第2.6練 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)（解析版）-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練寶典（新高考專用）

第二章函數(shù)第2.6練指數(shù)與指數(shù)函數(shù)一、單選題1．若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則等于（

）A．或 B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是指數(shù)函數(shù)，所以.故選：C2．函數(shù)在上的最大值是（）A． B．0C．1 D．3【答案】D【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，.故選：D3．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，，所以，而，所以故選：D4．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】令，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)殚_口向下，對稱軸為，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：B.5．已知曲線且過定點(diǎn)，若且，則的最小值為（

）A．9 B． C． D．【答案】C【詳解】曲線且中，由，得，因此該曲線過定點(diǎn)，即，于是，又，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以的最小值為16.故選：C6．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】由，得，因此函數(shù)的零點(diǎn)即為函數(shù)與的圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與的圖象，如圖，

觀察圖象知，函數(shù)與的圖象有唯一公共點(diǎn)，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.故選：B7．把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度可由公式求得，其中k是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù)．現(xiàn)有一物體放在的空氣中冷卻，物體的溫度為，再過后物體的溫度為，則該物體的初始溫度約為（

）（結(jié)果精確到個(gè)位）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可知，，所以，，故選：B8．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)．例如：，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所?又，所以,由高斯函數(shù)的定義可得：函數(shù)的值域?yàn)?故選：C.二、多選題9．已知函數(shù)，則（

）A．的值域?yàn)?B．是上的增函數(shù)C．是上的奇函數(shù) D．有最大值【答案】ABC【詳解】解：由題意得：函數(shù)的定義域?yàn)閷τ谶x項(xiàng)A：函數(shù)是一條連續(xù)的曲線，當(dāng)趨向于負(fù)無窮時(shí)，趨近于正無窮，趨近于零，所以趨近于負(fù)無窮，當(dāng)趨向于正無窮時(shí)，趨近于零，趨近于正無窮，所以趨近于正無窮，所以的值域?yàn)?，故A正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以是上的增函數(shù)，故B正確；對于選項(xiàng)C：的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以是上的奇函數(shù)，故C正確；對于選項(xiàng)D：是上的增函數(shù)，無最值，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC10．十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).若實(shí)數(shù)，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【詳解】對于A中，當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)，故A不成立；對于B中，當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)，故B不成立；對于C中，因?yàn)閷?shí)數(shù)，所以，故C成立；對于D，因?yàn)閷?shí)數(shù)，，所以，故D成立．故選：CD．11．若，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）A．在上單調(diào)遞減B．與的圖象關(guān)于y軸對稱C．的圖象過點(diǎn)D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緼CD【詳解】因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，則A錯(cuò)誤；與的圖象關(guān)于y軸對稱，則B正確；由，得的圖象過點(diǎn)，則C錯(cuò)誤；由，可得，則D錯(cuò)誤，故選：12．已知函數(shù)和分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（

）A．B．在定義域上單調(diào)遞增C．的導(dǎo)函數(shù)D．【答案】BD【詳解】由得，由于函數(shù)和分別為奇函數(shù)和偶函數(shù)，所以，因此，對于A,,故A錯(cuò)誤，對于B，由于函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞增，故B正確，對于C，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，而，所以C錯(cuò)誤，對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以D正確，故選：BD三、填空題13．已知m，n是正實(shí)數(shù)，函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值為.【答案】/【詳解】當(dāng)時(shí)，，且，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故答案為：.14．設(shè)，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示，因?yàn)橛扇齻€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.

四、解答題15．化簡與求值：(1)；(2)．【詳解】（1）（2）16．已知函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，求的值域．【詳解】（1）由函數(shù)，，得，所以.（2）設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，，由的對稱軸為，如圖所示：

由圖可知：當(dāng)，即時(shí)，有大值，當(dāng)，即時(shí)，有最小值，故的值域是.17．某學(xué)校決定對教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒，藥熏開始前要求學(xué)生全部離開教室.已知在藥熏過程中，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與藥熏時(shí)間t（小時(shí)）成正比；當(dāng)藥熏過程結(jié)束，藥物即釋放完畢，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）達(dá)到最大值.此后，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式為(a為常數(shù)).已知從藥熏開始，教室內(nèi)每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）關(guān)于時(shí)間t（小時(shí)）的變化曲線如圖所示.

(1)從藥熏開始，求每立方米空氣中的藥物含量y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的藥物含量不高于0.125毫克時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室，那么從藥熏開始，至少需要經(jīng)過多少小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室?【詳解】（1）由圖象可知：當(dāng)時(shí)，圖象為正比例函數(shù)圖象，設(shè)為，可得，解得所以y（毫克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為.（2）當(dāng)，令，則，整理得，則，解得，所以至少需要經(jīng)過0.8個(gè)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室.18．已知函數(shù)（，且）是奇函數(shù)，且．(1)求，的值；(2)若對于，不等式成立，求的取值范圍．【詳解】（