中考數(shù)學(xué)-幾何壓軸突破（四）幾何最值問題 費馬點 瓜豆模型(2種模型詳解+5種題型合集+針對訓(xùn)練)(含答案)

Page重難點17幾何壓軸突破四幾何最值問題費馬點與瓜豆模型（2種模型詳解+5種題型匯總+針對訓(xùn)練）【題型匯總】類型一費馬點費馬點概念：三角形內(nèi)部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.結(jié)論：1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點；2)對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120°）【解題思路】運用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點之間線段最短，得出最短長度.【擴展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結(jié)論如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB，交點為點P，點P為費馬點.圖形結(jié)論等腰三角形①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；②△ABP與△ACP全等；③△BCP為等腰三角形；④△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最小.等邊三角形①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③△ABP、△ACP、△BCP全等；④點P是垂心，是△ABC各邊的高線的交點；⑤點P是△ABC各邊的中線的交點；⑥點P是內(nèi)心，是在三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點；⑦△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最小.直角三角形①△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最?。虎凇螦PB=∠BPC=∠APC=120°【進階】加權(quán)費馬點模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類題目就叫做“加權(quán)費馬點”.【模型拓展】類型一單系數(shù)類當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，1）一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：對應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°，對應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°求AD+CD+BD的最小值求AD+CD+BD的最小值旋轉(zhuǎn)角度是90°旋轉(zhuǎn)角度是120°2）另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對應(yīng)三角形三邊之比類型二多系數(shù)類其實當(dāng)三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時，都是符合加權(quán)費馬點的條件的。以不同的點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：1.將最小系數(shù)提到括號外；2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所在的三角形。例：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5,△ABC內(nèi)部有一點P,連接PA，PB，PC問題求解圖形作法求PA+PB+PC最小值△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDEBD長度即為所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=BC求PA+PB+2PC最小值△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△CDE此時△PCE為等腰直角三角形，即PE=2PC因此原式=PA+PB+2PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF求PA+PB+3PC最小值△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得△CDE此時△PCE為等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=3PC，因此原式=PA+PB+3PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF求2PA+PB+3PC最小值思路：原式=2（PA+12PB+32PC）

1)將PC邊繞點C旋轉(zhuǎn)60°，然后過點P作PF⊥CE于點F,則PF=32PC;2)12PB利用三角形中位線來處理；3）P過程：△BCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過點P作PF⊥CE于點F,此時△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過點F作FG∥DE，則FG=12PB，則當(dāng)A、P、F、G四點共線時取得最小值，AG長度即為所求,在Rt△ACG中有勾股定理可得AG=CG+AC2=34,原式=2（PA+求2PA+4PB+23PC過程：△ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過點P作PF⊥CE于點F,此時△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過點F作FG∥DE，則FG=12AP，則當(dāng)B、P、F、G四點共線時取得最小值，BG長度即為所求,在Rt△BCG中有勾股定理可得BG=CG+AC2=7.5,原式=4（12備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識進行求解.題型01普通費馬點模型1．（2024·廣東·二模）若銳角三角形ABC內(nèi)的點P滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則稱點P為△ABC的費馬點．如圖，在△ABC中，AB=AC=7，BC=3，則△ABC的費馬點P到A，B，C三點的距離之和為（A．4 B．2 C．2+23 D．2．（21-22九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點，求PA+PB+PC的最小值為3．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA＋MD＋ME的最小值為．4．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在?ABCD中，AD=6，連接AC，AB=AC=5，以點C為圓心，15CD長為半徑畫弧，弧分別交BC、AC、CD于點M、H、N，點P是HN上方△ACD內(nèi)一動點，點Q是HN上一動點，連接AP、DP、PQ，則AP+DP+PQ的最小值為5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）閱讀以下材料并完成問題材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長，材料二：費馬點問題是一個古老的數(shù)學(xué)問題．費馬點即在△ABC中有一點P使得PA+PB+PC的值最小．著名法學(xué)家費馬給出的證明方法如下：將△ABP繞B點向外旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△PP1B請結(jié)合以上兩材料求出x2

題型02加權(quán)費馬點模型-單系數(shù)6．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，如圖1，將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為由②可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=已知當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點P為

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/7．（23-24八年級下·重慶銅梁·期中）在?ABCD中，∠ABC=45°，連接AC，已知AB=AC=2，點E在線段AC上，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°為線段DF(1)如圖1，線段AC與線段BD的交點和點E重合，連接EF，求線段EF的長度；(2)如圖2，點G為DC延長線上一點，使得GC=EC，連接FG交AD于點H，求證：2AH=CD(3)如圖3，在（2）的條件下，平面內(nèi)一點P，當(dāng)HP+CP+2BP最小時，求8．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4，AE=2，AB=3AD,AG=3AE．矩形AGFE繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接BG，CF，

(1)求證：△ABG∽△ACF；(2)當(dāng)CE的長度最大時，①求BG的長度；②在△ACF內(nèi)是否存在一點P，使得CP+AP+3PF的值最小?若存在，求題型03加權(quán)費馬點模型-多系數(shù)9．（2023九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P是正方形內(nèi)部一點，求PA+2PB+510．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=4，在△ABC內(nèi)有一點O，連接OA，OB，OC，若2OA+OB+5OC的最小值為45，則AC

11．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點，求2212．（2024·重慶·二模）已知△ABC中AB=BC，點D和點E是平面內(nèi)兩點，連接BD，DE和BE，∠BED=90°．(1)如圖1，若BD=BA，∠ABC=2∠D，BE=2，求AC的長度；(2)如圖2，連接AD和CD，點F為AD中點，點G為CD中點，連接EF和BG，若EF=BG，求證：∠BAC=∠DBE；(3)若∠ABC=60°，AB=2，當(dāng)12AD+32BD+CD【針對訓(xùn)練】1．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若AB=AC=7,BC=23，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC=；若AB=23,BC=2,AC=4，P為2．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點P，連接PA、PB、PC．（加權(quán)費馬點）求：（1）PA+PB+PC的最小值；（2）PA+PB+2（3）PA+PB+3（4）2PA+PB+3（5）12（6）2PA+4PB+23（7）4PA+2PB+23（8）3PA+4PB+5PC的最小值3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）（1）問題背景如圖1，P為△ABC內(nèi)部一點，連接PA、PB、PC，將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為___________三角形，故PP'=PC，又P（2）問題解決如圖3，在△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，求PA+PB+PC的最小值；（3）問題應(yīng)用如圖4，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且AC=6km，BC=43km，∠ACB=30°．現(xiàn)欲在△ABC內(nèi)部建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C4．（2024·福建廈門·二模）根據(jù)以下思考，探索完成任務(wù)費馬點的思考問題背景17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽的法國律師皮耶·德·費馬，提出一個問題：求作三角形內(nèi)的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小，后來這點被稱之為“費馬點”．

素材1解決這種問題的經(jīng)典方法，就是利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，如圖：把△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到△AP'C'，連接PP'，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定BP+PP'+P'C'

素材2圖中所示的是一個正方形的廠區(qū)，其中頂點A，B，C，D分別為辦公區(qū)、生產(chǎn)區(qū)、物流區(qū)和生活區(qū)，正方形邊長為2km，準(zhǔn)備在廠區(qū)內(nèi)修建一研發(fā)區(qū)E，且從研發(fā)區(qū)E修建三條直線型道路直通辦公區(qū)A，生產(chǎn)區(qū)B和物流區(qū)C

