人教版初中數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)同步講與練專題8.3 實(shí)際問題與二元一次方程組（解析版）

專題8.3實(shí)際問題與二元一次方程組（105題96頁）目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1．審：分析好問題中的已知量和未知量，明確各數(shù)量之間的關(guān)系，從中找出能夠表示實(shí)際問題全部含義的相等關(guān)系．要注意題中的相等關(guān)系有些是明顯的，有些是不明顯的，需要結(jié)合生活實(shí)際來發(fā)現(xiàn)；2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)，一般求什么，就設(shè)什么為，若有幾個(gè)未知數(shù)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)剡x擇其中的一個(gè)，用字母表示出來．有時(shí)直接設(shè)不容易設(shè)得話，可采用間接設(shè)；3．找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系；4．列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出方程；5．解：解所列出的方程，求出未知數(shù)的值；6．驗(yàn)：檢驗(yàn)所求得的解是否符合題意；7．答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）．處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為：考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1：年齡問題典例：（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）7月4日，2020長(zhǎng)白山地下森林徒步活動(dòng)鳴槍開始，一名34歲的男子帶著他的兩個(gè)孩子一同參加了比賽．下面是兩個(gè)孩子與記者的部分對(duì)話：妹妹：我和哥哥的年齡和是16歲．哥哥：兩年后，妹妹年齡的3倍與我的年齡相加恰好等于爸爸的年齡．根據(jù)對(duì)話內(nèi)容，請(qǐng)你用方程的知識(shí)幫記者求出現(xiàn)在哥哥和妹妹的年齡各是多少歲？【答案】現(xiàn)在哥哥10歲，妹妹6歲．【分析】設(shè)現(xiàn)在哥哥x歲，妹妹y歲，根據(jù)兩孩子的對(duì)話，可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)現(xiàn)在哥哥x歲，妹妹y歲，根據(jù)題意得

解得

答：現(xiàn)在哥哥10歲，妹妹6歲．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用題目信息，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程解決．鞏固練習(xí)1．（2021·浙江杭州·七年級(jí)期末）甲是乙現(xiàn)在的年齡時(shí)，乙8歲；乙是甲現(xiàn)在年齡時(shí)，甲20歲，則（

）A．甲比乙大6歲 B．乙比甲大6歲C．甲比乙大4歲 D．乙比甲大4歲【答案】C【分析】根據(jù)題中已知量和未知量之間的等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列二元一次方程組即可解決．【詳解】解：設(shè)甲現(xiàn)在x歲，乙現(xiàn)在y歲．根據(jù)題意，得，解得，∴故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了列方程組解應(yīng)用題的知識(shí)點(diǎn)，找出題中已知量和未知之間的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2020·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）10年前，小明媽媽的年齡是小明的6倍，10年后，小明媽媽的年齡是小明的2倍，小明和他媽媽現(xiàn)在的年齡分別是多少歲？若設(shè)小明和他媽媽現(xiàn)在分別是x歲和y歲，根據(jù)題意可列方程組為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】設(shè)小明和他媽媽現(xiàn)在分別是x歲和y歲，分別表示出十年前和十年后他們的年齡，根據(jù)題意列方程組即可．【詳解】解：設(shè)小明和他媽媽現(xiàn)在分別是x歲和y歲．由題意得，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組．3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）一名學(xué)生問老師：“你今年多大了？”老師風(fēng)趣地說“我像你這樣大的時(shí)候，你才2歲；你到我這么大時(shí)，我已經(jīng)38歲了”，則今年老師的歲數(shù)是_____．【答案】26【分析】設(shè)今年老師的歲數(shù)是x歲，學(xué)生的歲數(shù)是y歲，根據(jù)學(xué)生今年年齡減年齡差等于2，老師今年年齡加年齡差等于38，列出二元一次方程組即可．【詳解】解：設(shè)今年老師的歲數(shù)是x歲，學(xué)生的歲數(shù)是y歲，依題意得：，解得：．故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組，設(shè)出恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，準(zhǔn)確抓住數(shù)量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．4．（2022·陜西·隴縣教學(xué)研究室七年級(jí)期末）六年前，甲的年齡是乙的年齡的3倍，現(xiàn)在甲的年齡是乙的年齡的2倍，則甲比乙大_______歲．【答案】12【分析】設(shè)甲、乙兩人現(xiàn)在的年齡分別為x歲、y歲，根據(jù)題意列出二元一次方程組并求解即可計(jì)算甲比乙大多少歲．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人現(xiàn)在的年齡分別為x歲、y歲，根據(jù)題意，可得，解得，∴甲比乙大24-12=12歲．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意正確列出二元一次方程組．5．（2021·山東·棗莊市第十五中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）弟弟對(duì)哥哥說：“我像你這么大的時(shí)候你已經(jīng)20歲．”哥哥對(duì)弟弟說：“我像你這么大的時(shí)候你才5歲．”則哥哥的年齡是___________歲．【答案】15【分析】設(shè)此時(shí)弟弟歲，哥哥歲，根據(jù)題意，因?yàn)榈艿芘c哥哥的年齡差等于哥哥與20歲的年齡差，哥哥與弟弟的年齡差等于弟弟與5歲的年齡差，列出二元一次方程組求解即可．【詳解】設(shè)此時(shí)弟弟歲，哥哥歲，由題意：，解得：，∴此時(shí)哥哥的年齡是15歲，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，理解題意，準(zhǔn)確建立二元一次方程組并求解是解題關(guān)鍵．6．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復(fù)辦學(xué)40周年校慶日，我校初一年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40．已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．(1)求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）(2)假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請(qǐng)問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學(xué)子？【答案】(1)爸爸36歲，爺爺76歲(2)爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子【分析】（1）設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲，根據(jù)“爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40”列出二元一次方程組求解即可．（2）用現(xiàn)在年份減去年齡加15即可得到答案．【詳解】（1）設(shè)今年小明的爸爸x歲，爺爺y歲．．解得：答：今年小明的爸爸36歲，爺爺76歲；（2）（年）（年）小明的爸爸是2001年華業(yè)，爺爺是1961年畢業(yè)的云附學(xué)子．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確找出等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)2：和差倍半問題典例：（2022·貴州銅仁·七年級(jí)期中）某文具專賣店出售甲、乙兩種自動(dòng)鉛筆，已知該店進(jìn)貨甲種自動(dòng)鉛筆4支和乙種自動(dòng)鉛筆2支共需22元，進(jìn)貨甲種自動(dòng)鉛筆8支所需費(fèi)用比進(jìn)貨乙種自動(dòng)鉛筆4支所需費(fèi)用多4元．(1)請(qǐng)分別求出甲、乙兩種自動(dòng)鉛筆的進(jìn)價(jià)；(2)已知專賣店將甲種自動(dòng)鉛筆每支提價(jià)1元出售，乙種自動(dòng)鉛筆提價(jià)20%出售，小靜在該專賣店購(gòu)買甲種自動(dòng)鉛筆m（m≥0）支、乙種自動(dòng)鉛筆n（n≥0）支，共花費(fèi)24元，小靜有幾種購(gòu)買方案？【答案】(1)甲、乙兩種自動(dòng)鉛筆的進(jìn)價(jià)分別為3元，5元(2)小靜一共有三種購(gòu)買方案【分析】（1）設(shè)甲、乙兩種自動(dòng)鉛筆的進(jìn)價(jià)分別為x元，y元，然后根據(jù)進(jìn)貨甲種自動(dòng)鉛筆4支和乙種自動(dòng)鉛筆2支共需22元，進(jìn)貨甲種自動(dòng)鉛筆8支所需費(fèi)用比進(jìn)貨乙種自動(dòng)鉛筆4支所需費(fèi)用多4元，列出方程組求解即可；（2）先求出甲、乙兩種自動(dòng)鉛筆新的售價(jià)分別為4元、6元，即可推出，再由m、n都是自然數(shù)，進(jìn)行求解即可．（1）解：設(shè)甲、乙兩種自動(dòng)鉛筆的進(jìn)價(jià)分別為x元，y元，由題意得：，解得，∴甲、乙兩種自動(dòng)鉛筆的進(jìn)價(jià)分別為3元，5元，答：甲、乙兩種自動(dòng)鉛筆的進(jìn)價(jià)分別為3元，5元；（2）解：∵專賣店將甲種自動(dòng)鉛筆每支提價(jià)1元出售，乙種自動(dòng)鉛筆提價(jià)20%出售，∴甲、乙兩種自動(dòng)鉛筆新的售價(jià)分別為4元、6元，∴，∴即，∵m、n都是自然數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴小靜一共有三種購(gòu)買方案，答：小靜一共有三種購(gòu)買方案．