2025屆高三年級三月數(shù)學(xué)每周好題精xuan（第一周）

三月數(shù)學(xué)每周好題精選（第一周）1.已知集合，，則()A. B. C. D.2.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則()A. B. C. D.3.某商品的廣告支出費用x(單位：萬元)與銷售量y(單位：萬件)之間的對應(yīng)數(shù)據(jù)如表所示：廣告支出費用x3.44.755.66.3銷售量y1516.919.21820.9根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得回歸直線方程為，則第三個樣本點對應(yīng)的殘差為()A. B. C.0.6 D.1.24.若能被64整除，則正整數(shù)a的最小值為()A.53 B.54 C.55 D.565.閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為.閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線l是平面與平面的交線，則直線l與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.6.已知數(shù)列為等比數(shù)列，為數(shù)列的前n項和.若，，成等差數(shù)列，則()A. B. C. D.7.已知拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，點A在C上，過A作l的垂線，垂足為，若，則()A.2 B.4 C.6 D.88.已知三棱錐的底面是邊長為3的正三角形，D，E分別為BC，VC的中點，且三棱錐的四個頂點均在半徑為2的球的球面上，則當(dāng)該三棱錐的體積最大時，異面直線AD與BE所成角的余弦值為()A. B. C. D.9.（多選）已知函數(shù)是冪函數(shù)，對任意，，且，滿足.若a，，且的值為負(fù)值，則下列結(jié)論可能成立的有()A.， B.，C.， D.，10.（多選）已知為函數(shù)圖象的一條對稱軸，則()A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于點對稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.函數(shù)為偶函數(shù)11.（多選）下列結(jié)論正確的是()A.用簡單隨機抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是B.數(shù)據(jù)36，28，22，24，22，78，32，26，20，22的第80百分位數(shù)為34C.已知隨機變量，若，則D.若，則事件A與B是對立事件12.（多選）已知函數(shù)，則()A.有兩個極值點B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心D.直線是曲線的切線13.設(shè)O為坐標(biāo)原點，A，B，C是雙曲線（，）上三點，若A，O，B三點共線，且直線AC與BC的斜率互為倒數(shù)，則E的離心率為__________.14.某流水線上生產(chǎn)的一批零件，其規(guī)格指標(biāo)X可以看作一個隨機變量，且，對于的零件即為不合格，不合格零件出現(xiàn)的概率為0.05，現(xiàn)從這批零件中隨機抽取500個，用Y表示這500個零件的規(guī)格指標(biāo)X位于區(qū)間的個數(shù)，則隨機變量Y的方差是___________.15.若函數(shù)的最小值為，則實數(shù)m的取值范圍為_____________.16.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）證明：b，a，c成等差數(shù)列；（2）若的面積為，求A.17.如圖，四棱錐中，，，且，，，直線PA與平面ABCD所成的角為，E，F(xiàn)分別是BC和PD的中點.（1）證明：平面PAB；（2）求平面PAB與平面PAD夾角的余弦值.18.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個極值點，若，求m的最大值.