任務(wù)一感悟證明定理請你根據(jù)素材1所給解決思路，證明所求線段轉(zhuǎn)化的正確性．證明：PA+PB+PC=BP+P任務(wù)二初步探索位置在素材2中，請問研發(fā)區(qū)E建在哪片區(qū)域比較合適？（

）A．△ABC內(nèi)的區(qū)域B．△ACD內(nèi)的區(qū)域任務(wù)三擬定恰當(dāng)方案為了節(jié)約建設(shè)成本，問該研發(fā)區(qū)E應(yīng)該修建在廠區(qū)的什么地方，才能使得花費最少，最少費用為多少？5．（21-22八年級上·江蘇蘇州·期中）背景資料：在已知△ABC所在平面上求一點P，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.這個問題是法國數(shù)學(xué)家費馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托里拆利提出的，所求的點被人們稱為“費馬點”．如圖1，當(dāng)△ABC三個內(nèi)角均小于120°時，費馬點P在△ABC內(nèi)部，當(dāng)∠APB=∠APC=∠CPB=120°時，則PA+PB+PC取得最小值．(1)如圖2，等邊△ABC內(nèi)有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)，為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點A旋轉(zhuǎn)到△ACP'處，此時△ACP'≌△ABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB知識生成：怎樣找三個內(nèi)角均小于120°的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三角形并連接等邊三角形的頂點與△ABC的另一頂點，則連線通過三角形內(nèi)部的費馬點．請同學(xué)們探索以下問題．(2)如圖3，△ABC三個內(nèi)角均小于120°，在△ABC外側(cè)作等邊三角形△ABB'，連接CB'，求證：(3)如圖4，在RT△ABC中，∠C=90°，AC=1，∠ABC=30°，點P為△ABC的費馬點，連接AP、BP、CP，求PA+PB+PC的值．(4)如圖5，在正方形ABCD中，點E為內(nèi)部任意一點，連接AE、BE、CE，且邊長AB=2；求AE+BE+CE的最小值．6．（2023·貴州遵義·三模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，在△OAB中，若將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△OA'B'，連接B（2）【問題探究】如圖②，已知△ABC是邊長為43的等邊三角形，以BC為邊向外作等邊三角形BCD，P為△ABC內(nèi)一點，將線段CP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點P的對應(yīng)點為點Q①求證：△DCQ≌②求PA+PB+PC的最小值；（3）【實際應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，AB=600，AD=800，P是矩形內(nèi)一動點S△PAD=2S△PBC，Q為類型二瓜豆模型型定義：瓜豆模型也叫“主從聯(lián)動模型”，即：一個動點隨另一動點的運動而運動,分別叫做“主動點”與“從動點”，它們的運動軌跡相似。出自成語“種瓜得瓜,種豆得豆”，在幾何上叫“種線得線,種國得圓”.【條件】瓜豆原理運用滿足的三個條件(“一定兩動、定角、定比”)；①有一個定點、兩個動點，且一個動點(從動點)因另一個動點(主動點)的運動而隨之運動；②兩個動點與定點所連線組成的夾角是定角;③兩個動點到定點的距離的比值是定值.1)本模型一般出現(xiàn)在選擇題或填空題的壓軸題中，可以直接利用結(jié)論秒殺.2)在線段最值問題中，有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡，再根據(jù)點線最值，點圓最值來求線段最值.3)部分求動點軌跡長的問題中，只要確定屬于“瓜豆”模型，就可以利用路徑之比等于相似比，根據(jù)主動點的軌跡長直接求得.【模型一】點在直線上條件;如圖，點O是定點，點A、B是動點，∠AOB=α（α≠0）且OBOA圖示：結(jié)論：B點的運動軌跡也是直線，OBOA=OB’OA’=【模型二】點在圓上條件;如圖，點O是定點，點A、B是動點，∠AOB=α且OBOA=k圖示：結(jié)論：1)當(dāng)α=0，①B點的運動軌跡是圓，②A,B,O始終是一條直線，③主動圓與從動圓的半徑之比為OBOA2)當(dāng)α≠0，①B點的運動軌跡是圓，②主動圓與從動圓的半徑之比為OBOA③主從動圓的圓心與定點連線構(gòu)成的夾角為α（定值）.【總結(jié)】1）在線段最值問題中，有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡，再根據(jù)點線最值，點圓最值來求線段最值；2）部分求動點軌跡長的問題中，只要確定屬于"瓜豆“模型，就可以利用路經(jīng)之比等于相似比，根據(jù)主動點的軌跡長直接求得題型01點的運動軌跡是直線1．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，點P在線段BC上運動（含B、C兩點），連接AP，以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉(zhuǎn)60°到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為（

A．52 B．52 C．52．（2022·安徽合肥·三模）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（

）A．5 B．3 C．52 D．3．（2023·廣東廣州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為42，E為BC上一點，且BE=2，F(xiàn)為AB邊上的一個動點，連接EF，以EF為邊向右側(cè)作等邊△EFG，連接CG，則CG的最小值為

4．（2024·河北邢臺·模擬預(yù)測）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點E為中線BD上的動點．連接CE，將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CF．連接AF，則∠CAF=，連接DF，則△CDF周長的最小值是．5．（2023·江蘇徐州·模擬預(yù)測）等邊△ABC邊長為6，D是BC中點，E在AD上運動，連接BE，在BE下方作等邊△BEF，則△BDF周長的最小值為．6．（2024·江蘇揚州·中考真題）如圖，點A、B、M、E、F依次在直線l上，點A、B固定不動，且AB=2，分別以AB、EF為邊在直線l同側(cè)作正方形ABCD、正方形EFGH，∠PMN=90°，直角邊MP恒過點C，直角邊MN恒過點H．(1)如圖1，若BE=10，EF=12，求點M與點B之間的距離；(2)如圖1，若BE=10，當(dāng)點M在點B、E之間運動時，求HE的最大值；(3)如圖2，若BF=22，當(dāng)點E在點B、F之間運動時，點M隨之運動，連接CH，點O是CH的中點，連接HB、MO，則2OM+HB的最小值為_______．題型02點的運動軌跡是圓1．（2024·安徽淮北·三模）如圖，線段AB=4，點M為AB的中點，動點P到點M的距離是1，連接PB，線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，連接AC，則線段AC長度的最大值是（

）A．3 B．4 C．22 D．2．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=12，點D是AB的中點，P是以A為圓心，以AD為半徑的圓上的動點，連接PB、PCA．103 B．31010 C．133．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△AOB的一條直角邊OB在x軸上，點A的坐標(biāo)為(?6，4)；Rt△COD中，∠COD=90°，OD=43，∠D=30°，連接BC，點M是BC中點，連接AM

A．3 B．62?4 C．24．（21-22九年級上·江蘇南京·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，點P在以AB為直徑的半圓上運動，由點B運動到點A，連接CP，點M是CP的中點，則點M經(jīng)過的路徑長為．5．（2022·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)為（0，4），P是x軸上一動點，把線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是．

