2025春新高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【八大題型】

專(zhuān)題7.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【八大題型】

【新高考專(zhuān)用】

?熱點(diǎn)題型歸納

【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】..................................................................4

【題型2點(diǎn)共線、點(diǎn)(線)共面、線共點(diǎn)問(wèn)題】.....................................................6

【題型3等角定理】..............................................................................11

【題型4平面分空間問(wèn)題】.......................................................................13

【題型5截面問(wèn)題】..............................................................................15

【題型6異面直線的判定】.......................................................................19

【題型7異面直線所成的角】.....................................................................22

【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】.............................................25

?考情分析

1、空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)

識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的2022年新高考I卷：第9題，

系是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考

位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象5分

情況來(lái)看，主要分兩方面進(jìn)行考查，一

出空間點(diǎn)、直線、平面的2022年上海卷：第15題，5

是空間中點(diǎn)、線、面關(guān)系的命題的真假

位置關(guān)系的定義分

判斷；二是異面直線的判定和異面直線

⑵了解四個(gè)基本事實(shí)和2023年上海卷：第15題，5

所成角問(wèn)題；常以選擇題、填空題的形

一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理分

式考查，難度較易.

解決問(wèn)題

?知識(shí)梳理

【知識(shí)點(diǎn)1平面的基本事實(shí)及推論】

1.四個(gè)基本事實(shí)及基于基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論

(1)四個(gè)基本事實(shí)及其表示

①基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

②基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).

③基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.

④基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

(2)四個(gè)基本事實(shí)的作用

基本事實(shí)1：①確定一個(gè)平面；②判斷兩個(gè)平面重合；③證明點(diǎn)、線共面.

基本事實(shí)2：①判斷直線是否在平面內(nèi)，點(diǎn)是否在平面內(nèi)；②用直線檢驗(yàn)平面.

基本事實(shí)3：①判斷兩個(gè)平面相交；②證明點(diǎn)共線；③證明線共點(diǎn).

基本事實(shí)4：①判斷兩條直線平行.

(3)基本事實(shí)1和2的三個(gè)推論

推論自然語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言

經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線

點(diǎn)A比Q04與力共面于

推論1外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平/V

面.平面％且平面唯一.

經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只aC\b=P0a與b共面于

推論2

有一個(gè)平面.

平面%且平面唯一.

經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只直線al1b臺(tái)直線a,b共

推論3

有一個(gè)平面./_J

面于平面Q,且平面唯一.

2.等角定理

(1)自然語(yǔ)言：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

(2)符號(hào)語(yǔ)言：如圖⑴⑵所示，在N/O8與中，OA//O'A',OB//O'B',則乙4。3=/4。5

【知識(shí)點(diǎn)2共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明方法】

1.共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明

(1)證明共面的方法：先確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi).

(2)證明共線的方法：先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上.

(3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn).

【知識(shí)點(diǎn)3平面分空間問(wèn)題】

1.平面分空間問(wèn)題

一個(gè)平面將空間分成兩部分，那么兩個(gè)平面呢?三個(gè)平面呢？

(1)兩個(gè)平面有兩種情形：

①當(dāng)兩個(gè)平面平行時(shí)，將空間分成三部分，如圖(1)；

②當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，將空間分成四部分，如圖(2).

(1)(2)

(2)三個(gè)平面有五種情形：

①當(dāng)三個(gè)平面互相平行時(shí)，將空間分成四部分，如圖8(1)；

②當(dāng)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與它們相交時(shí)，將空間分成六部分，如圖(2)；

③當(dāng)三個(gè)平面相交于同一條直線時(shí)，將空間分成六部分，如圖(3)；

④當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線相交于同一點(diǎn)時(shí)，將空間分成八部分，如圖(4)；

⑤當(dāng)三個(gè)平面相交于三條直線，且三條交線互相平行時(shí)，將空間分成七部分，如圖(5).

(1)(2)(3)(4)(5)

【知識(shí)點(diǎn)4空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系】

1.空間中直線與直線的位置關(guān)系

(1)三種位置關(guān)系

我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.于是，空間兩條直線的位置關(guān)系有三種:

(北而百緯J相交直線：在同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

＜八［平行直線：在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).

［異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn).

(2)異面直線的畫(huà)法

為了表示異面直線。力不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托，如圖所示.

2.空間中直線與平面的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種，具體如下:

位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)

直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

直線與平面相交aC\a—A有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

-------a

直線與平面平行aIIa沒(méi)有公共點(diǎn)

3.空間中平面與平面的位置關(guān)系

(1)兩種位置關(guān)系

兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有以下兩種，具體如下:

位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)

口

兩個(gè)平面平行all。沒(méi)有公共點(diǎn)

口

兩個(gè)平面相交三aC\B=a有一條公共直線

(2)兩種位置關(guān)系

平行平面的畫(huà)法技巧

畫(huà)兩個(gè)互相平行的平面時(shí)，要注意使表示平面的兩個(gè)平行四邊形的對(duì)應(yīng)邊平行.