方法或規(guī)律點(diǎn)撥【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意列出方程（組）求解．鞏固練習(xí)1．（2022·浙江溫州·七年級(jí)期中）疫情期間，某單位采購(gòu)了50包口罩和30瓶消毒液，一共花費(fèi)1633元，其中消毒液的單價(jià)比口罩的單價(jià)多2元，求口罩的單價(jià)和消毒液的單價(jià)．設(shè)口罩的單價(jià)為x元，消毒液的單價(jià)為y元，依題意可列方程組為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)口罩的單價(jià)為x元，消毒液的單價(jià)為y元，根據(jù)等量關(guān)系式：消毒液的單價(jià)=口罩的單價(jià)+2元，50包口罩+30瓶消毒液=1633元，列出方程組即可．【詳解】解：設(shè)口罩的單價(jià)為x元，消毒液的單價(jià)為y元，根據(jù)題意得：，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·贛榆匯文雙語學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）一玻璃廠熔煉玻璃液，其原料由石英砂和長(zhǎng)石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%．經(jīng)過化驗(yàn)，石英砂中含二氧化硅95%，長(zhǎng)石粉中含二氧化硅63%．要配制3.2t原料，需石英砂，長(zhǎng)石粉各多少？【答案】需石英砂，長(zhǎng)石粉【分析】設(shè)需石英砂xt，長(zhǎng)石粉yt，根據(jù)題意，聯(lián)立方程組，解出即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)需石英砂xt，長(zhǎng)石粉yt，根據(jù)題意，可得：，解得：，答：需石英砂，長(zhǎng)石粉．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵在正確找出等量關(guān)系．3．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)大墩初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期中）為響應(yīng)創(chuàng)建全國(guó)文明城市，某校決定安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購(gòu)買1個(gè)溫馨提示牌和2個(gè)垃圾箱共需270元，若購(gòu)買2個(gè)溫馨提示牌和1個(gè)垃圾箱共需180元．(1)求一個(gè)溫磐提示牌和一個(gè)垃圾箱各需多少元？(2)根據(jù)計(jì)劃，該校需購(gòu)買溫馨提示牌和垃圾箱共60個(gè)，且溫馨提示牌數(shù)量不超過垃圾箱數(shù)量的一半，應(yīng)如何購(gòu)買才能使總費(fèi)用最少？并求出最少費(fèi)用．【答案】(1)30元，120元(2)應(yīng)購(gòu)買20個(gè)溫馨提示牌和40個(gè)垃圾箱才能使得總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為5400元【分析】（1）設(shè)購(gòu)買1個(gè)溫馨提示牌需要x元，購(gòu)買1個(gè)垃圾箱需要y元，根據(jù)“購(gòu)買1個(gè)溫馨提示牌和2個(gè)垃圾箱共需270元”得x+2y＝270，根據(jù)“購(gòu)買2個(gè)溫馨提示牌和1個(gè)垃圾箱共需180元”得2x+y＝180，組合成二元一次方程組便可；（2）設(shè)購(gòu)買溫馨提示牌a個(gè)，垃圾箱（60﹣a）個(gè)，總費(fèi)用為W元，根據(jù)題意列出不等式得出a的取值范圍，再列出W與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．（1）解：設(shè)一個(gè)溫馨提示牌x元，一個(gè)垃圾箱y元，依題意得：，解得：，答：一個(gè)溫馨提示牌30元，一個(gè)垃圾箱120元；（2）設(shè)購(gòu)買溫馨提示牌a個(gè)，垃圾箱（60﹣a）個(gè)，總費(fèi)用為w元，則：a≤（60﹣a），解得：a≤20，，即：，∵，∴W隨a的增大而減小，∴當(dāng)a＝20時(shí)，W取最小值，，此時(shí)：垃圾箱：60﹣20＝40（個(gè)），答：應(yīng)購(gòu)買20個(gè)溫馨提示牌和40個(gè)垃圾箱才能使得總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為5400元．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的二元一次方程組和一次函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)解答．4．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）4月22是世界讀書日，甲、乙兩名同學(xué)在讀書日到來之際共購(gòu)買圖書22本，其中甲同學(xué)購(gòu)買的圖書本數(shù)比乙同學(xué)的2倍多1本．求甲、乙兩名同學(xué)分別購(gòu)買的圖書本數(shù)．【答案】【分析】設(shè)甲同學(xué)購(gòu)買圖書本，乙同學(xué)購(gòu)買圖書本，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解．【詳解】設(shè)甲同學(xué)購(gòu)買圖書本，乙同學(xué)購(gòu)買圖書本，根據(jù)題意得，，解得．答：甲同學(xué)購(gòu)買圖書本，乙同學(xué)購(gòu)買圖書本．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．5．（2022·重慶市育才中學(xué)七年級(jí)開學(xué)考試）甲、乙兩倉(cāng)庫共存糧95噸，現(xiàn)從甲倉(cāng)庫運(yùn)出存糧的，從乙倉(cāng)庫運(yùn)出存糧的，這時(shí)甲倉(cāng)庫剩下的糧和乙倉(cāng)庫剩下的糧同樣多，甲、乙兩倉(cāng)庫原來各存糧多少噸？【答案】甲、乙兩倉(cāng)庫原來各存糧噸，噸．【分析】設(shè)甲、乙兩倉(cāng)庫原來各存糧噸，根據(jù)題意，列二元一次方程組，求解即可．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩倉(cāng)庫原來各存糧噸，由題意可得：，解得答：甲、乙兩倉(cāng)庫原來各存糧噸，噸．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到等量關(guān)系，正確列出方程組．6．（2022·浙江杭州·七年級(jí)期中）神舟十三號(hào)飛船搭載實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目中，四川省農(nóng)科院生物技術(shù)研究所共有a粒水稻種子，每粒種子質(zhì)量大約0.0000325千克；甘肅省天水市元帥系蘋果的b粒干燥種粒，每粒種子質(zhì)量大約0.002275千克，參與航天搭載誘變選育．(1)用科學(xué)記數(shù)法表示上述兩個(gè)數(shù)．(2)若參與航天搭載這兩包種子的質(zhì)量相等，求的值．(3)若這兩包種子的質(zhì)量總和為1.04千克，水稻種子粒數(shù)是蘋果種子粒數(shù)10倍，求a，b的值．【答案】(1)0.0000325=3.25×，0.002275=2.275×(2)(3)a=4000，b=400【分析】（1）絕對(duì)值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為a×，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定；（2）根據(jù)題意可知0.0000325a=0.002275b,計(jì)算即可；（3）根據(jù)題意列出方程組即可解答．（1）解：0.0000325=3.25×，0.002275=2.275×；（2）解：由題意得，0.0000325a=0.002275b，解得；（3）解：由題意，得，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a×，其中1≤|a|＜10，n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的0的個(gè)數(shù)所決定．還考查了，二元一次方程(組)的應(yīng)用．7．（2022·遼寧大連·七年級(jí)期末）物流公司用A型車和B型車運(yùn)送物資，已知用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨11噸．(1)求1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸?(2)該物流公司現(xiàn)有80噸貨物需要運(yùn)送，計(jì)劃同時(shí)租用A型車a輛，B型車b輛（每種車輛至少1輛且A型車數(shù)量少于B型車），一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿貨物．若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出所有租車方案并選出最省錢的租車方案，求出此時(shí)最少租車費(fèi)．【答案】(1)1輛A型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨3噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨4噸(2)租A型車4輛，B型車17輛，最少租車費(fèi)是2440元【分析】（1）設(shè)1輛A型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨x噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨y噸，根據(jù)“用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨11噸”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)果；（2）利用一次性裝運(yùn)貨物的總重量=1輛A型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨重量×租用A型車的數(shù)量+1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨重量×租用B型車的數(shù)量，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，結(jié)合a，b均為非負(fù)整數(shù)且A型車數(shù)量少于B型車，即可得出各租車方案，利用租車費(fèi)=每輛A型車的租金×租用A型車的數(shù)量+每輛B型車的租金×租用B型車的數(shù)量，可分別求出各租車方案所需租車費(fèi)，比較后即可得出結(jié)論．