6．（2023·四川宜賓·中考真題）如圖，M是正方形ABCD邊CD的中點，P是正方形內(nèi)一點，連接BP，線段BP以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為．

7．（2020·江蘇連云港·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線y=34x?3與x軸、y軸分別交于點D、E，則△CDE8．（2024·四川瀘州·二模）如圖，正方形ABCD的邊長為5，以C為圓心，2為半徑作⊙C，點P為⊙C上的動點，連接BP，并將BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到BP'，連接CP'，在點P運動的過程中，

9．（21-22九年級上·浙江紹興·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝6，BD＝2，以點B為圓心，BD長為半徑作圓，點E為⊙B上的動點，連結(jié)EC，作FC⊥CE，垂足為C，點F在直線BC的上方，且滿足CF=12CE，連結(jié)BF．當(dāng)點E與點D重合時，BF的值為．點E在⊙B上運動過程中，BF10．（2024·吉林長春·二模）【問題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個問題：如圖①，⊙O的半徑為2，點A是⊙O外的一個定點，OA=4．點P在⊙O上，作點P關(guān)于點A的對稱點Q，連接PA、AQ．當(dāng)點P在⊙O上運動一周時，試探究點Q的運動路徑．【問題解決】經(jīng)過討論，小組同學(xué)想利用全等三角形的知識解決該問題；如圖②，延長OA至點M，使AM=OA，連接OP、MQ，通過證明△OAP≌△MAQ，可推出點Q的運動路徑是以點M為圓心、2為半徑的圓．下面是部分證明過程：證明：延長OA至點M，使AM=OA，連接OP、MQ．1°當(dāng)點P在直線OA外時，證明過程缺失2°當(dāng)點P在直線OA上時，易知OP=MQ=2．綜上，點Q的運動路徑是以點M為圓心、2為半徑的圓．請你補全證明中缺失的過程．【結(jié)論應(yīng)用】如圖③，在矩形ABCD中，點E、F分別為邊AB、CD的中點，連接EF，點O是EF中點，點M是線段OF上的任意一點，AB=4，BC=8．點P是平面內(nèi)一點，AP=2，連接AP．作點P關(guān)于點M的對稱點Q，連接（1）當(dāng)點M是線段OF中點時，點Q的運動路徑長為________________．（2）當(dāng)點M在線段OF上運動時，連接EQ．設(shè)線段EQ長度的最大值為a，最小值為b，則a+b=________________．【針對訓(xùn)練】1．（2022·山東泰安·二模）如圖，矩形ABCD的邊AB=112,BC=3，E為AB上一點，且AE=1，F(xiàn)為AD邊上的一個動點，連接EF，若以EF為邊向右側(cè)作等腰直角三角形EFG,EF=EG，連接CG，則CGA．5 B．52 C．3 D．2．（2024·河南周口·一模）如圖，平行四邊形ABCD中，AB=16，AD=12，∠A=60°，E是邊AD上一點，且AE=8，F(xiàn)是邊AB上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到EG，連接BG、CG，則BG+CG的最小值是（

）.A．4 B．415 C．421 3．如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當(dāng)點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為4（2023·四川成都·一模）如圖，四邊形ABCD為矩形，對角線AC與BD相交于點O，點E在邊DC上，連接AE，過D做DF⊥AE，垂足為F，連接OF，若∠DAE=30°，DE=10，則OF的最小值為．5．（21-22九年級下·福建福州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Q是直線y=12x+2上的一個動點，將Q繞點P-1,0逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點Q'6．（23-24九年級上·遼寧沈陽·期末）【問題初探】數(shù)學(xué)課上張老師在講完正方形的性質(zhì)之后提出了一個問題：四邊形ABCD是邊長為3的正方形，點E是邊AD上的一動點，連接CE，以CE為一邊作正方形CEFG（點C，E，F(xiàn)，G按順時針方向排列），連接BF，DG．(1)如圖1，求點G到CD的距離，請寫出解答過程；【類比分析】愛動腦的數(shù)學(xué)興趣小組在研討的過程中，也提出了一個問題：(2)如圖2，當(dāng)BF經(jīng)過點D時，求DG的長，請寫出解答過程；【學(xué)以致用】看到同學(xué)們興致勃勃的樣子，張老師說：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導(dǎo)出相似”，于是給同學(xué)們留了一道思考題：(3)求代數(shù)式2DG+BF解題思路：如圖3，作等腰直角△ACF1，使∠CAF1=90°，連接AC，CF，AF，則點C由∠ACF=∠DCG，ACDC=CF由∠F1CF=∠ACE，C請完成“……”部分的解答過程．7．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）如圖，分別經(jīng)過原點O和點A8,0的動直線a，b，其夾角∠OBA=30°，點M是OB中點，連接AM，則AM的最小值是（

A．4 B．23+2 C．438（2022·遼寧撫順·模擬預(yù)測）如圖，AB＝4，O為AB的中點，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一動點，以PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點P、B、C按逆時針方向排列），則線段AC的長度的最大值為．9．（2024·河南鄭州·三模）如圖，點M是等邊三角形ABC邊BC的中點，P是三角形內(nèi)一點，連接AP，將線段AP以A為中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連接MQ．若AB=4，MP=1，則MQ的最小值為．10．（23-24九年級上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，半徑為4的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線y=34x?6與x軸、y軸分別交于點D、E，則△CDE11．（2023·江蘇宿遷·二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，P是以邊AD為直徑的⊙O上一動點，連接BP，以BP為邊作等邊三角形BPQ，連接OQ，若AB=2，則線段OQ的最大值為．12．（2017·江蘇無錫·二模）如圖，線段AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB=4，BC=2，點P是⊙O上一動點，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP=60°，連接OD，則OD長的最大值為13．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，以點A為圓心，2為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點，將線段DE繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)90°并縮短到原來的一半，得到線段DF，連接AF，則AF的最小值是．

14．（24-25九年級上·吉林·階段練習(xí)）【提出問題】如圖1，已知圓O的半徑為2，點Q是圓O上一動點，點P是圓O外一點，連接PQ，取PQ中點M，當(dāng)點Q在圓O上運動時，判斷點M的運動軌跡．【解決問題】（1）小帥同學(xué)進行了探究，他連接線段OP，取其中點N，他猜想點M的運動軌跡應(yīng)該是以N為圓心，1為半徑的圓．請你幫小帥同學(xué)完成證明過程．【簡單應(yīng)用】（2）如圖2，已知正方形ABCD的邊長為4，取BC中點記為O，以O(shè)為圓心，BC長為直徑作圓O，點E為圓O上一點，連接AE取其中點F，求線段DF的最小值．【靈活運用】（3）如圖3，正方形ABCD的邊長為4，點F在以A為圓心22長為半徑的圓上，連接CF，取其中點M，連接AM并延長交線段BC于點N，則∠ANB最大為°15．（23-24九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）（1）問題提出：如圖①，在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，P是AD上一動點，則BP+（2）問題探究：如圖②，在正方形ABCD中，AB=3，點E是平面上一點，且CE=1，連接BE，在BE上方作正方形BEMN，求BM的最大值．（3）問題解決：為迎接2021年9月在西安舉辦的第14屆全運會，打造體育歷史文化名城，某小區(qū)對一正方形區(qū)域ABCD進行設(shè)計改造，方使大家鍛煉運動．如圖③，在正方形內(nèi)設(shè)計等腰直角△CEF為健身運動區(qū)域，直角頂點E設(shè)計在草坪區(qū)域扇形MBN的弧MN上．設(shè)計鋪設(shè)CF和DF這兩條不同造價鵝卵石路，已知AB=40米，BM=102米，∠CEF=90°，CE=EF，若鋪設(shè)CF路段造價為每米200元，鋪設(shè)DF路段的造價為每米100元，請求出鋪設(shè)CF和DF

