中考數(shù)學-圖形的相似與位似(含6種解題技巧)(含答案)

Page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第四章三角形第20講圖形的相似與位似（思維導圖+3考點+3命題點17種題型（含6種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一比例線段及有關性質(zhì)考點二平行線分線段成比例考點三位似圖形04題型精研·考向洞悉命題點一比例的性質(zhì)?題型01利用比例的性質(zhì)求解?題型02黃金分割命題點二平行線分線段成比例?題型01由平行線分線段成比例判斷式子正誤?題型02平行線分線段成比例?題型03平行線分線段成比例—A型?題型04由平行線分線段成比例—X型?題型05平行線分線段成比例與三角形中位線綜合?題型06平行線分線段成比例常的輔助線—平行線?題型07平行線分線段成比例常的輔助線—垂線命題點三位似圖形?題型01位似圖形的識別?題型02求兩個位似圖形的相似比?題型03求位似圖形的對應坐標?題型04已知位似圖形的相似比求線段長度?題型05求位似圖形的周長?題型06求位似圖形的面積?題型07在坐標系中畫位似中心?題型08在坐標系中畫位似圖形Page試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求比例的性質(zhì)★了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段;通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割平行線分線段成比例★★掌握基本事實:兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例位似★★了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小【考情分析】在中考中，該模塊內(nèi)容常出現(xiàn)在選擇題、填空題，較為簡單.本專題內(nèi)容是下一節(jié)相似三角形的基礎，需要學生在復習時加以重視.02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一比例線段及有關性質(zhì)1.兩條線段的比定義：如果選用同一長度單位的兩條線段a，b的長分別是m和n，就說兩條線段的比是a：b=m：n，或?qū)懗桑蛿?shù)的比一樣，兩條線段的比a:b中a叫做比的前項，b叫做比的后項.（兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比）【易錯點】1）“線段的比”與“線段的比值”區(qū)別：線段的比是運算，線段的比值是一個結果，是一個數(shù)；2）求兩條線段的比時，須統(tǒng)一成相同的單位，最終的比值與單位無關，比值沒有單位；3）線段的比，最終要化成最簡整數(shù)比.2.比例線段比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.四條線段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內(nèi)項.比例中項：如果比例線段的內(nèi)項是兩條相同的線段，即，那么線段b叫做線段a，c的比例中項.【補充】1）若a：b=b：c，則b是a，c的比例中項，所以.2）若線段a：線段b=線段b：線段c，則線段b是線段a，c的比例中項，所以.3.比例的基本性質(zhì)：1）基本性質(zhì)：QUOTE2）推論：3）合比性質(zhì)：，分比性質(zhì)：合分比性質(zhì)：QUOTEQUOTEQUOTE4）等比性質(zhì)：如果5）黃金分割定義：如圖，點B把線段AC分割成AB和BC兩部分（AB＞BC），滿足（此時線段AB是線段AC,BC的比例中項），那么稱點B為線段AC的黃金分割點，AB與AC（或BC與AB）的比成為黃金比，它們的比值為，近似值為0.618.【補充】1)黃金分割是以線段的比例中項來定義的；2)，0.618又被稱為黃金分割數(shù)；1．（2023·廣東·中考真題）我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應用了（

）A．黃金分割數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)2．（2023·四川甘孜·中考真題）若xy=2，則x?y3．（2023·浙江·中考真題）小慧同學在學習了九年級上冊“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學習內(nèi)容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學習過程．圖中橫線處應填：

4．（24-25九年級上·上海普陀·階段練習）在比例尺是1:300000的地圖上，如果某條道路長約為4cm，那么它的實際長度約為km5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）《九章算術》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的倍．考點二平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.1）示例：如圖，所得的對應線段成比例的有等等.2）對應線段成比例可用語言形象表示：等等.推論：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，截得的對應線段成比例．如圖，若DE∥BC，則有1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點D為△ABC邊AB上任一點，DE∥BC交AC于點E，連接BE、CD相交于點F，則下列等式中不成立的是（A．ADDB=AEEC B．DEBC=2．（2023·江蘇·中考真題）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：畫法圖形1．以A為端點畫一條射線；2．用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；3．過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N，M、N就是線段AB的三等分點．