（1）解：設(shè)1輛A型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨x噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨y噸，依題意得：，解得：．答：1輛A型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨3噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨4噸．（2）依題意得：3a+4b=80，∴b==20-．∵a，b均為正整數(shù)，∴解得：或或或或或，∵a<b，∴共有2種租車方案，方案1：租用4輛A型車，17輛B型車；方案2：租用8輛A型車，14輛B型車；方案1所需租金為100×4+120×17=2440（元）；方案2所需租金為100×8+120×14=2480（元）；∵2480>2440，∴最省錢的租車方案是：租A型車4輛，B型車17輛，答：租A型車4輛，B型車17輛，最少租車費(fèi)是2440元．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．8．（2022·吉林·長(zhǎng)春市綠園區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校七年級(jí)期末）小明家需要用鋼管做防盜窗，按設(shè)計(jì)要求，需要長(zhǎng)為0.8m的鋼管100根，長(zhǎng)為2.5m的鋼管32根，并要求這些用料粗細(xì)相同且不能是焊接而成的．現(xiàn)鋼材市場(chǎng)的鋼管每根長(zhǎng)為6m．(1)試問一根長(zhǎng)6m的鋼管有哪些裁剪方法呢？請(qǐng)?zhí)顚懴驴眨ㄓ嗔献鲝U）．方法①：當(dāng)只裁剪長(zhǎng)為0.8m的用料時(shí)，最多可剪______根．方法②：當(dāng)先剪下1根2.5m的用料時(shí)，余下部分最多能剪0.8m長(zhǎng)的用料______根．方法③：當(dāng)先剪下2根2.5m的用料時(shí)，余下部分最多能剪0.8m長(zhǎng)的用料______根．(2)用（1）中的方法②和方法③各裁剪多少根6m長(zhǎng)的鋼管，才能剛好得到所需要的相應(yīng)數(shù)量的材料？小明是這樣考慮的：設(shè)用（1）中方法②裁剪x根6m長(zhǎng)的鋼管，用方法③裁剪y根6m長(zhǎng)的鋼管．由題意，可列方程組，進(jìn)而得到問題的解決，請(qǐng)幫助小明把過程補(bǔ)充完整．解：設(shè)用（1）中的方法②裁剪x根6m長(zhǎng)的鋼管，用方法③裁剪y根6m長(zhǎng)的鋼管，根據(jù)題意，得【答案】(1)7，4，1(2)用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m長(zhǎng)的鋼管【分析】（1）由總數(shù)÷每份數(shù)=份數(shù)就可以直接得出結(jié)論；（2）設(shè)用方法二剪x根，方法三裁剪y根6m長(zhǎng)的鋼管，就有x+2y=32，4x+y=100，由此方程構(gòu)成方程組求出其解即可．(1)解：方法①：6÷0.8=7…0.4，因此當(dāng)只裁剪長(zhǎng)為0.8m的用料時(shí)，最多可剪7根；方法②：（6-2.5）÷0.8=4…0.3，因此當(dāng)先剪下1根2.5m的用料時(shí)，余下部分最多能剪0.8m長(zhǎng)的用料4根；方法③：（6-2.5×2）÷0.8=1…0.2，因此當(dāng)先剪下2根2.5m的用料時(shí)，余下部分最多能剪0.8m長(zhǎng)的用料1根；故答案為：7，4，1．(2)解：設(shè)用（1）中的方法②裁剪x根6m長(zhǎng)的鋼管，用方法③裁剪y根6m長(zhǎng)的鋼管，根據(jù)題意，得，解得：．答：用方法②剪24根，方法③裁剪4根6m長(zhǎng)的鋼管．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二元一次方程組的解法的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)建立方程是關(guān)鍵．9．（2022·河南商丘·七年級(jí)階段練習(xí)）下面是學(xué)習(xí)二元一次方程組時(shí)，老師提出的問題和兩名同學(xué)所列的方程．問題：某個(gè)工人一天工作6個(gè)小時(shí)，可以生產(chǎn)零件一整箱和不足一箱的20個(gè)；由于特殊情況，今天他只工作4個(gè)小時(shí)，生產(chǎn)零件一整箱和不足一箱的4個(gè)，問這一箱零件和該工人每小時(shí)能生產(chǎn)的零件數(shù)分別是多少？小明所列方程：

小亮所列方程：根據(jù)以上信息，解答下列問題．(1)以上兩個(gè)方程（組）中意義是否相同？______（填“是”或“否”）；(2)小亮的方程所用等量關(guān)系______（填序號(hào)，“①每個(gè)小時(shí)生產(chǎn)的零件數(shù)”或“②4個(gè)小時(shí)生產(chǎn)的零件數(shù)相等”）；(3)從以上兩個(gè)方程（組）中任選一個(gè)求解，完整解答老師提出的問題．【答案】(1)是(2)②(3)這一箱零件和該工人每小時(shí)能生產(chǎn)的零件數(shù)分別是28個(gè)、8個(gè)．【分析】（1）根據(jù)所列方程分別得到小明和小亮所列方程中x的意義即可得到答案；（2）根據(jù)小亮所列方程的意義求解即可；（3）利用解一元一次方程和解二元一次方程組的方法求解即可．（1）解：由小明所列方程的意義可知，小明方程中x表示的是這一箱零件的個(gè)數(shù)，而由小亮所列方程的意義可知，小亮方程中的x表示的是這一箱零件的個(gè)數(shù)，∴以上兩個(gè)方程（組）中x意義相同，故答案為：是；（2）解：根據(jù)小亮所列方程的意義可知小亮的方程所用等量關(guān)系4個(gè)小時(shí)生產(chǎn)的零件數(shù)相等，故答案為：②；（3）解：，把①-②得：，解得，把代入①得：，解得；去分母得：，去括號(hào)：，移項(xiàng)得：，合并得：，系數(shù)化為1得：，∴，∴這一箱零件和該工人每小時(shí)能生產(chǎn)的零件數(shù)分別是28個(gè)、8個(gè)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程和二元一次方程組的應(yīng)用，正確理解所列方程的意義是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)3：方案決策問題典例：（2022·河南·鄭州市第十九初級(jí)中學(xué)八年級(jí)期末）鄭州“7．20”特大暴雨災(zāi)害，人民的生活受到了極大的影響．“一方有難，八方支援”，某市籌集了大量的生活物資，用A、B兩種型號(hào)的貨車，分兩批運(yùn)往鄭州，具體運(yùn)輸情況如表：第一批第二批A型貨車的輛數(shù)（單位：輛）12B型貨車的輛數(shù)（單位：輛）35累計(jì)運(yùn)輸物資的噸數(shù)（單位：噸）2850備注：第一批、第二批每輛貨車均滿載(1)求A、B兩種型號(hào)貨車每輛滿載分別能運(yùn)多少噸生活物資？(2)該市后續(xù)又籌集了70噸生活物資，若想恰好一次全部運(yùn)走，需要怎樣安排兩種型號(hào)的貨車？有哪幾種運(yùn)輸方案？(3)運(yùn)送生活物資到受災(zāi)地區(qū)，運(yùn)輸公司不收取任何費(fèi)用，但是一輛A型貨車需油費(fèi)500元，一輛B型貨車需油費(fèi)450元，為了節(jié)約成本，運(yùn)送上述70噸物資到鄭州應(yīng)選擇哪種運(yùn)輸方案？【答案】(1)每輛型貨車滿載能運(yùn)10噸生活物資，每輛型貨車滿載能運(yùn)6噸生活物資；(2)共有3種運(yùn)輸方案：方案1：安排7輛型貨車；方案2：安排4輛型貨車，5輛型貨車；方案3：安排1輛型貨車，10輛型貨車；(3)運(yùn)送上述70噸物資到鄭州應(yīng)選擇運(yùn)輸方案1：安排7輛型貨車．【分析】（1）設(shè)每輛型貨車滿載能運(yùn)噸生活物資，每輛型貨車滿載能運(yùn)噸生活物資，根據(jù)前兩批運(yùn)輸所使用的貨車的數(shù)量及累計(jì)運(yùn)輸物資的噸數(shù)，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)應(yīng)安排輛型貨車，輛型貨車，利用運(yùn)輸物資的噸數(shù)每輛型貨車滿載物資的噸數(shù)安排型貨車的數(shù)量每輛型貨車滿載物資的噸數(shù)安排型貨車的數(shù)量，即可得出關(guān)于，的二元一次方程，結(jié)合，均為自然數(shù)，即可得出各運(yùn)輸方案；（3）利用選擇各方案所需油費(fèi)每輛型貨車所需油費(fèi)安排型貨車的數(shù)量每輛型貨車所需油費(fèi)安排型貨車的數(shù)量，可求出選擇各方案所需油費(fèi)，比較后即可得出結(jié)論．（1）解：設(shè)每輛型貨車滿載能運(yùn)噸生活物資，每輛型貨車滿載能運(yùn)噸生活物資，依題意得：，解得：．答：每輛型貨車滿載能運(yùn)10噸生活物資，每輛型貨車滿載能運(yùn)6噸生活物資．（2）解：設(shè)應(yīng)安排輛型貨車，輛型貨車，依題意得：，．又，均為自然數(shù)，或或，共有3種運(yùn)輸方案，方案1：安排7輛型貨車；方案2：安排4輛型貨車，5輛型貨車；方案3：安排1輛型貨車，10輛型貨車．（3）解：選擇方案1所需油費(fèi)（元）；選擇方案2所需油費(fèi)（元）；選擇方案3所需油費(fèi)（元）．，運(yùn)送上述70噸物資到鄭州應(yīng)選擇運(yùn)輸方案1：安排7輛型貨車．方法或規(guī)律點(diǎn)撥【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，求出選擇各方案所需油費(fèi)．鞏固練習(xí)1．（2022·廣東韶關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）某校計(jì)劃為在校運(yùn)會(huì)上表現(xiàn)突出的12名志愿者每人頒發(fā)一件紀(jì)念品，李老師前往購(gòu)買鋼筆和筆記本作為紀(jì)念品，如果買10支鋼筆和2本筆記本，需230元；如果買8支鋼筆和4本筆記本，需220元．(1)求鋼筆和筆記本的單價(jià)；(2)售貨員提示：當(dāng)購(gòu)買的鋼筆超過6支時(shí)，所有的鋼筆打9折．設(shè)購(gòu)買鋼筆的支數(shù)為a．李老師購(gòu)買紀(jì)念品一共花了210元錢，求他可能購(gòu)買了多少支鋼筆？【答案】(1)鋼筆和筆記本的單價(jià)分別為20元，15元；(2)3或6或10支．【分析】（1）設(shè)鋼筆和筆記本的單價(jià)分別為x,y元，根據(jù)“買10支鋼筆和2本筆記本，需230元；如果買8支鋼筆和4本筆記本，需220元”列方程組求解；（2）設(shè)買a支鋼筆，則買b個(gè)筆記本，根據(jù)單價(jià)求得分別求得當(dāng)和時(shí)的費(fèi)用，進(jìn)而列出二元一次方程，解方程即可求解．（1）設(shè)鋼筆和筆記本的單價(jià)分別為x,y元，根據(jù)題意得：解得：，答：鋼筆和筆記本的單價(jià)分別為20元，15元；（2）設(shè)買a支鋼筆，買b個(gè)筆記本，當(dāng)時(shí)，，即，∴，∵為正整數(shù)，且，∴，，當(dāng)時(shí)，，即，即，∴，∵為正整數(shù)，且，∴，綜上所述，3或6或10．答：他可能購(gòu)買了3或6或10支鋼筆．