重難點17幾何壓軸突破四幾何最值問題費馬點與瓜豆模型（2種模型詳解+5種題型匯總+針對訓(xùn)練）【題型匯總】類型一費馬點費馬點概念：三角形內(nèi)部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.結(jié)論：1）對于一個各角不超過120°的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120°的點；2)對于有一個角超過120°的三角形，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點.（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120°）【解題思路】運用旋轉(zhuǎn)的方法，以?ABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點之間線段最短，得出最短長度.【擴展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結(jié)論如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB，交點為點P，點P為費馬點.圖形結(jié)論等腰三角形①∠APB=∠BPC=∠APC=120°；②△ABP與△ACP全等；③△BCP為等腰三角形；④△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最小.等邊三角形①AP=BP=CP；②∠APB=∠BPC=∠APC=120°；③△ABP、△ACP、△BCP全等；④點P是垂心，是△ABC各邊的高線的交點；⑤點P是△ABC各邊的中線的交點；⑥點P是內(nèi)心，是在三角形三個內(nèi)角的角平分線的交點；⑦△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最小.直角三角形①△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP，且點P為費馬點時和最?。虎凇螦PB=∠BPC=∠APC=120°【進階】加權(quán)費馬點模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數(shù)都是l，如果現(xiàn)在求mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1，那么此類題目就叫做“加權(quán)費馬點”.【模型拓展】類型一單系數(shù)類當(dāng)只有一條線段帶有不為1的系數(shù)時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，1）一種是旋轉(zhuǎn)特殊角度：對應(yīng)旋轉(zhuǎn)90°，對應(yīng)旋轉(zhuǎn)120°求AD+CD+BD的最小值求AD+CD+BD的最小值旋轉(zhuǎn)角度是90°旋轉(zhuǎn)角度是120°2）另一種是旋轉(zhuǎn)放縮，對應(yīng)三角形三邊之比類型二多系數(shù)類其實當(dāng)三條線段的三個系數(shù)滿足勾股數(shù)的關(guān)系時，都是符合加權(quán)費馬點的條件的。以不同的點為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)不同的三角形得到的系數(shù)是不同的，對于給定的系數(shù)，我們該如何選取旋轉(zhuǎn)中心呢？我們總結(jié)了以下方法：1.將最小系數(shù)提到括號外；2.中間大小的系數(shù)確定放縮比例；3.最大系數(shù)確定旋轉(zhuǎn)中心（例如最大系數(shù)在PA前面，就以A為旋轉(zhuǎn)中心），旋轉(zhuǎn)系數(shù)不為1的兩條線段所在的三角形。例：已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5,△ABC內(nèi)部有一點P,連接PA，PB，PC問題求解圖形作法求PA+PB+PC最小值△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDEBD長度即為所求,在Rt△BCD中有勾股定理可得BD=BC求PA+PB+2PC最小值△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△CDE此時△PCE為等腰直角三角形，即PE=2PC因此原式=PA+PB+2PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF求PA+PB+3PC最小值△CAP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得△CDE此時△PCE為等腰三角形且∠PCE=120°，即PE=3PC，因此原式=PA+PB+3PC=ED+PB+PE，則當(dāng)B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所求,在Rt△BFD中有勾股定理可得BD=BF求2PA+PB+3PC最小值思路：原式=2（PA+12PB+32PC）

1)將PC邊繞點C旋轉(zhuǎn)60°，然后過點P作PF⊥CE于點F,則PF=32PC;2)12PB利用三角形中位線來處理；3）P過程：△BCP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過點P作PF⊥CE于點F,此時△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過點F作FG∥DE，則FG=12PB，則當(dāng)A、P、F、G四點共線時取得最小值，AG長度即為所求,在Rt△ACG中有勾股定理可得AG=CG+AC2=34,原式=2（PA+求2PA+4PB+23PC過程：△ACP繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△CDE,然后過點P作PF⊥CE于點F,此時△PCE為等邊三角形，即PF=32PC，過點F作FG∥DE，則FG=12AP，則當(dāng)B、P、F、G四點共線時取得最小值，BG長度即為所求,在Rt△BCG中有勾股定理可得BG=CG+AC2=7.5,原式=4（12備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識進行求解.題型01普通費馬點模型1．（2024·廣東·二模）若銳角三角形ABC內(nèi)的點P滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則稱點P為△ABC的費馬點．如圖，在△ABC中，AB=AC=7，BC=3，則△ABC的費馬點P到A，B，C三點的距離之和為（A．4 B．2 C．2+23 D．【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理和解直角三角形，過A作AD⊥BC于點D，過B、C分別作∠DBP=∠DCP=30°，則PB=PC，證明∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，所以點P是△ABC的費馬點，再通過解直角三角形即可求解，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】過A作AD⊥BC于點D，過B、C分別作∠DBP=∠DCP=30°，∵△ABC是等腰三角形，∴PB=PC，∴∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，∴點P是△ABC的費馬點，∵∠ADC=∠ADB=90°，BD=CD=1∴∠DPC=60°，∴PC=CDsin60°在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD=∴PA=AD?PD=5∴PA+PB+PC=2+1+1=4，即△ABC的費馬點P到A，B，C三點的距離之和為4，故選：A．2．（21-22九年級上·四川成都·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，P是△ABC內(nèi)一點，求PA+PB+PC的最小值為【答案】6【分析】將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△DFC，可得PC=PF，DF=AP，將PA+PB+PC轉(zhuǎn)化為FD+BP+PF，此時當(dāng)B、P、F、D四點共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值為BD的長；根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△DFC，連接PF、AD、DB，過點D作DE⊥BA，交BA的延長線于點E；∴AP=DF，∠PCF=∠ACD=60°，PC=FC，AC=CD，∴△PCF、△ACD是等邊三角形，∴PC=PF，AD=AC=1，∠DAC=60°∴PA+PB+PC=FD+BP+PF，∴當(dāng)B、P、F、D四點共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值為BD的長；∵∠CAB=90°，∠CAD=60°，∴∠EAD=30°，∴DE=1∴AE=A∴BE=1+3∴BD=B∴PA+PB+PC的值最小值為6+故答案為：6+【點睛】本題考查費馬點問題，解題的關(guān)鍵在于將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得△DFC，將三條線段的長轉(zhuǎn)化到一條直線上．3．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，點M為矩形內(nèi)一點，點E為BC邊上任意一點，則MA＋MD＋ME的最小值為．【答案】4【分析】將△AMD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM′D′，則MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均為等邊三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共線時最短；由于點E也為動點，可得當(dāng)D′E⊥BC時最短，此時易求得D′E＝DG＋GE的值；【詳解】解：將△AMD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△AM′D′，由性質(zhì)的性質(zhì)可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均為等邊三角形，∴AM＝MM′，∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，∴D′M、MM′、ME共線時最短，由于點E也為動點，∴當(dāng)D′E⊥BC時最短，此時易求得D′E＝D′G＋GE＝4∴MA＋MD＋ME的最小值為4+故答案為：4【點睛】本題考查軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換、矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造等邊三角形解決問題，用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．4．（2024·陜西榆林·二模）如圖，在?ABCD中，AD=6，連接AC，AB=AC=5，以點C為圓心，15CD長為半徑畫弧，弧分別交BC、AC、CD于點M、H、N，點P是HN上方△ACD內(nèi)一動點，點Q是HN上一動點，連接AP、DP、PQ，則AP+DP+PQ的最小值為【答案】33+3【分析】如圖，把△APD繞D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'D，連接PP'，AA'，證明△DPP'為等邊三角形，△AA'D為等邊三角形，可得PD=PP【詳解】解：如圖，把△APD繞D順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'D∴AP=A'P'，∴△DPP'為等邊三角形，∴PD=PP'，當(dāng)C，Q，P，P'，AAP+DP+PQ=PQ+PP∵?ABCD，AB=AC=5∴AB=CD=AC=5，而A'A=A∴A'C⊥AD，AK=DK=3，∴A'K=6∵CQ=CN=1∴A'∴AP+DP+PQ的最小值為33故答案為：3【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，化為最簡二次根式，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．5．（2024·湖北·模擬預(yù)測）閱讀以下材料并完成問題材料一：數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想如a2+b2可看做是圖一中AB的長，材料二：費馬點問題是一個古老的數(shù)學(xué)問題．費馬點即在△ABC中有一點P使得PA+PB+PC的值最小．著名法學(xué)家費馬給出的證明方法如下：將△ABP繞B點向外旋轉(zhuǎn)60°得到△A1B1C1，并連接PP1易得△PP1B請結(jié)合以上兩材料求出x2