這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學依據(jù)是（

）A．兩直線平行，同位角相等B．兩條平行線之間的距離處處相等C．垂直于同一條直線的兩條直線平行D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例3．（2023·北京·中考真題）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，F(xiàn)D=2.則BEEC的值為

4．（2023·吉林·中考真題）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E．若AD=2，BD=3，則

A．25 B．12 C．355．（2022·四川巴中·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，C為△AOB的OA邊上一點，AC:OC=1:2，過C作CD∥OB交AB于點D，C、D兩點縱坐標分別為1、3，則B點的縱坐標為（A．4 B．5 C．6 D．7QUOTEQUOTE考點三位似圖形1.位似圖形定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形，且對應點連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心.【概念混淆】位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形.判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應點的連線是否經(jīng)過位似中心.2.位似圖形的性質(zhì)1)位似圖形的所有對應點的連線所在的直線相交與一點.2）位似圖形的對應線段平行(或在同一條直線上)且比相等.3)位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.4）位似圖形是相似圖形,具有相似圖形的一切性質(zhì).5）一對對應邊與位似中心(不在同一直線上)形成的兩個三角形相似3.畫位似圖形的一般步驟：1）確定位似中心.2）連接位似中心和原圖的關鍵點并延長.3）根據(jù)位似比，確定所作的位似圖形的關鍵點.4）順次連接上述各點，得到放大或縮小后的圖形.注意事項：1）兩個位似圖形的位似中心，有一個.2）兩個位似圖形的位似中心可能位于圖形的內(nèi)部、外部或邊上.3）兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的同側(cè).（即畫位似圖形時，注意關于某點的位似圖形有兩個.）4.位似變換的坐標特征一般地，在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x，y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx，ky)或(-kx，-ky).【小結】以原點為位似中心的位似圖形的坐標符號變化：若兩個圖形在原點同側(cè)，則對應點的橫、縱坐標符號相同；若兩個圖形在原點異側(cè)，則對應點的橫、縱坐標符號相反.1．（2022·寧夏·中考真題）如圖，將三角尺直立舉起靠近墻面，打開手機手電筒照射三角尺，在墻面上形成影子．則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換（

）

A．平移 B．軸對稱 C．旋轉(zhuǎn) D．位似2．（2024綏化市一模）下列相似圖形不是位似圖形的是（

）A．B．C．D．3．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，矩形OABC各頂點的坐標分別為O0,0，A3,0，B3,2，C0,2，以原點O為位似中心，將這個矩形按相似比13

A．9,4 B．4,9 C．1,32 4．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一塊面積為60?cm2的三角形硬紙板（記為△ABC）平行于投影面時，在點光源O的照射下形成的投影是△A1B1A．90?cm2 B．135?cm25．（2024·寧夏銀川·三模）如圖，△ABC在平面直角坐標系內(nèi)，頂點坐標分別為A?1,2，B?3,3，(1)畫出△ABC繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°的△A(2)以A為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△ADE，使△ADE與△ABC位似且面積比為4:1．；04題型精研·考向洞悉命題點一比例的性質(zhì)?題型01利用比例的性質(zhì)求解1．（2024·四川成都·中考真題）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別．從盒中隨機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，則xy的值為2．（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知x2=y3．（2024·江蘇揚州·三模）已知線段a=7+1，b=7?1，則a，4．（2024·湖南益陽·模擬預測）小明家鄉(xiāng)有一小山，他查閱資料得到該山“等高線示意圖”（如圖所示），山上有三處觀景臺A，B，C在同一直線上，將這三點標在“等高線示意圖”后，剛好都在相應的等高線上，設A、B兩地的實際直線距離為m，B、C兩地的實際直線距離為n，則mn的值為5．（2022·湖南衡陽·中考真題）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（