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程（組）的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程（組）是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江·樂清市英華學(xué)校七年級(jí)期中）自從上海發(fā)生新冠肺炎發(fā)生以來，社會(huì)各界攜手抗疫，全國(guó)人民積極捐助，共克時(shí)艱．溫州市無償捐助新鮮蔬菜120t運(yùn)往疫區(qū)，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運(yùn)載能力和運(yùn)費(fèi)如表所示：(假設(shè)每輛車均滿載)車型甲乙丙汽車運(yùn)載量(t/輛)5810汽車運(yùn)費(fèi)(元/輛)400500600(1)全部蔬菜可用甲型車8輛，乙型車5輛，丙型車____輛來運(yùn)送；(2)若全部蔬菜都用甲、乙兩種車型來運(yùn)送，需運(yùn)費(fèi)8200元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？(3)該地打算用甲、乙、丙三種車型同時(shí)參與運(yùn)送，已知它們的總輛數(shù)為16輛，你能分別求出運(yùn)費(fèi)最省時(shí)三種車型的輛數(shù)嗎？此時(shí)的運(yùn)費(fèi)又是多少元？【答案】(1)4(2)需要8輛甲型車，10輛乙型車(3)需要4輛甲型車、10輛乙型車、2輛丙型車運(yùn)費(fèi)最省，此時(shí)的運(yùn)費(fèi)是7800元【分析】(1)直接用算術(shù)方法解答；（2）根據(jù)已知條件列出二元一次方程組解答；（3）設(shè)需要m輛甲型車，n輛乙型車，需要(16－m－n)輛丙型車，則根據(jù)題意可以得到關(guān)于m、n的二元一次方程，然后根據(jù)m、n同為整數(shù)，可以算出滿足條件的幾種方案，對(duì)每種方案計(jì)算出運(yùn)費(fèi)并進(jìn)行比較即可得解．（1）(120－5×8－8×5)÷10＝4(輛)；（2）設(shè)需要x輛甲型車，y輛乙型車，依題意，得解得答：需要8輛甲型車，10輛乙型車；（3）設(shè)需要m輛甲型車，n輛乙型車，則需要(16－m－n)輛丙型車，依題意，得5m＋8n＋10(16－m－n)＝120，∴m＝8－n.∵m，n，(16－m－n)均為正整數(shù)，∴或當(dāng)m＝6，n＝5時(shí)，16－m－n＝5，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)為400×6＋500×5＋600×5＝7900(元)；當(dāng)m＝4，n＝10時(shí)，16－m－n＝2，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)為400×4＋500×10＋600×2＝7800(元)．∵7900＞7800，∴m＝4，n＝10，16－m－n＝2.答：需要4輛甲型車、10輛乙型車、2輛丙型車運(yùn)費(fèi)最省，此時(shí)的運(yùn)費(fèi)是7800元．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程（組）的應(yīng)用，熟練掌握二元一次方程（組）的列出和求解是解題關(guān)鍵關(guān)鍵．3．（2022·遼寧·大連高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)園區(qū)普羅旺斯學(xué)校七年級(jí)期中）某公司籌集了120噸的救災(zāi)物資運(yùn)往災(zāi)區(qū)，現(xiàn)有甲、乙、丙三種車型供選擇，每輛車的運(yùn)載能力和運(yùn)費(fèi)如下表所示（假設(shè)每輛車均滿載）．車型甲乙丙汽車運(yùn)載量（噸/輛）5810汽車運(yùn)費(fèi)（元/輛）200250300(1)全部救災(zāi)物資可用甲型車8輛，乙型車5輛，丙型車_______輛來運(yùn)送；(2)若全部物資都用甲、乙兩種車型來運(yùn)送，需運(yùn)費(fèi)4100元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？(3)為了節(jié)省運(yùn)費(fèi)，公司打算用甲、乙、丙三種車型同時(shí)參與運(yùn)送，已知它們的總輛數(shù)為14輛，分別求出三種車型的輛數(shù)，并求出此時(shí)的運(yùn)費(fèi)．【答案】(1)4(2)分別需甲、乙兩種車型為8輛和10輛(3)甲車2輛，乙車5輛，丙車7輛，需運(yùn)費(fèi)3750元【分析】（1）根據(jù)甲型車運(yùn)載量是5噸/輛，乙型車運(yùn)載量是8噸/輛，丙型車運(yùn)載量是10噸/輛，再根據(jù)總噸數(shù)，即可求出丙型車的車輛數(shù)；（2）設(shè)需甲車滿，乙車y輛，根據(jù)運(yùn)費(fèi)4100元，總噸數(shù)是120噸，列出方程組，再進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)甲車有輛，乙車有b輛，則丙車有（14-a-b）輛，列出等式，再根據(jù)a、b、14-a-b均為正整數(shù)，求出a，b的值，從而得出答案，（1）解：根據(jù)題意得∶，答∶丙型車4輛來運(yùn)送；故答案為：4（2）解：設(shè)需要甲x輛，乙y輛，根據(jù)題意得：，解得，答：分別需甲、乙兩種車型為8輛和10輛．（3）解：設(shè)甲車有a輛，乙車有b輛，則丙車有輛，由題意得：，即，∵a、b、均為正整數(shù)，∴b只能等于5，∴，，∴甲車2輛，乙車5輛，丙車7輛，則需運(yùn)費(fèi)200×2+250×5+300×7=3750（元），答：甲車2輛，乙車5輛，丙車7輛，需運(yùn)費(fèi)3750元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的應(yīng)用，將現(xiàn)實(shí)生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題列出方程即可求解，利用整體思想和未知數(shù)的實(shí)際意義通過篩選法可得到未知數(shù)的具體解，這種方法要掌握．4．（2022·浙江·蕭山區(qū)高橋初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期中）“當(dāng)好東道主，文明迎亞運(yùn)”，本區(qū)對(duì)亞運(yùn)場(chǎng)館附近的主干道進(jìn)行了改造，因道路建設(shè)需要開挖土石方，計(jì)劃每小時(shí)挖掘土石方1760m3，現(xiàn)決定向某大型機(jī)械租賃公司租用甲、乙兩種型號(hào)的挖掘機(jī)來完成這項(xiàng)工作，租賃公司提供的挖掘機(jī)有關(guān)信息如表：租金（單位：元/臺(tái)?時(shí)）挖掘土石方量（單位：m3/臺(tái)?時(shí)）甲型190160乙型260240(1)若租用甲、乙兩種型號(hào)的挖掘機(jī)共8臺(tái)，恰好完成每小時(shí)的挖掘量，則甲、乙兩種型號(hào)的挖掘機(jī)各需多少臺(tái)？(2)如果每小時(shí)支付的租金不超過2000元，又恰好完成每小時(shí)的挖掘量，那么共有幾種不同的租用方案？【答案】(1)需租用甲型號(hào)的挖掘機(jī)2臺(tái)，乙型號(hào)的挖掘機(jī)6臺(tái)；(2)有2種方案【分析】（1）設(shè)需租用甲型號(hào)的挖掘機(jī)x臺(tái)，乙型號(hào)的挖掘機(jī)y臺(tái)，根據(jù)“租用甲、乙兩種型號(hào)的挖掘機(jī)共8臺(tái)，恰好完成每小時(shí)的挖掘量”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)需租用甲型號(hào)的挖掘機(jī)m臺(tái)，乙型號(hào)的挖掘機(jī)n臺(tái)，根據(jù)恰好完成每小時(shí)的挖掘量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出m，n的值，再結(jié)合每小時(shí)支付的租金不超過2000元，即可得出共有2種不同的租用方案．（1）解：設(shè)需租用甲型號(hào)的挖掘機(jī)x臺(tái)，乙型號(hào)的挖掘機(jī)y臺(tái)，依題意得：，解得：．答：需租用甲型號(hào)的挖掘機(jī)2臺(tái)，乙型號(hào)的挖掘機(jī)6臺(tái)；（2）解：設(shè)需租用甲型號(hào)的挖掘機(jī)m臺(tái)，乙型號(hào)的挖掘機(jī)n臺(tái)，依題意得：160m+240n=1760，∴m=11-n．又∵m，n均為正整數(shù)，∴或或．①當(dāng)m=8，n=2時(shí)，每小時(shí)需支付的租金為190×8+260×2=2040（元），2040＞2000，不符合題意，舍去；②當(dāng)m=5，n=4時(shí)，每小時(shí)需支付的租金為190×5+260×4=1990（元），1990＜2000，符合題意；③當(dāng)m=2，n=6時(shí)，每小時(shí)需支付的租金為190×2+260×6=1940（元），1940＜2000，符合題意．答：共有2種不同的租用方案．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．5．（2022·河北·石家莊外國(guó)語教育集團(tuán)七年級(jí)期中）在石家莊外國(guó)語學(xué)校組織的讀書節(jié)活動(dòng)中，為幫扶山區(qū)學(xué)校貧困同學(xué)，某班班長(zhǎng)代表班級(jí)購(gòu)買了一些學(xué)習(xí)用品，他與學(xué)習(xí)委員的對(duì)話如圖所示：(1)請(qǐng)根據(jù)圖中信息，列出二元一次方程組，并通過求解說明班長(zhǎng)確實(shí)算錯(cuò)了；(2)若要將領(lǐng)來的元全部用來買水筆，恰好花完．班長(zhǎng)用列表法將所用方案進(jìn)行了梳理：?jiǎn)蝺r(jià)元筆的數(shù)量單價(jià)元筆的數(shù)量則滿足條件的所有方案共______種，表中的最大值是______．【答案】(1)，理由見解析(2)24，116【分析】（1）根據(jù)圖中的信息可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解，再根據(jù)水筆數(shù)量為整數(shù)，即可說明理由；（2）根據(jù)題意，可以寫出相應(yīng)的二元一次方程，再根據(jù)水筆數(shù)量為整數(shù)，可以得到有多少種方案以及的最小值．（1）解：設(shè)購(gòu)買單價(jià)為元的水筆支，單價(jià)為元的水筆支，由圖可得：，解得，，為整數(shù)，班長(zhǎng)確實(shí)算錯(cuò)了；（2）解：由表格可得，，，，令，隨的增大而減小，，、均為非負(fù)整數(shù)，，，，，，取值的個(gè)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，由上可得，滿足條件的所有方案共種，表中的最大值是，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程或方程組．6．（2022·陜西·商洛市山陽信毅九年制學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）新型冠狀病毒傳染性非常強(qiáng)，多是通過飛沫，接觸，還有氣溶膠傳播，所以一定要做好個(gè)人防護(hù)，盡量少外出，更不要聚集，佩戴醫(yī)用外科口罩是非常有效的個(gè)人防護(hù)．