2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練：一元二次函數(shù)、方程和不等式（含解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練一元二次函數(shù)、方程和不等式

本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。

3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書(shū)寫(xiě)在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效。

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.關(guān)于X的一元二次不等式（x—2）［（a—l）x+（2—a）］>0,當(dāng)0<。<1時(shí)，該不等式的解集為（）

a-2]

A.{x|x>2或x|2<x<

a—1a-1J

C.{x|x<2或D.|A-|^1<X<2!

2.已知二次函數(shù)y=（左-3）f+2x+l的圖象與x軸有交點(diǎn)，則上的取值范圍是（）

A.左<4B.^<4

C.左<4且左w3D.左W4且左W3

3.不等式—%2+6%+27>0的解集為（）

A.1x|-3v%v9}B.1%|-9vxv3}

3或x>9}9或%>3}

4.不等式（Q—2）f+2（Q—2）x—4N0的解集為0，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.{4一2<a<2^B.{《一2<〃v2}

C.{4〃<一2或aN2}D.^a\a<2}

a9

5.若《1>0，”>0,且3ni+2〃-1=0,則—I■一的最小值為（）

mn

A.20B.12C.16D.25

6.設(shè)xeR，則“—3<%<3”是“無(wú)2+2%_3<0”成立的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.設(shè)集合A={—2,—1,0』,2},3=例d+x—2<o},則AB=()

A.{-2,-1,0}B.{-l,0}C.{-1,0,1}D.{0,l,2}

8.已知全集。=R，集合A={x|3x—6>0}，B={x|x2-5x+4<0)JO(^A)B=()

A(x|l<%<2}B-{^|2<%<4}C.1x|l<%<2}D.|x|x>l}

二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0

分.

9.已知。>0,8>0，a+2/?=2，則下列結(jié)論正確的有()

A.ab的最大值LB/2+)2的最小值為1

2

C+2的最小值2D的最小值號(hào)

ab22a+ba+3b5

10.下列說(shuō)法中正確的是()

A.若〃>Z?，則,<'B.若匕<〃,則〃</

ab

C若〃>/?>c,則(tz-c)2>(Z?-c)2D.若&<&，則a<b

711?

11.已知正數(shù)〃力滿足〃>4+七/2±+±,則()

abab

]]2J311

A.cib3B.+Z?)212C.—I—2------D.—i—<\/2

ab3ab

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知不等式％2_2依+2>0對(duì)XER恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍__.

12

13.若i〉0，y>0，且x+2y=4，則—I—的最小值為.

xy

14.已知根,〃wR,定義運(yùn)算切n=mn+2m+n,則(x—2)v0的解集為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知二次函數(shù)y=ax2+bx—a+2-

(1)若關(guān)于x的不等式依2+樂(lè)_〃+2>0的解集是{%[-1<%<2},求實(shí)數(shù)a,b的值;

（2）右a>O，b=2,解關(guān)于x的不等式ax2+bx—a+2>0-

16.如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形的休閑場(chǎng)所，它的主體造型平面圖是由兩個(gè)相同的矩形ABC。和

EFGH構(gòu)成的面積為ZOOM?的十字形地域。計(jì)劃在正方形MNP。上建一座花壇，造價(jià)為4200元/n?；

在四個(gè)相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價(jià)為210元/n?；再在四個(gè)空角（圖中四個(gè)

三角形）上鋪草坪，造價(jià)為80元/n?設(shè)總造價(jià)為S（單位：元），長(zhǎng)為x（單位：米）。當(dāng)x為

何值時(shí)，S最??？并求出這個(gè)最小值。

17.在“基本不等式”應(yīng)用探究課中，老師提出了下列問(wèn)題：已知正實(shí)數(shù)mb滿足2a+b=l,求工+工

a2b

的最小值。

甲、乙兩位同學(xué)對(duì)該問(wèn)題給出了兩種不同的解法，甲給出的解法是:

1-2a+b>lyflabny[ab<

+=~^-2^2x^2=4,

a2bVlab7ab

所以工+」的最小值為4。

a2b

乙給出的解法是：-+—=f-+—^2?+M=2+-+-+->2J---+-=-,

a2b2b）ab2\ab22

119

所以—i---的最小值為一。

a2b2

⑴請(qǐng)你判斷哪位同學(xué)的解法正確，并指出解法錯(cuò)誤的原因；

（2）結(jié)合上面的材料，求解下面的問(wèn)題：

19

①已知正實(shí)數(shù)“，6滿足一+—=1,求的最小值，并求出取得最小值時(shí)〃，8的值;

ab

211

②已知0<%<—,試求一+------的最小值，并求出取得最小值時(shí)x的值。

3x2—3%

18.已知定義域?yàn)镽的函數(shù),/（力=就言是奇函數(shù).

