2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)測(cè)試卷（學(xué)生版+解析）

第01卷2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)測(cè)試卷

（綜合測(cè)試）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

一g<%Wl},N={x2尤EZ},則A/P|N=()

1.已知集合

b-H4}c-d-

A.{0,1}

2.若復(fù)數(shù)z=?-1+占，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

A.1

B.-iC.--iD.--

2222

3.已知向量2,B，Z=5,*4,Z與B的夾角為120。，若住一2可乂￡+可，則k=（)

A.」3-43

B.--C.-D.-

5555

22

4.橢圓*+上1…＞。）的兩焦點(diǎn)分別為耳A是橢圓E上一點(diǎn)，當(dāng)?shù)旰偷拿娣e取得最大值

時(shí)，N月4入=（）

n-2〃

A.-B.-C.D.——

62T3

已知尸)=))：

5.sin(a—2cos(a+￡,tan(a-￡=,貝Utana-tan6=()

4

A.—B.-C.D.9

5375

6.已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為36和4百，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積

為)

A.lOOnB.128TIC.144TTD.192TI

7.已知數(shù)列｛g｝的前〃項(xiàng)和為S,，則（）

A.若｛4｝為等差數(shù)列，且ScSg.ScSm則用>0,幾<0

B.若｛%｝為等差數(shù)列，且4>0,幾<0,則出>。，/<。

C.若｛%｝為等比數(shù)列，且&>。，則S202ao

D.若｛4｝為等比數(shù)列，且為>°，則邑儂>。

8.現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，每項(xiàng)

比賽至少一位同學(xué)參加，事件A="甲參加跳高比賽”，事件8="乙參加跳高比賽”，事件C="乙參加跳遠(yuǎn)比

賽”，則（）

A.事件A與2相互獨(dú)立B.事件A與C為互斥事件

C.尸（。力］

D.

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）

9.為了解某新品種玉米的畝產(chǎn)量（單位：千克）情況，從種植區(qū)抽取樣本，得到該新品種玉米的畝產(chǎn)量的

樣本均值元=500,樣本方差$2=400.己知原品種玉米的畝產(chǎn)量X服從正態(tài)分布N（430,202）,假設(shè)新品種玉

米的畝產(chǎn)量￥服從正態(tài)分布N（5,S2）,則（）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布NJ。?），則

P（Z<//-cr）?0.1587）

A.P（X>480）<0.2B.P（X<480）>0.8

c.P（y<480）<0.2D.P（r>520）>0.2

10.已知非常數(shù)函數(shù)“X）及其導(dǎo)函數(shù)/（X）的定義域均為R,若“2-X）為奇函數(shù)，〃2x+4）為偶函數(shù)，

貝I（）

A./（2）=1B./（2024）=-/（2020）

c.7,（-l）=f,（7）D.1（一2021）=廣（2025）

22

11.已知b為雙曲線C:=-==l（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)，過尸的直線/與圓O：/+y2=a2相切于點(diǎn)”，且

ab

/與C及其漸近線在第二象限的交點(diǎn)分別為P,Q,則下列說法正確的是（）

A.直線/的斜率為

b

B.直線加是C的一條漸近線

c.若阿耳刊，則c的離心率為近

D.若刊刊，則C的漸近線方程為y=±/

3，

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.］的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.(用數(shù)字作答)

13.已知函數(shù)/(x)=2sin8+：［0＜。＜6)的圖象向左平移卷個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，若/(x)在-＞

上的最小值為-1,則t的最大值是.

14.已知實(shí)數(shù)天，＞滿足尤2+丁2=2忖+2僅|,則占的最大值為.

四、解答題(本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分,

19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

A_A/3

15.在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且4zsin2sinA(Z?cosC+ccosB).

22

(1)求A；

⑵若NA4C的角平分線交5。于點(diǎn)D,且AD=1,求VABC面積的最小值.

2

16.已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，q=l,S"為｛可｝的前〃項(xiàng)和，且仁2).

)〃十?1

(1)求｛《,｝的通項(xiàng)公式;

S；+S；M

⑵設(shè)2=,記也｝的前〃項(xiàng)和為求證:

17.如圖，在三棱錐尸一ABC中，PA=BC=26,PC=AB=6,PB=而,/ABC=90。,。為AC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若4。=百，求證：PD_L平面ABC；

TT

(2)若平面FAD與平面?友)的夾角為:，求CO的長(zhǎng).