4.異面直線所成的角

(1)定義：已知a,b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)。作直線d//a,b'Hb,把"與〃所成的角叫做

異面直線a與b所成的角(或夾角).

(2)范圍：.

【方法技巧與總結(jié)】

1.證明點(diǎn)共線與線共點(diǎn)都需用到基本事實(shí)3.

2.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于異面直線所

成的角，也可能等于其補(bǔ)角.

?舉一反三

【題型1平面的基本性質(zhì)及推論】

【例1】(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))給出下列四個(gè)結(jié)論:

①經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面；

②經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面；

③經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

④經(jīng)過(guò)一條直線和一個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)點(diǎn)、線、面的基本事實(shí)及推論進(jìn)行判斷即可.

【解答過(guò)程】根據(jù)基本事實(shí)以及推論，易知①②正確.

若三點(diǎn)共線，則經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)，故③錯(cuò)誤.

若點(diǎn)在直線外，則確定一個(gè)平面，若點(diǎn)在直線上，則可有無(wú)數(shù)個(gè)平面，故④錯(cuò)誤.

即正確的命題有2個(gè)，

故選：B.

【變式1-1]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法正確的是（）

A.三點(diǎn)確定一個(gè)平面B.四邊形確定一個(gè)平面

C.三角形確定一個(gè)平面D.一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面

【解題思路】利用立體幾何中的基本事實(shí)確定平面的方法求解即可.

【解答過(guò)程】三個(gè)不共線的點(diǎn)確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，

四邊形存在空間四邊形，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，

三角形的頂點(diǎn)是三個(gè)不共線的點(diǎn)，確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)C正確，

當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)無(wú)法確定一個(gè)平面，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式1-2]（23-24高三下?云南昆明?階段練習(xí)）己知a,0是兩個(gè)不同的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（）

A.若an/?=2,26戊且46￡,則461

B.若4B,C是平面a內(nèi)不共線三點(diǎn)，A&p,B&p,則

C.若直線aua,直線bu°,則。與6為異面直線

D.若8是兩個(gè)不同的點(diǎn)，46a且Bea,則直線ABua

【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合平面的性質(zhì)以及相關(guān)基本事實(shí)逐項(xiàng)分析判斷.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,因?yàn)?6a且4€3，則/是平面a和平面口的公共點(diǎn)，

又因?yàn)閍C0=Z,由基本事實(shí)3可得4故A正確；

對(duì)于B,由基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，

又因?yàn)?6。，且/,B,Cea,則故B正確：

對(duì)于C,由于平面a和平面0位置不確定，

則直線a與直線b位置亦不確定，可能異面、相交、平行、重合，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，

那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，故D正確.

故選：C.

【變式1-3］（23-24高一下?河南安陽(yáng)?階段練習(xí)）下列命題正確的是（）

A.過(guò)三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面

B.如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線不一定共面

C.四邊形為平面圖形

D.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線

【解題思路】根據(jù)平面的基本性質(zhì)可判斷A,D,由推論可判斷B,根據(jù)特例可判斷C.

【解答過(guò)程】根據(jù)公理知，過(guò)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；

因?yàn)閮蓷l平行直線確定一個(gè)平面，而兩個(gè)交點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，故這條直線也在這個(gè)平面內(nèi)，所以三條直

線共面，故B錯(cuò)誤；

由空間四邊形不是平面圖形可知，C錯(cuò)誤；

由公理知，兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線，故D正確.

故選：D.

【題型2點(diǎn)共線、點(diǎn)（線）共面、線共點(diǎn)問(wèn)題】

【例2】（2024?吉林?模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體4BCD-4再也1。1中，直線&C與平面注當(dāng)小的交點(diǎn)為M,0為線段

當(dāng)小的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.4M。三點(diǎn)共線B.四點(diǎn)異不共面

C.四點(diǎn)共面D.四點(diǎn)共面

【解題思路】由長(zhǎng)方體性質(zhì)易知441,4C四點(diǎn)共面且。是異面直線，再根據(jù)M與&C、面ACCr

乙、面ABrDr的位置關(guān)系知M在面4CC1&與面AB1D1的交線上，同理判斷。、A,即可判斷各選

項(xiàng)的正誤.

【解答過(guò)程】

因?yàn)?4i〃CCi,

則4&,Ci，C四點(diǎn)共面.