）（結果精確到0.01m．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3A．0.73m B．1.24m C．1.37m6．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）已知非負實數(shù)a，b，c滿足a?12=b?23=3?c4，設S=a+2b+3c的最大值為mQUOTEQUOTEQUOTE?題型02黃金分割1．（2023·四川達州·中考真題）如圖，樂器的一根弦AB=80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，即AC2=AB?BC，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則兩個支撐點C，D2．（2024·山西·中考真題）黃金分割是漢字結構最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點A，B分別在習字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點C處，且BCAB=5?13．（2022·陜西·中考真題）在20世紀70年代，我國著名數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點，即BE2=AE?AB．已知AB為2米，則線段BE4．（2024·湖南長沙·模擬預測）黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為5?12．這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．如圖，樂器上的一根弦長AB=80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為5．（2020·四川瀘州·中考真題）古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段MN分為兩線段MG，GN，使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的段GN的比例中項，即滿足MGMN=GNMG=5?12，后人把5?12這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點G稱為線段MN的“黃金分割”點．如圖，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若

A．10?45 B．35?5 C．5?26．（2023·寧夏銀川·一模）如圖①，點C把線段AB分成兩部分(AC>BC)，若ACAB=BCAC，那么稱點類似的，可以定義“黃金分割線”：直線l把一個面積為S的圖形分成面積為S1和S2的兩部分(S1>(1)如圖②，在△ABC中，若點D是線段AB的黃金分割點(BD>AD)，線段CD所在直線是△ABC的黃金分割線嗎？為什么？(2)在（1）的條件下，如圖③，過點C作一條直線交BD邊于點E，過點D作DF∥EC交△ABC的一邊于點F，連接EF，交CD于點①S△CFG______S△EDG（填“＞”“＜”或“②EF是△ABC的黃金分割線嗎？為什么？命題點二平行線分線段成比例?題型01由平行線分線段成比例判斷式子正誤兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，對應線段成比例可用語言形象表示：等等.1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在△ABC中，點D、E在邊AB上，點F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，點H為AF與A．AHHF=CGC．CGBF=AD2．（2023·山西呂梁·一模）如圖，在△ABC中，DE∥AC，DF∥BC．則下列比例中錯誤的是（A．ADBD=DFBC B．ADBD=3．（2023·北京海淀·三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，連接CE并延長交BA的延長線于點F，則下列結論中錯誤的是（

）

A．∠AEF=∠DEC B．FA:CD=AE:BCC．FA:AB=FE:EC D．AB=DC4．（2021·廣東·二模）如圖，在△ABC中，點D是AB邊上的一點．以B為圓心，以一定長度為半徑畫弧，分別交AB、BC于點F、G，以D為圓心，以相同的半徑畫弧，交AD于點M，以M為圓心，以FG的長度為半徑畫弧，交MN于點N，連接DN并延長交AC于點E．則下列式子中錯誤的是（）A．ADBD=AEEC B．ABBD=?題型02平行線分線段成比例1．（2021·四川甘孜·中考真題）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線a,b與l1,A．4 B．6 C．7 D．122．（2024·四川成都·一模）如圖，l1∥l2∥QUOTE?題型03平行線分線段成比例—A型模型介紹A型X型圖示幾何表達∵DE∥BC∴∵DE∥BC∴1．（2024·吉林長春·三模）如圖，在△ABC中，點D、E為邊AB的三等分點，點F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，CE交DG于點H．若AC=12，則GH的長為．2．（2022·山東臨沂·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC，ADDB=23，若A．65 B．125 C．1853．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點D，E，EF∥AC交BC于點F，

A．165 B．167 C．24．（2023·湖南岳陽·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點C為BD的中點，以點C為切點的切線與AB的延長線交于點E．