18.已知函數(shù)/(x)=lnx+x2-2辦MER,

⑴當(dāng)a>0時(shí)，討論/(x)的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)/(無)有兩個(gè)極值點(diǎn)百,％&<%),求2/(七)-〃々)的最小值.

22

19.定義：若橢圓宗+左=l(a>6>0)上的兩個(gè)點(diǎn)4(%,%)，磯%,%)滿足卓+第=。，則稱4B為

22

該橢圓的一個(gè)“共輾點(diǎn)對(duì)”，記作[AB].已知橢圓C："譽(yù)=1上一點(diǎn)4(3，1).

⑴求“共利點(diǎn)對(duì)”[A引中點(diǎn)B所在直線/的方程.

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P,Q在橢圓C上，且PQ//Q4,(1)中的直線/與橢圓C交于兩點(diǎn)瓦,鳥.

①求點(diǎn)用,Q的坐標(biāo);

②設(shè)四點(diǎn)瓦，P,B2,Q在橢圓C上逆時(shí)針排列，證明：四邊形與尸與。的面積小于

第01卷2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期開學(xué)測(cè)試卷

（綜合測(cè)試）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的

指定位置。

2.選擇題的作答:每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂

黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交。

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的）

1.已知集合"=卜一g<xW“,N={x|2xeZ},則（）

V!cd-

【答案】D

【分析】由交集的定義求解.

【詳解】集合M="—|;<XW1，,N={N2X￡Z},則=

故選：D

2.若復(fù)數(shù)z=|Gi-1|+5，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）

11.1.1

A.一B.—1C.—1D.

2222

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得復(fù)數(shù)z=2-1i，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.

22

【詳解】由復(fù)數(shù)z=|后一1|+==2+肅A=所以復(fù)數(shù)Z的虛部為

故選：D.

3.已知向量B，口=5,4,￡與B的夾角為120。，若傳一2B）_L（Z+B）,貝！|后=（）

4343

A.——B.--C.一D.

5555

【答案】C

【分析】先利用數(shù)量積的定義求出7B=-io,再根據(jù)垂直關(guān)系的向量表示列式解方程即可.

【詳解】因?yàn)椴穦=5,忖=4,￡與B的夾角為120。，所以Q-B=|a||B|cosl20。=5x4x(_w)=_10.

由(左a—2石)_!_(〃+,

得(左2—23?(￡+石)=化/一232+伏一2)￡.3=25左一2><16—10(左一2)=15左一12=0,

4

解得無=二.

故選:C.

22

4.橢圓的兩焦點(diǎn)分別為《B，A是橢圓E上一點(diǎn)，當(dāng)西和的面積取得最大值

時(shí)，

ZFXAF2=()

2%

D.

【答案】C

【分析】利用三角形面積公式得當(dāng)點(diǎn)A位于橢圓的上下端點(diǎn)時(shí)，面積最大，再利用特殊角的三角函

數(shù)即可得到答案.

【詳解】c=7￥力=1,所以閨閶=2c=2,

所以&=；x2x|yj=|%|，則當(dāng)|力|最大時(shí)，△月Ag面積最大,

此時(shí)點(diǎn)A位于橢圓的上下端點(diǎn),

則/片4。=9=今7T

,因?yàn)?々AOe0,1所以=J

O

7T

所以/耳4居=1.

故選：C.

5.已知sin(a-〃)=2cos(a+〃),tan(a-￡)=；,則tana-tan〃=()

【答案】C

【分析】利用兩角和差的正余弦公式展開，兩邊同除cosacosA，得至hana.tan6=]_tana二tan￡.再利用

兩角差的正切公式展開tan(。-/)，將tana-tan￡換成,化簡(jiǎn)即可得到答案.

【詳解】sin(cz-^)=2cos(a+/?),所以sinacos/7-cosasin/7=2(cosacos/7-siiiasinP),

兩邊同除cosacos4,得至!Jtancr-tan/J=2—2tana-tan/7,gptana-tan/3=1-tan6Z^tan^

t(a_tana_tan尸_tan-tan_14

'l+tano?tan￡-1「tan?！猼an尸—2，tana—tan分==.

i+i------------------s

2

故選：c.

