2025 高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章：冪函數(shù)與二次函數(shù)

第02講募函數(shù)與二次函數(shù)

（6類核心考點精講精練）

I璃.考情探究?

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點

2024年新I卷，第1題,5分解三次不等式交集的概念及計算

2023年新I卷，第1題,5分二次函數(shù)圖象解不等式集合間的基本運算

二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值

2023年新I卷，第4題,5分

或范圍判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會結(jié)合其他知識點考查，需要掌握募函數(shù)的基本

性質(zhì)，難度中等偏下

1j_

【備考策略】1.掌握幕函數(shù)的定義及一般形式，掌握y=x,y=x2,y=x3,y=xT=—,y=x2=?的圖象

x

和性質(zhì)

2.理解并掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對稱性、頂點、最值等）

3.理解并掌握累函數(shù)y=-的單調(diào)性和奇偶性

P

4.會解一元二次不等式、分式不等式、單絕對值不等式和高次不等式

【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容會結(jié)合其他函數(shù)內(nèi)容綜合考查，需綜合性學(xué)習(xí)備考

12?考點梳理

知識點1幕函數(shù)的圖象

知識點2需函數(shù)的單調(diào)性

知識點3嘉函數(shù)的奇偶性

知識點4二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

知識點5二次函數(shù)的單調(diào)性與最值

知識點6解一元二次不等式'分式不等式與高次不等式

幕函數(shù)與二次函數(shù)考點1幕函數(shù)的圖象

考點2黑函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

考點3利用黑函數(shù)單調(diào)性進行大小比較

核心考點考點4幕函數(shù)的綜合應(yīng)用

考點5解一元二次不等式、分式不等式與高次不等式

考點6二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

知識講解

1.幕函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義及一般形式

形如丁=丁(￡6氏)的函數(shù)稱為暴函數(shù)，其中X是自變量,a為常數(shù)

(2)塞函數(shù)的圖象和性質(zhì)

①事函數(shù)的單調(diào)性

apZ>0時，/(X庵第一象限單調(diào)遞增

八”尸"[aVO時，/(x庵第一象限單調(diào)遞減

②塞函數(shù)的奇偶性

2

a為偶數(shù)，/（x）為偶函數(shù)

a為整數(shù)<

a為奇數(shù)，〃另為奇函數(shù)

f（x）=Xa<。為偶數(shù)時，〃x）為非奇非偶函數(shù)

a為分數(shù),設(shè)a=@<q為奇數(shù)，/（x）為奇函數(shù)

p為奇數(shù)時

Pq為偶數(shù),外只為偶函數(shù)

2.一元二次方程:

ax1+bx+c-0（a豐0）

①方程有兩個實數(shù)根OA=/-4ac?0

A>0

②方程有同號兩根o<c

再％二—>0

Ia

A>0

③方程有異號兩根o《c八

玉%2=一<0

a

b

④韋達定理及應(yīng)用：再+工2=-一,=一

aa

2

22VA_y/b-4ac

%；+君=（再+X2）-2x^2,I%1-X2|=d（X[+%2）—4為%2-

a\a\

xf+%2-（玉+%2）（%；—玉工2+%；）=（X1+%2）［（入1+%2）2

3.二次函數(shù)

①一般式：y=ax2+Zzx+c=a（x+—）2—―（a。0）,對稱軸是%=--—,

2a4a2a

e上目/b4ac-b\

頂點是（一一,-------）；

2a4a

②頂點式：y=。（%+加了+左（a。0）,對稱軸是尤=一切,頂點是（-儀左）；

③交點式：y=。（％-%）（1一九2）（〃。0），其中（%,0），（12,0）是拋物線與％軸的交點

4.二次函數(shù)的性質(zhì)

b

①函數(shù)y=a%2+"+c（aW0）的圖象關(guān)于直線冗=----對稱。

2a

6b

②a>0時，在對稱軸（x=----）左側(cè)，y值隨x值的增大而減少；在對稱軸（x=-----）右側(cè)；y

2a2a

h4-ctc—h~

的值隨X值的增大而增大。當(dāng)X=-2時，y取得最小值MC。

2a4a

Z?b

③a<0時，在對稱軸（x=----）左側(cè)，y值隨x值的增大而增大；在對稱軸（x=-----）右側(cè)；y

2a2a

3

b4<7C—h~

的值隨X值的增大而減少。當(dāng)x=-2時，y取得最大值

2a4a

5.解一元二次不等式

“三個二次”：一元二次不等式與一元二次方程及二次函數(shù)的聯(lián)系

判別式

A>0A=0A<0

A=Z?2—4ac

一元二次方程有兩個相等實根

有兩個不等實根

ax1+bx+c-0(?w0)b無實數(shù)根

片,I2(設(shè)再V九2)X]—~-----

的根2a

二次函數(shù)u

y=ax2+bx+c(a>0)