【答案】19【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，將原式轉(zhuǎn)化為x2+y2+1?x2+y2+x2+23?y2，構(gòu)造直角三角形ABC，∠ACB=90°，AC=23,BC=1，以C為坐標(biāo)原點構(gòu)造直角坐標(biāo)系，設(shè)P為x,y，進而得到【詳解】解：原式=x可看做下圖中的PA+PB+PC，其中P為x,y則PC=x2+y將△APC繞點C點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A1∵∠PCP1=∠ACA1=60°，∠ACD=90∴∠A1CD=30°∴A1D=12又∵BC=1∴DC=4∴A∵PA+PB+PC=AP∴PA+PB+PC=AP∴PA+PB+PC的最小值為19；∴x2+

題型02加權(quán)費馬點模型-單系數(shù)6．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線上的三個點A，B，C，求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：（其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空，②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角形的某個頂點）當(dāng)△ABC的三個內(nèi)角均小于120°時，如圖1，將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P

由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為由②可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，如圖2，最小值為A'B，此時的P點為該三角形的“費馬點”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=已知當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．如圖3，若∠BAC≥120°，則該三角形的“費馬點”為④點．(2)如圖4，在△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知點P為

(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．現(xiàn)欲建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C的鋪設(shè)成本分別為a元/km，a元/km，2a元/【答案】(1)①等邊；②兩點之間線段最短；③120°；④A．(2)5(3)2【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和兩點之間線段最短進行推理分析即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)（1）的方法將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，即可得出可知當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'（3）由總的鋪設(shè)成本=a(PA+PB+2PC)，通過將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'C，得到等腰直角△PP'C，得到2PC=PP'，即可得出當(dāng)B，P【詳解】（1）解：∵PC=P∴△PCP∴PP'=PC又P'A'由兩點之間線段最短可知，當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC最小值為A'B，此時的∴∠BPC+∠P'PC=180°∴∠BPC=120°，∠A又∵△APC?△A∴∠APC=∠AP∴∠APB=360°?∠APC?∠BPC=120°，∴∠APC=∠BPC=∠APB=120°；∵∠BAC≥120°，∴BC>AC，BC>AB，∴BC+AB>AC+AB，BC+AC>AB+AC，∴三個頂點中，頂點A到另外兩個頂點的距離和最小．又∵已知當(dāng)△ABC有一個內(nèi)角大于或等于120°時，“費馬點”為該三角形的某個頂點．∴該三角形的“費馬點”為點A，故答案為：①等邊；②兩點之間線段最短；③120°；④A．（2）將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P由（1）可知當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，最小值為A

∵∠ACP=∠A∴∠ACP+∠BCP=∠A又∵∠PC∴∠BCA由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：AC=A∴A'∴PA+PB+PC最小值為5，（3）∵總的鋪設(shè)成本=PA·a+PB·a+PC·∴當(dāng)PA+PB+2將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A'P'由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC，∠PCP'=∠AC∴PP∴PA+PB+2當(dāng)B，P，P'，A在同一條直線上時，P'A'+PB+P

過點A'作A'H⊥BC∵∠ACB=60°，∠ACA∴∠A∴A'∴HC=A∴BH=BC+CH=23∴APA+PB+2PC總的鋪設(shè)成本=PA·a+PB·a+PC·2故答案為：2【點睛】本題考查了費馬點求最值問題，涉及到的知識點有旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及兩點之間線段最短等知識點，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)作出正確的輔助線是解本題的關(guān)鍵．7．（23-24八年級下·重慶銅梁·期中）在?ABCD中，∠ABC=45°，連接AC，已知AB=AC=2，點E在線段AC上，將線段DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°為線段DF(1)如圖1，線段AC與線段BD的交點和點E重合，連接EF，求線段EF的長度；(2)如圖2，點G為DC延長線上一點，使得GC=EC，連接FG交AD于點H，求證：2AH=CD(3)如圖3，在（2）的條件下，平面內(nèi)一點P，當(dāng)HP+CP+2BP最小時，求【答案】(1)EF=(2)見解析(3)S【分析】（1）作DG⊥BC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，得到BC=2，DG=CG=1，在Rt△BGD中，應(yīng)用勾股定理，求出BD的長，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到ED（2）連接AG，AF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)與判定得到△GCA≌△ECDSAS，GA=ED，∠GAC=∠EDC，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到GA=FD，GA∥FD，根據(jù)平行四邊形的判定得到，?AGDF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AH（3）將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP'C'，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)兩點之間線段最短，得到HP+CP+2BP=HP+C'P'+P'P≤C'H，當(dāng)P'P在Rt△IBH中，得到BH=5，在Rt△BJH中，得到JH=713本題考查了，平行四邊形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：通過旋轉(zhuǎn)△BPC得到HP+CP+2【詳解】（1）解：過點D作DG⊥BC，交BC延長線于點G，∵∠BAC=45°，AB=AC=2∴∠ACB=∠ABC=45°，∠BAC=90°，∴BC=2∵?ABCD，∴∠DCG=∠ABC=45°，CD=AB=2，ED=∵DG⊥BC，∴DG=CG=2在Rt△BGD中，BG=BC+CD=2+1=3，BD=∴ED=1由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ED=FD，ED⊥FD，∴△EDF是等腰直角三角形，∴EF=2故答案為：EF=5（2）解：連接AG，AF，∵∠BAC=90°，AB∥CD，∴AC⊥GD，∠GCA=∠ECD=90°，又∵GC=EC，AC=DC，∴△GCA≌△ECDSAS∴GA=ED，∠GAC=∠EDC，∵ED=FD，ED⊥FD，∴GA=FD，∠AGC+∠GDF=90°?∠GAC+∠EDC+90°=180°，∴GA∥FD，∴四邊形AGDF是平行四邊形，∴AH=1∴2AH=∴2AH=CD（3）解：將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BP'C由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，C'P'=CP，∴P'∴HP+CP+2BP=HP+C'P延長C'B與DA延長線交于點I，過點B作BJ⊥P'P由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC'=BC=2∵AD∥BC，∴∠AIB=90°，∠IAB=∠ABC=45°，∴IB=IA=2在Rt△IC'H中，IC∵S△BC'H=在Rt△IBH中，BH=在Rt△BJH中，JH=∴PH=JH?PJ=7∴S△HPB故答案為：S△HPB8．（2024·廣東廣州·一模）如圖，在矩形ABCD和矩形AGFE中，AD=4，AE=2，AB=3AD,AG=3AE．矩形AGFE繞著點A旋轉(zhuǎn)，連接BG，CF，