（1）若∠A=30°,AB=6，則BD的長是（結果保留π）；（2）若CFAF=13?題型04由平行線分線段成比例—X型1．（2023·北京·中考真題）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，F(xiàn)D=2.則BEEC的值為

2．（2022·北京·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC=143．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點，CF交BD于點E，CF的延長線交BA的延長線于點G，EF=1，EC=3，則GF的長為（

）

A．4 B．6 C．8 D．104．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點，過點D作DE∥BC交AC于點E，過點B作AC的平行線交ED的延長線于點F，連接FC交AB于點G，設△ABC的面積為S1，△FCB的面積為S2，△FBG的面積為S3，若5．（2024·浙江·模擬預測）如圖1，在正方形ABCD中，E為BC延長線上一點，連接AE交對角線BD于F，交CD于G．(1)若AF=4，(2)探索AF，(3)如圖2，連接ED，求EDEA?題型05平行線分線段成比例與三角形中位線綜合1．（2022·湖南湘西·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，BD=8，OE∥AB，交BC于點E，OE=2.5，則AC的長為．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6．點F是AB中點，連接CF，把線段CF沿射線BC方向平移到DE，點D在AC上．則線段CF在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形CFDE的周長和面積分別是(

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，163．（2020·陜西·中考真題）如圖，在?ABCD中，AB＝5，BC＝8．E是邊BC的中點，F(xiàn)是?ABCD內(nèi)一點，且∠BFC＝90°．連接AF并延長，交CD于點G．若EF∥AB，則DG的長為（）

A．52 B．32 C．34．（2023·廣東佛山·模擬預測）如圖，點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，OM∥AB交AD于點M，若OM=3，BC=10，則OB的長為?題型06平行線分線段成比例常的輔助線—平行線當幾何圖形中所求線段的比與已知條件沒有明確的聯(lián)系時，可以過某一點作平行線，分離圖形，構造出“A型”或“X型”，得出與已知和未知線段相關聯(lián)的成比例線段，從而解決問題.有效構建，準確識別是處理此類問題的關鍵.1．（2023·安徽宿州·一模）如圖，在△ABC中，CG平分∠ACB，過點A作AH⊥CG交BC于點H，且H是BC的中點．若AH=4，CG=6，則AB的長為2．（2022·湖北襄陽·中考真題）如圖，在△ABC中，D是AC的中點，△ABC的角平分線AE交BD于點F，若BF：FD＝3：1，AB+BE＝33，則△ABC的周長為．3．（2023·安徽宿州·一模）如圖，在△ABC中，CG平分∠ACB，過點A作AH⊥CG交BC于點H，且H是BC的中點．若AH=4，CG=6，則AB的長為4．（2024·北京·三模）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點D為平面內(nèi)一點．(1)如圖1，若點D在線段BC上，且∠BAD=∠CAD，求tan∠BAD(2)如圖2，若點D為△ABC內(nèi)部一點，且∠BDC=135°，連接AD，點E為AD的中點，連接BE，用等式表示線段BD，BE，CD的數(shù)量關系，并證明：(3)若點D滿足∠BDC=135°，當AB=2時，請直接寫出AD?題型07平行線分線段成比例常的輔助線—垂線1．（2022·浙江麗水·中考真題）如圖，五線譜是由等距離、等長度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個點A，B，C都在橫線上．若線段AB=3，則線段BC的長是（

）A．23 B．1 C．322．（2024·安徽蚌埠·二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A0,4，B3,4，將△ABO向右平移到△CDE位置，A的對應點是C，O的對應點是（1）分別記矩形OECA和?OEDB的面積為S1，S2，則S1S2(填“>（2）若函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過點C和DE的中點F，則k

