2025屆高考數(shù)學一輪復習專項訓練：空間向量與立體幾何（含解析）

2025屆高考數(shù)學一輪復習專題訓練空間向量與立體幾何

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.如圖①，在RtZVLBC中，AB=2BC=6,NABC=90。，E,R分別為AB,AC上的

點，EF//BC,

AE=2EB.如圖②，將△AEF沿板折起，當四棱錐A-3CFE的體積最大時，點E到平

面ACT的距離為（）

2.若向量2=(1,—1,2),石=(2,1,—3),則忸+,=()

A.不B.2&C.3D.3夜

3.如圖，在棱長為1的正方體A3CD—4gG2中,為的中點，。為4用上任意一點,E,F為CD

上兩個動點，且跖的長為定值，則點。到平面PE尸的距離（）

A.等于B.和EF的長度有關

5

C.等于正D.和點。的位置有關

3

4.在四棱錐P—ABCD中，麗=（4,一2,3）,蒞=（T,1,0），Q=（-6,2,—8），則該四棱錐的高為

（）

A.4B.3C.2D.1

5.若｛a/,c｝構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）

^-b+c'C'b—cb,a+b,a-b

a+b'a-b^）a+b,a+b+c,c

6.在正方體ABCD-AgG2中，平面a經過點BQ,平面夕經過點A,',當平面a,/3分別截

正方體所得截面面積最大時，平面a與平面/3的夾角的余弦值為（）

A.立B.在C.lD.1

3323

7.如圖，在正四棱臺ABCD-A^B^D,中,2A3=34片,4。與的交點為“?設

謖=商，4成=風雨=3則下列向量中與衣而相等的向量是（）

13-

A-----a+—b+—cB.——a+—5+cCa——b+cD-----a-\—b+c

323343464

8.已知向量Z=(2,—1,3)，B=(—1,4,—2)，)=(1,3,可，若Z，方，"共面，則2=()

A.4B,2C.3D.l

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.已知向量初=(2,—1,1)，為=(<2,—2)分別為兩個不同的平面a,(3的法向量，1=(1,0,—2)

為直線/的方向向量，且/二，，則()

A.all/3B.I///3C.Z±aD.tzl/7

10.已知向量￡=(—1,2,0),S=(-2,4,0),則下列正確的是()

A.allb

B.a-Lb

C.W=2同

D.Z在B方向上的投影向量為(—1,2,0)

ii.已知｛￡,瓦斗構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是()

A.a+2c,〃+2石，b-c

B.〃+2^,a-b,b-c

C.a-b,a+c,b-c

D.a+b,a+b+c,b+c

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知直線/經過點A(2,3,且向量為=(1,0,-1)所在直線與動直線I垂直，則點P(4,3,2)到I所

在平面的距離為.

13.直三棱柱ABC—A與G中，A3=A。=A4，AB,AC，。是5片中點，則AQ與C。所成角的余

弦值為.

14.在長方體ABC?！?，A\=AB=y[3>AO=1，點尸為線段與。上一點(不在端

點處)，當時，△尸￡)4的面積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA±底面ABCD,底面ABCD是直角梯

形,NADC=90°，AD〃6C，，AC，AB=AC=6刀點在上，且鉆=2ED?

P

(1)求證:平面上鉆平面附C;

(2)若直線PC與平面PAB所成的角為45。,求二面角A-PE-B的余弦值.

16.如圖，在三棱錐尸—A3C中，ZVLBC是邊長為2的等邊三角形，F(xiàn)A=FC=^,直線3戶與

平面ABC所成的角為30。.

(1)證明：阱，平面

⑵求與平面廠所成角的正弦值.

17.已知直四棱柱ABCD-A.B.C.D,中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD,

=3AB=6AD=6DC,M在側棱?？谏?，且

(1)求證：CM〃平面A與5A.

(2)求二面角M—5?！甑挠嘞抑?

18.如圖，在四棱錐p—ABCO中，側面八底面ABC。，側棱PA=P￡)=&，底面ABCD

為直角梯形，其中BtV/AD,ABLAD，AD=2A3=25C=2，。為A￡)中點?

⑴證明：尸平面ABCD；

(2)求直線8￡)與平面所成角的正弦值；

19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD±平面ABCD,底面ABCD為直角梯

^,PD^CD^AD=2AB,AB//CD,ADA.CD.

