(2024?遼寧丹東?一模)若*3,3=5,5°=4,則log4a反=()

]/?

A.-2B.-C.—D.1

22

考點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

典例引領(lǐng)

1.(2024?河南?三模)函數(shù)/(x)=Jln(l-x)的定義域?yàn)?)

A.(-<?,0]B.(-8/)C.[0,1)D.[0,+oo)

1.(2023,廣東珠海?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(x)=lg(2x-l)的定義域是()

2.(2024?青海海南?二模)函數(shù)f(x)=lg(10一.)的定義域?yàn)?)

X

A.(-瓜回)B.(-co,-A/10)IJ(VlO,+co)

c.[-Vio,>/io]D.(-VW,0)U(0,A/10)

考點(diǎn)三、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)①y=log〃x；②y=logZzx；③y=logcx；④y=logdx的大致圖象

如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（）

A.a~\-c<b+aB.o+dVb+c

C.b-\-c<a-\-dD.b-\-d<a-\-c

2.（2024?廣東深圳?二模）已知。>0,且。片1,則函數(shù)y=log“1+：］的圖象一定經(jīng)過(guò)（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D(zhuǎn).三、四象限

3.（2024?陜西渭南?二模）已知直線2mx+〃y—4=0（m>0,〃>0）過(guò)函數(shù)y=log。（x—1）+2（〃>0,且awl）

的定點(diǎn)T,則2+9的最小值為.

mn

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=loga（尤+：）（a>0,且axl）

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)y=log“（x-2）+l（a>0,且。片D的圖象所過(guò)定點(diǎn)恰好在橢圓

22

—+—=l（m>0,n>0）±,則的最小值為.

mn

考點(diǎn)四、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

典例目闞

1.（遼寧?高考真題）函數(shù)、=1°8工（/-5尤+6）的單調(diào)減區(qū)間為（）

2

|,+005

A.B.(3,+oo)C.—00,—D.(—8,2)

2

2.（2024?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/。）=111（依+2）在區(qū)間（1,2）上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.a<0B.—1?aV0C.-1<av0D.aN—1

3.(2024?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)〃無(wú))=[一：：261。，“<°在區(qū)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

[ex+ln(x+l),x>0

A.(—8,0]B.[-1,0]C.[-1,1]D.[0,+a))

4.（2024?北京?高考真題）已知（網(wǎng),%）,伍,%）是函數(shù)y=2'的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，貝I（）

,占+尤

A.B.log?2

22

C.log?%；%"+%D.log?』>占+工2

1.（23-24高三下?青海西寧?開學(xué)考試）已知函數(shù)〃》）=想（丁+依+1）在區(qū)間（f,_2）上單調(diào)遞減，則。的

取值范圍為.

2.（2022高三?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)/（*）=1°8|（一2/+3元+2）的單調(diào)遞減區(qū)間為.

5

3.（23-24高三上,甘肅白銀,階段練習(xí)）已知〃x）=是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的

[log。尤,x>l

取值范圍為.

考點(diǎn)五、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值

典例引領(lǐng)

1.（山東?高考真題）函數(shù)/。）=1嗎3+1）的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A.（。,+8）B.[0,+co）C.D.[l,+oo）

2.（22-23高三上?河北?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=3（加-6彳+5）的值域?yàn)镽,那么。的取值范圍

是.

3.（23-24高一下?上海閔行?階段練習(xí)）函數(shù)>=1°見（％+2）一已無(wú)€[2,6]的最大值為.

2

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)/'（x）=lnx+x,xe［l,e］的值域?yàn)?

2.（2023高一?全國(guó)?課后作業(yè)）函數(shù)y=l°g/f-6x+17）的值域是.

2

3.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=log2X（lW4）,則函數(shù)g（尤）=［l+〃x）1+/（/）的值域

為.

考點(diǎn)六、對(duì)數(shù)函數(shù)中奇偶性的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)/（X）=log?（+a-x）是奇函數(shù),貝l］。=.

