2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上冊(cè)第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、選擇題（共4小題）1.若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍為（）A B. C. D.2.已知集合且，集合，則（）A. B.C. D.3.已知，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.4.已知正實(shí)數(shù)滿足.則的最小值為（）A.3 B.9 C.4 D.8二、多選題（共5小題）5.下列四個(gè)命題中正確的是（）A.方程的解集為B.由所確定的實(shí)數(shù)集合為C.集合可以化簡(jiǎn)為D.中含有三個(gè)元素6.已知實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為6 D.7.下列四個(gè)命題是真命題的是（）A.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)的值域?yàn)镃.若函數(shù)兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間為內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.已知在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是8.已知集合，集合，則的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.9.若，且，則（）A. B. C. D.三、填空題（共4小題）10.定義在上的函數(shù)滿足，則___________.11.若命題“，使得”是假命題，則的取值范圍是__________．12.已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_________.13.在ΔABC中，角所對(duì)的邊分別為，若且，則ΔABC面積的最大值為________．四、解答題（共5小題）14.命題：實(shí)數(shù)滿足（其中）,命題：實(shí)數(shù)滿足.(1)若,且命題均為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.15.已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù).（1）確定解析式；（2）用定義證明：在區(qū)間上是減函數(shù)；（3）解不等式.16.已知函數(shù)，（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)有意義，求實(shí)數(shù)取值范圍.（3）若函數(shù)，函數(shù)的最小值是5，求實(shí)數(shù)的值.17.若，.（1）求的取值范圍；（2）求的取值范圍.18.已知關(guān)于x函數(shù)和.（1）若，求x的取值范圍；（2）若關(guān)于x的不等式（其中）的解集，求證.2024-2025學(xué)年江蘇省南京市高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題一、選擇題（共4小題）1.若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】分和討論，結(jié)合恒成立問題分析求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，原不等式為：，對(duì)恒成立；當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立，需，解得，綜上得．故選：C．2.已知集合且，集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)4和6的最小公倍數(shù)為12，得，而，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷兩集合之間關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)榍遥?和6的最小公倍數(shù)為12，所以，又因?yàn)?，而，但，所以A，C錯(cuò)誤；因?yàn)榧现性貫?2的正整數(shù)倍，而為24的整數(shù)倍，所以元素滿足是24的正整數(shù)倍時(shí)，必滿足是12的正整數(shù)倍，則，故D正確；對(duì)于B，若但，且，B錯(cuò)誤；故選：D3.已知，且，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】用不等式的性質(zhì)判斷，不一定成立的不等式可舉反例說明．【詳解】由題意可知，.當(dāng)時(shí)，，，則排除A，B；因?yàn)?，，所以，所?因?yàn)?，所以，所以，則C一定成立；因?yàn)?，，所以，所?因?yàn)?，所以，所以，則排除D.故選：C．4.已知正實(shí)數(shù)滿足.則的最小值為（）A.3 B.9 C.4 D.8【正確答案】B【分析】對(duì)不等式變形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】a，b均為正實(shí)數(shù)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：B二、多選題（共5小題）5.下列四個(gè)命題中正確的是（）A.方程的解集為B.由所確定的實(shí)數(shù)集合為C.集合可以化簡(jiǎn)為D.中含有三個(gè)元素【正確答案】BC【分析】選項(xiàng)A：由二次根式和絕對(duì)值的非負(fù)性可得解集；選項(xiàng)B：由，的正負(fù)性分類可得；選項(xiàng)C：由得，故為2的倍數(shù)，取為2的非負(fù)整數(shù)倍可得；選項(xiàng)D：取為6的因數(shù)可得.【詳解】選項(xiàng)A：方程的解為，解集為，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由知，，當(dāng)，同為正數(shù)時(shí)，；當(dāng)，一正一負(fù)時(shí)，；當(dāng)，同為負(fù)數(shù)時(shí)，，故由所確定的實(shí)數(shù)集合為，故B正確；選項(xiàng)C：，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故集合可以化簡(jiǎn)為，故C正確；選項(xiàng)D：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故中含有4個(gè)元素，故D錯(cuò)誤，故選：BC6.已知實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為6 D.【正確答案】AD【分析】對(duì)于A，利用基本不等式求解判斷，對(duì)于B，利用配方法求最值，對(duì)于C，利用“1”的代換結(jié)合基本不等式判斷，對(duì)于D，先分離常數(shù)，再利用的范圍判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以，得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，，所以，，所以，所以，所以?dāng)時(shí)，有最小值，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，由選項(xiàng)B知，所以，所以，所以，所以，所以，所以D正確，故選：AD7.下列四個(gè)命題是真命題的是（）A.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)的值域?yàn)镃.若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間為內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.已知在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【正確答案】ACD【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域即可求解A，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解最值，進(jìn)而判斷B，根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)分布，即可判斷C，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解D.【詳解】由，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，故A正確；函數(shù)的定義域?yàn)?，易知函數(shù)在,上單調(diào)遞增，則函數(shù)的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間為內(nèi)，則且故即解得，故C正確，若在單調(diào)遞增，則，若在單調(diào)遞減，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，D正確，故選：ACD8.已知集合，集合，則的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【正確答案】BD【分析】由可得，再由充分不必要條件的定義即可得解.【詳解】因?yàn)榧?，集合，所以等價(jià)于即，對(duì)比選項(xiàng)，、均為的充分不必要條件.故選：BD.本題考查了由集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)及充分不必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.9.