為了做好個(gè)人防護(hù)，樂樂用40元錢買了A，B兩種型號(hào)的醫(yī)用外科口罩（兩種型號(hào)都買），A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用完的情況下，有哪幾種購(gòu)買方案？【答案】方案一：購(gòu)買A型2包，B型7包；方案二：購(gòu)買A型4包，B型4包；方案三：購(gòu)買A型6包，B型1包，三種方案．【分析】根據(jù)題意列二元一次方程，求方程的整數(shù)解即可．【詳解】解：設(shè)購(gòu)買A型x包，B型y包則：由題意得：，∵x，y為正整數(shù)，∴當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，∴共有方案一：購(gòu)買A型2包，B型7包；方案二：購(gòu)買A型4包，B型4包；方案三：購(gòu)買A型6包，B型1包，三種方案．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用．根據(jù)題意，準(zhǔn)確的列出方程是解題的關(guān)鍵．7．（2022·福建·廈門市杏南中學(xué)七年級(jí)期中）某校七年級(jí)為了開展球類興趣小組，需要購(gòu)買一批足球和籃球，若購(gòu)買2個(gè)足球和3個(gè)籃球需220元；若購(gòu)買4個(gè)足球和2個(gè)籃球需280元．(1)求出足球和籃球的單價(jià)分別是多少？(2)已知該年級(jí)決定用800元購(gòu)進(jìn)兩種球，若兩種球都要有，請(qǐng)問有幾種購(gòu)買方案，并請(qǐng)加以說明．【答案】(1)足球的單價(jià)為50元，籃球的單價(jià)為40元；(2)有三種購(gòu)買方案，方案1：購(gòu)進(jìn)4個(gè)足球，15個(gè)籃球；方案2：購(gòu)進(jìn)8個(gè)足球，10個(gè)籃球；方案3：購(gòu)進(jìn)12個(gè)足球，5個(gè)籃球．【分析】（1）設(shè)足球的單價(jià)為x元，籃球的單價(jià)為y元，根據(jù)“若購(gòu)買2個(gè)足球和3個(gè)籃球需220元；若購(gòu)買4個(gè)足球和2個(gè)籃球需280元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)購(gòu)買m個(gè)足球，n個(gè)籃球，根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，再結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出各購(gòu)買方案．（1）解：設(shè)足球的單價(jià)為x元，籃球的單價(jià)為y元，依題意，得：，解得：，答：足球的單價(jià)為50元，籃球的單價(jià)為40元；（2）設(shè)購(gòu)買m個(gè)足球，n個(gè)籃球，依題意，得：50m＋40n＝800，解得：n∵m，n均為正整數(shù)，∴當(dāng)m＝4時(shí)，n＝15；當(dāng)m＝8時(shí)，n＝10；當(dāng)m＝12時(shí)，n＝5；∴有三種購(gòu)買方案，方案1：購(gòu)進(jìn)4個(gè)足球，15個(gè)籃球；方案2：購(gòu)進(jìn)8個(gè)足球，10個(gè)籃球；方案3：購(gòu)進(jìn)12個(gè)足球，5個(gè)籃球．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程．8．（2022·上海理工大學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)期末）某生產(chǎn)教具的廠家準(zhǔn)備生產(chǎn)正方體教具，教具由塑料棒與金屬球組成（一條棱用一根塑料棒，一個(gè)頂點(diǎn)由一個(gè)金屬球鑲嵌），并且根據(jù)材質(zhì)優(yōu)劣分為高檔、中檔和低檔三種檔次進(jìn)行包裝．(1)該廠家的一個(gè)車間負(fù)責(zé)生產(chǎn)正方體教具，該車間共有33名工人，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)塑料棒100根或者金屬球80個(gè)，如果你是車間主任，你會(huì)如何分配工人成套生產(chǎn)正方體教具？(2)現(xiàn)某中學(xué)購(gòu)買兩種檔次的正方體教具共100套（價(jià)格如表所示），品種高檔中檔低檔價(jià)格（元/套）302010若恰好用了1800元，請(qǐng)問該學(xué)校應(yīng)該如何購(gòu)買該教具？【答案】(1)應(yīng)安排18人生產(chǎn)塑料棒，15人生產(chǎn)金屬球．(2)該學(xué)校應(yīng)購(gòu)買高檔正方體教具40套，低檔正方體教具60套或購(gòu)買中檔正方體教具80套，低檔正方體教具20套．【分析】（1）設(shè)安排x人生產(chǎn)塑料棒，則安排（33﹣x）人生產(chǎn)金屬球，根據(jù)生產(chǎn)的塑料棒和金屬球正好配套，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）利用均價(jià)＝總價(jià)÷數(shù)量，可求出每套教具的均價(jià)，結(jié)合三檔教具的單價(jià)可得出只有購(gòu)買高、低檔和購(gòu)買中、低檔兩種情況，當(dāng)購(gòu)買高、低兩檔時(shí)，設(shè)購(gòu)買高檔正方體教具a套，低檔正方體教具b套，根據(jù)購(gòu)買兩檔教具共花費(fèi)1800元，即可得出關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；當(dāng)購(gòu)買中、低檔時(shí)，設(shè)購(gòu)買中檔正方體教具m套，低檔正方體教具n套，根據(jù)購(gòu)買兩檔教具共花費(fèi)1800元，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．（1）解：設(shè)安排x人生產(chǎn)塑料棒，則安排（33﹣x）人生產(chǎn)金屬球，依題意得：＝，解得：x＝18，∴33﹣x＝33﹣18＝15．答：應(yīng)安排18人生產(chǎn)塑料棒，15人生產(chǎn)金屬球．（2）解：∵每套教具的均價(jià)為1800÷100＝18（元/套），∴只有購(gòu)買高、低檔和購(gòu)買中、低檔兩種情況．當(dāng)購(gòu)買高、低兩檔時(shí)，設(shè)購(gòu)買高檔正方體教具a套，低檔正方體教具b套，依題意得：，解得：．∴學(xué)校購(gòu)買高檔正方體教具40套，低檔正方體教具60套．當(dāng)購(gòu)買中、低檔時(shí)，設(shè)購(gòu)買中檔正方體教具m套，低檔正方體教具n套，依題意得：，解得：．∴學(xué)校購(gòu)買中檔正方體教具80套，低檔正方體教具20套．答：該學(xué)校應(yīng)購(gòu)買高檔正方體教具40套，低檔正方體教具60套或購(gòu)買中檔正方體教具80套，低檔正方體教具20套．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組．9．（2022·貴州·仁懷市周林學(xué)校七年級(jí)期中）已知用輛型車和輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸；用輛型車和輛型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨噸．某物流公司現(xiàn)有噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用型車輛，型車輛，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿貨物．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)1輛型車和1輛型車都裝滿貨物一次可分別運(yùn)貨多少噸？(2)請(qǐng)你幫該物流公司設(shè)計(jì)租車方案（即、兩種型號(hào)的車各租幾輛，有幾種租車方案）．【答案】(1)1輛A型車一次可運(yùn)貨3噸，1輛B型車一次可運(yùn)貨4噸(2)三種方案：方案一：租用A型車1輛，B型車7輛；方案二：租用A型車5輛，B型車4輛；方案三：租用A型車9輛，B型車1輛【分析】（1）設(shè)1輛A型車一次可運(yùn)貨x噸，1輛B型車一次可運(yùn)貨y噸，由“用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨10噸；用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運(yùn)貨11噸”列出方程組可求解；（2）由“現(xiàn)有31噸貨物，計(jì)劃同時(shí)租用A型車和B型車，一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿貨物”列出方程，求出正整數(shù)解，即可求解．（1）解：（1）設(shè)1輛A型車一次可運(yùn)貨x噸，1輛B型車一次可運(yùn)貨y噸，由題意可得：，解得：，答：1輛A型車一次可運(yùn)貨3噸，1輛B型車一次可運(yùn)貨4噸．（2）解：由題意可得：3a+4b=31，∵a,b為正整數(shù)，∴a=1，b=7或a=5，b=4或a=9，b=1，∴有三種方案，方案一：租用A型車1輛，B型車7輛；方案二：租用A型車5輛，B型車4輛；方案三：租用A型車9輛，B型車1輛答：方案一：租用A型車1輛，B型車7輛；方案二：租用A型車5輛，B型車4輛；方案三：租用A型車9輛，B型車1輛．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用和二元一次方程的應(yīng)用，找出正確的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2022·吉林·長(zhǎng)春博碩學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）某公司購(gòu)買了一批物資并安排兩種貨車運(yùn)送.調(diào)查得知，2輛小貨車與3輛大貨車一次可以滿載運(yùn)輸1900件；4輛小貨車與2輛大貨車一次可以滿載運(yùn)輸2200件，(1)求1輛大貨車和1輛小貨車一次可以分別滿載運(yùn)輸多少件物資？(2)若6輛小貨車，5輛大貨車均滿載，共可運(yùn)輸多少件？【答案】(1)1輛小貨車一次可以滿載運(yùn)輸350件物資，1輛大貨車一次可以滿載運(yùn)輸400件物資；(2)6輛小貨車，5輛大貨車均滿載，共可運(yùn)輸4100件【分析】（1）設(shè)1輛小貨車一次可以滿載運(yùn)輸x件物資，1輛大貨車一次可以滿載運(yùn)輸y件物資，根據(jù)“2輛小貨車與3輛大貨車一次可以滿載運(yùn)輸1900件；4輛小貨車與2輛大貨車一次可以滿載運(yùn)輸2200件”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的方程，兩個(gè)方程相加即可求解．（1）解：設(shè)1輛小貨車一次可以滿載運(yùn)輸x件物資，1輛大貨車一次可以滿載運(yùn)輸y件物資，依題意得：，解得：．答：1輛小貨車一次可以滿載運(yùn)輸350件物資，1輛大貨車一次可以滿載運(yùn)輸400件物資．（2）兩式相加得：答：6輛小貨車，5輛大貨車均滿載，共可運(yùn)輸4100件．