第三章 函數(shù) 第4節(jié) 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) 學案（含答案）2025年中考數(shù)學人教版一輪復習

第4節(jié)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

回歸教材·過基礎(chǔ)

【知識體系】

【考點清單】

知識點1二次函數(shù)的表達式

1.表達式的三種形式

一般式y(tǒng)=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)二次項系數(shù)為a,一次項系數(shù)為b,常數(shù)項為c

頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a≠0)其中①為頂點坐標

交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)其中x1,x2為函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標

注:一般式通過配方法可轉(zhuǎn)化為頂點式,通過因式分解可轉(zhuǎn)化為交點式.

2.待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式

已知頂點設(shè)為頂點式

一設(shè)如已知拋物線的頂點坐標為2可設(shè)表達式為

,y=a(x-h)+k(a≠0)

已知除頂點以外的其他點設(shè)為一般式2

待定系數(shù)法(1,-2),y=a(x-1)-2(a≠0)

二代將已知點坐標代入表達式得到方程組2

,y=ax+bx+c(a≠0)

三解解方程組得參數(shù)或的值

:,()

四寫將參數(shù)值代回所設(shè)表達式求出表達式

:(),a,h,ka,b,c

知識點2二次函:數(shù)的圖象與性質(zhì),

拋物線y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)

圖象

頂點坐標

-,②-,

2

bb4ac?b

2a2a4a

對稱軸x=-x=-

bb

2a2a

開口方向向上向下

（續(xù)表）

在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大

在對稱軸的左側(cè),y隨著x的增大而減小;在對稱

增減性而增大;在對稱軸的右側(cè),y隨著

軸的右側(cè),y隨著x的增大而③

x的增大而④

最值當x=-時,最小值為當x=-時,最大值為

22

b4ac?bb4ac?b

2a4a2a4a

知識點3二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與a,b,c的關(guān)系

開口向上

方向

開口向下

1.a決定開口方向與大小a>0,

越大開口越小

大小a<0,

越小開口越大

|a|,

|a|,對稱軸為軸

決定對稱軸的位置對稱軸在軸的

2.a,bx=-b=0?y

b

對稱軸在軸的

2aab>0?y⑤

ab<拋0物?線經(jīng)過原點y⑥

3.c決定與y軸的交點位置拋物線與軸正半軸相交

c=0?

拋物線與軸負半軸相交

c>0?y

知識點4二次函數(shù)圖象c的<平0?移y

y=ax2的圖象y=a(x-h)2的圖象y=a(x-h)2+k的圖象

知識點5二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)實際上是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)在y=0時的一個特例.可用一

元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判別式來判斷二次函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù).

判別式圖象分布

y=ax2+bx+c(a≠0)ax2+bx+c=0(a≠0)

Δ=b2-4aca>0a<0

圖象與x軸有兩個不方程有⑦的

同的交點實數(shù)根且

Δ>0(x1,0),(x2,0),x1,x2,

且x1,2=x1,2=

22

-b±b-4ac-b±b-4ac

2a方程有⑧2a的

圖象與x軸有唯一交

實數(shù)根且

Δ=0x1,x2,

點(x1,0),且x1=-

b

x1=x2=-

2ab

2a

（續(xù)表）

Δ<0圖象與x軸無交點方程無實數(shù)根

2.利用圖象可確定不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集,也可比較一次函數(shù)與二次函

數(shù)值的大小.

【基礎(chǔ)演練】

1.(原創(chuàng))如圖,結(jié)合二次函數(shù)y=x2+4x-2的圖象,請回答下列問題:

(1)拋物線開口向.

(2)拋物線的頂點坐標為.

(3)拋物線的對稱軸為.

(4)拋物線與y軸的交點坐標為,與x軸的交點坐標為.

(5)當時,y有最小值,最小值為.

(6)當時,y隨x的增大而增大;當時,y隨x的增大而減小.

(7)若(-5,y1),(-3,y2),(2,y3)在拋物線上,則y1,y2,y3按從小到大的排序為.

2.如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A,B,且點A的橫坐標在-1和0之間,圖象與

y軸交于負半軸,對稱軸為直線x=1.對于該二次函數(shù),下列結(jié)論正確的為.(填序號)

①b2>4ac;

②a-b+c>0;a+b+c<0;

③若點(-0.1,y1),(1.5,y2)均在拋物線上,則y1>y2;

④a>0,b>0,c<0;

⑤點(2,c)一定在該拋物線上;

⑥2a+b=0;

⑦am2+bm≥a+b.