3．（2024·江蘇南通·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5．正方形DEFG的邊長為5，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為4．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在△ABC中，AB=BC，tan∠B=512，D為BC上一點，且滿足BDCD=85，過D作DE⊥AD交5．（2023·浙江寧波·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，E為AB邊上一點，以AE為直徑的半圓O與BC相切于點D，連接AD，BE=3,BD=35．P是AB邊上的動點，當△ADP為等腰三角形時，AP的長為

6．（2020·四川綿陽·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DF∥BC，∠ABC的平分線BE交DF于點G，GH⊥DF，點E恰好為DH的中點，若AE＝3，CD＝2，則GH＝（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024·四川宜賓·中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函數(shù)y=kxk≠0的圖象經(jīng)過點A、B及AC的中點M，BC∥x軸，AB與y軸交于點N．則ANA．13 B．14 C．159．（2024·北京·模擬預測）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點G，過D作EF⊥AC于點E，交AB的延長線于點F．(1)求證：EF是⊙O的切線；(2)當∠BAC=60°，AB=8時，求命題點三位似圖形?題型01位似圖形的識別識別兩個相似多邊形是不是位似圖形，關鍵是看兩個相似多邊形的對應頂點所在的直線是否相交于一點，相交于一點的就是位似圖形，交點就是位似中心；否則不是位似圖形.1．（2020·河北·中考真題）在如圖所示的網(wǎng)格中，以點O為位似中心，四邊形ABCD的位似圖形是（

）A．四邊形NPMQ B．四邊形NPMR C．四邊形NHMQ D．四邊形NHMR2．（2024·貴州安順·二模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，△ABC的位似圖形可以是（

）A．△BDE B．△FDE C．△DGF D．△BGF3．（2024·山西晉中·模擬預測）如圖，是幻燈機放映圖片的示意圖，在幻燈機放映圖片的過程中，這兩張圖片之間的關系是（

）A．對稱 B．平移 C．旋轉(zhuǎn) D．位似?題型02求兩個位似圖形的相似比1．（2023·廣西河池·模擬預測）如圖，以點O為位似中心，將ΔOAB放大后得到ΔOCD，OA=2???,???AC=32．（2024·貴州貴陽·一模）在平面直角坐標系中，△ABC與△A'B'C'位似，位似中心是原點O，點B與點B'是對應頂點，B，B'的坐標分別為(1,2)，A．2：1 B．1：2 C．3．（2024·重慶江津·模擬預測）如圖，△ABC與△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，若△ABC與△DEF的面積比為4:9，則OA:OD為（

）A．4:9 B．2:3 C．2:1 D．3:14．（2024·四川成都·二模）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形．若△ABC和△DEF的周長之比為1:3，則OC:OF=．5．（2023·四川巴中·一模）在平面直角坐標系中，將一塊直角三角板如圖放置，直角頂點與原點O重合，頂點A、B恰好分別落在函數(shù)y=?1xx<0，y=9xA．13 B．3310 C．10QUOTE?題型03求位似圖形的對應坐標一般地，在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x，y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx，ky)或(-kx，-ky).【小結】以原點為位似中心的位似圖形的坐標符號變化：若兩個圖形在原點同側(cè)，則對應點的橫、縱坐標符號相同；若兩個圖形在原點異側(cè)，則對應點的橫、縱坐標符號相反.1．（2024·山西·中考真題）如圖，在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)，△A'B'C'與△ABC關于原點O位似，相似比為2∶1，點A的坐標為2．（2024·浙江·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A'B'C'是位似圖形，位似中心為點O．若點A(?3,1)的對應點為A'A．(?4,8) B．(8,?4) C．(?8,4) D．(4,?8)3．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，△ABO的頂點坐標是A2,6，B3,1，O0,0，以點O為位似中心，將△ABO縮小為原來的13，得到△A

4．（2023·遼寧·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC的頂點坐標分別是O0，0，A1，0，B2，3，C