因?yàn)镸e/liC,

則Me平面ACCrAr,

又Me平面AB^Dx,

則點(diǎn)M在平面4CC1&與平面的交線上，

同理，。、4也在平面ACC1&與平面AB1D1的交線上，

所以4M。三點(diǎn)共線；

從而M.O.Ax.A四點(diǎn)共面，都在平面ACC^Ax內(nèi)，

而點(diǎn)3不在平面ACC1A1內(nèi)，

所以M,。,B四點(diǎn)不共面，故選項(xiàng)B正確；

民當(dāng),。,三點(diǎn)均在平面881。1。內(nèi)，

而點(diǎn)A不在平面BB1D1D內(nèi)，

所以直線/。與平面BBiOi。相交且點(diǎn)。是交點(diǎn)，

所以點(diǎn)/不在平面8當(dāng)。1。內(nèi),

即四點(diǎn)不共面，

故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

BCIID1&,且BC=DM

所以BCDMi為平行四邊形，

所以C4i,BDi共面，

所以B,D1cM四點(diǎn)共面，

故選項(xiàng)D正確.

故選:C.

【變式2-1］（23-24高一下?江蘇?階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個(gè)點(diǎn)

不共面的是（）

【解題思路】利用空間中平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化可判斷ABC正確，根據(jù)異面直線的定義可判斷D錯(cuò)誤.

【解答過(guò)程】在A圖中，分別連接

由正方體可得四邊形4BCD為矩形，則4B〃CD,

因?yàn)镻,S為中點(diǎn)，故PS〃4B,貝iJPS〃QR,所以P,S,R,Q四點(diǎn)共面.

在B圖中，設(shè)E,F為所在棱的中點(diǎn)，分別連接PS,SR,REFQ,EQ,PE,

Q

由A的討論可得PS〃ER,故P,S,E,R四點(diǎn)共面，

同理可得ER〃QF,故PS〃QF,同理可得EP〃RF,SR//EQ

故FC平面PRS,Q6平面PRS,所以P,S,R,Q,E尸六點(diǎn)共面.

在C圖中，由P,Q為中點(diǎn)可得PQ〃48,同理RS〃4B,

在D圖中，PQ,RS為異面直線，四點(diǎn)不共面.

故選：D.

【變式2-2]（2024?重慶?二模）如圖所示，在空間四邊形/8C。中，E,尸分別為的中點(diǎn)，G,H分

別在BC,C。上，且86:6。=?！?"。=1:2,則下面幾個(gè)說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（）

①￡,F,G,〃四點(diǎn)共面；②EG〃FH;③若直線EG與直線FH交于點(diǎn)尸，則P,A,。三點(diǎn)共線.

A.0B.1C.2D.3

【解題思路】推導(dǎo)出E/7/8D,GH//BD,從而EF//GH,由此能證明E,F,G,“四點(diǎn)共面；EFGH,從

而直線EG與直線尸〃必相交，設(shè)交點(diǎn)為尸，證明尸點(diǎn)在直線4C上.

【解答過(guò)程】如圖所示，

E,P分別為AB,4D的中點(diǎn)，.?.EF〃BD,EF=^BD,

G,H分別在8C,CD上，且BG:GC=DH:HC=1:2,:.GH//BD,GH=|B。,

.■.EF//GH,則E,F,G,〃四點(diǎn)共面，說(shuō)法①正確；

■■GH>EF,四邊形FEGH是梯形，EG〃FH不成立，說(shuō)法②錯(cuò)誤；

若直線EG與直線FH交于點(diǎn)P,則由PCEG,EGu平面4BC,得Pe平面4BC,

同理pe平面acD,又平面4Bcn平面a。。=ac,PEAC

???則尸，A,C三點(diǎn)共線，說(shuō)法③正確；

說(shuō)法中正確的有2個(gè).

故選：C.

【變式2-3］（2024?四川南充?三模）如圖，在直三棱柱28。一4/1的中，AC1BC,AC=BC=AA1,E、

F、G、X分別為力B、BBi、CCi、4C的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

^ir==----------Q

A.41C1G”

B.E、F、G、”四點(diǎn)共面

C.設(shè)BC=2,則平面EFCi截該三棱柱所得截面的周長(zhǎng)為1+遮+2返

D.EF、GH、441三線共點(diǎn)

【解題思路】根據(jù)線線平行及菱形對(duì)角線垂直判斷A,根據(jù)兩直線平行確定平面判斷B,作出截面四邊形,

根據(jù)截面邊長(zhǎng)的大小判斷C,利用相交平面的公共點(diǎn)共線得三點(diǎn)共線可判斷D.

