2025高考數(shù)學專項訓練：概率【含答案】

2025高考數(shù)學二輪專題復習?概率?專項訓練

選擇題（共7小題）

1.某學校為了了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部

和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣

結果共有（）

A.廣45jn15種B.「20「4。種

L400L200u400L200

C.^30廣3。種D.「4口>-i20種

L400L200u400L200

2.某地的中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%的同學愛好滑冰或愛好滑雪，在該

地的中學生中隨機調(diào)查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（）

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.1

3.有五名志愿者參加社區(qū)服務，共服務星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務，則兩天中恰

有1人連續(xù)參加兩天服務的選擇種數(shù)為（）

A.120B.60C.40D.30

4.設O為平面坐標系的坐標原點，在區(qū)域｛（x,y）I1W/+/W4｝內(nèi)隨機取一點，記該點為A,則直線

的傾斜角不大于三的概率為（）

4

A.AB.Ac.AD.A

8642

5.甲乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有

()

A.30種B.60種C.120種D.240種

6.鶯是鷹科的一種鳥，《詩經(jīng)?大雅?旱麓》日“鶯飛戾天，魚躍于淵”.鶯尾花因花瓣形如鶯尾而得名（圖

1）,寓意鵬程萬里、前途無量.通過隨機抽樣，收集了若干朵某品種鶯尾花的花萼長度和花瓣長度（單

位：c?n）,繪制對應散點圖（圖2）如下:

圖1圖2

計算得樣本相關系數(shù)為0.8642,利用最小二乘法求得相應的經(jīng)驗回歸方程為7=0.750卜+0.6105.根據(jù)

以上信息，如下判斷正確的為（）

A.花萼長度和花瓣長度不存在相關關系

B.花萼長度和花瓣長度負相關

C.花萼長度為1cm的該品種鶯尾花的花瓣長度的平均值約為5.8612cm

D.若選取其他品種鶯尾花進行抽樣，所得花萼長度與花瓣長度的樣本相關系數(shù)一定為0.8642

7.根據(jù)所示的散點圖，下列說法正確的是（）

Bo1&0170180傳0

身高

A.身高越大，體重越大B.身高越大，體重越小

C.身高和體重成正相關D.身高和體重成負相關

二.多選題（共3小題）

（多選）8.有一組樣本數(shù)據(jù)xi,xi,尤6,其中xi是最小值，X6是最大值，貝!）（）

A.XI,X3,X4,X5的平均數(shù)等于XI,XI,X6的平均數(shù)

B.XI,X3,X4,尤5的中位數(shù)等于XI,XI,X6的中位數(shù)

C.XI,X3,尤4,X5的標準差不小于XI,XI,X6的標準差

D.XI,X3,X4,X5的極差不大于XI,X2,X6的極差

（多選）9.噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級加=20X/gH,其

P。

中常數(shù)川（po>O）是聽覺下限閾值，p是實際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：

聲源與聲源的聲壓級

距離/“zIdB

燃油汽車1060?90

混合動力汽1050-60

車

電動汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10機處測得實際聲壓分別為pi,p2,P3,則（）

A.pi\p2B./?2>10/73C.p3=lOOpoD.piW100p2

（多選）10.在信道內(nèi)傳輸0,1信號，信號的傳輸相互獨立.發(fā)送0時，收到1的概率為a（0<a<l）,

收至1J0的概率為1-a；發(fā)送1時，收至1J0的概率為p（0<p<l）,收至1J1的概率為1-p.考慮兩種傳

輸方案：單次傳輸和三次傳輸.單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3

次.收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信

號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1,0,1,則譯碼為1）（）

A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為（1-cd（1-0）2

B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則依次收到1,0,1的概率為0（1-P）2

C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,則譯碼為1的概率為p（1-p）2+（1-p）3

D.當0<a<0.5時，若發(fā)送0,則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0

的概率

三.填空題（共3小題）

11.某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且

每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）.

12.把若干個黑球和白球（這些球除顏色外沒有其他差異）放進三個空箱子中，三個箱子中的球數(shù)之比為

5：4：6,且其中的黑球比例依次為40%,25%,50%.若從每個箱子中各隨機摸出一球，則三個球都

是黑球的概率為;若把所有球放在一起，然后隨機摸出一球，則該球是白球的

概率為.

13.空間中有三個點A、B、C,且AB=8C=C4=1,在空間中任取2個不同的點。，E（不考慮這兩個點

的順序），使得它們與A、B、C恰好成為一個正四棱錐的五個頂點，則不同的取法有種.

