2025年北京高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專練：解三角形（10類題型全歸納）（解析版）

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題05解三角形

o------------題型歸納?定方向-----------*>

目錄

題型01利用正（余）弦定理解三角形.............................................................I

題型02三角形解的個(gè)數(shù)..........................................................................4

題型03判斷三角形形狀..........................................................................7

題型04三角形面積（定值）....................................................................10

題型05三角形面積（最值或范圍）..............................................................12

題型06三角形邊長(zhǎng)............................................................................16

題型07三角形邊的代數(shù)和問題..................................................................19

題型08三角形周長(zhǎng)（最值或范圍）.............................................................23

題型09三角形中線............................................................................26

題型10三角形角平分線........................................................................30

?>-----------題型探析,明規(guī)律-----------O

題型01利用正（余）弦定理解三角形

【解題規(guī)律?提分快招】

sinAsinBsinC

②符號(hào)語(yǔ)言：在A45C中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是見仇。，則:

/=/+/-2bccosA；

b2=/+/-2accosB

c2=a2+b2-labcosC

b1+02一/

cosA=

2bc

a2+c2-b1

cos5=

lac

a1+/-c2

cosC=

lab

3

【典例1-1】（2。24?北京海淀?二模）在△血中，加4,"=5"守則5c的長(zhǎng)為（）

A.6或；

B.6C.3+30D.3

2

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形

【分析】根據(jù)余弦定理即可求解.

\AC^+\CB--\AB^_52+|CS|2-423

【詳解】由余弦定理可得cosC=

2\AC\-BC\一10|5C|4

3

故21c@9T5忸C|+18=0n忸C|=6或5，

故選：A

【典例1-2】（2024,北京延慶,一模）ZUBC的內(nèi)角N,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知乙8=60。,

sin/=3sinC,b=Jj,則。=,△48C的面積為.

【答案】1巫匚杷

44

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用

【分析】根據(jù)題意，利用正弦、余弦定理求得。，再運(yùn)用三角形的面積公式即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閟inZ=3sinC,由正弦定理可得Q=3C,

因?yàn)?5=60°,在△43。中，由余弦定理可得：b2=a2+c2-2accosB,

所以7=%2+c2-6c2xg,解得：c=l；

所以a=3c=3,由三角形面積公式可得：S=-acsinZABC=—x3xlx—=,

皿ABC2224

故答案為：1；

4

【變式1-1］（2023?北京豐臺(tái)?三模）在ZUBC中，/C=3,8C=g,48=2,則邊上的高等于（）

A.2A/3B.氈C.叵D.-

222

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用

【分析】根據(jù)余弦定理求cosC,再得sinC,利用A/BC的面積公式即可求邊上的高.

【詳解】在△/BC中，因?yàn)锳C=3,BC=g,AB=2,

AC?+BC?-AB?9+7-4_277

由余弦定理得cosC=

2ACBC2x3x77-7

因?yàn)镃e（0,7r）,所以sinC=Jl-cos2c=與

設(shè)邊上的高為力，則S/Bc=g/C-3C.sinC=gA8，，

所以，AC-BC-sinC3xV7x浮36,即邊上的高等于還.

h=--------=-----------=---?

AB22

故選：B.

【變式1?2】（2024?北京西城?三模）在△43。中，若。=2,a=5444，貝1JsinC=______,b=_______.

6

【答案】用2V3±V2

【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形

【分析】在△/BC中，運(yùn)用正弦定理求得sinC,運(yùn)用余弦定理求得6即可.

V32fr

【詳解】由正弦定理一^7=）^，有.兀一sinC，所以sinC=——，

smZsinCsm—3

6

由余弦定理力=/+才一2bccos/,有（百）=b2+22-2x2bcos,

解得6=百±行.

故答案為：，區(qū)，A/3±42.

3

3

【變式1-3]（2024?北京昌平?二模）已知△45C中，a=^b=2c,cosA=--,則5“蛇=.

【答案】近

2

【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、已知正（余）弦求余（正）弦、余弦定理解三角形

【分析】由余弦定理求出仇，，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出siM,最后由三角形的面積公式即可求出答

案.

【詳解】由余弦定理可得：COM=〃ca=°:16=_三,

2bc4c24

解得：c=C，所以b=2c=2^2,

又因?yàn)閏os/=一■-,所以sirb4=A/1—cos2A=，

44

所以S,RC=—besin^4=—X2A/2xV2x^-=.