【解答過(guò)程】如圖，

連接4C1/1C,由H,G分別為C4CQ中點(diǎn)，可得HG〃aj,

由2C=8。=441可知，側(cè)面力&C1C為菱形，

所以41C14C1，所以41C1GH,故A正確；

連接HE,GF,因?yàn)椤?、F、G、〃分別為48、BB「CC^AC的中點(diǎn),

所以HE〃BC,GF//BC,所以GF〃HE,所以E、F、G、〃四點(diǎn)共面，故B正確；

延長(zhǎng)FE交4遇的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，連接PCi，交4C于Q點(diǎn)，連接QE,CiF,

設(shè)FE,FCi確定平面為a,則P,Qea,所以PC】ua,所以JQ,QEua,

則易知三棱柱的截面四邊形為FEQCi，在RtaCiaF中，C/=V22+12=G

在RtZkBEF中，EF=J（V2）2+I2=V3,而RtZXAEH中，QE>EH=1,

而射（2>的//=412+22=店,所以截面的周長(zhǎng)大于1+遮+2而，故C錯(cuò)誤；

由B知，GF〃HE^HE^GF,所以梯形的兩腰EF、GH所在直線必相交于一點(diǎn)P,

因?yàn)镻C平面414881，P，e平面&aCCi，

又平面力MBB1C平面A/CCi=441，所以遇，所以P'與P重合，

即EF、GH、三線共點(diǎn)于P,故D正確.

故選：C.

【題型3等角定理】

【例3】（23-24高一?全國(guó)?課后作業(yè)）給出下列命題：

①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；

②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等；

③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

其中正確的命題有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【解題思路】對(duì)于①，如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，據(jù)此判斷;

對(duì)于②，根據(jù)等角定理判斷；對(duì)于③，空間兩條直線的垂直包括異面垂直，此時(shí)兩個(gè)角有可能不相等且不

互補(bǔ)，據(jù)此判斷.

【解答過(guò)程】對(duì)于①，這兩個(gè)角也可能互補(bǔ)，故①錯(cuò)誤；根據(jù)等角定理，②顯然正確；

對(duì)于③，如圖所示，

B

P

A

BC1PB,ACLPA,ZJC5的兩條邊分別垂直于ZJP2的兩條邊，但這兩個(gè)角不一定相等，也不一定互補(bǔ)，故

③錯(cuò)誤.所以正確的命題有1個(gè).

故選：B.

【變式3-1］（23-24高一下?全國(guó)?課后作業(yè)）已知AB〃PQ,BC//QR,乙4BC=30。，則NPQR=（）

A.30°B.30?；?50°

C.150°D.30°或120°

【解題思路】根據(jù)等角定理，即可得到結(jié)論.

【解答過(guò)程】24BC的兩邊與NPQR的兩邊分別平行，

根據(jù)等角定理易知APQR=30。或150。.

故選：B.

【變式3-2］（23-24高一?全國(guó)?課前預(yù)習(xí)）在三棱錐P—N8C中，PBLBC,E,D,尸分別是PA,AC

的中點(diǎn)，貝吐。所=（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解題思路】由￡刀,尸分別為的中點(diǎn)，得到DE"PB,EF“BC,結(jié)合題意得出即可求解.

【解答過(guò)程】如圖所示，因?yàn)镋,D,F分別為4B,P44C的中點(diǎn)，可得DE//PB,EF〃BC,

又因?yàn)镻8_LBC,所以。E_LEF,所以NDEF=90°.

故選：D.

【變式3-3］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）兩個(gè)三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)三

角形（）

A.全等B.相似

C.僅有一個(gè)角相等D.無(wú)法判斷

【解題思路】根據(jù)等角定理，結(jié)合題意進(jìn)行判斷.

【解答過(guò)程】由題意知，根據(jù)等角定理，這兩個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,

所以這兩個(gè)三角形相似.

故選：B.

【題型4平面分空間問(wèn)題】

【例4】(2023?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè))三個(gè)不互相重合的平面將空間分成n個(gè)部分，貝M不可能是(

A.4B.5C.6D.7

【解題思路】作出圖形，可得出三個(gè)不互相重合的平面將空間所分成的部分?jǐn)?shù)，即可得出n的值.

【解答過(guò)程】按照三個(gè)平面中平行的個(gè)數(shù)來(lái)分類(lèi)：

(1)三個(gè)平面兩兩平行，如圖1,可將空間分成4部分；

(2)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平行平面相交，如圖2,可將空間分成6部分；

1

4

圖1圖2

(3)三個(gè)平面中沒(méi)有平行的平面:

(i)三個(gè)平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3,可將空間分成7部分;

(ii)三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，如圖4,可將空間分成8部分.

圖4

(iii)三個(gè)平面兩兩相交且交線重合，如圖5,可將空間分成6部分;

圖5

綜上，可以為4、6、7、8部分，不能為5部分,

故選：B.

【變式4-1]（23-24高二上?四川樂(lè)山?階段練習(xí)）三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分的示意圖是（）

【解題思路】根據(jù)空間中平面位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.

【解答過(guò)程】對(duì)于A,三個(gè)平面將空間分成4個(gè)部分，不合題意:

對(duì)于B,三個(gè)平面將空間分成6個(gè)部分，不合題意;

對(duì)于C,三個(gè)平面將空間分成7個(gè)部分，符合題意;

對(duì)于D,三個(gè)平面將空間分成8個(gè)部分，不合題意.

故選：C.

【變式4-2]（23-24高一下?浙江?期末）空間的4個(gè)平面最多能將空間分成（）個(gè)區(qū)域.