四.解答題（共6小題）

14.甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對方投

籃.無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定

第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為05

（1）求第2次投籃的人是乙的概率；

（2）求第，次投籃的人是甲的概率；

（3）已知：若隨機變量X］服從兩點分布，且尸（%=1）=1-尸（Xi=0）=qi,i=l,2,n,則E

nn

(￡X、)=￡q..記前w次(即從第1次到第〃次投籃)中甲投籃的次數(shù)為匕求E(y).

i=l1i=l1

15.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查,

得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:

利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值c,將該指標大于。的人判定為陽性，小于或等于c的

人判定為陰性，此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c);誤診率是將未患病者

判定為陽性的概率，記為"(c).假設數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概

率.

(1)當漏診率p(c)=0.5%時，求臨界值c和誤診率q(c)；

(2)設函數(shù)/(c)=p(c)+q(c).當ce[95,105],求/(c)的解析式，并求/(c)在區(qū)間[95,105]

的最小值.

16.一項試驗旨在研究臭氧效應，試驗方案如下：選40只小白鼠，隨機地將其中20只分配到試驗組，另

外20只分配到對照組，試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段

時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位：g).

(1)設X表示指定的兩只小鼠中分配到對照組的只數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；

(2)試驗結果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.1

32.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2

試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為

7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.2

19.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5

(z)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m,再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù),

完成如下列聯(lián)表：

<m

對照組

實驗組

(而)根據(jù)(力中的列聯(lián)表，能否有95%的把握認為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的

增加量有差異？

2

附：產(chǎn)=n(ad-bc),

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(片》發(fā))0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

17.某廠為比較甲乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材

質相同的兩個橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產(chǎn)品

的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率分別記為孫》冊=1,2,…10).試驗結果如下：

試驗序號i12345678910

伸縮率Xi545533551522575544541568596548

伸縮率y536527543530560533522550576536

記Zi=XLyi(i=l,2,10),記Zl,Z2,…，Z10的樣本平均數(shù)為Z，樣本方差為s?.

(1)求52；

(2)判斷甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率是否有顯著提高.(如

,則認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提

高，否則不認為有顯著提高)

18.為了研究某種農(nóng)產(chǎn)品價格變化的規(guī)律，收集到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價格變化數(shù)據(jù)，如表所示，在

描述價格變化時，用“+”表示“上漲”，即當天價格比前一天價格高；用“-”表示“下跌”，即當天

(I)試估計該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率；

(II)假設該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化是相互獨立的，在未來的日子里任取4天，試估計該農(nóng)產(chǎn)品價格在

這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；

(IID假設該農(nóng)產(chǎn)品每天的價格變化只受前一天價格的影響，判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價格“上漲”、“下

跌”和“不變”的概率估計值哪個最大.(結論不要求證明)

19.2023年6月7日，21世紀汽車博覽會在上海舉行，已知某汽車模型公司共有25個汽車模型，其外觀

和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示:

紅色外觀藍色外觀

棕色內(nèi)飾128

米色內(nèi)飾23

(1)若小明從這些模型中隨機拿一個模型，記事件A為小明取到紅色外觀的模型，事件2為小明取到

棕色內(nèi)飾的模型，求尸(B)和P并判斷事件A和事件B是否獨立；

(2)該公司舉行了一個抽獎活動，規(guī)定在一次抽獎中，每人可以一次性從這些模型中拿兩個汽車模型,

給出以下假設：

假設1：拿到的兩個模型會出現(xiàn)三種結果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色、以及僅外觀或

僅內(nèi)飾同色；

假設2：按結果的可能性大小，概率越小獎項越高；

假設3：該抽獎活動的獎金額為：一等獎600元，二等獎300元、三等獎150元；

請你分析獎項對應的結果，設X為獎金額，寫出X的分布列并求出X的數(shù)學期望.

參考答案與試題解析

選擇題(共7小題)

1.【解答】解：：初中部和高中部分別有400和200名學生，

，人數(shù)比例為400：200=2：1,

則需要從初中部抽取40人，高中部取20人即可，

則有殷c種?

^400^200

故選：D.

2.【解答】解：根據(jù)題意，在該地的中學生中隨機調(diào)查一位同學，設選出的同學愛好滑冰為事件A,選出

的同學愛好滑雪為事件8,

由于中學生中有60%的同學愛好滑冰，50%的同學愛好滑雪，70%的同學愛好滑冰或愛好滑雪，

則尸(B)=0.5

則同時愛好兩個項目的占50%+60%-70%=40%,

則P(AB)=0.4,

則P(A|B)=P(黜)=.。梃=0.8.

P(B)0.5

故選：A.