2.（23-24高一上?安徽阜陽(yáng)?期末）若函數(shù)〃x）=We=er）+"ln（x+行石）+1（“z,w為常數(shù)）在［1,3］上

有最大值7,則函數(shù)〃尤）在［-3,-1］上（）

A.有最小值-5B.有最大值5C.有最大值6D.有最小值-7

3.（2024?江蘇泰州?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃尤卜咋?（”4［+。，若函數(shù)“X）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,0）對(duì)稱，

則log/=（）

11

A.-3B.-2C.—D.—

23

1.（22-23高二下?江西上饒?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=d-ln（斤石-尤）+3,xe［-2023,2023］的最大值為

M,最小值為加，則河+m=.

2.（2024?寧夏銀川"二模）若"天）=111“+4+〃是奇函數(shù)，則人=____.

1—X

考點(diǎn)七、對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小比較（含構(gòu)造函數(shù)比較大?。?/p>

典例引領(lǐng)

03

1.（2024?天津?高考真題）若a=4.2fb=42,c=log420.2,則a,b,c的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.b>c>a

2.（2022,天津?高考真題）已知a=2°',貝U（）

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

3.（2022?全國(guó)?高考真題）設(shè)a=0.1e°=—,c=—In0.9,則（）

9

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

4.（2021?全國(guó),|Wj考真題）設(shè)，=21nl.01,Z?=lnl.O2,c=A^04-1■,貝I（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

設(shè)a=log0.3,b=log］0.4,c=0.4°°

1.（2021?天津?高考真題）2則a,b,c的大小關(guān)系為（）

'2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

2.（2021?全國(guó)?圖考真題）已知a=log52,b=log83,c=則下列判斷正確的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

Z,=17

3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若〃_產(chǎn)片，°Si4-c=log126,貝I］（）

Cl——

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.a>c>b

4.（23-24高三上,河北保定?階段練習(xí)）設(shè)a=log34,b=log080.7,c=L025i,則a,6,c的大小關(guān)系為（

A.a<c<bB.a<b<C

C.b<a<cD.c<a<b

（1012Y°23（1013Y°25

5.（2024?山西?二模）設(shè)［上，b=\^\,則下列關(guān)系正確的是（）

U011）U012J

A.e2<a<bB.e1<b<aC.a<b<e2D.b<a<e1

考點(diǎn)八、對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知9'"=10,。=10'"-11力=&"-9,貝|（）

A.a>Q>bB.a>Z?>0C.b>a>0D.b>Q>a

1.比較大?。簂og74與log96?

2.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a=log2（）242023,b=log20232022,c=log020240.2023,貝!］（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

IN.好題沖關(guān)

一、單選題

1.(2024?河北衡水?三模)已知集合4={1,2,3,4,5},B-1<Ig(x-l)<,則AB=()

A.1.r|^<x<5jB.{2,3,4}C.{2,3}D.

2.(2024?貴州貴陽(yáng)?三模)已知a=4°3/=(k>g4a)4,c=log4(log4。)，則J()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.c>a>b

3.(2024?天津?yàn)I海新?三模)已知〃=2隰。4,Z?=log2,c=-一,貝1J()

04log。30.4

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b

4.(2024?江蘇宿遷?三模)已知函數(shù)，⑺為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)I>0時(shí)，/(x)=jlog2x-l,則仆狗=()

5544

A.-B.——C.—D.——

9999

5.(2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè))直線x=4與函數(shù)/(力=l°gN(a>[)，S(力=地必分別交于A,B兩點(diǎn)，且|=3,

2

則函數(shù)/z(x)=〃x)+g(x)的解析式為()

A.h(x)=-log2xB./i(x)=-log4x

C./i(x)=log2xD./z(x)=log4x

6.(2024?江蘇鹽城?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)y=cosx與>=坨卜|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.6

7.(2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))己知定義在R上的奇函數(shù)/(尤)滿足/(x+3)=/(尤-1),且當(dāng)xe(-2,0)時(shí)，

/(x)=log2(x+3),貝|/(2021)-f(2024)=()

A.1B.-1C.l-log23D.-l-log23

二、填空題

8.(2024?湖北?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)〃彳卜比佇工-4-耳》6陽(yáng)為偶函數(shù)，貝.