“Be2242

故答案為Y

題型02三角形解的個(gè)數(shù)

【解題規(guī)律?提分快招】

1）已知兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2）已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角。

例如：已知a,b和A,用正弦定理求B時(shí)的各種情況：（多解情況）

e若A為銳角時(shí)：

a<bsmA無解

a=bsinA一解（直角）

bsinA<a<b二解（一銳,一鈍）

a>b一解（銳角）

已知邊a,b和/A

a<b無解

。若A為直角或鈍角時(shí):

一解（銳角）

7T

【典例1-1］（23-24高一下?北京?期末）在ZUBC中，角4及。所對(duì)的邊分別為已知/=（b=2,

給出下列五個(gè)a的值：①血；②VL③理；④2；⑤3.其中能使得A42C存在且唯一確定的是

（）

A.①④B.②③C.④⑤D.②④⑤

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)

【分析】利用三角形的圖形性質(zhì)來判斷唯一解的充要條件解題即可.

【詳解】

根據(jù)已知/=￡,b=2,可知三角形N8邊上的高力=6sin/=2x——

32

所以要使得MBC存在且唯一確定的解，則a=6,或aN2,

故有②④⑤滿足，

故選：D.

【典例1-2］（23-24高一下?北京?階段練習(xí)）在△4BC中，//=30°,/C=26，滿足此條件ZUBC有兩解,

則2c邊長(zhǎng)度的取值范圍為.

【答案】（73,273）

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)

【分析】根據(jù)三角形有兩解，應(yīng)滿足NCsin3（F<8C</C,化簡(jiǎn)即可求解.

【詳解】?.?△ABC有兩解，:.ACsin30°<BC<AC,BC<26

故答案為：（6,2道）.

【變式1-1］（23-24高一下?北京?期中）已知在△ABC中，NB=60°,b=^,若滿足條件的三角形有且只有

一個(gè)，則a的取值范圍是（）

A.{a\Q<a<y/3}B.{a10<a<6或。=2}

C.{a\0<a<43}D.{a10<aW6或。=2}

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)

【分析】由正弦定理和三角形解的個(gè)數(shù)可得答案.

b..

■、4Q…TE—r/口a=-------sinA=smA=2sinA

【詳解】由正弦定理可得sin56，

~2

若滿足條件的三角形有且只有一個(gè)，則0。</<60。或/=90。,

所以0<sinNW且或sin/=1,

2

可得0<avG或。=2.

故選：D.

【變式1-2]（2023?北京朝陽(yáng),一模）在△/2C中，0=4也，b=m,sin/-cos/=0.

（1）若〃?=8,貝!jc=；

（2）當(dāng)小=（寫出一個(gè)可能的值）時(shí)，滿足條件的A/BC有兩個(gè).

【答案】4726（答案不唯一）

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)、余弦定理解三角形

【分析】（1）求出A,再由余弦定理求解即可；

（2）根據(jù)已知兩邊及一邊的對(duì)角求三角形解得情況，建立不等式求出〃z的范圍即可得解.

【詳解】（1）sinA-cosA=0,，tanN=l,

■.-0<A<it,A=-,

4

5

由余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA,BP32=64+c2-16x—c,

2

解得c=4也.

（2）因?yàn)?=《,q=40,

TT

所以當(dāng)6sin：<a<6時(shí)，方程有兩解，

4

即4也<7M<8>

取加=6即可滿足條件（答案不唯一）

故答案為：4VL6.

【變式1-3]（23-24高一下?北京延慶?期末）在△4BC中，c=8,NB=g請(qǐng)從①-=學(xué),

66

②a=47§，③6=9中選擇一個(gè)，使aNBC存在且唯一，寫出滿足要求的一個(gè)條件的序號(hào)—

【答案】②（或③，答案不唯一）

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的個(gè)數(shù)

【分析】根據(jù)正弦和余弦定理，以及三角形邊與角的性質(zhì)，直接計(jì)算即可判斷求解.