(1)在棱上是否存在點E,使得AE〃平面?若存在，請指出點E的位置，并證明;若不存在，請說

明理由.

(2)求平面PBC與平面PAB的夾角的大小.

參考答案

1.答案：B

解析：將△AEF沿歷折起，四棱雉A-5CEE的體積最大時，

此時AE，平面BCRE,根據題意可知EF=2.

以E為原點,EB,EF,EA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

因此A(0,0,4),E(0,0,0),F(0,2,0),C(2,3,0)

所以恁=(2,3,—4),AE=(0,0,-4)

AF=(0,2,-4)

設平面ACF的法向量為n=(x,y,z),

AF*n=0

所以

AC?n=O

2y-4z=0,

所以

2%+3y—4z=0,

令z=l,那么”=(—1,2,1)

設平面ACF的法向量為為=(x,y,z),

AF*n=0

所以

AC?n=0

2y-4z=0,

所以

2%+3y—42=0,

令z=l,那么”=(—1,2,1),

那么點E到平面Q的距離為心題喘276

r

故選:B

2.答案：D

解析：?.■向量方=(1,—1,2),^=(2,1,-3)

25+&=（4,-1,1）

2a+Z?|=J16+1+1=3A/2

故選：D

3.答案：A

解析：取4G中點G,連接尸6，。6，￡）。，則756〃。。，所以點。到平面/1￡歹的距離即點0到平面

PGCD的距離，與EF的長度無關,B錯.

又4用//平面PGCD，所以點A到平面PGCD的距離即點。到平面PGCD的距離，即點Q到平面

PEF的距離，與點。的位置無關,D錯.

如圖,以點。為原點，建立空間直角坐標系，則c（o,1,0）,。（0,o,0）,aa,0」），P|,o,i］，

.?.沅=(0,1,0)，西=(1,0,1)，麗=(g,0」]，

r-.f1

設3=(x,y,z)是平面PGCD的法向量，則由五歲=°'得5"+z="

[n-DC=0,0

令z=1，則x=-2,y=0,所以方=（—2,0,1）是平面PGCD的一個法向量.

設點。到平面PEF的距離為4則d=,A對,C錯.

故選:A.

4.答案：C

解析：設平面ABCO的一個法向量力=(x,y,z)，

l?AB=4%-2y+3z=0人口口_

則＜____,遭y=12,則％=3,z=4,即〃=(3,12,4),

n-AD=-4x+y=0

所以該四棱錐的高人="川=1—6義5+12*2—8義41=2.

\n\732+122+42

故選：C.

5.答案：C

解析：A.B+-=21+(5—乙)，所以5+忑，小5_忑是共面向量，故人錯誤；

B.B=g(1+5)—5),所以石,a+B,a-6是共面向量，故B錯誤；

c.不存在實數(shù),4，使己+石=幾(方一/?)+〃},所以&+B，商_友，"不是共面向量，故c正確;

D.乙+6=(乙+6+^)-不,所以0+6，1+3+不,*是共面向量，故D錯誤.

故選:c

6.答案：C

解析：如圖:因為正方體中過體對角線的截面面積最大，

所以題目轉化為求平面BDD&1與平面ABCQi夾角的余弦值，

以D點為坐標原點，建立空間直角坐標系。-孫z,

設正方體棱長為1,平面a與平面p的夾角為0,

因為DD］，平面ABCD，ACu平面ABCD，所以1AC,

且AC_LBD,BDCDDI=D，BD，DDlu平面BDD^,

所以AC1.平面BDD由洞理與。J,平面ABC.D,,

所以衣為平面BDD[B]的一個法向量，就為平面ABC}DX的一個法向量,

A(l,0,0),C(0,l,0)，4(l,l,l),

I前?配1=1=1

AC=(-1,1,O)-^C=(―1,0,—1)，則COSe=

AC\-\RC\=42X42=2

故選:c.

7.答案：D

___,______________kkk?2__?__?__?i__?3___?

解析：B,M^BtB+BM=BiAi+AiA+AB+-BD=--AB+AiA+AB+-(-AB+-A]Dl)

」萬+孤濟

32(2J64

故選:D

8.答案：D

解析：因為Z，方，2共面，所以存在兩個實數(shù)機、〃，使得工=〃石+〃方，

2m—n=1（m=l

即（1,3,2）=m（2,-l,3）+?（-l,4,—2）,即\-m+4n=3，解得L=1.