6.已知正三棱臺(tái)的高為1,上、下底面邊長(zhǎng)分別為和4』，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積

為()

A.IOOTIB.128KC.144TID.19271

【答案】A

【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑4,4,再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑

之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積.

【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑小々所以女二口邑二弓二上叵-,即可=3透=4,設(shè)球心

1sin60。-sin600

到上下底面的距離分別為4,4，球的半徑為R,所以&=收一9，d2=JR?-16，故同-蜀=1或4+4=1，

即府一9一收一16,1或+=解得長(zhǎng)=25符合題意，所以球的表面積為

S=4TTH2=IOO瓦.

故選：A.

7.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,則()

A.若｛%｝為等差數(shù)列，且怎，與品>兒,則%>0,兒<0

B.若｛4｝為等差數(shù)列，且17>°，幾<。，則如>0，/<。

C.若｛%｝為等比數(shù)列，且4>0,貝|S2024>0

D.若｛4｝為等比數(shù)列，且%>°，貝1星際>。

【答案】D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和與等差數(shù)列的性質(zhì)，判斷S,與。，正負(fù)，判斷A,B；根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)

和與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，分類討論判斷S“與正負(fù)，判斷C,D；

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為〃，

對(duì)于A,若為等差數(shù)列，且Sg>$8，$9>10，Ss+ag>S8,a9>0,S9>S9+aw,aw<0,

則d<0,與=當(dāng)空義17=引17=17%>0,

每8=七維乂18=9（的+%。），無法判斷符號(hào)，A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若57>0,S18<0,S18=517+?18<O,6Z18<0,

So="丁燈7=學(xué)><17=17%>0,則%>0，

兒="x]8=9(%+qo)<0,貝IJqoVO,貝！jq>0,d<0,%7<0，B錯(cuò)誤;

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為以4*0),

對(duì)于C,若｛?！ǎ秊榈缺葦?shù)列，且。4=出/>0，丁/>0，，〃2>0，

若4=_1時(shí)，則q<0,1—q>0,1—/。24=0,邑期=4(1-4~"4)=0,故c錯(cuò)誤；

i-q

對(duì)于D,若｛%｝為等比數(shù)列，且為=4]>。嗎>。，

當(dāng)q=1時(shí)，則S2023=2023%>0,

Z1_2023\

當(dāng)#1時(shí)，則％23=；

1-4

Z1_2023\

若q<0時(shí)，l_q>0,q2023<0,1-^2023>0,S=―>0

20231-q:

若0<4<1時(shí),]-q>0,0<12023<],l_g2023>0,$2023="O"~->0;

i-q

20232023

若4>1時(shí),1-^<0,<7>1,1-q<O,S2O23=>0;D正確.

i-q

故選：D.

8.現(xiàn)隨機(jī)安排甲、乙等4位同學(xué)參加校運(yùn)會(huì)跳高、跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽，要求每位同學(xué)參加一項(xiàng)比賽，每項(xiàng)

比賽至少一位同學(xué)參加，事件A="甲參加跳高比賽”，事件3="乙參加跳高比賽"，事件C="乙參加跳遠(yuǎn)比

賽"，則()

A.事件A與8相互獨(dú)立B.事件A與C為互斥事件

C.尸(。⑶4D.尸(同可」

【答案】C

【分析】根據(jù)條件求出P(A),尸(3),P(AB),P(AC),由互斥事件的定義、相互獨(dú)立事件的判定和條件概率公

式進(jìn)行逐一判斷即可

c；c；c：

【詳解】對(duì)于A,每項(xiàng)比賽至少一位同學(xué)參加，則有=36不同的安排方法,

A；

事件A="甲參加跳高比賽"，若跳高比賽安排2人，則有A；=6種方法;

若跳高比賽安排1人，則有C；C：A；=6種方法，所以安排甲參加跳高比賽的不同安排方法共有6+6=12種,

121121

則尸⑷=獷寸同理尸所/院

若安排甲、乙同時(shí)參加跳高比賽，則跳高比賽安排2人為甲和乙，跳遠(yuǎn)、投鉛球比賽各安排1人，有A；=2

21

種不同的安排方法，所以「缶坊二外二百，

3618

因?yàn)镻(AB)豐P(A)P(B),事件A與2不相互獨(dú)立故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,在一次試驗(yàn)中，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件，事件A與C可以同時(shí)發(fā)生，故事件A

與C不是互斥事件，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,在安排甲參加跳高比賽的同時(shí)安排乙參加跳遠(yuǎn)比賽的不同安排方法有C；+C；=5種，所以

尸（AC）=[,所以尸（.R=號(hào)黑=平=（,故C正確;

JO士iz

1

對(duì)于D,P（MA）=￡箸=宇=:,故D錯(cuò)誤.