A.13B.14C.15D.16

【解題思路】根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行歸納推理.前三個(gè)平面與第4個(gè)平面相交，最多有三條交線，這三條交

線把第四個(gè)平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四個(gè)平面與前三個(gè)平面所分空間部分的截面，這個(gè)

截面把所在空間部分一分為二，由此可得4個(gè)平面最多能將空間分成的區(qū)域數(shù).

【解答過(guò)程】一個(gè)平面把空間分成2部分，兩個(gè)平面最多把空間分面4部分，3個(gè)平面最多把空間分布8個(gè)

部分，前三個(gè)平面與第4個(gè)平面相交，最多有三條交線，這三條交線把第四個(gè)平面，最多分成7部分，這

里平面的每一部分就是第四個(gè)平面與前三個(gè)平面分空間部分的截面，這個(gè)截面把所在空間部分一分為二，

這樣所有空間部分的個(gè)數(shù)為8+7=15.

故選：C.

【變式4-3]（2024?四川內(nèi)江?三模）三個(gè)不互相重合的平面將空間分成幾個(gè)部分，貝歷的最小值與最大值之

和為（）

A.11B.12C.13D.14

【解題思路】求出三個(gè)不同平面分空間所成的部分?jǐn)?shù)即可得解.

【解答過(guò)程】按照三個(gè)平面中平行的個(gè)數(shù)來(lái)分類(lèi)：

(1)三個(gè)平面兩兩平行，如圖1,可將空間分成4部分；

(2)兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平行平面相交，如圖2,可將空間分成6部分:

1

4

圖1圖2

(3)三個(gè)平面中沒(méi)有平行的平面:

(i)三個(gè)平面兩兩相交且交線互相平行，如圖3,可將空間分成7部分；

(ii)三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，如圖4,可將空間分成8部分;

(iii)三個(gè)平面兩兩相交且交線重合，如圖5,可將空間分成6部分，

圖3圖4圖5

所以三個(gè)不平面將空間分成4、6、7、8部分，九的最小值與最大值之和為12.

故選：B.

【題型5截面問(wèn)題】

【例5】(2023?四川南充?一模)如圖,正方體4BCD-力i/CiDi的棱長(zhǎng)為2,E,尸分別為BC,CQ的中點(diǎn),

則平面4EF截正方體所得的截面面積為()

39

A.-B.-C.9D.18

【解題思路】根據(jù)E,尸分別是BC,CCi的中點(diǎn)，得到EFIIBCi，利用正方體的結(jié)構(gòu)特征，有4%||3附，從

而有EFIIADi，由平面的基本性質(zhì)得到4。1萬(wàn)尸在同一平面內(nèi)，截面是等腰梯形，再利用梯形面積公

式求解.

【解答過(guò)程】由題知連接BCi，AD1,%F,如圖所示

因?yàn)镋,F分別是BC,CCi的中點(diǎn)，所以EFIIBCi，

在正方體中AD1IIBQ,所以EF||皿,

所以4Di,E,F在同一平面內(nèi)，

所以平面2EF截該正方體所得的截面為平面EFD遇，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,

所以EF=V^,AD、=2笆,D-^F=AE=V22+l2=V5,

則E到ADi的距離為等腰梯形EFDM的高為=乎，

所以截面面積為S=*2或+&）x苧=,故B正確.

故選：B.

【變式5-1］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，￡為棱5c的中點(diǎn),

用過(guò)點(diǎn)41，E,Q的平面截正方體，則截面周長(zhǎng)為（）

C.2V2+2V5D.3V2+2^/3

【解題思路】作出正方體的截面圖形，求出周長(zhǎng)即可.

【解答過(guò)程】

如圖，取48的中點(diǎn)G,連接GE,&G,AC.

因?yàn)镋為8C的中點(diǎn)，所以GE〃/IC,GE=\AC,

又4公〃CCI，A4i=CCi，

所以四邊形accMi為平行四邊形，

所以2C〃&0,AC=A1C1,

所以41CJ/GE,A1C1=2GE,

所以用過(guò)點(diǎn)E,好的平面截正方體，所得截面為梯形力iCiEG,

其周長(zhǎng)為2V^+V5++V5-3y/2+2V5.

故選：A.

【變式5-2］（2024?上海黃浦?二模）如圖，已知P,Q,R分別是正方體ZBCD-AiBiCiDi的棱力B,BC和C/1的

中點(diǎn)，由點(diǎn)P,Q,R確定的平面6截該正方體所得截面為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【解題思路】根據(jù)題意，取4小的中點(diǎn)T,441的中點(diǎn)M,CCi的中點(diǎn)S,連接PMTM,RS,QS,可得過(guò)P,Q,R的

截面圖形.