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)4：古典文化中的二元一次方程組典例：（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子．問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據(jù)以上譯文，提出以下兩個(gè)問題：(1)求每頭牛、每只羊各值多少兩銀子？(2)若某商人準(zhǔn)備用20兩銀子買牛和羊（要求既有牛也有羊，且銀兩須全部用完），請(qǐng)你幫商人設(shè)計(jì)一種購(gòu)買方案．【答案】(1)每頭牛3兩銀子，每頭羊2兩銀子(2)共有三種購(gòu)買方法：方案一：購(gòu)買2頭牛，7頭羊；方案二：購(gòu)買4頭牛，4頭羊；方案三：購(gòu)買6頭牛，1頭羊．【分析】（1）設(shè)每頭牛x兩銀子，每頭羊y兩銀子，根據(jù)“有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子．”列出方程組，即可求解；（2）設(shè)該商人購(gòu)買了a頭牛，b頭羊，根據(jù)題意列出方程，再結(jié)合a、b均為正整數(shù)，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)每頭牛x兩銀子，每頭羊y兩銀子，根據(jù)題意得：；解得，答：每頭牛3兩銀子，每頭羊2兩銀子．（2）解：設(shè)該商人購(gòu)買了a頭牛，b頭羊，根據(jù)題意，得，∴，∵a、b均為正整數(shù)，∴該方程的解為或或所以共有三種購(gòu)買方法：方案一：購(gòu)買2頭牛，7頭羊；方案二：購(gòu)買4頭牛，4頭羊；方案三：購(gòu)買6頭牛，1頭羊．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2022·河南·南陽市第四完全學(xué)校七年級(jí)期中）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺．問木長(zhǎng)多少尺？設(shè)木長(zhǎng)x尺，繩長(zhǎng)y尺，可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意可列方程組為；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，熟練掌握二元一次方程組的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木還剩余1尺，問長(zhǎng)木多少尺？如果設(shè)長(zhǎng)木長(zhǎng)尺、繩長(zhǎng)尺，則可以列方程組是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)長(zhǎng)木長(zhǎng)尺、繩長(zhǎng)尺，根據(jù)“用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木還剩余1尺，”列出方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)長(zhǎng)木長(zhǎng)尺、繩長(zhǎng)尺，根據(jù)題意得：．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022·福建·泉州市第九中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中的“方程”一章中講述了算籌圖，如圖1．圖2所示，圖中各行從左到右列出的算籌數(shù)分別表示未知數(shù)xy的系數(shù)與相應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)，圖1表示的算籌圖用我們現(xiàn)在所熟悉的方程組形式表述出來為類似地，圖2所示的算籌圖我們可以表述為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖1的方程組，可知圖中第一組小棍數(shù)代表幾個(gè)x，第二組的小棍數(shù)代表幾個(gè)y，最后兩組代表數(shù)字，然后即可寫出圖2表示的方程組．【詳解】解：由題意可得，圖2所示的算籌圖我們可以表述為：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出等量關(guān)系，列出相應(yīng)的方程組．4．（2022·河南·睢縣第二中學(xué)七年級(jí)期中）《增刪算法統(tǒng)宗》提到：“今有布絹三十疋，共賣價(jià)鈔五百七．四疋絹價(jià)九十貫，三疋布價(jià)該五十．欲問絹布各幾何?……”其大意是：今有絹與布30疋，賣得570貫錢，4疋絹價(jià)90貫，3疋布價(jià)50貫，問絹與布各有多少．設(shè)絹有疋，布有疋，依據(jù)題意可列方程組為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】依據(jù)“今有綿與布30疋，賣得570貫錢，4疋絹價(jià)90貫，3疋布價(jià)50貫”列出方程組，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．5．（2022·四川·成都七中八年級(jí)期中）我國(guó)古代很早就開始對(duì)一次方程組進(jìn)行研究，很多題目保留至今，如《九章算術(shù)》中有這樣的一道古代問題，“有大小兩種盛酒的桶，已知個(gè)大桶加上個(gè)小桶可以盛酒斛，個(gè)大桶加上個(gè)小桶可以盛酒斛，”在本題題干中，用個(gè)大桶和個(gè)小桶共盛酒______斛.【答案】【分析】根據(jù)題意列出二元一次方程組，進(jìn)一步求解即可；【詳解】解：設(shè)每個(gè)大桶可以盛酒斛，每個(gè)小桶可以盛酒斛由題意可得：得：化簡(jiǎn)得：∴用個(gè)大桶和個(gè)小桶共盛酒斛；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用；熟練根據(jù)題意列出相對(duì)應(yīng)的二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．6．（2022·陜西·無八年級(jí)期中）《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問題，“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四、問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”大意是：有幾個(gè)人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，問有___________人，該物品價(jià)值___________元．【答案】

【分析】設(shè)有人，物品價(jià)值為元，根據(jù)題意列出二元一次方程組進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)有人，物品價(jià)值為元，由題意得：，解得：；答：有人，物品價(jià)值元；故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用．根據(jù)題意正確的列出方程組是解題的關(guān)鍵．7．（2022·山東·慶云縣東辛店中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）【閱讀材料】“九宮圖”源于我國(guó)古代夏禹時(shí)期的“洛書”如圖①，是世界上最早的矩陣，又稱幻方．用今天的數(shù)學(xué)符號(hào)表示，洛書就是一個(gè)三階幻方如圖②．（1）觀察圖②，根據(jù)九宮圖中各數(shù)字之間的關(guān)系，我們可以總結(jié)出幻方需要滿足的條件是__________________________________________________________；（2）若圖③是一個(gè)幻方，求圖中_____________，___________【答案】

每一橫行、每一豎列、每一對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和相同

0【分析】通過觀察和口算每橫行、每豎行、每條對(duì)角線上的三數(shù)和，便可確定出“幻方”需要的條件，再由此規(guī)律列出二元一次方程組，解方程組即可．【詳解】解：通過觀察和口算可知，“幻方”需要滿足的條件是：每一橫行、每一豎列、每一對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和相同．由幻方的條件得：，解得：，故答案為：①每一橫行、每一豎列、每一對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和相同；②，③0．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江西·尋烏縣教育局教學(xué)研究室二模）《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩五尺；屈繩量之，不足二尺，木長(zhǎng)幾何？”譯文大致是：“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余5尺；將繩子對(duì)折再量木條，木條剩余2尺，問木條長(zhǎng)多少尺？”如果設(shè)木條長(zhǎng)x尺，繩子長(zhǎng)y尺，可列方程組為________________．【答案】【分析】用一根繩子去量一根木條，繩子剩余5尺可知：繩子比木條長(zhǎng)5尺得：；繩子對(duì)折再量木條，木條剩余2尺可知：繩子對(duì)折后比木條短1尺得：；從而可得答案.【詳解】解：由題意可得方程組為：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵.9．（2022·上海市梅隴中學(xué)九年級(jí)期中）《九章算術(shù)》中有一道題的條件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小兩種盛米的桶，4大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加4小桶共盛2斛米，依據(jù)該條件，1大桶加1小桶共盛_________斛米．【答案】1【分析】設(shè)1個(gè)大桶可以盛x斛米，一個(gè)小桶可以盛y斛米，根據(jù)題意列出方程組，即可求解．【詳解】解：設(shè)1個(gè)大桶可以盛x斛米，一個(gè)小桶可以盛y斛米，由題意可得，解得：x+y=1，即1大桶加1小桶共盛1斛米，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）驢和騾子馱著貨物走在路上，驢不停的埋怨自己馱的貨物太重了，壓得受不了．騾子對(duì)驢說：“你發(fā)什么牢騷??！我馱的貨比你重，如果你馱的貨給我一袋子，那我馱的比你多一倍，而如果我馱的貨給你一袋子，咱倆馱的才一樣多”請(qǐng)問你知道驢和騾子各馱了多少袋子貨物嗎？【答案】驢子原來所馱貨物為5袋，騾子原來所馱貨物為7袋．【分析】根據(jù)題意可知，本題中的相等關(guān)系是“如果你馱的貨給我一袋子，那我馱的比你多一倍”和“如果我馱的貨給你一袋子，咱倆馱的才一樣多”，列方程組求解即可．【詳解】解：設(shè)驢子原來所馱貨物為x袋，騾子原來所馱貨物為y袋．由題意得