真題精粹·重變式

考向1二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)6．年．6．考．

2

1.(2024·福建)已知二次函數(shù)y=x-2ax+a(a≠0)的圖象經(jīng)過A,B(3a,y2)兩點,則下列判斷正確的

a

2,y1

是()

A.可以找到一個實數(shù)a,使得y1>a

B.無論實數(shù)a取什么值,都有y1>a

C.可以找到一個實數(shù)a,使得y2<0

D.無論實數(shù)a取什么值,都有y2<0

2

2.(2021·福建)二次函數(shù)y=ax-2ax+c(a>0)的圖象過A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),D(4,y4)四個點,下列說

法一定正確的是()

A.若y1y2>0,則y3y4>0

B.若y1y4>0,則y2y3>0

C.若y2y4<0,則y1y3<0

D.若y3y4<0,則y1y2<0

2

3.(2020·福建)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是二次函數(shù)y=ax-2ax圖象上的點,以下結(jié)論正確的是

()

A.若|x1-1|>|x2-1|,則y1>y2

B.若|x1-1|>|x2-1|,則y1<y2

C.若|x1-1|=|x2-1|,則y1=y2

D.若y1=y2,則x1=x2

2

4.(2019·福建)若二次函數(shù)y=|a|x+bx+c的圖象經(jīng)過點A(m,n),B(0,y1),C(3-m,n),D(,y2),E(2,y3),則

y1,y2,y3的大小關(guān)系是2()

A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2

C.y3<y2<y1D.y2<y3<y1

2

5.(2023·福建)已知拋物線y=ax-2ax+b(a>0)經(jīng)過A(2n+3,y1),B(n-1,y2)兩點,若A,B分別位于拋物線

對稱軸的兩側(cè),且y1<y2,則n的取值范圍是.

6.(2022·福建)已知拋物線y=x2+2x-n與x軸交于A,B兩點,拋物線y=x2-2x-n與x軸交于C,D兩點,

其中n>0.若AD=2BC,則n的值為.

考向2二次函數(shù)的實際應用

熱點訓練

7.如圖,在足夠大的空地上有一段長為a米的舊墻MN,某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園

ABCD,其中AD≤MN,已知矩形菜園的一邊靠墻,另三邊一共用了100米木欄.

(1)若a=20,所圍成的矩形菜園的面積為450平方米,求所利用的舊墻AD的長.

(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值.

核心突破·拓思維

考點二次函數(shù)圖象與性質(zhì)

(原創(chuàng))已知二次函數(shù)y=x2-4x+3,在所給的平面直角坐標系中畫出y=x2-4x+3的圖象.

(1)列表如下:

自變量x…01234…

函數(shù)值y…03…

(2)描點,連線(用平滑的曲線按自變量從小到大的順序連接,注意自變量的取值范圍).

(原創(chuàng))結(jié)合函數(shù)表達式y(tǒng)=x2-4x+3及其圖象解決下列問題.

(1)將函數(shù)寫成y=(x+h)2+k的形式:.

(2)函數(shù)圖象的開口向,對稱軸是直線,頂點坐標為.

(3)當x時,y隨x的增大而增大,當x時,y隨x的增大而減小.

(4)將拋物線y=x2先向右平移個單位長度,再把得到的圖象向平移1個單位長度可以

得到二次函數(shù)y=x2-4x+3的圖象.

(5)當-1≤x≤時,y的取值范圍為;當1≤x≤5時,y的取值范圍為.

3

2

(6)當x=時,y=0;當x時,y>0;當時,y<0.

(7)當0≤x≤m(m>0)時,求y的最大值與最小值.

拓展:當x>2時,函數(shù)y=x2-4ax+3的圖象始終保持上升趨勢,求a的取值范圍.

核心方法

在填空題或選擇題中對二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查,主要以考查函數(shù)的對稱軸、增減、最

值(區(qū)間極值)知識為主,函數(shù)多以多參數(shù)形式出現(xiàn).解決此類問題的關(guān)鍵:

1.關(guān)于增減性、最值的問題利用對稱性將點轉(zhuǎn)到對稱軸同側(cè);

2.將圖象交點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與方程、不等式問題;

3.將函數(shù)有關(guān)知識的考查轉(zhuǎn)化到研究函數(shù)圖象上點的特征,再借助數(shù)形結(jié)合、參數(shù)推理運算.

2

已知點P(-2,y1),Q(4,y2),M(m,y3)均在拋物線y=ax+bx+c上,其中2am+b=0.若y3≥y2>y1,

則m的取值范圍是()

A.m<-2B.m>1

C.-2<m<1D.1<m<4

2

如圖,拋物線y=ax+bx+c與x軸交于兩點(x1,0),(2,0),其中0<x1<1.下列四個結(jié)

2

論:①abc<0;②a+b+c>0;③2a-c>0;④不等式ax+bx+c>-x+c的解集為0<x<x1.其中正確的結(jié)論

c

x1

是.

2

已知點A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線y=ax-2ax+4(a≠0)上,若x1<x2,x1+x2=1-a,則()

A.當a>-1時,y1<y2

B.當a>-1時,y1>y2

C.當a<-1時,y1<y2

D.當a<-1時,y1>y2

已知函數(shù)y=ax2-2ax-1(a是常數(shù),a≠0),下列結(jié)論正確的是()

A.當a=1時,函數(shù)圖象經(jīng)過點(-1,1)

B.當a=-2時,函數(shù)圖象與x軸沒有交點

C.若a>0,則當x≥1時,y隨x的增大而減小

D.若a<0,則當x≤1時,y隨x的增大而增大

如圖,二次函數(shù)y=x2+ax+3的圖象經(jīng)過點P(-2,3).