3

故選：C

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)得0分）

9.為了解某新品種玉米的畝產(chǎn)量（單位：千克）情況，從種植區(qū)抽取樣本，得到該新品種玉米的畝產(chǎn)量的

樣本均值元=500,樣本方差？=400.已知原品種玉米的畝產(chǎn)量X服從正態(tài)分布N（430,202）,假設(shè)新品種玉

米的畝產(chǎn)量y服從正態(tài)分布N（.d）,則（）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布則

尸（Z<〃-b）20.1587）

A.P（X>480）<0.2B,尸（X<480）>0.8

C.P（r<480）<0.2D,P（r>520）>0.2

【答案】ABC

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)及3b原則，以及條件一一判斷即可.

【詳解】依題可知，K-2V（5OO,2O2）

P（Y<480）=P（y<500-20）=P（Y>500+20）?0.1587<0.2,故C正確，D錯(cuò)誤.

因?yàn)閄~N（430,202）,所以P（X>450）=P（X>430+20）=P（X<430-20）工0.1587,

P（X>480）<P（X>450）<0.2,A正確.

因?yàn)镻（X<450）=1-尸（X>450）?1-0.1587=0.8413,所以尸（X<480）>P（X<450）>0,8,B正確.

故選：ABC

10.已知非常數(shù)函數(shù)〃x）及其導(dǎo)函數(shù)/'（x）的定義域均為R,若〃2-力為奇函數(shù)，〃2x+4）為偶函數(shù)，

貝I（）

A./（2）=1B./（2024）--/（2020）

C./（-1）=r（7）D.尸（一2021）=尸（2025）

【答案】BCD

【分析】根據(jù)〃2-力為奇函數(shù)可求出“2）判斷A,再由〃2-力為奇函數(shù)，/（2x+4）為偶函數(shù)求出

/（x）=-/（4-x）可得周期，據(jù)此可判斷B,根據(jù)函數(shù)/（尤）的周期可求尸（x）的周期判斷CD.

【詳解】因?yàn)榉浅?shù)函數(shù)/'（X）及其導(dǎo)函數(shù)/'（X）的定義域均為R，

若〃2-x)為奇函數(shù)，則/(2+x)=-/(2-x),則“尤)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱，且〃2)=0,故A錯(cuò)誤;

因?yàn)椤?尤+4)為偶函數(shù)，所以〃2x+4)=〃—2x+4),即"x+4)=〃—x+4),

則/(x)"(8-x),又〃2+x)=—"2-x),所以“x)=—44r),

所以〃8—x)=—〃4—x),gp/(x+4)=-/(%),所以/(x+8)=/(x),

故〃x)的周期為8,所以〃2024)=〃0),/(2020)=/(4),在〃x+4)=一/⑺中,令x=0,得

/(4)=-/(0),所以“2024)=-42020),故B正確；

對(duì)〃x+8)=〃x)兩邊同時(shí)求導(dǎo),得廣(尤+8)=/(無)，

所以導(dǎo)函數(shù)尸(x)的周期為8,所以『'(-1)=廣⑺，故C正確；

由廣(力周期7=8,得/'(-2021)=尸⑶，/'(2025)=期(1),對(duì)〃勸=一〃4-同兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得

r(x)=r(4-x),令x=i,得尸⑴=尸(3),

所以『'(—2021)=/'(2025),故D正確.

故選：BCD.

22

11.已知產(chǎn)為雙曲線C:工-馬=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)，過尸的直線/與圓O：Y+y2=/相切于點(diǎn)且

ab

/與C及其漸近線在第二象限的交點(diǎn)分別為尸,。，則下列說法正確的是()

A.直線/的斜率為-/

B.直線是C的一條漸近線

C.若刊=；|。司，則C的離心率為友

D.若巴=。尸司，則C的漸近線方程為l=±『

【答案】ABD

【分析】根據(jù)給定條件，計(jì)算斜率判斷A；由計(jì)算直線斜率判斷B；求出點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算判斷