3m-277=22=1

故選:D

9.答案：AB

解析：因為沅=（2,—1,1），為=（T,2,—2）

所以為二一2詡，所以1〃/7,A正確，D錯誤;

因為。?而=0,且/Z尸，所以/〃p，B正確;

因為。?加=0,所以〃/a或者/ua,C錯誤

故選：AB

10.答案：ACD

解析：ABC選項，由題意得B=2Q,

故且同=2同，AC正確,B錯誤;

——/7?Ah

D選項，a在匕方向上的投影向量為d但守，2⑼…

故選：ACD

11.答案：BCD

解析：A選項：令1+25=%(M+25)+y(5—個)，

%=1r

x=l

則＜2%+y=0,解得〈,

。=一2

〔-＞=29

即G+21,a+2b,B—0共面，故A選項不符合題意；

B選項：^.a+lb=x{a-b^+y{b-c^,

x=l

則＜—X+y=2,此方程組無解，

-y=0

即M+2B,a-b,B—1不共面，故B選項符合題意；

x=l

c選項：設值一石=%(萬+個)+丁(5—1),貝！1＜丁二一1,

x-y=0

此方程組無解，即商-5,a+c,B-乙不共面，故C選項符合題意；

D選項：設己+5=x[^a+b+c^+y{b+,

x=l

則＜%+)=1,

x+y=0

此方程組無解，a+b,a+b+c,B+亍不共面，故D選項符合題意；

故選：BCD.

12.答案

2

解析：A5=(—2,0,—1),

\PA-n\2)x1+0+(-l)x1J2

由點到平面的距離公式d=。"='=*.

慟/+02+(_Q2V22

故答案為:1.

2

13.答案：@或上垃

66

解析：設AB—AC=AA]=>0）,

以A為坐標原點,A5,AC，441所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系A-孫z,

則A（0,0,0）,C（0,”,0）,G（。以，

A￡二（0,。,。），CD=（〃，_〃,—-

---?—?/、aa1

AC,,CD=0x〃+ax（—a）+ax——------，

1v722

AAO2+a2+a2=6a,|cD=Ja2/\2（3a

|C1|=/+（-。）+切=y

設直線AG與c。所成角為e，

“2

則有禧?函一萬6

AG||CD及ax3^6

故AG與CD所成角的余弦值為YZ.

6

ZA

二一1

Xy

故答案為:也.

6

14.答案：B

2

解析：根據題意可知，以G為坐標原點，分別以G2，C4，CC為尤，y,Z軸，建立空間直角坐標

系，如圖所示,

B

因為G(0,0,0)，Di也0,0),C(0,0,A/3)-四(0,1,0)，

設方=mCB^=帆(0,1,-A/3)，

則QP=QC+mCB^=(0,0,V3)+m(0,l,-V3)=(0,m,V3-6帆)，

D^P=QP-=(0,m,6—舟i)—(G,0,0)=(—g,m,g—石篦)

則布?即=(0,m,y/3-6”)?(—G,m,73-0ni)

=m2+—y/3m)~=4m2—6m+3=1,

因為0(根＜1，解得機=!，故此時點P為線段耳C的中點，

2

則S4pg=|'忸1斗|。必=3*1乂6=岑.

故答案為：且

2

15.答案：(1)證明見解析

⑵-

6

解析：(1)證明:?.?24,平面ABCDACu平面

???AB，AC，AB=A，PA,A5U平面B4B，.?.ACd_平面，

ACu平面PAC^平面PAB±平面PAC-

⑵；AB=AC=6，且AB，AC，；.BC=60，ZACB=45。

ADHBC，:.ZDAC=ZACB=45°，

-.?ZADC=90°，.?.△ADC為等腰直角三角形，

AD=DC=3V2，取BC中點G,連接AG,

s.AGLBC^AGLAD^

由（1）可得B4，AG，B4，A￡）

以A為坐標原點5AG為x軸5A。為y軸,AP為z軸建立如圖所示的坐標系

由（1）可得C4,平面PAB，

.?.NAPC為直線PC與平面mg所成角，即NAPC=45°

設平面PBE的法向量為訪=（a,4c）

EP=（0,—20,6）,方=（3A/2,-572,0）

n_LEPftJ_EB1

-2-J^b+6c=0,._/I—\

???{「r-，令6=3，則0=后，a=5，?.?河=5,3,j2

3億-506=0''

?.?無軸_L平面/^4石,.?.平面/^4石的法向量身=（1,0,0）,

設Q為二面角A—/＞石_§的平面角，且o為銳角，

,5_5

..COSU——n~r-―/——?