【詳解】對(duì)于①，若/=y，則/+2=學(xué)+9=兀，這與三角形內(nèi)角和定理矛盾，不合題意;

666

對(duì)于②，若a=4^，則〃=a2+c2-2tzccos5=48+64-2x473x8x^-=16,

所以6=4,此時(shí)，△45。存在且唯一，符合題意;

對(duì)于③，若6=9,則csinB8xi4,因?yàn)閏<6,所以C<3,

b99

所以C為銳角，此時(shí)，△NBC存在且唯一，符合題意.

故答案為：②（或③，答案不唯一）.

題型03判斷三角形形狀

【解題規(guī)律?提分快招】

判斷三角形形狀時(shí)，可利用正余弦實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊或角的形式，還要注意三角形自身的特點(diǎn)

①siit4=sirL8=/=3=Z\ABC為等腰三角形

n■IT

②sinA=cosB今N+B=,或今AABC直角三角形或鈍角三角形

③sin2/=sin28今N=8^^+5=y^AABC為等腰三角形或鈍角三角形

④cos2/=cos23n/=3n^ABC為等腰三角形

@a2+b2=c2^cosC=0^AABC為直角三角形

@tz2+Z>2-c2<0=>cosC<0

或<0=>cos8<0=>ZiABC為鈍角三角形

或/+/-/<o-cos4<0

@a2+b2-c2>0=>cosC>0

且Y+cL/>00cos8>0今4ABC為銳角三角形

_S.Z>2+c2-a2>0=>cos>0

【典例1-1］（24-25高三上■上海閔行?期中）在△/5C中，已知6?+<?-6c=/,且〃tanC=ctan2,則△/8C

的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.有一個(gè)角為60。的直角三角形D.等邊三角形

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】由余弦定理，正弦定理，同角的三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)即可；

【詳解】由精+°2一A=力可得COS〃="+：：-=?，

2bc?2

又/?0,小，所以4=60。，

由btanC=ctan5和正弦定理可得sin5-。=sin。包竺_,即cosB=cosC,

cosCcosB

所以B=C,所以/=60。=3=。，所以△/BC的形狀為等邊三角形，

故選：D.

【典例1-2]（24-25高三上?北京朝陽(yáng)?開學(xué)考試）已知a/BC的三個(gè)內(nèi)角42,C所對(duì)的邊分別為a，Ac,則

下列條件能推導(dǎo)出△N3C一定為銳角三角形的是.

222

①/+62>°2；②咚1=學(xué)￡=空￡；（3）cosA+cosB-cosC=1;（4）tan+tan5+tanC>0.

567

【答案】②④

【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的正切公式化簡(jiǎn)、求值、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形、正、余弦

定理判定三角形形狀

【分析】利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理、余弦定理逐項(xiàng)判斷即可求解.

2

【詳解】對(duì)于①，若/+/>°2,由余弦定理可知cosC="一+"-'>0,

2ab

即角C為銳角，不能推出其他角均為銳角，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，因?yàn)閲?嚶=*，則Sin/:sin8:sinc=5:6:7,

由正弦定理得。：6:。=5:6:7,設(shè)〃=5左，b=6k,c=lk,k>0,

可得。為最大邊，。為三角形最大角,

25左2+36左2—49左21八

根據(jù)余弦定理得COSC=中「---------------=->0,

2ab2x5kx6k5

則C為銳角，可得△NBC一定是銳角三角形，故②正確;

對(duì)于③,因?yàn)椋ǎ?52/+1：（?28-<：052。=1,

IjllJ1-sin2A+l-sin2B-(1-sin2C)=1,整理可得sin?A+sin2B=sin2C,

由正弦定理可得1+62=02,可得C為直角，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，因?yàn)橛捎趖an(/+8)=￡=_tanC,

1-tantanB

貝!JtanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,

故tan4+tan5+tanC=tan4tan5tanC,

由于tanZ+tan5+tanC>0,故tan/tanBtanC〉0,

故A,B,C均為銳角，△48C為銳角三角形，故④正確.

故答案為：②④.

【變式1-1]（24-25高三上?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí)）在△ABC中，角4B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,且

acosB+bcosA=b,則△NBC一定是（）

A.等腰三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.直角三角形

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理邊角互化的應(yīng)用、正、余弦定理判定三角形形狀、逆用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求

值

【分析】由題意根據(jù)正弦定理及和差公式可得sin(N+8)=sin3,由/+B+C—及誘導(dǎo)公式可得

sinC=sinS,結(jié)合及C為三角形的內(nèi)角可得3=C,即可得結(jié)果.