的圖象

|%1=?2XV

ax2+bx+c>0（a>0）J—b1

{^x<xi^c>x2]R

的解集l12aJ

ax2+bx+c<0（a>0）艮菁<x<x}

200

的解集

6.解分式不等式

①，(x)g(x)<。②^^〉0o/(x)g(x)〉0

③綱=哄水。④綱2gJ呼呼°

小)I，(%)工。/(x)I/GH。

7.解單絕對值不等式

N>a(a>d)^>x<-a^x>a9|%|<a[a>0)=>-^<x<a

考點一、暮函數(shù)的圖象

典例引領(lǐng)

1.(23-24高三?階段練習(xí))已知幕函數(shù)f(x)的圖象過點(16,4),則函數(shù)/(X)的圖象是()

4

【分析】

根據(jù)幕函數(shù)經(jīng)過的點得表達式，進而根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)即可結(jié)合選項求解.

【詳解】

設(shè)塞函數(shù)的解析式為〃尤）=無\

由幕函數(shù)y=的圖象過點（16,4）,，4=16。，解得a=；,

:.y=f（x）=G,其定義域為［0,+動，且是增函數(shù)，

當(dāng)0<“<1時，其圖象在直線y=x的上方，故c滿足題意.

故選：c

2.（2023高三?山西運城?學(xué)業(yè)考試）如圖的曲線是塞函數(shù)y=x"在第一象限內(nèi)的圖象已知”分別取土2,±3四

個值，與曲線G,CACAC4相應(yīng)的W依次為（）

【答案】A

【分析】作直線X=2分別與曲線G、C2、C3、C4相交，結(jié)合函數(shù)y=2*的單調(diào)性即可判斷.

【詳解】因為函數(shù)y=2、為增函數(shù)，所以22>2：>2弓>2-2，

所以作直線x=2分別與曲線￡、G、C”C4相交，交點由上到下分別對應(yīng)的n值為,

由圖可知，曲線。卜C?C?C4相應(yīng)"值為2,g,-g,-2.

故選：A

5

3.（23-24高三?階段練習(xí)）函數(shù)〃對=改2+2%+1與g（x）=x"在同一直角坐標系中的圖象不可能為（

【分析】利用二次函數(shù)的圖象得出〃的正負，結(jié)合幕函數(shù)特點可得答案.

【詳解】對于A,二次函數(shù)開口向下，所以°<0,此時g（x）=x"與圖中符合；

對于B,二次函數(shù)開口向上，所以。>0,此時g（x）=/在（。,+8）為增函數(shù)，不符合;

對于C,二次函數(shù)開口向上，所以。>0,此時g（x）=x°在（0,+e）為增函數(shù)，符合；

對于D,二次函數(shù)開口向上，所以a>0,此時g（x）=x"在（0,+應(yīng)為增函數(shù)，符合；

故選：B.

即時檢測

1.（23-24高三?階段練習(xí)）已知幕函數(shù)的圖象經(jīng)過點尸（8,4）,則該事函數(shù)的大致圖象是（）

6

【分析】設(shè)幕函數(shù)為〃*）=/，然后將尸（8,4）坐標代入可求出函數(shù)解析式，從而可得函數(shù)圖象.

2

【詳解】設(shè)基函數(shù)為〃尤）=產(chǎn)，則8a=4,23a=22,得3a=2,得□=§，

2

所以“x）=a，定義域為R,所以排除AD,

22

因為〃_同=（_爐=/=〃X）,所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以排除B,

故選：C

2.（23-24高三?階段練習(xí)）（多選）現(xiàn)有4個賽函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列選項可能成立的是（）

C.p=2,m=3,q=—,n=-3

【答案】AB

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合已知圖象分析判斷即可.