C,D,

【詳解】對(duì)于A,根據(jù)題意，F(xiàn)(c,0),設(shè)直線/:y=依-既n履-丫-笈=0次<0,

又因?yàn)橹本€/與圓0：/+、2=°2相切于點(diǎn)”,

所以a=-j^Lna2(]+/)=/c2,..方=°2一/，A正確；

Jl+%2b

b

對(duì)于B,根據(jù)題意可知可得自M

a

b

所以直線OM:y=—x是C的一條漸近線，B正確;

a

b

對(duì)于C,若眼司=jo刊，根據(jù)題意尸（c,0）,聯(lián)立，y=-x

a,解得M（一,一）,

x2+y2=a2cc

b

y-——x

aa2cabc

同理聯(lián)立＜,解得。（-■))

aacr-b^a2-b2

y=——x+—c

bb

abc

由于M尸尸I，故-=3x—,即0?=3,2-1),/=36,

a2-b2

化簡(jiǎn)得e?=3,則C的離心率為C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,設(shè)PG。,%）,依題意知=尸產(chǎn)I，則麗=3麗,

(2

故)=3;ab4日3〃_3ab

c,—得為=----2c,y0=-----,

c7CC

2

3a2°3abix2

故尸丁-2c,丁I，代入。得

a,2b2,1

b2

所以「彳2=1u3,則a2+b213b29

a14a24a24

b33

得g=則。的漸近線方程為y=±；%,D正確;

a22

故選：ABD

【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與雙曲線位置關(guān)系問題，解答的難點(diǎn)在于計(jì)算，并且基本都是有關(guān)字母

參數(shù)的運(yùn)算，計(jì)算量大，很容易出錯(cuò).

三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）

9

12.的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）

【答案】84

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解.

【詳解】根據(jù)通項(xiàng)公式；

令加5羽=0，解得〃=6,所以（=（-1）6C；=84,

故答案為：84.

13.已知函數(shù)小）=25m"+口0＜。＜6）的圖象向左平移自個(gè)單位后關(guān)于y軸對(duì)稱，若/（元）在-%

上的最小值為-1，貝"的最大值是.

【答案】/5兀

（TTTT]TT

【分析】利用三角函數(shù)圖象的變化規(guī)律求得：y=2sin[ox+石。+利用對(duì)稱性求得。=2,由xe--,t

JIJI'11

時(shí)，可得2%+工￡--,2r+-,由正弦函數(shù)的性質(zhì)列式求解即可.

363_

【詳解】函數(shù)/。）=2而"+，（0＜。＜6）的圖象向左平移展個(gè)單位長(zhǎng)度后，

圖象所對(duì)應(yīng)解析式為：y=2sin^x+^+|-=2sin"+10+|J,

因?yàn)椋?2$皿〔0X+尚0+々]圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以白0+g=E+g,keZ,

可得刃=12左+2,keZ,又0＜。＜6,所以。=2,即/（%）=2sin（2x+§],

要使）在一夕,上的最小值為則〉=皿[苫+方）在TT1

"X-1,52--,t上的最小值為

當(dāng)XW

所以一?42/+芻42,解得一工，即/的最大值是

63641212

5兀

故答案為：

14.己知實(shí)數(shù)羽y滿足丁+丁=2國+2忖，則占的最大值為.

【答案】1

【分析】由曲線方程畫出曲線所表示的圖形，將士看作曲線上的點(diǎn)與坐標(biāo)為（4,0）的點(diǎn)連線的斜率，求出

最大值.

【詳解】由"T"和"代入方程仍成立，所以曲線d+y2=2W長(zhǎng)|關(guān)于x軸和y軸對(duì)稱，故只需考慮xNO,

y2。的情形，

此時(shí)方程為/+V=2x+2y,BP(x-l)2+(y-l)2=2,所以(x,y)的軌跡如下圖,

=上三，表示點(diǎn)(％y)和(4,0)連線/的斜率，由圖可知，當(dāng)/曲線第四

x—4

象限部分半圓(圓心為(1,-1),半徑為血)相切時(shí)，斜率最大.

=&,解得左=1或(舍去),

設(shè)/：y=k(x-4)f則J】，2

所以3的最大值為L(zhǎng)

A—4

故答案為：1.

四、解答題(本題共5小題，共77分，其中15題13分，16題15分，17題15分，18題17分,

19題17分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.在VABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且asin2g=^^sinA(bcosC+ccosB).