【詳解1acosB+bcosA=b,

由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA-smB,

則sin(4+B)=sinS,又N+B+C=TT,

可得sinC=sinB,

???g,c為三角形的內(nèi)角，

:.B=C,

所以△/BC一定是等腰三角形.

故選：A.

【變式1-2](24-25高一上?上海?課后作業(yè))在ZUBC中，c-acosB=(2a-b)cosA(0、b、c分別為角/、

B、C的對(duì)邊)，則的形狀為.

【答案】等腰或直角三角形

【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、正、余弦定理判定三角形形狀、正弦定理邊角互化的應(yīng)用

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式化簡(jiǎn)推理即得.

【詳解】在△48C中，c-acos8=(2a-b)cos/及正弦定理得sinC-siiL4cos8=2sirL4cos/-sin8cos/,

而sinC=sin(/+B)=sin/cos2+cosAsinB,則cos/siaS=2sirt4cos/-sinficoM,

jr

于是cos/(siriB-siiL4)=0,則cos/=0或sin8=siM,而4Be(0,7t),因此/=或8=/,

所以△/8C為等腰或直角三角形.

故答案為：等腰或直角三角形

【變式1-3](23-24高一下?河南三門峽■期中)己知△N2C中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,

hC

a=--——?jiǎng)tZU3C的形狀是_______.

cosS+cosC

【答案】直角三角形

【知識(shí)點(diǎn)】正、余弦定理判定三角形形狀

【分析】由正弦定理以及兩角和的正弦公式整理可得cos/(sinC+sin5)=0,進(jìn)一步有cos/=0,即可求

解.

b+c一/口.,sin8+sinC

【詳解】由正弦定理以及。=——------,可得sin/=——----------,

cosB+cosCcosB+cosC

所以sin4cos8+sin4cosC=sin+sinC=sin(/+C)+sin(/+B)

=sinAcosC+cos/sinC+sinAcosB+cos/sin8,

化簡(jiǎn)可得：cos4(sinC+sin5)=0,

因?yàn)?<8<兀，0<。<兀，所以sinB>0,sinC>0,則cos/=0,

IT

因?yàn)?</<兀，所以/=萬，則△N2C的形狀是直角三角形；

故答案為：直角三角形

題型04三角形面積（定值）

【解題規(guī)律?提分快招】

Q)S=^absinC=^acsinB=gbcsinZ；

②S=g（a+b+c?（其中，。，4c是三角形4BC的各邊長(zhǎng)，r是三角形4BC的內(nèi)切圓半徑）；

【典例1-1]（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）在△4BC中，^B=60°,b=/7,a-c=2,則△4BC的面積為

（）

3A/33_3733

ArD.-

2244

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形

【分析】利用余弦定理和三角形的面積公式來求得正確答案.

【詳解】由余弦定理得6?=/+<?-2accos60。,/+c2-ac=l,

2

由a-c=2兩邊平方得/+c-2ac=4,

所以ac=3,所以=-ocsin5=—x3x—=.

△*BC2224

故選：C

TT2冗

【典例1-2]（24-25高二上?北京?期中）在△4BC中，AB=26,=，點(diǎn)。在邊上，ZADC=—,

。=1,貝I]（1）AD=；（2）A/CD的面積為.

【答案】2V2好

2

【知識(shí)點(diǎn)】正弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用

【分析】（1）在中，應(yīng)用正弦定理即可；（2）由％4c°=9/。*。、5也//。（7即可求得.

—7T2冗

【詳解】解：（1）因?yàn)樵凇?5C中，AB=2A/3,/B=I,/ADC=,

TT

所以=

ABAD

于是在中，由正弦定理可知,

sinZADBsin/B

ABxsinZB

所以

sinZADB

2

^-xADxCDxsinZADC=-x242xlx—=—.

（2）SACD

2222

故答案為：2痣;乎

【變式1-1]（23-24高一下?北京?期中）在△ABC中，角/,B,。的對(duì)邊分別是。,64,/3=4,/8=60°,點(diǎn)

。為邊5c上的一點(diǎn)，AD=2^,CD=6,則A/CD的面積為（）

A.6A/3B.9eC.1473D.20百

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形

【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求出2。，再利用三角形面積公式計(jì)算即得.