【詳解】對于幕函數(shù)y=，若函數(shù)在（0,+巧上單調(diào)遞增，則a>0,若函數(shù)在（0,+功上單調(diào)遞減，則a<0,

所以“<0,D選項錯誤；

當(dāng)x>i時，若丁=丁的圖象在y=x的上方，則夕>1,若〉=嚴的圖象在y=x的下方，則a<i,

所以。>1,機C選項錯誤；

因為當(dāng)了>1時，指數(shù)越大，圖象越高，所以機，

綜上，p>m>l>q>0>n,AB選項正確.

故選：AB

3.（22-23高三?全國?對口高考）給定一組函數(shù)解析式:

7

（Dy=；^2）y=尤§；（3）y=x萬；（￡）y=x3;（5）y=尤2;（§）y=尤5;（7）,=X3.

如圖所示一組函數(shù)圖象.圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是（）

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

【答案】C

【分析】根據(jù)基函數(shù)的圖象的性質(zhì)判斷各圖象對應(yīng)解析式的形式，即可得答案.

【詳解】圖象（1）關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故y=xl滿足;

圖象（2）關(guān)于，軸對稱，為偶函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故y=x1滿足；

圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故v一『1滿足；

圖象（4）關(guān)于y軸對稱，為偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，故＞=藍滿足；

1

圖象（5）關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，故丫=工3滿足；

3

圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨X增大遞減，故y=R滿足;

3

圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨X增大遞增，故y=x?滿足;

故圖象對應(yīng)解析式順序為⑥④③②⑦①⑤.

故選:C

考點二、塞函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

典例引領(lǐng)

1.（上海?高考真題）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）

8

A-2B.y=x~xC.y=x2

A.y=xD.y=x3

【答案】A

【詳解】試題分析：由偶函數(shù)定義知，僅A,C為偶函數(shù)，C.y=f在區(qū)間（o,+8）上單調(diào)遞增函數(shù)，故選A.

考點：本題主要考查奇函數(shù)的概念、函數(shù)單調(diào)性、基函數(shù)的性質(zhì).

點評：函數(shù)奇偶性判定問題，應(yīng)首先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱.

m

2.（2023?全國?專題練習(xí)）如圖所示是函數(shù)（辦〃eN*且互質(zhì)）的圖象，貝U（)

A.m,"是奇數(shù)且生＜1B.m是偶數(shù)，”是奇數(shù)，且竺＜1

nn

C.加是偶數(shù)，力是奇數(shù)，且D.m,〃是偶數(shù)，且上＞1

n

【答案】B

【分析】

根據(jù)圖象得到函數(shù)的奇偶性及（0,+e）上單調(diào)遞增，結(jié)合相、“cN*且互質(zhì)，從而得到答案.

【詳解】由圖象可看出y=，為偶函數(shù)，且在（0,+8）上單調(diào)遞增,

故里€（0,1）且加為偶數(shù)，又小“cN*且互質(zhì)，故〃是奇數(shù).

n

故選：B

3.（23-24高二下?浙江?期中）塞函數(shù)＞=/知-3（加?z）的圖象關(guān)于V軸對稱，且在（0,+s）上是減函數(shù)，則

機的值是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】首先根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性，確定加得到取值，再回代函數(shù)確定函數(shù)的奇偶性，即可求解.

【詳解】因為塞函數(shù)y=x'"J23,（〃zeZ）在區(qū)間（0,+s）上是減函數(shù)，

所以〃，—2m—3＜0,解得：—1＜3,

因為;〃eZ,得〃?=0,1,2,

當(dāng)相=0時，函數(shù)＞=匯3是奇函數(shù)，不關(guān)于，軸對稱，故舍去，

當(dāng)〃?=1時，函數(shù)y=xT是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱，故舍去，

當(dāng)〃?=2時，函數(shù)＞=匯3是奇函數(shù)，不關(guān)于＞軸對稱，故舍去，

所以m=1.

故選:A

9

即0唧（

3

1.（1993,全國?高考真題）函數(shù)丫=稱在［-1,1］上是

A.增函數(shù)且是奇函數(shù)B.增函數(shù)且是偶函數(shù)

C.減函數(shù)且是奇函數(shù)D.減函數(shù)且是偶函數(shù)

【答案】A

3

考查察函數(shù)y=6.

回￡>0,根據(jù)幕函數(shù)的圖象與性質(zhì)

可得在［-1,1］上的單調(diào)增函數(shù)，是奇函數(shù).