【解答過(guò)程】解：如圖，取4外的中點(diǎn)7,

441的中點(diǎn)M，CCi的中點(diǎn)S,連接PM,TM,RS,QS,

由正方體的性質(zhì)可知力iCi〃MS〃4C,

由中位線性質(zhì)可知PQ〃4C,R77//11C1,

所以，PQ//MS//RT,

所以，由點(diǎn)P,Q,R確定的平面￡即為截面PQSRTM,其為六邊形.

故選：D.

【變式5-3］（2023?天津和平?三模）已知正方體4BCD-4/傳1。1的棱長(zhǎng)為6,點(diǎn)E,F分別在棱小乙，D?

上，且滿(mǎn)足翳=霽=］點(diǎn)。為底面4BCD的中心，過(guò)點(diǎn)E,F,。作平面EFO,則平面EF。截正方體

4BCD-所得的截面面積為（）

A.8V22B.6V22C.4V22D.2V22

【解題思路】由于上下底平行，則可得平面EFO與上下底面的交線平行，則可得EF為平面EF。與上底面公歷

的。1的交線，AC為平面EF。與下底面的交線，則梯形EFC4為平面截正方體的截面，可證得梯形EFC2

為等腰梯形，根據(jù)已知的數(shù)量關(guān)系求解即可.

【解答過(guò)程】連接力GBD,4心,2C與BO交點(diǎn)即為。，

因?yàn)閊==所以EM&Ci，

以17113

因?yàn)?1C1MC,所以EFL4C,

所以E,F,O/,C共面，

所以平面EF。截正方體力BCD-a/iCiDi所得的截面為梯形EFC4

因?yàn)檎襟w4BCD-41B1C1D1的棱長(zhǎng)為6,且微牛==g

口1/11zyi5

所以4c=7AB2+BC2=V62+62=6立，

在RtZXDiEF中，DrE=DrF=2,則EF=JD、E2+。儼=2魚(yú),

在RtZk44iE中,ArE==6-2=4,則

222

AE=yjAA1+A1E=V6+4=2y/13,

在RtZ\"iF,CiF=DrCr-DrF=6-2=4,貝！J

CF=yjccl+QF2=V62+42=2V13,

過(guò)E作EM_L4C于M,貝必IM=絲盧=先但/=2魚(yú)，

所以EM=A/4以2—4M2=J(2V13)2-(2V2)2=2VIT,

所以等腰梯形EFC4的面積為

|x(FF+/lC)xEM=|x(2V2+6V2)x2VTT=8V22,

故選：A.

【例6】（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）如下圖，P是正方體力BCD-4/1射。1面對(duì)角線小Ci上的動(dòng)點(diǎn)，下列直線中,

始終與直線BP異面的是（）

A.直線DDiB.直線BiCC.直線D.直線4C

【解題思路】利用正方體的特征及異面直線的定義一一判定即可.

【解答過(guò)程】當(dāng)尸位于&C1中點(diǎn)時(shí)，易知Pe/Di，由正方體的特征可知四邊形B&DiD為平行四邊形，此

時(shí)BP、DDiu面BBiDiD,故A錯(cuò)誤；

當(dāng)尸與C1重合時(shí)，此時(shí)BP、B]Cu面B&CiC,故B錯(cuò)誤；

當(dāng)尸與G重合時(shí)，由正方體的特征可知四邊形48的。1為平行四邊形，此時(shí)BP〃/1小，故C錯(cuò)誤；

由正方體的特征可知四邊形4CC1&為平行四邊形，

而B(niǎo)任平面ACCMi，Pe平面"CiA，ACZ/A-iCx,AC,人心u平面"的陽(yáng)BPnA1C1-P,

故力C與BP始終異面，即D正確.

故選：D.

【變式6-1］（23-24高一下?河北?期中）如圖，這是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，若將其還原成正方體，下列

直線中，與直線2D是異面直線的是（）

H-------G

~D~C-

FI---------------------

AB

-------'F

A.FGB.EHC.EFD.BC

【解題思路】根據(jù)正方體展開(kāi)圖得到直觀圖，即可判斷.

【解答過(guò)程】由平面展開(kāi)圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，與直線4。是異面直線的是EF,

其中4￡）〃BC〃EH〃FG,所以an與BC共面、an與EH共面、a。與“共面.

【變式6-2］（2024?山東濰坊?模擬預(yù)測(cè)）學(xué)校手工課上同學(xué)們分組研究正方體的表面展開(kāi)圖.某小組得到

了如圖所示表面展開(kāi)圖，則在正方體中，AB、CD、EF、GH這四條線段所在的直線中，異面直線有（）

A.1對(duì)B.3對(duì)C.5對(duì)D.2對(duì)

【解題思路】作出正方體的圖形，結(jié)合異面直線的定義判斷可得出結(jié)論.

【解答過(guò)程】作出正方體的圖形如下圖所示：

貝MB與CD、AB與GH、EF與是異面直線，共3對(duì).

故選：B.