答案以及解析1.答案：A解析：因為，則，解得，則，所以.故選：A2.答案：A解析：，.故選：A.3.答案：D解析：由已知，，，所以，于是，，因此，第三個樣本點對應(yīng)的殘差為.故選：D4.答案：C解析：因為，其中，所以，因為能被64整除，則只需能被64整除，所以a的最小值為55.故選：C5.答案：B解析：由題可得平面的一個法向量為，平面一個法向量為，平面的法向量，設(shè)直線l的一個方向向量為，則由題意，所以，取，則，直線l與平面所成角為，則.所以直線l與平面所成角的正弦值為.故選：B.6.答案：A解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，若，，，成等差數(shù)列，可得，當(dāng)時，此時恒成立，即為，得，即，顯然不成立；當(dāng)時，即為，其中，得，得或（舍去），，故選：A.7.答案：B解析：記坐標(biāo)原點為O，過點A作，垂足為B.由已知及拋物線定義可得，，，為等邊三角形，，又，，則.，解得.故選：B.8.答案：D解析：由題意得外接圓的半徑，所以三棱錐外接球的球心到平面ABC的距離，所以當(dāng)三棱錐的體積最大時，頂點V到平面ABC的距離為，此時三棱錐為正三棱錐，且.取CE的中點F，連接AF，DF，如圖所示.因為D是BC的中點，F(xiàn)為CE的中點，所以，且，所以是異面直線AD與BE所成的角或其補角.由題意得，所以，，所以，.易得，所以.所以當(dāng)該三棱錐的體積最大時，異面直線AD與BE所成角的余弦值為.故選：D.9.答案：BC解析：由于函數(shù)為冪函數(shù)，故，即，解得，.當(dāng)時，，當(dāng)時，.由于“對任意，，且，滿足”知，函數(shù)在上為增函數(shù)，故.易見，故函數(shù)是單調(diào)遞增的奇函數(shù).由于，即，得，所以，若當(dāng)時，，故；當(dāng)時，，故，故；當(dāng)時，由知，，故或或，即或或.綜上可知，，且或或.故選：BC.10.答案：AC解析：對于A，因為為函數(shù)圖象的一條對稱軸，所以，故，因為，所以令，得到，解得，得到，周期，則的最小正周期為，故A正確，對于B，，即的圖象不可能關(guān)于點對稱，故B錯誤，對于C，因為，所以，故，而令，則原函數(shù)化為，，由余弦函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，得到在區(qū)間上單調(diào)遞減，故C正確，對于D，因為，所以，令，即，而，得到，則函數(shù)不為偶函數(shù)，故D錯誤.故選：AC.11.答案：BC解析：對于A，用簡單隨機抽樣的方法從51個個體中抽取2個個體，則每個個體被抽到的概率都是，故A錯誤；對于B，將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列為20，22，22，22，24，26，28，32，36，78，且，所以第80百分位數(shù)為，故B正確；對于C，因為隨機變量，所以正態(tài)曲線的對稱軸為直線，又，所以，所以，故C正確；對于D，拋一枚骰子，設(shè)事件A為向上的點數(shù)為奇數(shù)，事件B為向上的點數(shù)小于4，則，但A與B不是對立事件，故D錯誤.故選：BC.12.答案：ACD解析：由得，令得，令得或；令得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有兩個極值點(為極大值點，為極小值點)，故A正確；又，，而x趨向于負(fù)無窮大時也趨向于負(fù)無窮大；x趨向于正無窮大時也趨向于正無窮大；所以僅有1個零點(如圖所示)，故B錯誤；又，所以，所以關(guān)于對稱，故C正確；對于D，設(shè)切點，在P處的切線為，即，若是其切線，則，則，此時切點為時，切線方程直線，所以D正確.故選：ACD13.答案：解析：因為A，O，B三點共線，A，B在雙曲線E上，所以A，B關(guān)于原點O對稱.設(shè)，，且，則.由題意得所以，所以.又直線AC的斜率，直線BC的斜率，直線AC與BC的斜率互為倒數(shù)，所以，即，所以，所以.14.答案：45解析：根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性可知，規(guī)格指標(biāo)X在區(qū)間的概率為，即一件產(chǎn)品的規(guī)格指標(biāo)X位于區(qū)間的概率為0.9.又因為，則.15.答案：解析：當(dāng)時，，因為的圖象關(guān)于對稱，若最小值為，可知，即可得；又當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；若最小值為可得，即，解得；綜上可知，實數(shù)m的取值范圍為.16.答案：（1）見解析（2）解析：（1）方法1：由正弦定理得，，，又，，，由正弦定理得，，，a，c成等差數(shù)列.方法2：由余弦定理，，，，.，，即b，a，c成等差數(shù)列.（2），，由余弦定理得：，..化簡得，即，，故，.17.答案：（1）證明見解析（2）解析：（1）如圖，取AD的中點G，連接EG，F(xiàn)G.是PD的中點，，又平面，平面PAB，平面PAB.同理可得平面PAB.，平面GEF，平面平面PAB.又平面GEF，平面PAB.（2）以點A為原點，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易知，，，則，，設(shè).，直線PA與平面ABCD所成的角為，.又，，，，，，.設(shè)是平面PAB的一個法向量，則即令，則，，.設(shè)是平面PAD的一個法向量，則即令，則，，.，平面PAB與平面PAD夾角的余弦值為.18.答案：（1）答案見解析；（2）0解析：（1）的定義域為，，①當(dāng)時，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，令，得或，令，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時，則，所以在上單調(diào)遞增；