（詳解】在A4BD中，AB=4,NB=60°,AD=277,由余弦定理得AD2=BD2+AB2-2BD-ABcosB,

BP28=5￡>2+16-25^x4x1,-4SD-12=0.而3。>0,解得3。=6,

2

1n

又8=6,顯然。是8C中點(diǎn)，所以A/CZ）的面積SQ=S?=LX4X6XY1=6G.

AHCZJAABD22'

故選：A

【變式1-2]（23-24高一下?江蘇常州?期中）在△4BC中，若BC=2,AC=yf2,A=45°,則△4BC的面

積為（）

A.叵B.也匚C.V3+1D.叵或叵tl

2222

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形

【分析】先利用余弦定理求出再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.

【詳解】在沙臺(tái)。中，若BC=2,AC=6,4=45。，

由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AC-ABCOSA,

即4=//+2一2/3，解得/2=e+1（/8=—6+1舍去），

所以SJBC=；/2./Csin/=；x（V^+l）x&x￥=^^.

故選：A.

【變式1-3］（24-25高三上?北京豐臺(tái)?期中）在△4BC中，a=5,C=3,6=2C,則AABC的面積為.

【答案】5A/2

【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形

【分析】應(yīng)用正弦定理、倍角正弦公式得6=6cosC,再由余弦定理及倍角余弦公式求得cosC=逅，進(jìn)而

3

得b=2a,且sinC=4^,最后應(yīng)用三角形面積公式求面積.

3

b_c,結(jié)合題設(shè)有〈二

【詳解】由—；-----------=----nb=6cosC,

sinBsinCsm2C2sinCcosCsinC

XZ>2=a2+c2-2accosfi=34-30cos2C,即36cos2c=34-30cos2C,

2

所以36cos20=64—60cos2Cncos2c=§,在三角形中3=2C,必有。為銳角,

所以cosC=,故6=2*>，且sinC=

33

故的面積為labsinC=-x5x2V6x—=572.

223

故答案為：5亞.

題型05三角形面積（最值或范圍）

【解題規(guī)律?提分快招】

①S=；absinC=gacsin8=；3csinZ；

②S=g（a+b+c?（其中，。，仇c是三角形4BC的各邊長(zhǎng)，r是三角形48C的內(nèi)切圓半徑）；

③基本不等式

④正弦定理化角

27r

【典例1-1】（2024?江蘇徐州?模擬預(yù)測(cè)）在△23C中，A=y,。為邊2C上一點(diǎn)，若AD,AB,且

AD=1,則△/BC面積的最小值為（）

A.&B.正C.巫D.6

234

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、條件等式求最值

【分析】利用等面積法建立仇。邊的等量關(guān)系，再利用基本不等式求6c的最小值即可求解.

【詳解】

A

如圖，由己知月=不，AD.LAB,且4D=1,

"BC的面積S^ABC=；6csin/=gbcsin，^=~^-bc,

LCcc11,.71if1八

又S&ABC=S.ABD+S.ADC=~C+-^SIN-=-|C+N

_____8

貝！J有6be-2c+b>2y2bc=2y[2y[bc,角窣得beN],

當(dāng)且僅當(dāng)6=2c,即6=g石,c=gG時(shí)等號(hào)成立,

所以又處的最小值為

故選：B.

【典例1-2］（23-24高三下?浙江?階段練習(xí)）在等邊三角形N8C的三邊上各取一點(diǎn)。，E,F,滿足

DE=3,DF=26,NDEF=90°,則三角形/8C的面積的最大值是（）

713

A.7-\/3B.13A/3C.yV3D.—V3

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】輔助角公式、正弦定理解三角形、三角形面積公式及其應(yīng)用

「2萬、

【分析】首先求出所，設(shè)NBED=0,0&0,—,在4BDE、/XCEF分別利用正弦定理表示出BE、CE,

由BCuBE+CE,利用三角恒等變換公式及輔助角公式求出8c的最大值，即可求出三角形面積最大值.