，解得，即：驢子原來所馱貨物為5袋，騾子原來所馱貨物為7袋．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用．利用二元一次方程組求解的應(yīng)用題一般情況下題中要給出2個(gè)等量關(guān)系，準(zhǔn)確地找到等量關(guān)系并用方程組表示出來是解題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇徐州·中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，問禽、獸各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個(gè)頭與46只腳．問獸、鳥各有多少？根據(jù)譯文，解決下列問題：(1)設(shè)獸有x個(gè)，鳥有y只，可列方程組為；(2)求獸、鳥各有多少．【答案】(1)(2)獸有8只，鳥有7只．【分析】（1）根據(jù)“獸與鳥共有76個(gè)頭與46只腳”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組；（2）解方程組，即可得出結(jié)論．（1）解：∵獸與鳥共有76個(gè)頭，∴6x+4y=76；∵獸與鳥共有46只腳，∴4x+2y=46．∴可列方程組為．故答案為：；（2）解：原方程組可化簡(jiǎn)為，由②可得y=23-2x③，將③代入①得3x+2（23-2x）=38，解得x=8，∴y=23-2x=23-2×8=7．答：獸有8只，鳥有7只．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．12．（2022·安徽·蕪湖市第二十九中學(xué)二模）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷中記載有“多人共車”問題，原文如下：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？”意思是：今有若干人乘車，每3人乘1車，所乘車都坐滿，最終剩余2輛車；若每2人共乘1車，最終剩余9個(gè)人無車可乘，問共有多少人，多少輛車？【答案】39人，15輛車【分析】設(shè)共有x人，y輛車，由題意：每3人共乘一車，所乘車都坐滿，最終剩余2輛車，若每2人共乘一車，最終剩余9個(gè)人無車可乘．列出二元一次方程組，解方程組即可．【詳解】解：設(shè)共有人，輛車，根據(jù)題意得：，解得：，答：共有39人，15輛車．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)5：行程問題典例：（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）列方程組解應(yīng)用題：(1)有48支隊(duì)520名運(yùn)動(dòng)員參加籃球、排球比賽，其中每支籃球隊(duì)有10人，每支排球隊(duì)12人，每名運(yùn)動(dòng)員只能參加一項(xiàng)比賽，籃球、排球隊(duì)各有多少支參賽？(2)小方、小程兩人相距6km，兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，1h相遇；同時(shí)出發(fā)同向而行，小方3h可追上小程．兩人的平均速度各是多少？【答案】(1)籃球有28支隊(duì)參賽，排球有20支隊(duì)參賽；(2)小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．【分析】（1）設(shè)籃球、排球隊(duì)各有x支、y支參賽，根據(jù)有48支隊(duì)520名運(yùn)動(dòng)員參加籃球、排球比賽，其中每支籃球隊(duì)有10人，每支排球隊(duì)12人，每名運(yùn)動(dòng)員只能參加一項(xiàng)比賽列出方程組求解即可；（2）設(shè)小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，根據(jù)小方、小程兩人相距6km，兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，1h相遇；同時(shí)出發(fā)同向而行，小方3h可追上小程列出方程組求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)籃球、排球隊(duì)各有x支、y支參賽，由題意得：解得，答：籃球有28支隊(duì)參賽，排球有20支隊(duì)參賽；（2）解：設(shè)小方、小程的平均速度各是mkm/h，nkm/h，由題意得：，解得，答：小方的平均速度是4km/h，小程的平均速度是2km/h．方法或規(guī)律點(diǎn)撥本題主要考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列出對(duì)應(yīng)的方程組是解題的關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2022·民大附中海南陵水分校七年級(jí)期中）甲、乙兩人相距300米，若兩人同時(shí)相向而行，則需3分鐘相遇；如果兩人同時(shí)同向而行，那么半小時(shí)后甲追上乙，則甲、乙兩人的速度是（

）A．55米/分，40米/分 B．55米/分，45米/分C．50米/分，45米/分 D．50米/分，45米/分【答案】B【分析】設(shè)甲、乙兩人的速度分別是x米/分，y米/分，根據(jù)“兩人同時(shí)相向而行，則需3分鐘相遇；如果兩人同時(shí)同向而行，那么半小時(shí)后甲追上乙”列出二元一次方程組，解方程組可得答案．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人的速度分別是x米/分，y米/分，由題意得：，解得：，∴甲、乙兩人的速度分別是55米/分，45米/分，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確理解題意，列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）甲乙兩輛小車同時(shí)從A地開出，甲車比乙車每小時(shí)快，結(jié)果甲車行駛了40分鐘到達(dá)了地，而乙車比甲車晚5分鐘到達(dá)地，設(shè)甲車和乙車的速度分別為，，則下列方程組正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)甲車比乙車每小時(shí)快，得x-y=10，根據(jù)甲車行駛了40分鐘到達(dá)了地，而乙車比甲車晚5分鐘到達(dá)地，得，由此得到方程組．【詳解】解：設(shè)甲車和乙車的速度分別為，，根據(jù)甲車比乙車每小時(shí)快，得x-y=10，根據(jù)甲車行駛了40分鐘到達(dá)了地，而乙車比甲車晚5分鐘到達(dá)地，得，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是列得方程組的關(guān)鍵．3．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）從甲地到乙地有一段長(zhǎng)xkm的上坡與一段長(zhǎng)ykm的平路．如果保持上坡每小時(shí)走3km，平路每小時(shí)走4km，下坡每小時(shí)走5km，那么從甲地到乙地需54min，從乙地到甲地需42min．根據(jù)題意，可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】去乙地時(shí)的路程和回來時(shí)是相同的，去時(shí)的上坡路回來時(shí)是下坡路，平路不變，已知上下坡的速度和平路速度，根據(jù)去時(shí)和回來時(shí)的時(shí)間關(guān)系，可列出方程組．【詳解】解：設(shè)坡路長(zhǎng)xkm，平路長(zhǎng)ykm，由題意得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，找出合適的等量關(guān)系列方程組．4．（2022·內(nèi)蒙古·霍林郭勒市第五中學(xué)七年級(jí)期中）A，B兩地相距80km．一艘船從A出發(fā)，順?biāo)叫?h到B，而從B出發(fā)逆水航行5h到A，已知船順?biāo)叫小⒛嫠叫械乃俣确謩e是船在靜水中的速度與水流速度的和與差，船在靜水中的速度是__________km/h．【答案】18【分析】設(shè)船在靜水中的速度為xkm/h，水流速度為ykm/h，根據(jù)一艘船從A地出發(fā)，順?biāo)叫?小時(shí)到B地；而從B地出發(fā)，逆水航行5小時(shí)到A地列出方程組解答問題即可．【詳解】解：設(shè)船在靜水中的速度為xkm/h，水流速度為ykm/h，由題意得，解得．∴船在靜水中的速度為18km/h，故答案為：18．【點(diǎn)睛】此題考查二元一次方程組的實(shí)際運(yùn)用，找出題目蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022·黑龍江·樺南縣第三中學(xué)七年級(jí)期中）甲、乙兩人相距50千米，若同向而行，乙10小時(shí)可追上甲；若相向而行，2小時(shí)兩人相遇．設(shè)甲、乙兩人每小時(shí)分別走千米，千米，則可列出方程組__．【答案】【分析】根據(jù)題意直接列出方程組即可．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人每小時(shí)分別走千米、千米，根據(jù)題意得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組解決行程問題，熟練掌握二元一次方程組的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇·七年級(jí)單元測(cè)試）A、B兩地相距3千米，甲從A地出發(fā)步行到B地，乙從B地出發(fā)步行到A地，兩人同時(shí)出發(fā)，20分鐘后兩人相遇，又經(jīng)過10分鐘，甲所余路程為乙所余路程的2倍．(1)求甲、乙每小時(shí)各行多少千米？(2)在他們出發(fā)后幾分鐘兩人相距1.5千米（直接寫出結(jié)果）？【答案】(1)甲每小時(shí)行4千米，乙每小時(shí)行5千米(2)10分鐘或30分鐘【分析】（1）這是行程問題中的相遇問題，三個(gè)基本量：路程、速度、時(shí)間．關(guān)系式為：路程=速度×?xí)r間．題中的兩個(gè)等量關(guān)系是：20分鐘×甲的速度+20分鐘×乙的速度=3千米，3千米-30分鐘×甲的速度=（3千米-30分鐘×乙的速度）×2，依此列出方程求解即可，注意單位換算；（2）先求出兩人一共行駛的路程，再除以速度和即可求解．（1）解：設(shè)甲每小時(shí)行千米．乙每小時(shí)行千米．依題意：解方程組得答：甲每小時(shí)行4千米，乙每小時(shí)行5千米．（2）相遇前：（3-1.5）÷（+）=1.5÷=10（分鐘），相遇后：（3+1.5）÷（+）=4.5÷=30（分鐘）．故在他們出發(fā)后10分鐘或30分鐘兩人相距1.5千米．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，本題是行程問題中的相遇問題，解題關(guān)鍵是如何建立二元一次方程組的模型．7．（2022·山東·宗圣中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）張老師組織七年級(jí)（1）班的學(xué)生乘客車去環(huán)境自然保護(hù)區(qū)去參觀，前三分之二路段為平路，其余路段為坡路，已知客車在平路上行駛的平均速度為60千米/時(shí)，在上坡路行駛的平均速度為40千米/時(shí)．