故選A.

點睛：對于形如y=的幕函數(shù)，研究函數(shù)性質(zhì)時，可以將函數(shù)化簡為y=而，可知定義域及函數(shù)奇偶性,

嘉函數(shù)的單調(diào)性可以只研究第一象限，再結(jié)合奇偶性即可得結(jié)論.

2.（2024?全國,模擬預(yù)測）（多選）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又是定義域上的減函數(shù)的是（）

A./（x）=-3x5B.〃尤）=2"

C.D.〃尤）=_2/

【答案】AD

【分析】由解析式直接判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性即可得解.

【詳解】對于A,/（x）=-3x5是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故A正確；

對于B,/（》）=2,是在其定義域上單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，故B錯誤；

對于C,=⑴=1,故=g在其定義域上不單調(diào)遞減，故C錯誤；

1

對于D,/（同=-2/是奇函數(shù)，在其定義域上單調(diào)遞減，故D錯誤.

故選：AD.

3.（2024,廣東廣州?模擬預(yù)測）若募函數(shù)/（"=（加-〃Li）/"-?在（0,+動上單調(diào)遞增，則實數(shù)加的值為（）

10

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】A

【分析】根據(jù)條件，利用幕函數(shù)的定義和性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

【詳解】因為基函數(shù)/（%）=（病-m-1）￡%3在（0,+⑹上是增函數(shù),

m2-m-1=1

所以解得m=2.

2m-3>0

故選：A.

考點三、利用塞函數(shù)單調(diào)性進行大小比較

典例引領(lǐng)

232

1.（安徽?高考真題）設(shè)a=（|：,b=C1，c=||：,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】A

72

【詳解】試題分析：回函數(shù)>=4）'是減函數(shù)，sob-,又函數(shù)v_6在（。,+8）上是增函數(shù)，故a>c.從而選A

5y-x

考點：函數(shù)的單調(diào)性.

231

2.（2023廣東廣州?二模）已知〃=3與，b=V9c=4§，則（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，暴函數(shù)的性質(zhì)即可判斷6<a,c<a,再對°,c進行取對數(shù)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性

質(zhì)即可判斷c<6,進而即可得到答案.

21311

【詳解】由0=33=93，。=2%=8八c=43'

rI111

則6=8^<8§c<a,

13-2

443

Xlog2Z?=log28=-,log2c=log2=-'

貝Ijlog2c<log26,即c<6,

所以c<6<a.

故選：D.

11

即時期I

22

1.（2024?福建三明?三模）若a=（_|J,b=（_；j,c=log2；，貝U（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>c>a

【答案】A

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性可判斷人的大小,利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷a的范圍，即可得答案.

22

【詳解】由題意得a==

22

由于V一#在（°，+8）上單調(diào)遞增，故1=。

y一人"

而〉=1"廣在（o,+8）上單調(diào)遞減，故c=iog22>k）g2==i,

3§3§3

t^Lc>a>b,

故選：A

_L_L3

2.設(shè)=則a,）,c的大小關(guān)系是（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】A

<1，利用暴函數(shù)的單調(diào)性判斷.

所以即c<。,

綜上：c<a<b

故選：A

考點四、塞函數(shù)的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.（2024?吉林?模擬預(yù)測）請寫出一個暴函數(shù)滿足以下條件：①定義域為［0,+8）；②Ax）為增函數(shù);

12

玉+x>“小/㈤

③對任意的4,2e［0,+8),都有了2,則/。)=

22

【答案】￡(答案不唯一)

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)可寫出一個符合①②的幕函數(shù)，利用作差法說明其也滿足③，即可得答案.

【詳解】由題意可知/⑴=6的定義域為［°，+8)，且〃無)在［0,+8)上為增函數(shù)；

下面證明該函數(shù)滿足③：

取任意的4，x2e[0,+co),

玉+x〃無2)_6+后

2----------------------------->U,

22

、2

士+%-2m兀2括三-24^八

則2---------------------=U，

44

7

當(dāng)且僅當(dāng)占=%時取等號，

即7[丫1即〃x)=￡滿足③，

故答案為：J

2.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知x,>eR,滿足@一1廣?+尤=|,(2y+1)2023+2y=-|,貝拉+2>=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】B

【分析】令xeR,易得“X)為奇函數(shù)且為增函數(shù)，再由(X-1廣=；和

(2y+l)2°23+2y=-1,變形得到了(x—l)=|,〃2y+l)=-，求解?