⑴求A;

⑵若SBAC的角平分線交8C于點(diǎn)。，且AD=1,求VABC面積的最小值.

【答案】⑴A號(hào)

(2)73

【分析】(1)借助降嘉公式及正弦定理與輔助角公式計(jì)算即可得解.

(2)借助等面積法及基本不等式即可得解.

1-cosA

【詳解】(1)cos--=---

22

sinA(1-cosA)~J3

由正弦定理可知:sinA(sinBcosC+sinCcosfi),

2~^2

又sinA>0,化簡(jiǎn)得：1一cosA=A/3(sinBcosC+sinCcosB),

即l-cosA=6sin(8+C)=若sinA,

所以，J5sinA+cosA=2sin[A+2)=1,

nn-I,71I1EAL471I7171『IN,27t

即sinAA+工=%,因?yàn)锳+z，？7K)，所以A+2=-5K^,從而A=-^；

oyzo16oJoo3

(2)由題意可得：SABAD+SMAD=8AABC,

L,i].兀1.兀17.2兀

i±AD=l13BrPt—/?sin—+—csm—=—bcsm——,

9232323

化簡(jiǎn)得b+c=Z?c,

而b+c=bcN2版,解得歷24,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)Z?=c=2,

VABC的面積S=—bcsinA=——Z?c>\/3，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)6=c=2,

24

綜上所述，VABC的面積的最小值為逝.

2

16.已知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，%=1,S〃為｛4｝的前〃項(xiàng)和，且%522).

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式;

S；+S2

(2)設(shè)2=，記也｝的前〃項(xiàng)和為I,求證:

sF￡

p,?=l,

【答案】⑴a"~[-2〃-1--2〃-3,n>2.

（2）證明見解析

【分析】（1）由題意知，當(dāng)“22時(shí)，an=Sn-Sn_x,代入題干表達(dá)式可得5；-曉1=2522）,通過計(jì)算數(shù)

列｛S；｝的通項(xiàng)公式即可計(jì)算出前〃項(xiàng)和S“的表達(dá)式，最后結(jié)合公式〃>2,即可計(jì)算出數(shù)列

｛即｝的通項(xiàng)公式；

（2）由（1）計(jì)算出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式，再運(yùn)用裂項(xiàng)相消法計(jì)算出前“項(xiàng)和1的表達(dá)式，最后根據(jù)不等式

的性質(zhì)即可證明結(jié)論成立.

22

【詳解】⑴由。”=〈工〈,得S”一1-=[,即S；-S3=2（〃N2）；

又S；=。;=1,

所以｛s；｝是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

所以S；=1+2（〃—1）=2〃—1,又是正項(xiàng)數(shù)列，所以S.=7^.

當(dāng)〃22時(shí)，an=Sn-Sn_｛=,2〃-1-，2〃-3,

又當(dāng)〃=1時(shí)，%=1不符合2時(shí)?！ǖ男问?

1,n=1,

所以4n

yJln-i-j2〃-3,n>2.

（2）證明:

b_S；+S3_2w-l+2〃+l_4w_11________1___

"S：&i（2n-l）2-（2n+l）2（2n-l）2.（2n+l）22（2n-l）2（2n+l）2

（=4+e+…+2=g111111

F-7+37-F+，"+（^zi7"（^7

1

<-.

22

17.如圖，在三棱錐尸—ABC中，尸4=BC=2g,尸C=A8=6,尸8=聞,/ABC=901D為AC上的動(dòng)點(diǎn).

⑴若4。=石，求證：PD_L平面A3C；

TT

⑵若平面PAD與平面P8D的夾角為才，求C。的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見解析

（2）C￡）=i^

4

【分析】（1）兩次利用勾股定理分別證明PD,AD,PDYBD,即可得證；

（2）由（1）問可知，確定空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)位置，然后建系，利用已知的二面角建立等式關(guān)系，求

出動(dòng)點(diǎn)。的坐標(biāo)，即可得出答案.