客車從學(xué)校到環(huán)境自然保護(hù)區(qū)走平路和上坡路，一共行駛了4.2時(shí)．(1)求客車在平路和上坡路上各行駛多少時(shí)間？(2)第二天原路返回，發(fā)現(xiàn)回程比去時(shí)少用了0.9時(shí)，問客車在下坡路行駛的平均速度是多少？【答案】(1)客車在平路和上坡路上分別行駛時(shí)間為2.4時(shí)、1.8時(shí)(2)客車在下坡路行駛的平均速度是80千米/時(shí)【分析】（1）設(shè)汽車在平路行駛了x千米，在上坡路行駛了y千米，根據(jù)“汽車從學(xué)校到自然保護(hù)區(qū)走平路和上坡路，一共行駛了4.2時(shí)，且平路長(zhǎng)度為上坡路的2倍”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）利用速度=路程÷時(shí)間，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)平路的距離為x千米，坡路的距離為y千米，，解得：，時(shí)，時(shí)答：客車在平路和上坡路上分別行駛時(shí)間為2.4時(shí)、1.8時(shí)．（2）解：由題意可知：第二天原路返回，發(fā)現(xiàn)回程比去時(shí)少用了0.9時(shí)，平路時(shí)間不變，去時(shí)的上坡路變成回程的下坡路，因此下坡路時(shí)間減少0.9時(shí)，千米/時(shí)答：客車在下坡路行駛的平均速度是80千米/時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．8．（2022·山東·鄒城市第十一中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知A，B兩地相距120千米，甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，其終點(diǎn)分別為B，A兩地，兩車均先以每小時(shí)a千米的速度行駛，再以每小時(shí)b千米的速度行駛，且甲車以兩種速度行駛的路程相等，乙車以兩種速度行駛的時(shí)間相等．(1)若，且甲車行駛的總時(shí)間為小時(shí)，求a和b的值；(2)若，且乙車行駛的總時(shí)間為小時(shí)，求兩車相遇時(shí)，離A地多少千米？【答案】(1)a和b的值分別為60，40；(2)【分析】（1）由甲車以兩種速度行駛的路程相等且時(shí)間為小時(shí)及建立方程組求出其解即可；（2）由乙車行駛的時(shí)間相等就可以得出兩次的時(shí)間分別為小時(shí)，由兩段路程之和等于120及建立方程組求出其解即可求出a、b的值，從而得到甲車前一半的時(shí)間為，從而得出相遇時(shí)甲車還沒行駛到60km，則離A地的路程為相遇時(shí)間乘甲車開始的速度即可．（1）解：∵甲車以兩種速度行駛的路程相等，∴甲車以兩種速度行駛的路程均為60km．∴由題意得：，解得：；即a和b的值分別為60，40；（2）∵乙車以兩種速度行駛的時(shí)間相等，∴乙車以兩種速度行駛的時(shí)間均為小時(shí)∴由題意得：解得：；∴甲車前一半的時(shí)間為：，由于，則乙h時(shí)行的路程為：，∵，∴甲車行駛到一半路程時(shí)，甲乙兩車的路程和超過120km，∴相遇時(shí)甲車還沒行駛到60km，∴相遇時(shí)間為：，則離A地的路程為：．即：兩車相遇時(shí)，離A地．【點(diǎn)睛】本題考查了行程問題的數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用，列二元一次方程解實(shí)際問題的運(yùn)用，解答時(shí)分別運(yùn)用路程相等和時(shí)間相等建立方程組是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022·廣東·獅山實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）隨著新冠疫情的來臨，為了合理利用防疫物資，省防疫指揮部積極在各個(gè)城市之間進(jìn)行物資調(diào)配．A車從佛山出發(fā)運(yùn)送物資到陽江，B車從陽江出發(fā)運(yùn)送物資到佛山，他們沿同一條公路同時(shí)出發(fā)，勻速（）相向而行，途中兩車在一個(gè)服務(wù)區(qū)相遇，休息了10分鐘后，又各自以原速度繼續(xù)前往目的地，兩車之間的距離s（千米）和時(shí)間t（分鐘）之間的關(guān)系圖象如圖所示，請(qǐng)回答下列問題：(1)圖象中的自變量是__________，因變量是__________；(2)佛山與陽江兩地的距離是__________千米；(3)A車每小時(shí)行駛多少千米？(4)圖象中a的值是多少？【答案】(1)時(shí)間；兩車之間的距離(2)200(3)120千米(4)【分析】（1）根據(jù)圖象信息得出自變量和因變量即可；（2）根據(jù)圖象信息得佛山與陽江兩地相距200km；（3）根據(jù)“速度=路程÷時(shí)間”列方程組解答即可；（4）根據(jù)速度、時(shí)間與路程的關(guān)系列式計(jì)算解得即可．（1）解：由題意可知：橫軸是時(shí)間，縱軸是兩車之間的距離．所以自變量是時(shí)間，因變量是兩車之間的距離；故答案為：時(shí)間；兩車之間的距離．（2）解：由圖象可知，佛山與陽江兩地相距200km；故答案為：200．（3）解：設(shè)A車的速度為x千米/分，B車的速度為y千米/分，根據(jù)題意，得：，解得：，即A車的速度為2千米/分，即A車的速度為120千米/小時(shí)，即A車每小時(shí)行駛120千米．（4）解：由題意可知A車此時(shí)已到達(dá)陽江故（km）．【點(diǎn)睛】本題考查通過函數(shù)圖象解決問題，從圖象中獲取相關(guān)信息是解答本題的關(guān)鍵．10．（2022·黑龍江·遜克縣教師進(jìn)修學(xué)校八年級(jí)期末）周末，軍軍和弟弟從家出發(fā)，步行去遜克縣圖書館學(xué)習(xí)．出發(fā)2分鐘后，發(fā)現(xiàn)弟弟的數(shù)學(xué)書忘記帶了，弟弟繼續(xù)按原速前往圖書館，軍軍按原路原速幫弟弟回家取書，然后騎自行前往圖書館，恰好與弟弟同時(shí)到達(dá)圖書館．軍軍和弟弟各自距家的路程y（m）與軍軍行程所用時(shí)間x（min）之間的函數(shù)圖象如圖所示．(1)直接寫出a、b的值；(2)求軍軍取書后y與x的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量的取值范圍）；(3)直接寫出軍軍取書后與弟弟相距100m的時(shí)間．【答案】(1)800；4(2)y=200x﹣800(4≤x≤8)(3)7min【分析】（1）根據(jù)路程=速度×?xí)r間可得a的值，由原路原速回家取書可得b的值；（2）軍軍取書后y與x的函數(shù)關(guān)系為y=kx+b，把點(diǎn)（4，0）與（8，800）代入求解即可；（3）由相距100m與兩者的圖像解析式列出方程求解即可．（1）由圖像知由軍軍原路原速回家取書，得：（2）設(shè)軍軍取回書后y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=kx+b（k≠0）．由題意，得：解得：∴軍軍取回書后y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=200x﹣800(4≤x≤8)．（3）由圖，弟弟得圖像解析式為：由題意有：100x﹣（200x﹣800）=100，解得x=7，∴7min后軍軍與弟弟相距100m．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法，一元一次方程等，會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)與方程解決問題是解題關(guān)鍵．11．（2022·湖南益陽·七年級(jí)期末）如圖，中國(guó)海監(jiān)船46，49在距離釣魚島海里處，已知兩船的航速如下表所示：最大航速經(jīng)濟(jì)航速海監(jiān)4616節(jié)14節(jié)海監(jiān)4915.2節(jié)14.5節(jié)其中，一節(jié)等于海里/時(shí)，如果海監(jiān)46先以經(jīng)濟(jì)航速行駛?cè)舾尚r(shí)后以最大航速沿圖中箭頭方向航線行駛至釣魚島，共行駛時(shí)間小時(shí)，海監(jiān)49比海監(jiān)46遲出發(fā)半小時(shí)，以最大航速沿同一路線駛向釣魚島．問：(1)兩船誰先到達(dá)釣魚島？說明理由；(2)海監(jiān)46經(jīng)濟(jì)航行和最大航速航行各多少小時(shí)？(3)設(shè)海監(jiān)46航行時(shí)間為，求兩海監(jiān)船之間的距離與之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)海監(jiān)49先到，見解析(2)海監(jiān)46經(jīng)濟(jì)航速航行和最大航速航行時(shí)間分別是10小時(shí)和5小時(shí)(3)【分析】（1）求出海監(jiān)49到達(dá)釣魚島所用的時(shí)間，再比較，即可求解；（2）設(shè)海監(jiān)46經(jīng)濟(jì)航速航行和最大航速航行時(shí)間分別是小時(shí)，小時(shí)，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解；（3）先求出監(jiān)46出發(fā)小時(shí)，海監(jiān)49號(hào)追上海監(jiān)46，然后分五段討論解答，即可求解．（1）解：海監(jiān)49先到．，海監(jiān)49先到．（2）解：設(shè)海監(jiān)46經(jīng)濟(jì)航速航行和最大航速航行時(shí)間分別是小時(shí)，小時(shí)，則由題意得：解得，答：海監(jiān)46經(jīng)濟(jì)航速航行和最大航速航行時(shí)間分別是小時(shí)和小時(shí)．（3）解：設(shè)在海監(jiān)46出發(fā)小時(shí)，海監(jiān)49號(hào)追上海監(jiān)46，則由題意得：解得當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．綜上與的函數(shù)關(guān)系式為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，列函數(shù)關(guān)系式，一元一次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．（2022·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）小華從家里出發(fā)到學(xué)校去上學(xué)，前路段小華步行，其余路段小華騎自行車．已知小華步行的平均速度為60m/min，騎自行車的平均速度為200m/min，小華從家里到學(xué)校一共用了22min．(1)小紅同學(xué)提出問題：小華家里離學(xué)校有多少m？前路段小華步行所用時(shí)間是多少min？請(qǐng)你就小紅同學(xué)提出的問題直接設(shè)出未知數(shù)列方程組進(jìn)行解答．(2)請(qǐng)你再根據(jù)題目的信息，就小華走的“路程”或“時(shí)間”，提出一個(gè)能用二元一次方程組解答但與第（1）問不完全相同的問題，并設(shè)出未知數(shù)、列出方程組．【答案】(1)3000m，10min(2)見解析【分析】（1）設(shè)小華家里離學(xué)校有xm，前路段小華步行所用時(shí)間是ymin．根據(jù)