(1)求a,b的值；

⑵若對(duì)任意的/eR,不等式/(?-2?)+/(2/—Q<0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

19.某村民欲修建一座長(zhǎng)方體形水窖，水窖的容積為6立方米，深度為L(zhǎng)5米，底面周

長(zhǎng)不超過(guò)10米，水窖的底部每平方米造價(jià)為400元，側(cè)面每平方米造價(jià)為200元，頂部

每平方米造價(jià)為300元，設(shè)水窖的底面一邊長(zhǎng)為x(單位：米)，總造價(jià)為/(%)(單位:

元).

⑴求函數(shù)/(力的解析式及定義域.

⑵當(dāng)X取何值時(shí)，水窖的總造價(jià)“X)最低？最低是多少？

參考答案

1.答案：B

解析：由0<a<1，則a—1<0，原不等式等價(jià)于不等式(x-2)卜-巴?]<0的解集,

又由0<a<l，則方程(x—2)(x—q二]=0的兩根分別為jq=2，x,=幺二，

(a-1)a-1

當(dāng)0<a<l時(shí)，2<@二,故原不等式的解集為[x|2<x<g].

a-1La-1J

故選：B.

2.答案：D

解析：由已知二次方程(左-3)f+2x+l=0有解，

所以左一3/0,且4—4(左一3)20,

所以4W4且左w3.

故選：D.

3.答案：A

解析：由一%2+6%+27>0,得6%—27<0，

即(X—9)(%+3)<0,解得一3<x<9，

所以不等式_%2+6%+27>0的解集為卜|一3<%<9}.

故選:A.

4.答案：A

解析：因?yàn)殛P(guān)于X的不等式(a—2)f+2(a-2)x-420的解集為0,

所以關(guān)于x的不等式(a-2)必+2(。-2)x-4<0的解集為R

當(dāng)。-2=0,即a=2時(shí)T<0,顯然滿足題意；

當(dāng)a-2*0,則『一2<°，解得-2<a<2；

,A=[2(a-2)]2+4x4x(a-2)<0

綜上2<aW2,即實(shí)數(shù)。的取值范圍是{a|-2<a<2}.

故選:A.

5.答案：D

解析：因?yàn)?帆+2〃一1=0,所以3機(jī)+2〃=1,

6Hz

(3m+2n)=9+—+—+4>13+213+12=25,

mn

-時(shí)取等號(hào),

mn5

所以3+2的最小值為25.

mn

故選:D.

6.答案：B

解析：由尤2+2%—3<o,解得：—3<%<1，

因?yàn)橐?<x<34—3<兀<1，而一3<%<1=—3<%<3，

所以“一3<x<3”是+2X-3<0”成立的必要不充分條件?

故選：B.

7.答案：B

解析：由題意知8=(-2,1),則A6={-1,0},故選B.

8.答案：C

解析：因?yàn)锳={x|3x—6>0}={x|x>2},B=^x\x2—5x+4<0|=|x|l<x<4},

所以dA={x|x<2},.-.(^A)iB={x|l<x<2}.

故選：C.

9.答案：ACD

解析：A選項(xiàng)，ab=—'xa'x.2b<—x[a+^^\—J_,

22I2J2

當(dāng)且僅當(dāng)a=%=1時(shí)等號(hào)成立，所以A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，由。>0,b>0，a+2b=2,得a=2—2/?>0,則0<b<1，

-84

所以=（2—2人）2+入2=5人2—8人+4,對(duì)稱軸為人=一

2^55

所以當(dāng)6=±時(shí)，/+〃取得最小值為5x（±[—8義±+4=±，

5⑸55

所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

1211J\1I_2Zub2a

C選項(xiàng),—I—二一+a+2355+工+

ab2aia~b

當(dāng)且僅當(dāng)：彳

4+2.=!,。=人=2時(shí)等號(hào)成立,

3

所以c選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)，設(shè)Q+2Z?=x(2Q+/?)+y(a+3Z?)=(2x+y)a+(x+3y)/?，

則尸x+y=i,解得<5；

%+3y=2_3

13

所以g(2a+b)+y(〃+3b)=2,

二匚【、i13(13)「l/c1\3/

所以-------1------------1---------(2a+Z?)~\--(a+3Z?)

2a+ba+3b\2a+ba+3bJ\_lQy710v7J

i3a+3b32a+/?、i3,la+3b2a+b8

=l+——x-----+——x----->1+——x2J-----x-----二一，

102a+b10a+3bIO72a+ba+3b5

當(dāng)且僅當(dāng)"+3"=20+b,2a+b—a+3b?〃=2b=l時(shí)等號(hào)成立，

2a+ba+3b

所以D選項(xiàng)正確.