3.【解答】解：先從5人中選1人連續(xù)兩天參加服務，共有c；=5種選法，

然后從剩下4人中選1人參加星期六服務，剩下3人中選取1人參加星期日服務，共有c：?C；=12種

選法，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有5X12=60種選法.

故選：B.

4.【解答】解：如圖，為第一象限與第三象限的角平分線，

根據(jù)題意可得構成A的區(qū)域為圓環(huán)，

而直線OA的傾斜角不大于匹的點A構成的區(qū)域為圖中陰影部分，

4

所求概率為2=_1.

84

故選：C.

y

5?【解答】解：根據(jù)題意可得滿足題意的選法種數(shù)為：Cl.A2=120.

故選：C.

6?【解答】解：?..相關系數(shù)r=0.8642>0.75,且散點圖呈左下角到右上角的帶狀分布，

???花瓣長度和花萼長度呈正相關，且相關性較強，...A,8選項錯誤；

當x=7時，代入經(jīng)驗回歸方程為y=0.7501x+0.6105,可得y=5.8612,

花萼長度為7cm的該品種鶯尾花的花瓣長度的平均值約為5.8612cm,選項正確；

若選取其他品種鶯尾花進行抽樣，所得花萼長度與花瓣長度的樣本相關系數(shù)不一定是0.8642,六。選項

錯誤.

故選：C.

7.【解答】解：根據(jù)散點圖的分布可得：身高和體重成正相關.

故選：C.

二.多選題(共3小題)

8.【解答】解：A選項，X2,X3,X4,X5的平均數(shù)不一定等于尤1,XI,X6的平均數(shù)，A錯誤；

8選項，XI,尤3,X4,尤5的中位數(shù)等于士~,XI,XI,尤6的中位數(shù)等于3~,2正確；

22

C選項，設樣本數(shù)據(jù)xi,XI,X6為0,1,2,8,9,10,可知尤1,XI,尤6的平均數(shù)是5,尤2,X3,

X4,X5的平均數(shù)是5,

XI,X2,■■■,X6的方差u2=—X[(0-5)2+(1-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(9-5)2+(10-5)2]

16

_50

3

Xi,%3,尤4,X5的方差u2=_Lx[(1-5)2+(2-5)2+(8-5)2+(9-5)

242

22

S1>S2-0錯誤?

。選項，X6>X5,X2>Xl,.*.X6-X1>X5~XI,Z)正確.

故選：BD.

9.【解答】解：由題意得，60W20/g￡lW90,lOOOpoWpiW105po,

Po

50W20/g坦W60,1?再oW/WlOOOpo,

PO

20/g&L=40,p3=100/20,

PO

可得pi》02,A正確；

p2W10p3=1000p(),B錯誤；

p3=100/x),C正確；

9_旦

piW]02Po=100X102poWlOOp2,piW100p2,。正確.

故選：ACD.

10?【解答】解：采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1,0,1,則依次收到1,0,1的概率為：(1-p)(1-a)

(1-0)=(1-a)(1-0)2,故A正確；

采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,依次收到1,0,1的概率為：(1-0)0(1-p)=p(1-P)2,故8正

確；

采用三次傳輸方案，若發(fā)送1,

則譯碼為1包含收到的信號為包含兩個1或3個1,

故所求概率為：(卜6)2+(1-6)3,故C錯誤；

三次傳輸方案發(fā)送。，譯碼為o的概率Pi=c：a(1-a)(i-a)3,

單次傳輸發(fā)送0譯碼為0的概率P2=l-a,

22

P2-P1=(l-a)-C3Ci(1-a)-a-a)3=(卜a)[i-c：a(1-a)-(1-a)]

=(1-a)(2a2-a)

=(1-a)a(2a-1),

當0<a<0.5時，P2-Pi<0,

故P2<P1,故。正確.

故選：ABD.

三.填空題(共3小題)

11?【解答】解:若選2門，則只能各選1門，有c：C：=16種，

如選3門，則分體育類選修課選2,藝術類選修課選1,或體育類選修課選1,藝術類選修課選2,

貝I」有C：,2+C2cl=24+24=48,

綜上共有16+48=64種不同的方案.

故答案為：64.

12?【解答】解：設三個盒子分別為甲盒子，乙盒子，丙盒子，

盒子中共有球15〃個，

則甲盒子中有黑球2w個，白球3〃個，

乙盒子中有黑球九個，白球3〃個，

丙盒子中有黑球3〃個，白球3”個，

從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為型X—X——；

5n4n6n20

將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為-二.