【變式6-3］（2024?四川宜賓?二模）四棱錐P-4BCD所有棱長(zhǎng)都相等，M、N分別為P4CD的中點(diǎn)，下列

說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.MN與PD是異面直線B.MN〃平面PBC

C.MN//ACD.MNLPB

【解題思路】畫(huà)出圖形，利用異面直線以及直線與平面平行的判定定理，判斷選項(xiàng)A、B、C的正誤，由線

線垂直可判斷選項(xiàng)D.

【解答過(guò)程】由題意可知四棱錐P-ABC。所有棱長(zhǎng)都相等，

“、N分別為P4CD的中點(diǎn)，MN與PD是異面直線，A選項(xiàng)正確；

取PB的中點(diǎn)為H,連接MH、HC,

四邊形力BCD為平行四邊形，AB//CDS.AB=CD,

???M、H分別為24、PB的中點(diǎn)，則MH//4B且=

為CD的中點(diǎn)，CN//MHS.CN-MH,則四邊形CHMN為平行四邊形，

MN//CH,且MNC平面PBC,CHu平面PBC,MN〃平面PBC,B選項(xiàng)正確；

若MN//AC,由于CH〃MN,貝〃4C,事實(shí)上2CnCH=C,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

???PC=BC,"為PB的中點(diǎn)，CH1PB,■■■MN//CH,.-.MN1PB,D選項(xiàng)正確.

p

故選：c.

【題型7異面直線所成的角】

【例7】（2024?新疆喀什?三模）已知底面邊長(zhǎng)為2的正四棱柱4BCD-4道停1。1的體積為16,則直線4C與

41B所成角的余弦值為（）

A*B.漁C.逗D.亞邁

551010

【解題思路】如圖，確定N4CD1（或其補(bǔ)角）為直線AC與所成的角，求出CCi，進(jìn)而求解.

【解答過(guò)程】如圖,連接皿皿,則占8〃0道，取2c的中點(diǎn)0,連接。01，則。DilZC,

所以N2CD1（或其補(bǔ)角）為直線AC與4中所成的角，

又正四棱柱的體積為16,則該棱柱的高為CCi=懸=4,

22

又"=2y/2,AD1=CD1=V44-2=2V5,

所以

COSNACOI1=CD12V510

即直線AC與4#所成角的余弦值為筆.

故選：C.

【變式7-1］（2024?云南?二模）如圖，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，E、F、M、N分別是D%、。停1、BC、B

%的中點(diǎn)，則異面直線即與所成角的大小為（）

71

C.§D.￡

【解題思路】在正方體中，作出異面直線E尸與所成的角，利用定義法求解即得.

【解答過(guò)程】在正方體4BCD—4再也1。1中，連接BiC/iD/iCi,CiD,

由2181〃48〃。。/止1=43=。。，得四邊形4中修。為平行四邊形，B\C〃A、D,

由E、F、M.N分別是。。1、DiCi、BC、BBi的中點(diǎn),得MN〃B\C”A\D,EF//CXD,

因此/&DC1是異面直線EF與MN所成的角或其補(bǔ)角,

在△4中，A^D=A.\C\=C^D,因止匕NAiDC[=],

所以異面直線EF與所成的角是與

故選：C.

【變式7-2]（2024?陜西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱48。一4$1小中，AB=AD=AAlt^ABD=45°,P

為當(dāng)。1的中點(diǎn)，則直線PB與A以所成的角為（）

C.60°D.90°

【解題思路】E是30中點(diǎn)，連接EO1ME,易知乙為直線PB與4%所成角的平面角，根據(jù)已知條件及余

弦定理求其余弦值，即可得N4D1E的大小.

【解答過(guò)程】若E是BD中點(diǎn)，連接EDiHE,

直三棱柱ABD-ABiDi中PDJ/BE且PZ%=BE,貝國(guó)5口止為平行四邊形，

所以PB〃/E,故直線PB與4外所成角即為N2D1E,

令4B=40=441=2,又4ABD=45。,則N4DB=45。且4E1BD,則4E=魚(yú)，

又AD、=2五,D、E=瓜,故cosN4DiE=^|耨泮=亨，又乙e（0,兀），

所以乙4。亞=30。.

故選：A.

【變式7-3］（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正三棱柱2BC-4i81cl中，441=48,點(diǎn)。是線段4〃上

靠近乙的三等分點(diǎn)，則直線與BiC所成角的余弦值為（）

A叵BCD—

"10-10-20'20

【解題思路】利用平移法作出異面直線射。與&C所成角，利用余弦定理解三角形即可求得答案.