(1)求a的值和圖象的頂點坐標.

(2)點Q(m,n)在該二次函數(shù)圖象上.

①當m=2時,求n的值;

②若點Q到y(tǒng)軸的距離小于2,請根據(jù)圖象直接寫出n的取值范圍.

參考答案

回歸教材·過基礎(chǔ)

考點清單

①②③增大④減?、葑髠?cè)⑥右側(cè)⑦兩個不相等⑧兩個相等

(h,k)2

4ac-b

基礎(chǔ)演練4a

1.(1)上(2)(-2,-6)(3)x=-2(4)(0,-2)(-2-,0),(-2+,0)(5)x=-2-6(6)x>-2x<-2

(7)y2<y1<y366

2.①②③⑤⑥⑦

真題精粹·重變式

1.C解析:∵二次函數(shù)的解析式為y=x2-2ax+a(a≠0),

∴該二次函數(shù)的圖象開口向上,且對稱軸為x=-=a,頂點坐標為(a,a-a2).

-2a

2

當a>0時,0<<a,

a

22

∴a-a<y1<a.

當a<0時,a<<0,

a

22

∴a-a<y1<a.

故A,B錯誤.

當a>0時,0<a<2a<3a,由二次函數(shù)對稱性可知點(0,a)和點(2a,a)關(guān)于對稱軸對稱,在對稱軸的右

側(cè),y隨x的增大而增大,所以當x=3a時,y2>a>0;

當a<0時,3a<2a<a<0,由二次函數(shù)對稱性可知點(0,a)和點(2a,a)關(guān)于對稱軸對稱,在對稱軸的左

側(cè),y隨x的增大而減小,所以當x=3a時,y2>a,不一定大于0.

故C正確,D錯誤.

故選C.

2.C3.C4.D

5.-1<n<0解析:拋物線的對稱軸為x=-=1.

-2a

2a

∵a>0,

∴拋物線開口向上.

∵y1<y2,且A,B分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè),

∴若點A在對稱軸x=1的左側(cè),點B在對稱軸x=1的右側(cè),

則由題意可得

2n+3<1,

n-1>1,

不等式組無解;1?(2n+3)<n-1-1,

若點B在對稱軸x=1的左側(cè),點A在對稱軸x=1的右側(cè),

則由題意可得

2n+3>1,

n-1<1,

解得-1<n<0,1?(n-1)>2n+3?1,

∴n的取值范圍為-1<n<0.

故答案為-1<n<0.

6.8解析:針對于拋物線y=x2+2x-n,

令y=0,則x2+2x-n=0,

∴x=-1±.

針對于拋物n+線1y=x2-2x-n,

令y=0,則x2-2x-n=0,

∴x=1±.

∵拋物線ny+=x12+2x-n=(x+1)2-n-1,

∴拋物線y=x2+2x-n的頂點坐標為(-1,-n-1).

∵拋物線y=x2-2x-n=(x-1)2-n-1,

∴拋物線y=x2-2x-n的頂點坐標為(1,-n-1),

∴拋物線y=x2+2x-n與拋物線y=x2-2x-n的開口大小一樣,與y軸相交于同一點,頂點到x軸的

距離相等,

∴AB=CD.

∵AD=2BC,

∴拋物線y=x2+2x-n與x軸的交點A在左側(cè),B在右側(cè),拋物線y=x2-2x-n與x軸的交點C在

左側(cè),D在右側(cè),

∴A(-1-,0),B(-1+,0),C(1-,0)m,D(1+,0),

∴AD=1+n+1-(-1-n+)=12+2n,+1n+1

BC=-1+n+-1(1-n+)=1-2+2n+,1

∴2+2n+=12×(-2+n2+1),n+1

n+1n+1

∴n=8.

7.解析:(1)設(shè)AB=x米,則BC=(100-2x)米,

根據(jù)題意得x(100-2x)=450,解得x1=5,x2=45.

當x=5時,100-2x=90>20,不符合題意,舍去;

當x=45時,100-2x=10.

答:AD的長為10米.

(2)設(shè)AD=y米,

∴S=y(100-y)=-(y-50)2+1250.

11

22

若a≥50,則當y=50時,S的最大值為1250;

若0<a<50,則當0<y≤a時,S隨y的增大而增大,當y=a時,S的最大值為50a-a2.

1

2

綜上所述,當a≥50時,S的最大值為1250;當0<a<50時,S的最大值為50a-a2.

1

2

核心突破·拓思維

例1解析:(1)3;-1;0.

(2)描點,連線如下:

例2解析:(1)y=(x-2)2-1(2)上x=2(2,-1)

(3)>2<2(4)2下(5