(1)求證：△ABG∽△ACF；(2)當(dāng)CE的長度最大時，①求BG的長度；②在△ACF內(nèi)是否存在一點P，使得CP+AP+3PF的值最小?若存在，求【答案】(1)見解析(2)①BG=221；②存在，最小值是【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，先證△ABC∽△AGF，利用相似三角形的性質(zhì)準(zhǔn)備條件，再證△ABG∽△ACF即可；（2）①先確定當(dāng)E在矩形ABCD外，且C,A,E三點共線時，CE的長度最大，并畫出圖形，在Rt△CEF中求出CF的長，最利用△ABG∽△ACF的性質(zhì)求解即可；②將AP繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)30°,且使AK=3AP，連接PK，同理將AF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)30°,得到AL,且使AL=3AF，連接LK，過P作PS⊥AK于S，過點L作LQ垂直CE的延長線于點Q，確定CP+AP+3PF≥CL，當(dāng)C、P、K【詳解】（1）證明：∵AB=3AD，∴ABAG∵矩形ABCD和矩形AGFE，∴AD=BC，AE=GF，∠ABC=∠AGF=90°，∴ABAG∴△ABC∽△AGF，∠BAC=∠GAF，∴ACAF=AB即ACAB=AF∴△ABG∽△ACF（2）∵AC+AE≥CE，∴當(dāng)E在矩形ABCD外，且C,A,E三點共線時，CE的長度最大，如圖所示：

此時AC+AE=CE，∠CEF=90°，①∵AD=4，AB=3∴AC=AB2在Rt△CEF中，EF=AG=3AE=2∴CF=C由（1）得：△ABG∽△ACF，∴BGCF=AB∴BG=221②如圖，將AP繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)30°,且使AK=3AP，連接PK，同理將AF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)30°,得到AL,且使AL=3

由旋轉(zhuǎn)可得：∠PAF=∠KAL=30°?∠FAK，∴△AKL∽△APF，∴KLPF∴KL=3過P作PS⊥AK于S，則PS=12AP∴KS=AK?AS=32AP∴∠PKS=30°，∴PK=AP，∵CP+PK+KL≥CL，即CP+AP+3當(dāng)C、P、K、L四點共線時，CL的長最小，由題意，∠LAC=90°+30°+30°=150°，AF=4，AC=8，AL=43過點L作LQ垂直CE的延長線于點Q，∠LAQ=180°?150°=30°，∴QL=23，AQ=6則CQ=AC+AQ=14，在Rt△CQL中，根據(jù)勾股定理得CL=∴CP+AP+3PF的最小值為【點睛】本題是一道壓軸題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形，等腰三角形的判定，最短路徑等知識，涉及知識點較多，綜合性強，熟練掌握相關(guān)的知識與聯(lián)系，適當(dāng)添加輔助線是解答的關(guān)鍵.題型03加權(quán)費馬點模型-多系數(shù)9．（2023九年級下·全國·專題練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點P是正方形內(nèi)部一點，求PA+2PB+5【答案】4【分析】延長DC到H，使得CH=2BC=8，則BH=45，在∠CBH的內(nèi)部作射線BJ，使得∠PBJ=∠CBH，使得BJ=5BP，連接PJ，JH，AH．先證明△JBP∽△HBC，可得PJ=2PB，再證明△PBC∽△JBH，可得：HJ=5PC【詳解】解：延長DC到H，使得CH=2BC=8，則BH=45，在∠CBH的內(nèi)部作射線BJ，使得∠PBJ=∠CBH，使得BJ=5BP，連接PJ，JH∵∠PBJ=∠CBH，BPBJ=∴PBBC∴△JBP∽△HBC，∴∠BPJ=∠BCH=90°，∴PJ=B∵∠PBC=∠JBH，PBBJ∴△PBC∽△JBH，∴PCJH∴HJ=∴PA+2PB+5∵PA+PJ+JH≥AH，∴PA+2PB+5∴PA+2PB+5PC的值最小，最小值為【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，兩點之間線段最短，正方形的性質(zhì)，，正確理解費馬點問題，利用相似構(gòu)造2PB與5PC10．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°，BC=4，在△ABC內(nèi)有一點O，連接OA，OB，OC，若2OA+OB+5OC的最小值為45，則AC

【答案】17【分析】本題考查了圖形的變換，勾股定理，最短路徑的計算方法，掌握圖象旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑的計算方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，將△AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°并放大2倍，得△CA'O'，連接OO'，根據(jù)邊的關(guān)系可得2OA=O'A'，5OC=O【詳解】解：如圖所示，將△AOC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°并放大2倍，得△CA'O