故選：ACD

10.答案：CD

解析：對(duì)于A,當(dāng)Q==—1時(shí),=1>—1=J■，故A錯(cuò)誤；

ab

對(duì)于B,當(dāng)〃=—11=1時(shí)/=i，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若則Q—C>Z?—C>0，

所以（a—c）2>e—c）2,故c正確；

對(duì)于D,若血<C,則0<&<G，則〃<匕,故D正確?

故選:CD.

11.答案：ABD

解析：a2—+—力2—+—,所以a+Z?2±+±,即a+人23?巴上，因?yàn)閍+/?>0,所以"23,故A

abababab

正確;(a+b)N僅Jab)>^2V3j=12,故B正確;取a=2,b=2,則滿足aN—卜衛(wèi),bN—i~g,此

時(shí)—I—=1<———，故C不正確;所以一<――，同理一<――，所以—I—<J5，故D正確.故選ABD.

ab3a2b2ab

12.答案：(-V2,V2)

解析：因?yàn)椴坏仁?奴+2>0對(duì)xeR恒成立，

所以△=(-Zap-4-2<0,所以-夜<a<VL

故答案為：(-V2,V2)

Q

13.答案：-

4

121fl2\、1(2xrr\9

解析：—I—=_x—I—(x+2y)=—x5cH------1-----N—x(5+2o,4)=一

xy4{xy)y41yxl4、4

當(dāng)且僅當(dāng)在=型時(shí)等號(hào)成立，因此最小值為2

yx4

故答案為：2

4

14.答案：｛x|—2<x<l｝

解析：因?yàn)閤(x-2)<0,

貝!]—2)+2x+x—2=%?+%一2<0,

解得—2<x<1.

所以x(x—2)<0的解集為｛幻―2<%<1｝,

故答案為：｛x[—2<x<l｝.

15.答案：⑴。=—2,b=2；

(2)答案見(jiàn)解析.

解析：⑴由不等式而：2+云_。+2>0的解集是｛x[T<]<2｝，

得-1和2是一元二次方程依2+辰_。+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a<0,

b

—1+2=—

a

于是，解得a=—2，Z?=2,

-a+2

-1x2=

a

所以Q=—2力=2?

(2)a>0,不等式ax2+2x—a+2>0化為(x+l)(tzx—〃+2)>0,即(x+l)(x-------)>0,

a

當(dāng)0<a<l，即巴2<-1時(shí)，解不等式(x+l)(x—佇2)>0,得工<紇2或%>—1；

aaa

當(dāng)。=1，即—1=佇2時(shí)，不等式(x+l)(x—巴3>o的解為xw—i；

aa

當(dāng)a>l，即—1〈佇2時(shí)懈不等式(x+l)(x—g)>0,得％<—1或工〉紇^,

aaa

所以當(dāng)0<〃<1時(shí)，不等式的解集為［x\x<―――或%>—1｝；

a

當(dāng)〃=1時(shí)，不等式的解集為｛XIXW-1｝;

當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為［x\x<-1或犬>—一-)?

a

16.答案：％=時(shí)，5mhi=118000元

解析：設(shè)=則f+4孫=200ny=笆—工］，

x4

則S=4200x2+210x4xy+80x2/

2

=4200/+210x（200-x2）+1601-

=4。。收+乎+38。。。

X

>2A/4X103X4X105+38000=118000

當(dāng)4000酎=4。0？00=9=100,x=&5時(shí)，取等號(hào)

X

故當(dāng)x=時(shí)，5mhi=118000元。

17.答案：(1)答案見(jiàn)解析

⑵①最小值為8；a=2,b=4-

②2+6

解析：(1)乙的解法正確

甲的解法中使用兩次基本不等式時(shí)，等號(hào)不能同時(shí)成立

（2）①2a+6=（2a+Z?）

、[/b4a[c

當(dāng)一二——nb=2a,

ab

即〃=2,b=4時(shí)，等號(hào)成立

「.2Q+Z?的最小值為8

2

②，0<x<—，

3

2—3x>0,

3+3(2-3%)+3x(4+2@xg=2+百

3x2-3x+1十

當(dāng)3(2—3x)3xn(3x)2=3(2—3x)2,

3x2—3%

解得x=l-3時(shí)，等號(hào)成立

3

-+―1—的最小值為2+石

x2-3%

18.答案：（1）〃=2/=1

解析：（1）因?yàn)?（尤）是R上的奇函數(shù),

所以/（0）=0,即/^=0,解得匕=1.從而