15n5

13.【解答］解：如圖所示，設任取2個不同的點為。、E,

當△ABC為正四棱錐的側面時，如圖，平面48c的兩側分別可以做A8DE作為圓錐的底面，有2種情

況，

同理以BCE。、ACED為底面各有2種情況，所以共有6種情況；

當△ABC為正四棱錐的截面時，如圖，D、E位于A2兩側，AO8E為圓錐的底面，只有一種情況，

同理以BOCE、AQCE為底面各有1種情況，所以共有3種情況；

綜上，共有6+3=9種情況.

故答案為：9.

四.解答題（共6小題）

14.【解答】解：（1）設第2次投籃的人是乙的概率為尸，

由題意得尸=0.5X04+0.5X0.8=0.6；

（2）由題意設辦為第"次投籃的是甲,

則尸"+i=0.6P"+0.2(1-P?)=0.4丹+0.2,

：.Pn+l--1=0.4(Pn--1),

33

又Pi-2=1-1=1^0,貝IJ{2-上}是首項為』，公比為0.4的等比數(shù)歹u,

323636

Pn--=lx(Z)"I即x(2)nl

365365

...第，次投籃的人是甲的概率為p=a+工X(2)il

365

(3)由(2)得尸產(chǎn)工+J1X(2)'"1,

365

n]

1n

...當〃eN*時，E(y)=Pi+P2+...+Pn=-^y——+21=殳“-(2)口,

6占431853

綜上所述，E(y)=A[i-(2)?]+H,jiGN*.

1853

15?【解答】解：(1)當漏診率p(c)=0.5%時,

則(c-95)?0.002=0.5%,解得c=97.5；

q(c)=0.01X2.5+5X0.002=0.035=3.5%；

(2)當c€[95,100]時,

f(c)=p(c)+q(c)=(c-95A0.002+(1OO-C)?O.O1+5XO.OO2=-0.008c+0.8220.02,

當cG(100,105]時，f(c)=p(c)+q(c)=5X0.002+(c-100A0.012+(105-c)?0.002=0.01c-

0.98>0.02,

'-0.008C+0.82,95<c<10(

故/(c)=<

0.Olc-O.98,100<c<105

所以/(c)的最小值為0.02.

16?【解答】解：(1).??每只老鼠被分到對照組的概率為工，兩只指定的老鼠分配到兩個不同的組，可看

2

成兩次獨立重復事件,

指定的兩只小鼠中分配到對照組的只數(shù)X?8(2,1),

2

：.P(X=k)=c+?,)卜.(1卷)27,k=0,1,2,

；.X的分布列為:

X012

P111

121

:.E(X)=np=2X-=l；

2

(2)(力40個數(shù)據(jù)從小到大排列后，中位數(shù)加即為第20位和第21位數(shù)的平均數(shù)，

第20位數(shù)為23.2,第21位數(shù)為23.6,

,m=23.2+23.6-.

'?2-23.4,

補全列聯(lián)表為：

<m2根合計

對照組61420

實驗組14620

合計202040

(n)由(i)可知K2=-40X(6X6-14X14),=6.400>3.841,

20X20X20X20

/.能有95%的把握認為藥物對小鼠生長有抑制作用.

17..【解答】解：(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算(=1,2,…，10),填表如下:

試驗序12345678910

號i

伸縮率545533551522575544541568596548

Xi

伸縮率536527543530560533522550576536

yi

Zi=Xi-968-8151119182012

yi

10

計算平均數(shù)為z=L)二zi~=J-X(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11,

10

110

方差為S2=工廠金)2=_J^x[(-2)2+(-5)2+(-3)2+(-19)2+42+02+82+72+92+12]=

10

61.

=2^71<2a.25=5,

(2)由(1)知，z=ll,

所以,認為甲工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率有顯著提

IWJ.

18.【解答】解：(I)由表可知，40天中“上漲”的有16天，則該農(nóng)產(chǎn)品“上漲”的概率為兇=0.4.

40

(II)由表可知，40天中“下跌”的有14天，則該農(nóng)產(chǎn)品“下跌”的概率為工2=0.35,

40

40天中“不變”的有10天，則該農(nóng)產(chǎn)品“不變”的概率為衛(wèi)=0.25,

40

則該農(nóng)產(chǎn)品價格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率cjX0.42XC；xo.35

Xc；X°-25=0.168.

(Ill)由于第40天處于“上漲”狀態(tài)，從前39天中15次“上漲”進行分析，

“上漲”后下一次仍“上漲”的有4次，概率為衛(wèi)，

15

“上漲”后下一次“不變”的有9次，概率為旦，

5

“上漲”