∴A'O'=2AO，∴在Rt△OCO'∴2OA+OB+5根據(jù)兩點之間線段最短，∴在△A'OB∵2OA+BO+5OC的最小值為45∴A'在Rt△ACA'中，∴AA∵∠ACA∴∠A延長A'C，作點B作BE⊥A∴∠BCE=60°，且BC=4，在Rt△BCE中，∠CBE=30°∴CE=12BC=2∴A'∴在Rt△A'∴45解得，AC=17故答案為：17?111．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝6，AC＝4，P為平面內(nèi)一點，求22【答案】12【分析】將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AP'C'，將△AP'C'擴大324倍，得到△AP″C″，當(dāng)點B、P、【詳解】解：如圖，將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到△AP'C'，將△AP'C'擴大，相似比為324倍，得到△AP過點P作PE⊥AP″于E∴AE=PE=2∴P″E=AP″-AE=∴PP″=P當(dāng)點B、P、P″、C″在同一直線上時，22BP+5AP+3PC=22∵∠BAC″=∠BAC+∠CAC″=90°，AB=6，∴BC∴22BP+5AP+3PC=2【點睛】此題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確理解費馬點問題的造圖方法：利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)構(gòu)建等量的線段，利用三角形的三邊關(guān)系及點共線的知識求解，有時根據(jù)系數(shù)將圖形擴大或縮小構(gòu)建圖形．12．（2024·重慶·二模）已知△ABC中AB=BC，點D和點E是平面內(nèi)兩點，連接BD，DE和BE，∠BED=90°．(1)如圖1，若BD=BA，∠ABC=2∠D，BE=2，求AC的長度；(2)如圖2，連接AD和CD，點F為AD中點，點G為CD中點，連接EF和BG，若EF=BG，求證：∠BAC=∠DBE；(3)若∠ABC=60°，AB=2，當(dāng)12AD+32BD+CD【答案】(1)4(2)見解析(3)12【分析】（1）過點B作BH⊥AC交AC于點H，證明△AHB≌△BEDAAS（2）取BD的中點T，連接TE,TF,TG，根據(jù)中位線的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，得出△TFE≌△TBGSSS，再證明△TBE∽△TFG，得出∠EBT=∠GFT（3）將△BDC繞點B順時針轉(zhuǎn)60°得到△BD'A，將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BA'D'，連接AA'，根據(jù)12AD+32BD+CD=GF+FD+CD≥GC，當(dāng)G,F,D,C四點共線時，GC最小，進而確定E的位置，根據(jù)點E在O為圓心，12BD為半徑的圓上運動，由點到圓上的距離關(guān)系，得出當(dāng)【詳解】（1）解：如圖所示，過點B作BH⊥AC交AC于點H，∵△ABC中AB=BC，∴∠AHB=90°，∠ABC=2∠ABH，AC=2AH∵∠BED=90°，∠ABC=2∠D，∴∠AHB=∠BED，∠ABH=∠D．又∵BD=BA，∴△AHB≌△BED∴AH=BE=2∴AC=2AH=4；（2）解：如圖所示，取BD的中點T，連接TE,TF,TG，又∵F,G是AD，DC，∴FT=12∵AB=BC∴FT=TG，∵∠BED=90°，T為BD的中點，∴TE=BT，在△TFE,△TBG中，TF=TG∴△TFE≌△TBG∴∠FTE=∠GTB∴∠FTE?∠GTE=∠GTB?∠GTE即∠FTG=∠ETB又∵FT=TG,TE=EB即TETF∴△TBE∽△TFG∴∠EBT=∠GFT∵FG∴∠TFB=∠BAC∴∠BAC=∠DBE（3）解：∵△ABC中AB=BC，∠ABC=60°，∴∵ABC是等邊三角形，如圖所示，將△BDC繞點B順時針轉(zhuǎn)60°得到△BD'A，將△ABD繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△B∴BD=BD'，∠DBD'則△DBD'是等邊三角形，∵CD=A取BD',BA'∵F是BD'的中點，DF⊥BD，∴1∴當(dāng)G,F,D,C四點共線時，GC最小此時如圖所示，∴GC⊥B∵A'∴A'∴△A∴△ABD是直角三角形，∴AD⊥BD∵∠BD∴∠∴A設(shè)CD=a，則AD'=a在Rt△ADD∵△BDD∴BD=DD在Rt△ABD中，∴A∴2解得：a=∴BD=3a=取BD的中點O，連接AO,OE，∵∠BED=90°∴點E在O為圓心，12∴OE=1∴當(dāng)AE取得最大值時，E在AO的延長線上，連接OF，過點E作ES⊥BD于點S，在Rt△AOD中，OD=OE=∴AO=A∴cos∠AOD=∴SE=cos∴△BDE的面積為1【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形中位線的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半，相似三角形的性質(zhì)與判定，加權(quán)費馬點問題，點與圓的位置關(guān)系，直徑所對的圓周角是直角；熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【針對訓(xùn)練】1．（2021·遼寧丹東·中考真題）已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點．如果△ABC是銳角（或直角）三角形，則其費馬點P是三角形內(nèi)一點，且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．（例如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）．若AB=AC=7,BC=23，P為△ABC的費馬點，則PA+PB+PC=；若AB=23,BC=2,AC=4，P為【答案】52【分析】①作出圖形，過B,C分別作∠DBP=∠DCP=30°,勾股定理解直角三角形即可②作出圖形，將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，P為△ABC的費馬點則B,P,P',C'【詳解】①如圖,過A作AD⊥BC，垂足為D,過B,C分別作∠DBP=∠DCP=30°,則PB=PC,P為△ABC的費馬點∵AB=AC=7∴BD=DC=∴∴PD=1∴PB=∴AD=∴PA+PB+PC=5②如圖：∵AB=23,BC=2,AC=4∴A∴A∠ABC=90°∵∴∠BAC=30°將△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°由旋轉(zhuǎn)可得：△APC≌△A∴AP'∴△APP∴∠BA∵P為△ABC的費馬點即B,P,P',C∴PA+PB+PC=BP+PP'=AB故答案為：①5，②2【點睛】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰三角形性質(zhì)，作出旋轉(zhuǎn)的圖形是解題的關(guān)鍵．本題旋轉(zhuǎn)△PAB,△PBC也可，但必須繞頂點旋轉(zhuǎn)．2．（2021九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB=30°,BC=6,AC=5，在△ABC內(nèi)部有一點P，連接PA、PB、PC．（加權(quán)費馬點）求：（1）PA+PB+PC的最小值；（2）PA+PB+2（3）PA+PB+3（4）2PA+PB+3（5）12（6）2PA+4PB+23（7）4PA+2PB+23（8）3PA+4PB+5PC的最小值【答案】（1）61；（2）91；（3）61+303；（4）234；（5）132；（6）26；（7）【分析】（1）將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BP'C'，則BP'=BP，P'C=PC，∠PBP'=60°，可以推出△BPP'為等邊三角形，得到BP=P（2）將△BPC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CP'B'，則可證明PP'=2PC，從而得到PA+PB+2PC=PA+PP'+P'B，則當(dāng)A、P、（3）將△BPC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△B'PC'，則可證明PP'=3CP，則PA+PB+3PC=PA+PP'+P'B'，故當(dāng)A、（4）將△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CP'A'，再將△CP'A'以點C為位似中心放大2倍，得到△CP″A″，連接PP'，先證明P″P=（5）將△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CP'A'，再將△CP'A'以點C為位似中心縮小2倍，得到△CP″A″，同（4）原理可證得當(dāng)A（6）由2PA+4PB+23PC=41（7）由4PA+2PB+23PC=2(2PA+PB+3PC)可由（4）得（8）將△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CP'A'，再將△CP'A'以點C為位似中心縮小34倍，得到△CP″A″，同理可以證得當(dāng)A、P、P″、A″，共線時3PA+4PB+5PC的值最?。凇鰾CA【詳解】解：（1）如圖3-2，將△BPC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△B∴BP'=BP，P∴△BPP∴BP=PP∴PA+PB+PC=PA+PP∴A、P、P'、C'四點共線時，PA+PB+PC同理可證△BCC∴CC'=BC=6∴∠ACC∴AC∴PA+PB+PC的最小值為61；（2）如圖3-4，將△BPC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△C∴B'P'=BP，P'C=PC，∴PP∴PA+PB+2∴當(dāng)A、P、P'、B'四點共線時，PA+PB+PC∵∠ACB=30°，∴∠ACP+∠PCB=∠ACP+∠∴∠ACB過點A再作B'C的垂線，垂足為∴∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴∠CAE=30°，∴CE=∴AE=AC2∴AB∴PA+PB+2PC的最小值為（3）如圖3-6，將△BPC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到△∴B'P'=BP，P'C=PC，∴∠CPP過點C作CE⊥PP'于∴CE=12CP∴PE=P∴PP∴PA+PB+3∴當(dāng)A、P、P'、B'四點共線時，PA+PB+∵∠ACB=30°，∴∠ACP+∠PCB=∠ACP+∠∴∠ACB過點A再作B'C的垂線，垂足為∴∠AEC=90°，∠ACE=3°，∴AE=∴CE=A∴B∴AB∴PA+PB+3PC的最小值為（4）如圖3-8，將△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CP'A'，再將△CP由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CA'=CA=5，CP'∴CA″=10，CP″∴PP'=∴∠PP∴∠P∴P″∴2PA+PB+3∴當(dāng)A″，P″，P，B共線時2PA+PB+3∵∠BCA∴A″∴2PA+PB+3PC的最小值為（5）如圖3-10，將△BPC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CP'A'，再將△C同（4）原理可證得當(dāng)A″，P″，P，B共線時12∵∠BCA″=∠ACB+∠ACA″=BA12PA+PB+3（6）∵2PA+4PB+2∴由（5）得：2PA+4PB+23（7）∵4PA+2PB+2∴由（4）得4PA+2PB+23PC的最小值為（8）如圖3-12，將△CPA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CP'A'，再將△CP'同理可以證得當(dāng)A、P、P″、A″，共線時在△BCA″中，∠BCA過點A″作A″E⊥BC交BC∴∠A∴∠CA∴CE=1∴EA″=∴BA3PA+4PB+5PC的最小值為21．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，位似，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定等等，解題的關(guān)鍵在于能夠作出輔助線，找到P點在什么位置時，線段的和最小．3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）（1）問題背景如圖1，P為△ABC內(nèi)部一點，連接PA、PB、PC，將△APC繞，點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'為___________三角形，故PP'=PC，又P（2）問題解決如圖3，在△ABC中，三個內(nèi)角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，求PA+PB+PC的最小值；（3）問題應(yīng)用如圖4，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個三角形，且AC=6km，BC=43km，∠ACB=30°．現(xiàn)欲在△ABC內(nèi)部建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站P到村莊A，B，C【答案】（1）等邊；兩點之間線段最短（2）5（3）2000【分析】（1）根據(jù)推論過程填寫根據(jù)即可；（2）根據(jù)（1）的方法將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'C，即可得出可知當(dāng)B、P、P'、A'在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，最小值為A'B，再根據(jù)∠ACB=30°可證明∠BCA'=90°，根據(jù)勾股定理即可求出A'B；（3）根據(jù)總鋪設(shè)成本=1000(PA+PB+3PC)，將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'P'C，得到等腰△P【詳解】（1）∵PC=P'C，∠PCP'=60°，∴△PCP由幾何公理：兩點之間線段最短可得：PP∴當(dāng)B，P，P'，A'在同一條直線上時，PA+PB+PC故答案為：等邊，兩點之間線段最短．（2）如圖4，將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A'P'由（1）可知當(dāng)B、P、P'、A'在同一條直線上時，PA+PB+PC取最小值，最小值為∵∠ACP=∠A∴∠ACP+∠BCP=∠A又∵∠PCP∴∠BCA根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AC=A∴A即PA+PB+PC的最小值為5；（3）∵總鋪設(shè)成本=PA×1000+PB×1000+PC×10003∴當(dāng)PA+PB+3將△APC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△A'P'C，連接PP'，A'B，過點A'作A由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：P'C=PC，∠PCP'=∠AC在Rt△PKC中，∴PK=∴PP∴PA+PB+3當(dāng)B、P、P'、A'在同一條直線上時，P'A'∵∠ACB=30°，∠ACA∴∠A∴A∴HC=∴BH=BC+CH=43∴A∴PA+PB+3PC的最小值為總鋪設(shè)成本最小值為：1000(PA+PB+3PC)=200039【點睛】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及等邊三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．4．（2024·福建廈門·二模）根據(jù)以下思考，探索完成任務(wù)費馬點的思考問題背景17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽的法國律師皮耶·德·費馬，提出一個問題：求作三角形內(nèi)的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小，后來這點被稱之為“費馬點”．