【詳解】解：令/(%)=/23+工，XGR,則/(—%)=(—,2023+(—*=—〃%),

國/(%)為奇函數(shù).

回(A1廣3+工=|,

a(x-i)2023+(x-i)=|.

X0(2y+l)2°23+2y=-|,

0(2y+lf23+(2y+l)=-|,

國=/(2y+l)=--.

又回/(x)在R上單調(diào)遞增，

回％—l+2y+l=0,即x+2y=0.

13

故選：B.

即時檢測

.__________

1.（2024?云南曲靖?一模）如圖，在第一象限內(nèi)，矩形A3CD的三個頂點A3,C分別在函數(shù)

>=i°g苴尤，y=的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標軸平行，若A點的縱坐標是2,則。點的

【分析】根據(jù)指對基函數(shù)的圖象及解析式求出A點的橫坐標、C點縱坐標，即可得。點的坐標.

【詳解】由題意，縱坐標都為2,則8點橫坐標為8,即C點橫坐標為8,

所以A點的橫坐標為（9）2=；,C點縱坐標為序=（,

由ABCD為矩形及題圖知：。點的坐標是

381

故答案為：（：，士）

Jol

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）寫出滿足下列條件①②③的一個函數(shù)：f（x）=.

/、2

</W<%

①〃元）的定義域為R;②xeR,，（一力=一〃尤）；③0<%<9,都有

/(%2)9

【答案】（答案不唯一，形如，。，q為奇數(shù)，且1<2<2均可）

【分析】根據(jù)題意函數(shù)需分別滿足題中①②③的條件，且答案不唯一.

又由①②，函數(shù)為奇函數(shù)且定義域為R,

5

所以可取事函數(shù)"X）=#.

14

故答案為：J（答案不唯一，形如了（無）=%，p,q為奇數(shù)，且i</<2均可）.

考點五、解一元二次不等式、分式不等式與高次不等式

典例引領(lǐng)

1.（2024?上海?高考真題）已知xeR,則不等式/一2工一3<0的解集為.

【答案】{x|-l<%<3}

【分析】求出方程Y-2%-3=0的解后可求不等式的解集.

【詳解】方程d-2x-3=0的解為x=-l或x=3,

故不等式爐-2%-3<0的解集為{x|-l<x<3},

故答案為：{x|-l<x<3}.

2.（全國?高考真題）不等式上二>0的解集是（）

x+3

A.（-3,2）B.（2,收）

C.（-℃,-3）U（2,+℃）D.（-00,-2）u（3,+00）

【答案】C

【分析】分式不等式轉(zhuǎn)化成整式不等式求解即可.

【詳解】由缶>0=（無一2）（x+3）>o,解得x>2或x<—3.

故選：C

3.（2024?全國?高考真題）已知集合4={削一5<d<5},8={-3,-1,0,2,3},則4n3=（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,—1,0}D.{—1,0,2）

【答案】A

【分析】化簡集合A,由交集的概念即可得解.

【詳解】因為A={x|-為<尤<g},2={-3,-l,0,2,3},且注意到1〈為<2，

從而403={—1，0}.

故選：A.

即時檢測

1.(2024?福建福州?一模)已知集合4=卜|、401,B={X|X2-3X<0},則()

A.{x|x42或尤23}B.{x|-2<x<3}

C.{x|0<x<2}D.{xlxW-2或xN3}

15

【答案】B

【分析】根據(jù)分式不等式和一元二次不等式得解法解出集合A,2,再按照集合的并集運算即可.

【詳解】缶4°'則(X—2)(X+2)W0,且X+24,解得-2<xV2,

則集合A={W-2<X42},B={.r|x(x-3)<0}={x|0<x<3}

則A^>B={.-2<尤<3}

故選：B.

2.(2024?全國?一模)己知集合"={尤€即082國<1},N={x|x3-xW0},則McN=()

A.{-1,1}B.{-1,0,1}

C.{-2-1,1}D.{-2,-1,0,1)

【答案】A

【分析】解集合中的不等式，得到這兩個集合，再由定義求交集.

