專題四 代數(shù)推理題(2024年新增題型) 學案（含答案）2025年中考數(shù)學人教版一輪復習

專題四代數(shù)推理題(2024年新增題型)人教版七年級下冊數(shù)學課本第58頁的“閱讀與思考”:為什么說2不是有理數(shù)?(1)【閱讀與思考】假設2是有理數(shù),那么存在兩個互質(zhì)的正整數(shù)p和q,使得2=pq兩邊平方得2=pq即p2=.①故p2是偶數(shù),因為只有偶數(shù)的平方才是偶數(shù),所以p也是偶數(shù).設p=2s,代入①中,得,即q2=,所以q也是偶數(shù),則p和q都是偶數(shù),不互質(zhì),這與假設p和q互質(zhì)矛盾.這個矛盾說明,2不能寫成分數(shù)的形式,即2不是有理數(shù).(2)【運用并解決】類比上述的閱讀與思考,推理說明32不是有理數(shù)1.數(shù)學興趣小組開展探究活動,研究了“正整數(shù)N能否表示為x2-y2(x,y均為自然數(shù))”的問題.(1)指導教師將學生的發(fā)現(xiàn)進行整理,部分信息如下(n為正整數(shù)):N奇數(shù)4的倍數(shù)表示結(jié)果1=12-023=22-125=32-227=42-329=52-42……4=22-028=32-1212=42-2216=52-3220=62-42……一般結(jié)論2n-1=n2-(n-1)24n=按上表規(guī)律,完成下列問題:①24=()2-()2;②4n=.(2)興趣小組還猜測:像2,6,10,14,…這些形如4n-2(n為正整數(shù))的正整數(shù)N不能表示為x2-y2(x,y均為自然數(shù)).師生一起研討,分析過程如下:假設4n-2=x2-y2,其中x,y均為自然數(shù).分下列三種情形分析:①若x,y均為偶數(shù),設x=2k,y=2m,其中k,m均為自然數(shù),則x2-y2=(2k)2-(2m)2=4(k2-m2)為4的倍數(shù),而4n-2不是4的倍數(shù),矛盾.故x,y不可能均為偶數(shù);②若x,y均為奇數(shù),設x=2k+1,y=2m+1,其中k,m均為自然數(shù),則x2-y2=(2k+1)2-(2m+1)2=為4的倍數(shù),而4n-2不是4的倍數(shù),矛盾.故x,y不可能均為奇數(shù);③若x,y一個是奇數(shù)一個是偶數(shù),則x2-y2為奇數(shù).而4n-2是偶數(shù),矛盾.故x,y不可能一個是奇數(shù)一個是偶數(shù).由①②③可知,猜測正確.閱讀以上內(nèi)容,請在情形②的橫線上填寫所缺內(nèi)容.用代數(shù)推理的方法證明下列兩個結(jié)論:(1)設abcd是一個四位數(shù),若a+b+c+d可以被3整除,則這個數(shù)可以被3整除.(2)已知函數(shù)y=x2.求證:當x>0時,y隨x的增大而增大.2.對于任意一個三位正整數(shù),十位上的數(shù)字減去個位上的數(shù)字之差恰好等于百位上的數(shù)字,則稱這個三位數(shù)為“極差數(shù)”.例如:對于三位數(shù)451,5-1=4,則451是“極差數(shù)”;對于三位數(shù)110,1-0=1,則110是“極差數(shù)”.求證:任意一個“極差數(shù)”一定能被11整除.3.一個十位上的數(shù)字不為0的三位數(shù)m,若將m的百位數(shù)字與十位數(shù)字相加,所得和的個位數(shù)字放在m的個位數(shù)字右邊,與m一起組成一個新的四位數(shù),則把這個新四位數(shù)稱為m的“生成數(shù)”.若再將m的“生成數(shù)”的任意一個數(shù)位上的數(shù)字去掉,可以得到四個三位數(shù),則把這四個三位數(shù)之和記為S(m).例如:m=558,∵5+5=10,∴558的“生成數(shù)”是5580.將5580的任意一個數(shù)位上的數(shù)字去掉后得到的四個三位數(shù)是580,580,550,558,則S(m)=580+580+550+558=2268.(1)寫出123的“生成數(shù)”,并求S(123)的值.(2)說明S(m)一定能被3整除.參考答案例1解析:(1)2q2;4s2=2q2;2s2.提示:假設2是有理數(shù),那么存在兩個互質(zhì)的正整數(shù)p和q,使得2=pq兩邊平方得2=pq即p2=2q2.①故p2是偶數(shù),因為只有偶數(shù)的平方才是偶數(shù),所以p也是偶數(shù).設p=2s,代入①中,得4s2=2q2,即q2=2s2.所以q也是偶數(shù),則p和q都是偶數(shù),不互質(zhì),這與假設p和q互質(zhì)矛盾.這個矛盾說明,2不能寫成分數(shù)的形式,即2不是有理數(shù).(2)假設32是有理數(shù),那么存在兩個互質(zhì)的正整數(shù)p和q,使得32=兩邊立方得2=pq即p3=2q3.①故p3是偶數(shù),因為只有偶數(shù)的立方才是偶數(shù),所以p也是偶數(shù).設p=2s,代入①中,得8s3=2q3.即q3=4s3,所以q也是偶數(shù),則p和q都是偶數(shù),不互質(zhì),這與假設p和q互質(zhì)矛盾.這個矛盾說明,32不能寫成分數(shù)的形式,即3針對訓練1.解析:(1)①7;5.②(n+1)2-(n-1)2.(2)4(k2-m2+k-m).例2解析:(1)abcd=1000a+100b+10c+d=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d).顯然3(333a+33b+3c)能被3整除,因此,如果(a+b+c+d)能被3整除,那么abcd就能被3整除.(2)設x1>x2>0,則y1=x12,y2=y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x∵x1>x2>0,∴x1+x2>0,x1-x2>0,∴(x1+x2)(x1-x2)>0,∴y1>y2,即當x>0時,y隨x的增大而增大.針對訓練2.證明:設任意一個“極差數(shù)”的百位數(shù)字是a,十位數(shù)字是b,個位數(shù)字是c,∵a=b-c,∴100a+10b+c=100b-100c+10b+c=110b-99c=11(10b-9c),∴100a+10b+c能被11整除,∴任意一個“極差數(shù)”一定能被11整除針對訓練3.解析:(1)依題意123的“生成數(shù)”為1233,得另四個三位數(shù):233,133,123,123,∴S(123)=233+133+123+123=612.(2)設m的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字分別為a,b,c(都是整數(shù)),由題意得2≤a+b≤18.當2≤a+b≤9時,由m的“生成數(shù)”得到四個三位數(shù)為100b+10c+a+b,100a+10c+a+b,100a+10b+a+b,100a+10b+c,∴S(m)=303a+123b+21c=3(101a+41b+7c),即S(m)能被3整除.當10≤a+b≤18時,由m的“生成數(shù)”得到四個三位數(shù)為100b+1