【詳解】因?yàn)镼E=3,DF=2拒,ZDEF=90°,所以EF=dDF?-DE?=5

~2萬、

設(shè)/BED=0f6￡0,1-,

A

D

則/2?！?二_8,ZCEF=--3,ZCFE=--（--e]=-+0,

32312J6

BE

BEDE=玉=2立

在中由正弦定理即sm

sinZBDEsin5

2

所以〃石=2gsinT-4

CE

CEEF

在△（?即中由正弦定理即sin

sinZCFEsinC

所以C￡=2sin

所以8c=8石+（?￡=2氐也降一（9）+25也仁+（9

6

—cos0-cos—sin0+2sin—cos0+cos—sin0

33I66

=2A/3sin+4cos0-2V7sin（8+0）（其中tan（p=,

所以8%=2"

則S./BC=：2C2sing=手8c2V手,僅5了=76’

即三角形/8C的面積的最大值是7VL

故選：A

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是用含。的式子表示出BE、CE,再利用三角恒等變換公式及輔助角公式

求出8c的最大值，進(jìn)而求出三角形面積最大值.

【變式1-1］（24-25高三上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）在A/BC中，內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

a=V3,（sin/-sinB）（6+a）=c（sin3+sinC）,則△4BC面積的最大值為（）

A.；B.；C.BD.叵

4242

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、基本不等式求積的最大值、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解

三角形

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求得cos/,根據(jù)基本不等式及三角形面

積公式求解面積的最大值.

【詳解】在△451中,（sin4—sinB）（b+Q）=c（sin5+sinC）,

由正弦定理得（Q-b）（b+a）=c（b+。），BPa2=b2+c2+bc,

/,2,2_2-be_1

由余弦定理得cosA=

2bc2bc~~2

3=a2=b2+c2+bc>2bc+bc=3bc,當(dāng)且僅當(dāng)6=c=1時(shí)取等號(hào)，因此,

???△ABC面積S='besinZ=^-bc<，

244

二當(dāng)b=c=l時(shí)，△45。的面積取得最大值3.

4

故選：C.

【變式1-2]（24-25高三上?廣東東莞?階段練習(xí)）在△Z5C中，sin2A+sin2B+smAsinB=sin2C,且45

邊上的中線長(zhǎng)為2,則△45。面積的最大值為.

【答案】4百

【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、正弦定理邊角互化的應(yīng)用、余弦定理解三角形、基本不等式求積的

最大值

【分析】根據(jù)正弦定理以及余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化求出C=g,由題設(shè)函=；+區(qū)）兩邊同時(shí)平方計(jì)算，

再由基本不等式和三角形面積公式求解即可.

【詳解】因sirz+sirB+siMsin5=sir^C,由正弦定理可得/+〃+仍=H,

^a2+b2-c2=-ab,所以cosC="-+4_c-又0<C（兀，

2ab2

所以C==,sinC=sin—=^,設(shè)48邊上的中線為CO,

332

則函=；（M+而），則|①（=；（瓦+而y=；（/+〃一"）=4,

所以16=/+/一仍22a6-必="，當(dāng)且僅當(dāng)。=6=4時(shí)等號(hào)成立，

所以電詼心=j（也..sinC=4石.

故答案為：4月.

【變式1-3]（24-25高二上?湖南?期中）在△4BC中，AB=SAC,點(diǎn)、D在BC上,滿足麗=2麗，

AD=6，/。=題》.則448。的面積為

【答案】于

【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、余弦定理解三角形

【分析】設(shè)/C=5D=x,在△4BC中和△4DC中，分別用余弦定理表示出cosC,由等式解出x,面積公

式求△4BC的面積.

【詳解】設(shè)NC=8D=x,則=CD=1X.

在△/5C中，c"C"c2/——

2xACxBC2xx3x2

/。。。一切

2+2x2+4x2-3_1

在△40。中,cosC=

2義ACxDC2xx2x2

解得爐=1,故x=l,

所以s=-xy4Cx5CxsinC=-x3xlx71-cos2C=—.

“4BC224

故答案為：—.

4

題型06三角形邊長(zhǎng)

【解題規(guī)律?提分快招】

定一（京廠定理

了真椀工行—&3萬高二下:董慶涪陵面市5」在所市「函7二而。丁萬廠二5廠萬歷加7函田:瓦~廁及座

n。長(zhǎng)度的最大值為（）

A.3B.V3C.2D.72

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍、數(shù)量積的運(yùn)算律、基本不等式求積的最大值

—?1—?—.

【分析】由余弦定理得至夠2+02=4+左，再利用基本不等式得到稅<4,然后由4O=w（Z5+ZC）求解.