【詳解】不等式log」x|<l,即0<忖<2,當(dāng)xeZ時，不等式解集為{-1]},即河={-1,1},

不等式V-x=x(x+l)(x-l)V0,解得xW-1或OVxVl,即N={x|x4-1或04x41},

所以A/nN={Tl}.

故選：A

3.(23-24高三上?河南南陽?階段練習(xí))不等式(/一2工一3)(爐+4尤+4)<0的解集是()

A.{x|x<-l或x>3}B.{x|-l<x<2或2V尤<3}

C.{x|-l<x<3}D.{x|-2<x<3}

【答案】C

【分析】先因式分解，然后分x=-2和求解即可.

【詳解1(x2-2x-3)(x2+4x+4)<0o(尤一3)(x+l)(x+2)2<0,

當(dāng)x=-2時，不等式顯然不成立；

當(dāng)2時,(X+2)2>0,所以原不等式O(尤—3)(X+1)<0,

解得—l<x<3.

綜上，原不等式的解集為{x-l<x<3}.

故選：C

考點六、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

典例引領(lǐng)

1.(2023?全國?高考真題)設(shè)函數(shù)八月=2、(1)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，則。的取值范圍是(

A.(YO,-2]B.[—2,0)

16

C.（0,2]D.[2,+00）

【答案】D

【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.

【詳解】函數(shù)y=2*在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)〃x）=2MK在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，

2

則有函數(shù)y=x（i在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減，因此■!*解得。22,

所以。的取值范圍是[2,+8）.

故選：D

2.（2024?全國?模擬預(yù)測）若函數(shù)/。）=產(chǎn)_（m_2八+1|在一《上單調(diào)，則實數(shù)〃?的取值范圍為（）

A.「1IU「3,911B.「p12IU「3,9|1

"I"Ir91ri1r9

C.--,1U3,；D.--,2U3,—

L2JL2j12JL2j

【答案】c

【分析】由題意，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)建立不等式組，解之即可求解.

1Q

即實數(shù)機得取值范圍為[-5，12[3,萬].

故選：C.

3.（2024?廣東揭陽?二模）已知函數(shù)/（耳=-/+依+1在（2,6）上不單調(diào)，貝匹的取值范圍為（）

A.（2,6）B.（T?,2]U[6,+X＞）

C.（4,12）D.（f,4]U[12,y）

【答案】C

【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列出不等式求解即得.

【詳解】函數(shù)〃工）=-/+辦+1的圖象對稱軸為尤=（依題意，2＜|＜6,得4＜。＜12,

所以。的取值范圍為（4,12）.

故選：C

17

x—2ax,x>l

4.(2024?陜西渭南?二模)已知函數(shù)/(%)=〃是R上的增函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是()

一x—1,%<1

12

A.(0,1)B.畤C.(0,1)D.(0,1]

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合一次、二次函數(shù)單調(diào)性求解即得.

a<l

x2-2ax,x>l

a4

【詳解】由/(%)=[是R上的增函數(shù)，得<->0,解得0<“q,

一x—1,%<1

12

所以實數(shù)。的取值范圍是(0,6.

故選:B

5.(2024?四川成都,二模)已知函數(shù)〃力=2工2+2工+。的值域為“.若(1,+8)口”，則實數(shù)。的取值范圍是()

A.(f/)B.(-oo,l]C.D.[l,+oo)

【答案】B

【分析】化復(fù)合函數(shù)/(x)=2*+2x+“為〃")=2",u=^+2x+a,根據(jù)已知條件(L+8)UM,確定說的取值

范圍，再根據(jù)式的取值范圍確定。的取值范圍即可.

【詳解】因為〃x)=2-+2，+。，令“=爐+2尤+°,所以/'(")=2。；

令函數(shù)〃=f+2x+a的值域為N,因為(l,+8)qM,

所以(0,+8)=N,所以f+2x+a必須能取到(0,+x)上的所有值,

4xa-224。-4

“min<0,解得

44

故選:B

即時檢測

1.(2024?遼寧?一模)若函數(shù)〃x)=3-2/+"在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，貝心的取值范圍是()

A.(-雙4]B,[4,16]C.(16,-HX>)D.[16,+8)

【答案】A

【分析】利用"同增異減"判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求參數(shù)的取值范圍.

【詳解】設(shè)〃")=3",u=-2x2+ax,則/(")=3"在(y,M)上單調(diào)遞增.