【解答過(guò)程】

如圖所示，不妨取44i=4B=3,分別取棱CCi，C/i，CB上點(diǎn)M,N,K,

使得CiM=CiN=CK=2,由C1M//4D,且CiM=4D,

所以四邊形4DC1M為平行四邊形，所以DC1//4M,

在△C\CBi中，由黑'=器，導(dǎo)MN〃CBI，

所以故乙4MN（或其補(bǔ)角）為異面直線Ci。與8停所成角，

因?yàn)镹K〃BBi，所以NK1底面ABC,而4Ku底面ABC,所以NK14K,

在△力CK中，AK=y/AC2+CK2-2AC-CK-cos60°=V9+4-6=V7,

所以4N=7NK2+力K2=V9T7=4,

AM2+MN2-AN210+8-16西

在△■人中,cosZ-AMN=

-2AM-MN-2-V10-2V2-20

故異面直線的。與B1C所成角的余弦值為嘉

故選：D.

【題型8空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系】

【例8】（2024?上海長(zhǎng)寧?二模）己知直線a力和平面a,則下列判斷中正確的是（）

A.若a〃a力〃a,則￡1〃》B.若a〃b,6〃a,貝！|a〃a

C.若a//a,61a,貝！Jal6D.若al6,b//a,貝!Jala

【解題思路】根據(jù)空間中直線，平面的位置關(guān)系分析判斷各個(gè)選項(xiàng).

【解答過(guò)程】對(duì)于A,由0/a,b//a,貝加與b可能平行，相交，異面，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由"/6,b//a,則＜2〃0:或aua,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由可/a,bla,則a1b,故C正確；

對(duì)于D,由a16,b//a,貝!Ja〃?；騛ua或a1a,故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式8-1]（2024?浙江紹興?三模）設(shè)加，"是兩條不同的直線，a,夕是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中

正確的是（）

A.若al/?,m||a,貝!JmlS

B.若7nlS，mla,n||a,則九II/?

C.若mla,n1/?,m||n,則al/?

D.若=九||a,幾II/?,則THIIri

【解題思路】由空間中的線線，線面，面面間的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷即可.

【解答過(guò)程】若a~L/?,m||a,則?n||0或mu/?,所以A錯(cuò)；vml/?,mla,a||/?,n||a,.??九||/?或

nuS，所以B錯(cuò)；

若mJ.a,nip,m||n,則a||6，所以C錯(cuò)；若an/?=TH,n||a,n||P，則九與兩面的交線m平行，即

m||n,故D對(duì).

故選：D.

【變式8-2]（2024?河南?三模）已知血,九為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列命題為真命題的

是（）

A.若mua,ncct,n///?,貝!Ja〃/?

B.若m〃a,riuq,則7n〃7i

C.若zi//m,m（^a,nua,貝!!m//優(yōu)

D.若a]",mua,nu0,則相〃九

【解題思路】由空間中直線與直線，直線與平面，平面平面的位置關(guān)系逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【解答過(guò)程】A：由THua刀ua,TH〃夕，幾〃夕，可知a、/?可能平行或相交，A錯(cuò)誤；

B：由m〃a,九ua,可知TH、汀可能平行或異面，B錯(cuò)誤；

C：由7i〃zn,mc^a,nua,可知m〃a,C正確；

D：由?！?，mua,nu0,可知m、九可能平行或異面，D錯(cuò)誤.

故選：C.

【變式8?3】（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知血、幾是兩條不同的直線，a、￡、y是三個(gè)不同的平面.下列說(shuō)法

中正確的是（）

A.若m||a,m||0,則aII/?

B.若THIIa,n||a,則zn||n

C.若a1/?,/?!y,則aIIy

D.若7nla,ml/?"IIy,則夕IIy

【解題思路】由線線，線面，面面之間的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.

【解答過(guò)程】對(duì)于選項(xiàng)A：若6||atm||B，則a與夕平行或相交，故A不正確;

對(duì)于選項(xiàng)B：若zn||a,n||a,則m與幾可平行、異面或相交，故B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：若a_L/5/J.y,則a||y或any=2,故C不正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：若mla,7n1氏則a||/?,又a||y,則/?||y,即D正確.

故選：D.

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）在空間中，下列命題是真命題的是（）

A.三條直線最多可確定1個(gè)平面B.三條直線最多可確定2個(gè)平面

C.三條直線最多可確定3個(gè)平面D.三條直線最多可確定4個(gè)平面

【解題思路】根據(jù)平面的性質(zhì)判斷即可.

【解答過(guò)程】在空間中，三條直線最多可確定3個(gè)平面，

例如：三棱錐S-4BC中的三個(gè)側(cè)面.

故選：C.

2.（2024?上海?三模）在空間中，2、方為異面直線”是％、6不相交”的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【解題思路】利用異面直線的定義及充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【解答過(guò)程】直線a、6為異面直線，則直線a、6不相交，

反之，直線a、6不相交，直線a、6可能平行，也可能是異面直線，

所以在空間中，％、6為異面直線”是％、6不相交”的充分非必要條件.

故選：A.

3.（2024高一?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí)）平面a,y不能將空間分成（）

A.5部分B.6部分

C.7部分