素材1解決這種問題的經(jīng)典方法，就是利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA，如圖：把△APC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到△AP'C'，連接PP'，這樣就把確定PA+PB+PC的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定BP+PP'+P'C'

素材2圖中所示的是一個正方形的廠區(qū)，其中頂點A，B，C，D分別為辦公區(qū)、生產(chǎn)區(qū)、物流區(qū)和生活區(qū)，正方形邊長為2km，準(zhǔn)備在廠區(qū)內(nèi)修建一研發(fā)區(qū)E，且從研發(fā)區(qū)E修建三條直線型道路直通辦公區(qū)A，生產(chǎn)區(qū)B和物流區(qū)C

任務(wù)一感悟證明定理請你根據(jù)素材1所給解決思路，證明所求線段轉(zhuǎn)化的正確性．證明：PA+PB+PC=BP+P任務(wù)二初步探索位置在素材2中，請問研發(fā)區(qū)E建在哪片區(qū)域比較合適？（

）A．△ABC內(nèi)的區(qū)域B．△ACD內(nèi)的區(qū)域任務(wù)三擬定恰當(dāng)方案為了節(jié)約建設(shè)成本，問該研發(fā)區(qū)E應(yīng)該修建在廠區(qū)的什么地方，才能使得花費最少，最少費用為多少？【答案】任務(wù)一：見解析；任務(wù)二：A；任務(wù)三：研發(fā)區(qū)E應(yīng)建在△ABC內(nèi)部，且滿足∠AEB=∠BEC=∠CEA=120°時花費最少，最少費用為2006【分析】本題主要考查三角形的旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，將待求線段的和通過旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)化為同一直線上的線段來求是解題的關(guān)鍵，學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)的方法添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，屬于中考壓軸題．任務(wù)一：證明△APP任務(wù)二：結(jié)合任務(wù)一結(jié)論選擇即可；任務(wù)三：把△ABE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到△A'BE'，連接A'C，△EBE'為等邊三角形，證出AE+BE+CE≥A'C，當(dāng)且僅當(dāng)E',E在A'【詳解】解：任務(wù)一：如圖，由旋轉(zhuǎn)得：∠PAP∴△APP∴PP∵PC=P∴PA+PB+PC=BP+PP

任務(wù)二：在素材2中，由題意得：要找一點E到A、B、C三點距離和最小，研發(fā)區(qū)E建在△ABC內(nèi)的區(qū)域比較合適，故選：A；（3）如圖，把△ABE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到△A則BE=BE連接A'∴△EBE∴EE∵△ABE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到△A∴A∵A∴AE+BE+CE≥A當(dāng)且僅當(dāng)E',E在A'C上時，此時，點E在△ABC內(nèi)部，且滿足∠AEB=∠BEC=∠CEA=120°，過點A'作A'H⊥CB，交CB在Rt△A'∴A∴CH=2+3在Rt△A'∴AE+BE+CE最小值為