因為=3-24?在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)a=一2/+存在區(qū)間(1,4)內(nèi)單調(diào)遞減，

18

結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：:W1,解得

4

故選：A

2.(2024?山東?二模)已知函數(shù)/(%)=2￡_如+1在區(qū)間［-1,y)上單調(diào)遞增，則/⑴的取值范圍是().

A.［7,+oo)B.(7,+co)

C.(-<?,7］D.(ro,7)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得解得mWT,再由/(1)=3-相，進而求得/■⑴的取值范圍.

【詳解】由函數(shù)/(司=2/-如+1的對稱軸是x=g,

因為函數(shù)在區(qū)間［-1,—)上是增函數(shù)，所以gw-1,解得

又因為/(1)=3-祖，因此3-〃叱7,所以"1)的取值范圍是［7,內(nèi)).

故選：A.

3.(2024?河南信陽?模擬預(yù)測)若函數(shù)/("=,_(加_2)%+1|在-g；上單調(diào)，則實數(shù)加的值可以為()

15

A.—1B.—C.—D.3

22

【答案】BD

【分析】分別討論AV0和△>()兩種情況，結(jié)合二次函數(shù)的圖像分析，即可得到答案.

【詳解】①當(dāng)△=("2-2)2-44。，即。時，f(x)=|x2-(/zz-2)x+l|=x2-(m-2)x+l,所以解x)的

對稱軸為尤=?，則〃%)的圖象如下：

2

結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)/("=產(chǎn)_(根-2卜+］在上單調(diào)，則產(chǎn).或小w解得：m>3

乙乙乙乙乙乙

或“￡1,即或0WmMl；

②當(dāng)△=(〃Z-2)2-4>0,即機<?；颉?>4,令人⑺二％2一(m-2)x+l,貝!］的對稱軸為尤=“一，則皿?

的圖象如下：

19

結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)/（"=,一（%2卜+1|在H上單調(diào),

1<m—21m-2

——>----

2~22—2

或<或,

〃（—；）W0/2（-1）>0

91

解得：4（根<一,或一一<m<0,

22

91

綜上：3"根<5或一;WznWl；

故選：BD

4.（23-24高三下,福建?開學(xué)考試）已知函數(shù)〃%）=|（”［：）二1"<"的值域為區(qū)，則實數(shù)

的取值范圍

\x-2a\-2,x>a

為.

【答案】［一1,0）

【分析】

利用分段函數(shù)的值域是各段值域的并集，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性列不等式求解即可.

【詳解】當(dāng)時，

若x<a,可得

若xNa,/（x）>-2,函數(shù)〃x）的值域不可能為R；

②當(dāng)a<0時，2a<a,

所以函數(shù)〃尤）在（-8,a）,內(nèi)）上單調(diào)遞增，

若函數(shù)〃尤）的值域為R,只需時可得—l<a<0.

由上知，實數(shù)a的取值范圍為

故答案為：

20

5.（2024?河南?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃對=卜2-6尤+7］在［1,〃小機>1）上的最大值為A,在［孤2〃—1］上的最

大值為B，若AN23,則實數(shù)機的取值范圍是.

【答案】3-^,|

【分析】作出了（X）的圖象，分1〈機V5和m>5兩種情況討論函數(shù)/（X）在（機>1）上的最大值和在

卜耳2根-1］上的最大值，列出關(guān)系，解不等式即可得到答案.

【詳解】由函數(shù)〃x）=|，6x+7卜卜作出“X）的圖象如下：

抖

由題得：/(1)=/(3)=/(5)=2,

當(dāng)1＜加45時，函數(shù)〃對=,2-6*+7］在［1,7"］(加＞1)上的最大值為2,即A=2,

要使A223,則3V1,令/(x)=l,解得：西=3-6，X2=2,x3=4,祈=3+6,

由圖可得，要使函數(shù)/（司=卜2-6工+7］在［m,2加-1］上的最大值為8,J!LB<1,

則［2m小>3-；J3\或m>鼠4*3+5解得：3一尺3個?

當(dāng)〃?＞5時,

由圖，〃尤)=|尤2-6x+7|^h［l,m］(m>l)上最大值4=/(〃7)=療_6：附+7>0,

在［m,2〃L1］上單調(diào)遞增，最大值3=/(2〃?-1)>/(〃?)=A>0,

AN23不可能成立，