9.(2024?吉林?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)〃x)=ln(6+1)在(1,2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

—Xx

10.(2024?四川成都?三模)函數(shù)〃x)=ln最的圖象過(guò)原點(diǎn),且8⑺二三匚+了⑺+加，若g(a)=6,

一、單選題

1.（2024?黑龍江?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)〃x）=In|x-a|在區(qū)間（2,3）上單調(diào)遞減，貝心的取值范圍是（）

A.（-8,3]B.（-00,2]C.[2,+co）D.[3,+oo）

2.（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=ln學(xué)-2（租>0）是定義在區(qū)間（〃,6）上的奇函數(shù)，則

實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）

A.（0,9]B.（0,3]C.（0。D.（0,；

3.（2024?河北?三模）已知a,6,ce（l,"）,§=黑，底%9=生，則下列大小關(guān)系正確的是（）

'7aInlObInllclnl2

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.c>a>b

4.（2024?廣西貴港?模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)/（無(wú)）=1嗎（羋+1）-gx,若f（。-l）4/（2a+l）成立，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍為（）

44

A.（—8,—2]B.（―8,—2]3。,+°0）C.[—2,—]D.（―oo,—2][―,+oo）

722

5.（2024?湖北黃岡?模擬預(yù)測(cè)）已知〃=lnw，b=cos-,c=-,則。出。的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b

__3

,、4-4，X~<4

6.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)〃尤）="Xx443是R上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

loga（4x）-l,x>-

是（）

A.（0,1）B.（1,V3]C.（1,V3）D.（1,3）

7.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)〃>0,。"，若函數(shù)/（力=]，51+，）。&（4711-%）是偶函數(shù),則。=（）

13

A.-B.-C.2D.3

22

173

8.（2024?湖北黃岡?二模）已知a,4Gd分別滿足下列關(guān)系：16"=15,6=log1,3題5c=tan^,貝|J

記162

a,b,c,d的大小關(guān)系為（）

A.a<b<c<dB.c<a<b<d

C.a<c<b<dD.a<d<b<c

二、多選題

/、fO,O<xvl

9.(2024?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/尤=?、，，若a>6>0,且"21,則下列關(guān)系式一定成

[llLV,X>1

立的為()

A.f[ah^=bf(a)B.〃")=〃a)+/(6)

C.D./(a+Z?)</(tz)+/(/?)+ln2

三、填空題

10.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=log“x+/T+2（。＞0且分1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)傳力），若優(yōu)+〃=6-左

91

且根＞0,n＞0,則一+—的最小值為

mn

115

1.（2024?全國(guó)?高考真題）已知a＞l且；7=一不，貝_____

logs。log/2

2.（2024?全國(guó)?高考真題）設(shè)函數(shù)〃%）=（%+。）111（X+6）,若〃幻20,則4+2的最小值為（）

I1

A.B.一cD.1

84-I

3.（2023?北京?高考真題）已知函數(shù)/（x）=4'+log2X

4.（2023?全國(guó)?高考真題）（多選）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視.用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓

級(jí)4=20xlg二，其中常數(shù)為（為＞0）是聽覺(jué)下限閾值，P是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí):

Po

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車1060?90

混合動(dòng)力汽車105060

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為0,P2，P3,則（）.

A.Pi>p2B.p2>107?3

C.。3=100%D.p1<100/?2

5.（2022?天津?高考真題）化簡(jiǎn)（21og43+log83）（log32+log92）的值為（)

A.1B.2C.4D.6

6.(2022?浙江?高考真題)已知2"=5,1%3=6,則4"3=()

255

A.25B.5c.—D.-

93

1

7.（2022?全國(guó)?高考真題）若〃x)=lna-\—+6是奇函數(shù),則”二____,b=_

1-X

8.（2021?天津,高考真題）若2。=5"=10,Jiy-+7=()

ab

A.-1B.1g7C.1D.log710

9.（2021?全國(guó),高考真題）青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記

錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)乙和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)V滿足乙=5+lgV.已知某同學(xué)