在RtZXABC中，AB=6,BC=2瓜貝！JAC=4VL

又PA=2石,PC=6,所以4。2=尸。2+以2

由勾股定理可得aAPC為直角三角形，ZAPC=900,

PCr-

所以tan/PAC=—=V3,所以NPAC=60。

PA

在中，因?yàn)锳D=C，由余弦定理可得：

PD2=AP2+AD2-2AP-AD-cosZPAD=(273)2+(廚-2x273x退xcos60°=9

貝Ijp/y+A￡>2=92,所以POLAD,

又CD=3,ZACB=60°,在ADCB中由余弦定理可得：

BD2=BC2+CD2-2BCCDcosZACB=(2廚+(3同-2x2島3島cos60。=21,

則PEr+BD2=PB?，所以P￡>_L,

又ADcBD=D,XDu平面ABC,即u平面ABC,

所以尸￡>_!_平面ABC

(2)在AC上取一點(diǎn)。，使4。=代由(1)可得平面A3C,作OELAC,

如圖以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，OE,OGOP所在的直線分別作為X軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則點(diǎn)。(0,0,0),以1,0,0),尸(0,0,3),網(wǎng)3,2也,0),。(0,/,0),

因?yàn)镺E_L平面APQ,所以礪=(1,0,0)為平面AP￡＞的一個(gè)法向量，

設(shè)平面PDB的一個(gè)法向量為"(x,y,z),而=(3,2"-3),而=(3,2有T,0b

?PB=0「3X+2島-3Z=0

_.可得《,廣\，取丁=3,貝lj%=,—2A/3,z=t,所以力=,一2班,3,。，

n-DB=03x+(2J3-/)y=0

\n-OE\|f-2國

L,、71=*解得:乎,

因?yàn)閞cos：=

4同慳|J(r-2后+9+產(chǎn)

即。。=且，又OC=AC-AO=4如-0=3陋,所以。。=0。一0。=34一走=^^

444

所以當(dāng)時(shí)，則二面角A-PD-3的大小為夕

44

18.已知函數(shù)/(x)=lnx+x2-2dxMER,

⑴當(dāng)。＞0時(shí)，討論〃”的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)/（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)石，々（e＜赴），求2/（%）-/（々）的最小值.

【答案】⑴答案見解析

,、l+41n2

⑵——；-

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分類討論AVO與公＞。兩種情況即可得解；

（2）利用（1）中結(jié)論，利用韋達(dá)定理得到百?％=；，2axi=2尤：+1,2ax2=2xf+1,利用消元法將

2/（石）-/（%）表示成關(guān)于月的函數(shù)，再利用換元法和導(dǎo)數(shù)求得所得函數(shù)的最小值，從而得解.

【詳解】（1）因?yàn)?1（%）=111%+/一2依,彳＞0,

所以f\x）=-+2x-2a=2入2辦+1,

XX

令g（x）=2x2-2ax+1,貝ljA=4a2-8=4（4—2）,

因?yàn)椤ǎ?,

當(dāng)時(shí)，A＜0,貝iJgQRO,即/（%）之0,

此時(shí)/（%）在（0,+8）上單調(diào)遞增，

當(dāng)Q＞五時(shí),A＞0,由g（%）=。’Wx3=-----———,x4=--———,且毛＜工4,

22

當(dāng)0＜工＜%3或工＞14時(shí)，g（x）＞。，即/'（尤）＞0;

當(dāng)天vxv%4時(shí)，g（%）＜0,Bpfr（x）＜0,

所以f（x）在（。,天）,（%4，+00）上單調(diào)遞增，在（毛,％4）上單調(diào)遞減；

綜上，當(dāng)時(shí)，/（?在（0,+8）上單調(diào)遞增，

當(dāng)4〉加時(shí)，/（%）在（0,毛）,（程位）上單調(diào)遞增，在（無3，乂）上單調(diào)遞減，

^2市a-Ja2—2〃+Ja2-2

（2）由（1）可知，工3，X4為八%）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且％3＜%4,

所以玉=%3，工2=%，且不，工2是方程2爐—2依+1=0的兩不等正根,

此時(shí)?！涤?，玉+工2=。＞°，玉,々=；，

r、

所以不G0,—,XG,+00,且有2axi=2x；+1,2ax=2考+1,

222

I)7

則2于(王)—/(%)=2(ln再+町—23)—(in9+元;—2ax^

-2(in再+片—2%；—1)—(inx?+x；—2x；-1)=-+2In石_Inx2+x；—1

2

113

—%2-2+2In-----InX?-1—x；--------Inx；—21n2—1

[,+(?],令g(r)=21n2-1,

令，=%;，貝

則，

當(dāng)te1,1）時(shí)，g'（/）＜0