若，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】AC【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合不等式性質(zhì)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可【詳解】A選項(xiàng)：∵，且，∴，可得，即，A正確；B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，即，，由可得，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)楫?dāng)，所以，D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題（共4小題）10.定義在上的函數(shù)滿足，則___________.【正確答案】7【分析】分別令，，，得到，，然后計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槎x在R上的函數(shù)滿足，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，∴.故7.11.若命題“，使得”是假命題，則的取值范圍是__________．【正確答案】【分析】由題意知原命題的否定為真，將問題轉(zhuǎn)換成立二次不等式在定區(qū)間上的恒成立問題了，對(duì)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行討論即可求解.【詳解】由題意原命題的否定“，使得”是真命題，不妨設(shè)，其開口向上，對(duì)稱軸方程，則只需在上的最大值即可，我們分以下三種情形來討論：情形一：當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)有，解得，故此時(shí)滿足題意的實(shí)數(shù)不存在；情形二：當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)有，只需，解不等式組得，故此時(shí)滿足題意的實(shí)數(shù)的范圍為；情形三：當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)有，解得，故此時(shí)滿足題意的實(shí)數(shù)不存在；綜上所述：的取值范圍是.故答案為.12.已知關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_________.【正確答案】【分析】先根據(jù)不等式的解集可得的關(guān)系及的符號(hào)，再根據(jù)一元二次不等式的解法即可得解.【詳解】由的解集為，可得，且方程的解為，所以，則，所以，即關(guān)于的不等式的解集為.故答案為.13.在ΔABC中，角所對(duì)的邊分別為，若且，則ΔABC面積的最大值為________．【正確答案】【詳解】試題分析：由得，代入得，，即，由余弦定理得，，所以，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)，所以的面積的最大值為，故答案為．考點(diǎn)：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【方法點(diǎn)晴】本題考查余弦定理，平方關(guān)系，基本不等式的應(yīng)用，以及三角形的面積公式，考查變形、化簡(jiǎn)能力，對(duì)計(jì)算能力要求較高，屬于中檔題；由得，代入化簡(jiǎn)，根據(jù)余弦定理求出，由平方關(guān)系求出，代入三角形面積公式求出表達(dá)式，由基本不等式即可求出三角形面積的最大值．四、解答題（共5小題）14.命題：實(shí)數(shù)滿足（其中）命題：實(shí)數(shù)滿足.(1)若,且命題均為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】(1);(2).【分析】(1)先解出不等式的解集,再解出不等式的解集,根據(jù)題意,可以求出實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)根據(jù)是的充分不必要條件,可以根據(jù)集合的關(guān)系得到關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組,解這個(gè)不等式組即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】解(1)由得，又，所以,當(dāng)時(shí),,即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.由，得解得,即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是.均為真命題，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.(2)由（1）知,,充分不必要條件,解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.本題考查了兩個(gè)命題為真命題時(shí)求參數(shù)問題,考查了根據(jù)命題的充分不必要條件求參數(shù)問題,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算和分析能力.15.已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù).（1）確定的解析式；（2）用定義證明：在區(qū)間上是減函數(shù)；（3）解不等式.【正確答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義f?x=?fx，經(jīng)過化簡(jiǎn)計(jì)算可求得實(shí)數(shù)，進(jìn)而可得出函數(shù)（2）任取、，且，作差，化簡(jiǎn)變形后判斷的符號(hào)，即可證得結(jié)論；（3）利用奇函數(shù)的性質(zhì)將所求不等式變形為，再利用函數(shù)y=fx的定義域和單調(diào)性可得出關(guān)于的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由于函數(shù)是定義域?1,1上的奇函數(shù)，則f?x=?f即，化簡(jiǎn)得，因此，；（2）任取、，且，即，則，，，，，，，.，，因此，函數(shù)y=fx在區(qū)間?1,1上是減函數(shù)；（3）由（2）可知，函數(shù)y=fx是定義域?yàn)?1,1由得，所以，解得.因此，不等式的解集為12,1本題考查利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)、利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)不等式的求解，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于中等題.16.已知函數(shù)，（1）若函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)有意義，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（3）若函數(shù)，函數(shù)的最小值是5，求實(shí)數(shù)的值.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)定義域?yàn)?，轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的,，即可由判別式求解，（2）分類討論，求解的最值即可求解，（3）將問題轉(zhuǎn)求解的最小值，即可分類討論求解.【小問1詳解】若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t對(duì)任意的,,由于函數(shù)為開口向上的二次函數(shù)，故只需要，解得【小問2詳解】對(duì)有意義，則對(duì)于恒成立，記，對(duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)在單調(diào)遞增，故，與矛盾，舍去，當(dāng)，即，此時(shí)在單調(diào)遞減，故，故，當(dāng)，即，此時(shí)，解得，故，綜上可得：【小問3詳解】，令，則，，則為開口向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，當(dāng)，此時(shí)，不符合要求，舍去，當(dāng)，此時(shí)或（舍去）故17.若，.（1）求的取值范圍；（2）求的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）.【分析】（1）結(jié)合基本不等式整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，再根據(jù)已知的范圍即可得答案；（2）由于，故只需解并結(jié)合已知條件求解即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，整理得：，解得：或，又因?yàn)椋?，所以，所?（2）因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，解可得，或（舍），故.又因?yàn)?，所?18.已知關(guān)于x的函數(shù)和.（1）若，求x的取值范圍；（2）若關(guān)于x的不等式（其中）的解集，求證.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）轉(zhuǎn)化為求解；（2）討論，，，求解，判斷是否成立.【小問1詳解】可得，即，即，即，則，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，由?）知，所以（i）時(shí)，當(dāng)時(shí)，，