\m\\n\J25+9+26

16.答案：（1）證明見解析

4百

⑵〒

解析：（1）取AC的中點E,連接石/，EB,

過點尸作FGL座，垂足為點G,

因為ZVIBC是等邊三角形，F(xiàn)A=FC,則AC±EF,

且BECEF=E,BE,EFu平面BEF,

可得AC，平面5即，

由FGu平面5防，所以AC_LFG,

且ACnEB=E,AC,￡Bu平面ABC,

所以FGJ_平面ABC,

可知NFB石為直線3尸與平面ABC所成的角，則NEBE=30°,

則AE」AC=1,BE=6,EF7AF2—AE2=必

22

在ABEF中，EF2=BE'+BF2-2BE-BFcosZFBE,

即3=3+BE?—2周/cos300,解得BF=2.

42

因為產2=鉆2,

CF2+BF2=BC2,

所以AFL5尸，CF±BF.

因為A/nCE=/，AF,C/u平面ACN,

所以政，平面ACF.

(2)以E為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系,

則4(1,0,0),C(-l,0,0),B(0,s/3,0),F0,—,

(44,

可得通=1—1,3屈=，,走,口,麗=(1,6,0),

〔44)〔4以、)

設平面BCF的法向量為n=(羽y,z),

n-CF=x+y+—z=0

則《4-4,

iiCB=x+y/3y=0

令X=-6,則y=1,Z=G

可得力二卜百,1,6),

--n-AF4石

可得cosn,AF=

同|叫7

設A方與平面5c廠所成的角為eo〈e4、

4百

則sin0=|cos而,AF|=----

7

4J3

所以AR與平面BCb所成角的正弦值為"已

7

17.答案：（1）證明見解析

7779

(2)

79

解析：（1）證明：由直四棱柱ABC?！狝4CR知

:44u平面4耳氏4,仁平面A[B]R4,

DDJ/平面4月84.

?/AB//CD,/3<=平面4片24,CD仁平面A4瓦I,

.,.CD〃平面445A.

又。20。。=。，DD],CDu平面。DCC，

平面AB\BAH平面DDgC.

又。以u平面。2c0,

.,.&W〃平面A與瓦L

(2)設CD—1.

則BC=1,AB=2,Cq=3.

如圖，過點。作CEJ_AB于點E由等腰梯形ABC。知=

2

:.CE=^BC2-BE2=—.

2

易知CE,CD,CG兩兩垂直—

以C為坐標原點，以CE,CD,CG所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖的空間直角坐標

系，

(61)

則C(0,0,0),C,(0,0,3),M(0,l,2),耳^-,--,3

I22J

__*―.(y/31).

:.CCX=(0,0,3),CBi=—,--,3,CM=(0,1,2).

(22)

設平面4G。的法向量為帆=(%，x，zj,

fo[3Z]=0,

則1.HP<J31

m-CBt=0,—X1--yl+3zi=0.

、乙乙

令王=1,則％=,z-0,

tn=(l,-\/3,0).

設平面C旦M的法向量為〃=（X2，%，Z2），

%+2z2=0,

-CM=0,

則《即住

n-CBX—0,%一]%+3Z2=0.

令％2=8g，貝！J%=6，z2=-3f

/.n=(84,6,-3).

設二面角M—qc—G的平面角為e，

mn873+673_7779

貝Icos0=|cos（/w,〃〉|=

\m\\n\2x7237—79'

二面角M-B.C-G的余弦值為德9.

18.答案：（1）證明過程見答案;

⑵

5

解析：（1）因為以=立），。為AD中點，所以PO_LAD，

因為側面上底面ABCD，平面PA￡>n底面A3CD=A。，

POA.AD>POu平面QA。