【詳解】由余弦定理得02=62+02一26℃054=62+°2一6°,即4=〃+。2一6。，即〃+°2=4+A，又

b2+c2>2bc,

:.4=b2+c2-bc>bc1BPZ）c<4,當(dāng)且僅當(dāng)6=。=2時(shí)等號(hào)成立.

■：AD=^（AB+AC）,

------?21---2------(-2-------------?,

/.AD=~(AB+AC+24&4C)

=；(<?+〃+2c檔)=：仙2+/+be).

=—(4+Z)c+be)<—(4+8)=3

44

.?.畫

故選：B

【典例1-2](23-24高一下?四川成都?期中)在△ABC中，角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

Z^=45。，NC邊的中線AD=0,貝壯的最大值是.

【答案】V5+1

【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍、求含sinx（型）函數(shù)的值域和最值、

正弦定理邊角互化的應(yīng)用

【分析】設(shè)設(shè)/408=。，用正弦定理將邊長(zhǎng)全部用。表示，4D=2sin（135、4,

OC=/D=2sin（135°-0）,再用余弦定理，借助三角恒等變換，化為三角函數(shù)

=6+2?sin（2d+°）［tan0=；］,求最值即可.

【詳解】如圖,

設(shè)NADB=0,ZBDC=180°-0,則ZABD=180°-45°-8=135°-8

BD_AD亞=AD

NO=2sin(135°-6).

sinABAD~smZABD'sin45。sin(135°-6>)

由于NC邊的中線2。，，OC=/O=2sin(135°-。)，

用余弦定理，知道/=3。2+-28。?DC?cosN8OC,

=2+4sin2(135°-6?)-4V2sin(135°-6?)cos(180°-6>)

=2+4sin2(45。+6)+4夜sin(45°+0)cos。

=4+2sin26+2(sin26+cos26+1)

=6+4sin28+2cos2。

=6+2A/5sin(2^+^),|tan^=—

，max=6+2技則amax=V5+1.

故答案為：V5+1.

【變式1-1]（2024?江蘇連云港?模擬預(yù)測(cè)）在△4BC中，角N,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=l,

bcos/=l+cos8,則邊6的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（0,2）D.（2,3）

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍、正弦定理邊角互

化的應(yīng)用

【分析】利用正弦定理邊化角，再利用和差角的正弦推理得8=2/,又由正弦定理得b=2cos/,根據(jù)角/

的范圍利用余弦函數(shù)性質(zhì)求解值域即可求解.

【詳解】由"=1,bcosA=l+cosB得,bcosA=a+acosB,

由正弦定理可得sin5cosZ=sin/+sin/cos5,即sinBcos^4-sin^4cosB=sin4,

所以sin（B-/）=sinN,所以8-4=/或+/=兀（舍去），所以8=24,

,十口?asinBsin2/八.

由正弦定理得,6=「~~7=2COS/,

smAsinA

TV

而0<4<兀,0<8=2/<兀，0<C=7i-3A<7if所以0<Z<一,

3

所以;<cos/<l,所以6=2cosNe（l,2）,所以6的取值范圍為（1,2）.

故選：B

【變式1-2]（23-24高一下?浙江,期中）在△N8C中，角所對(duì)的邊分別為。也c,已知a=c-l,

b=c+\,若△ABC為鈍角三角形，則c的取值范圍為（）

A.（2,4）B.（1,3）

C.（0,3）D.（3,4）

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】解不含參數(shù)的一元二次不等式、求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍

【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊和余弦定理，求解。的范圍，判斷選項(xiàng).

【詳解】由a=c—l,6=c+l,則人>c>a,

所以c+c—1〉c+1,故c>2,

由△45。為鈍角三角形，貝lJcosB<0,

222

Rnc+（c-l）-（c+1）Zf=I.,,

即——-一T一\——-<0,得。2_4。<0,故0<c<4,

2c（c-l）

故。的取值范圍為（2,4）,

故選：A

【變式1-3]（23-24高一下?天津河西?期中）在銳角△/BC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為。，b,c,

TT

且。=3,A=y,則6的取值范圍是（）

6

A.（0,6）B.（0,273）C.（73,273）D.（373,6）

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求三角形中的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的最值或范圍、正弦定理邊角互化的應(yīng)用

【分析】利用正弦定理得到6=6sinB,再由三角形是銳角三角形求出8的范圍，即可求出sinB的范圍，從

而得解.