視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為（）（呵。1.259)

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

10.（2020?全國(guó)?高考真題）已知55<84,134<85?設(shè)。=log53,b=logs5,c=logi38,則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a

第04講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

（含對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用）

（8類核心考點(diǎn)精講精練）

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

2024年新I卷，第6題,5分判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

2024年新II卷，第8題,5分由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題

對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

2023年新I卷，第10題,5分對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

2021年新II卷,第7題,5分比較對(duì)數(shù)式的大小無(wú)

2020年新I卷，第12題,5分對(duì)數(shù)的運(yùn)算隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)

2020年新II卷,第7題,5分對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題?？純?nèi)容，設(shè)題多為函數(shù)性質(zhì)或函數(shù)模型，難度中等，分值為5-6

分

【備考策略】1.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，熟練指對(duì)互化，能用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或

常用對(duì)數(shù)

2.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，能畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

3.熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)y=log〃x（a>0且與指數(shù)函數(shù)丁=屋（。>0且的圖象關(guān)

系

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容通常會(huì)考查指對(duì)幕的大小比較、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)的函數(shù)模型等，需要重點(diǎn)備

考復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)的定義

知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)的分類

知識(shí)點(diǎn)3對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

知識(shí)點(diǎn)4對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及一般形式

知識(shí)點(diǎn)5對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)1對(duì)數(shù)的運(yùn)算

考點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

考點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

考點(diǎn)4對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

核心考點(diǎn)考點(diǎn)5對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值

考點(diǎn)6對(duì)數(shù)函數(shù)中奇偶性的應(yīng)用

考點(diǎn)7對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小比較(含構(gòu)造函數(shù)比較大小)

考點(diǎn)8對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用

知識(shí)講解

4.對(duì)數(shù)的運(yùn)算

(4)對(duì)數(shù)的定義

如果優(yōu)=N(a>0且awl),那么把了叫做以a為底，N的對(duì)數(shù)，記作x=log〃N,其中。叫做對(duì)數(shù)的底

數(shù)，N叫做真數(shù)

(5)對(duì)數(shù)的分類

一般對(duì)數(shù)：底數(shù)為。，a>0,且awl,記為log.N

常用對(duì)數(shù)：底數(shù)為10,記為IgN,即：logiox=lgx

自然對(duì)數(shù)：底數(shù)為e(e心2.71828…)，記為InN,即：log^^lnA：

(6)對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則

①兩個(gè)基本對(duì)數(shù)：①log。1=0,②log.a=1

②對(duì)數(shù)恒等式：①產(chǎn)。N=N，②卜城=N。

logcZ?_1g/?_ta/?

③換底公式:log,b=

logca1gaIna

171

推廣1：對(duì)數(shù)的倒數(shù)式log。b=-----=>logZ?-loga=1

logbaflft

推廣2：logflbloghclogca=1=>logflZ71og&clogcd=logfld。

④積的對(duì)數(shù)：loga（MN）=log〃M+log〃N；

⑤商的對(duì)數(shù)：log"—=logflM-logflN；

⑥累的對(duì)數(shù)：OlogZ?m^mlogb,?log?b=-k>gb,

flaana

m—n

?logbm=~\ogb,?log,?b=logbm

n/aa

5.對(duì)數(shù)函數(shù)

（3）對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及一般形式

形如：>=logox（a>0且awl,x〉0）的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)

（4）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>l0<a<l

\yiE

圖IiRv-log^v(a>l)

象

rR7

y-(i.o)*

定義域：（0,+oo）

值域：R

性當(dāng)x=l時(shí)，y=0即過(guò)定點(diǎn)（1,0）

質(zhì)當(dāng)0<x<l時(shí)，yG(-oo,0)；當(dāng)x>l時(shí)，ye<-oo,0)；

當(dāng)%>1時(shí)，ye(0,+oo)當(dāng)0<x<1時(shí)，yG(0,+oo)

在（0,+co）上為增函數(shù)（5）在（0,+co）上為減函數(shù)

6.對(duì)數(shù)型糖水不等式

(1)設(shè)n^N+,且n>l,則有l(wèi)og,I+1M<logn+2(H+l)

(2)設(shè)a>b>l,m>0,則有l(wèi)ogab<\oga+m(b+rn)

,

⑶上式的倒數(shù)形式：設(shè)a>b>l,m>0則有l(wèi)ogfoa>logb+m(a+m)

考點(diǎn)一、對(duì)數(shù)的運(yùn)算

典例引領(lǐng)

1.（2024?重慶?三模）已知。=log25,8=5",貝

【答案】3

【分析】由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系求出6,再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.

【詳解】由8=5",得，=10858,IU=log25-log58=3log25-log52=3.

故答案為：3

2.（2024?青海?模擬預(yù)測(cè)）^a=log35,5:6,貝!|小1（^2=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式的應(yīng)用.

【詳解】由5"=6=>6=bg56,

log.6,6

所以"-log??=log,5-log6-log2=log5--~~-l°g2=log6-log2=log-=log3=1

533logs3333323

故選：A

3.(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))若實(shí)數(shù)機(jī)，〃，f滿足5"=7"=f且1+1=2,則/=()

mn

A.273B.12C.非D.735

【答案】D

【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的互化可得m=log5f，〃=log7f，代入'+工=2,即可計(jì)算得到f的值.

mn

【詳解】因?yàn)?"=7"=/且,+'=2,易知/>0且"1,

mn

所以機(jī)=log5t,n=log71,

所以」"=k>g,5,-=log,7,

mn

所以1+工=1。8,5+108,7=108,35=2,貝卜=屈.

mn

故選：D.

1.（2024?河南鄭州?三模）已知log/+41og/=4,則幺的值為__________

2b

【答案】1/0.5

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

【詳解】因?yàn)閘og1+410g4=4,

49

所以log/+]og匕=4,可得（log/）-41ogaZ?+4=0,

即（log,*—2）2=0,

所以log?6=2,即/=/,,

所以且=￡」

2b2a12*2

故答案為：3

__115

2.(2024?全國(guó),圖考真題)已知。＞1且_jjT=_T＞則。=.

log8alog,42

【答案】64

【分析】將log8a,log。4利用換底公式轉(zhuǎn)化成log2a來(lái)表示即可求解.

1131,5”

【詳解】由題------；7=；-------loga=--,整理得(log2a)--51og。。-6=0,

2v27

log8aloga4log2a22-

=＞腕2。=-1或1嗎。=6,又“＞1,

6

所以log?a=6=log22,故a=2,=64

故答案為：64.

3.(2024?遼寧丹東?一模)若*3,3&=5,5。=4,則log4abe=()

A.-2B.《C.—D.1

22

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)基與對(duì)數(shù)的互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的換底公式，即可求解.

b

【詳解】由2"=3,3=5,5°=4,＜^?=log23,z?=log35,c=log54,

所以%=log23xlog35xlog54=譬乂粵、黑=2,貝I］題4abc=log42=(.

Ig2lg3lg52

故選：B.

考點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域

典例引領(lǐng)

1.(2024?河南?三模)函數(shù)/'(X)=Jln(l-x)的定義域?yàn)?)

A.(-8,0]B.(一8/)C.[0,1)D.[0,+oo)

【答案】A

【分析】使函數(shù)有意義，即得關(guān)于x的不等式組，解之即得函數(shù)定義域.

,_______fl-x>0

【詳解】函數(shù)/(x)=Jln(l-x)有懸義,等價(jià)于(,

解得，x<0,故函數(shù)的定義域?yàn)?-8,0].

故選：A.

1.（2023?廣東珠海?模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)7'（元）=lg（2x-l）的定義域是（）

A.B.g+cojC.『J1

D.—,+oo

2

【答案】B

【分析】根據(jù)真數(shù)大于0得到不等式，求出定義域.

【詳解】令2x-l>0,解得x>[,

2

故“X