5．（2023·湖北鄂州·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點O是位似中心，且ABA

?題型04已知位似圖形的相似比求線段長度位似圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一個點，對應邊互相平行或共線，利用位似比求線段的長度與利用相似三角形的對應邊成比例求線段的長度一樣，要找準對應關系.1．（2020·重慶·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別是A(1,2)，B(1,1)，C(3,1)，以原點為位似中心，在原點的同側(cè)畫△DEF，使△DEF與△ABC成位似圖形，且相似比為2：1，則線段DF的長度為（

）A．5 B．2 C．4 D．22．（2024·云南·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△DEF是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若A?2,0,D3,0，且AC=4，則線段DF

A．6 B．5 C．4 D．33．（2024·河北·模擬預測）如圖，嘉嘉利用空的薯片筒、塑料膜等器材自制了一個可以探究小孔成像特點的物理實驗裝置，他在薯片筒的底部中央打上一個小圓孔O，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像與蠟燭火焰位似，其位似中心為O，其中薯片筒的長度為16cm．蠟燭火焰AB高為6cm，若像高CD為3cm

A．254cm B．25cm C．32cm4．（2020·河北石家莊·模擬預測）如圖，有一斜坡OA，已知斜坡上一點A的坐標為A23,2，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，將△AOB以坐標原點0為位似中心縮小為原圖形的12，得到△COD，則OC的長度是?題型05求位似圖形的周長1．（2024·吉林長春·一模）如圖，六邊形ABCDEF和六邊形A1B1C1D1E1F1是以點．O為位似中心的位似圖形，2．（2024·湖南衡陽·二模）如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，位似中心為點O．若OA:AD=1:3，△ABC的周長為9，則△DEF的周長為（

）A．18 B．27 C．32 D．363．（2023·重慶南岸·一模）正方形ODEF與正方形OABC位似，點O為位似中心，OE:OB=1:4，則正方形ODEF與正方形OABC的周長比為（

）

A．1:3 B．1:4 C．1:9 D．1:16?題型06求位似圖形的面積1．（2023·陜西西安·模擬預測）如圖，點A在反比例函數(shù)y=4x的圖象上，AC⊥y軸于點C，以O為位似中心把四邊形OBAC放大得到四邊形OB'A'C2．（2024·陜西渭南·二模）如圖，△ABC與△A'B'C'是以坐標原點O為位似中心的位似圖形，若點A、A'的坐標分別為(?1,0)、(?2.0)

A．18 B．12 C．24 D．93．（2023·廣東佛山·三模）如圖，以點O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A'B'C'D'，已知OA

A．3 B．6 C．9 D．18?題型07在坐標系中畫位似中心1．（2023·四川遂寧·中考真題）在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標系中，格點△ABC、△DEF成位似關系，則位似中心的坐標為（

A．(?1,0) B．(0,0) C．(0,1) 2．（2024·山西忻州·三模）在如圖所示的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，已知每個小正方形的邊長都是1，△ABC與△A'B'C'的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，且

3．（2024·遼寧撫順·三模）如圖，正方形網(wǎng)格圖中的△ABC與△A'B'C'是位似關系圖，則位似中心是點R、點P、點?題型08在坐標系中畫位似圖形1．（2021·黑龍江綏化·中考真題）如圖所示，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，把小正方形的頂點叫做格點，O為平面直角坐標系的原點，矩形OABC的4個頂點均在格點上，連接對角線OB．（1）在平面直角坐標系內(nèi)，以原點O為位似中心，把△OAB縮小，作出它的位似圖形，并且使所作的位似圖形與△OAB的相似比等于12（2）將△OAB以O為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA1B1，作出2．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，網(wǎng)格的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，點A，B，C的坐標分別為A(1,2)，B(3,1)，C(2,3)，先以原點O為位似中心在第三象限內(nèi)畫一個ΔA1B1C1，使它與ΔABC位似，且相似比為2：1，然后再把（1）畫出ΔA1B（2）畫出ΔA2B2C3．（2020·寧夏·中考真題）在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別是A(1,3),B(4,1),C(1,1)．（1）畫出△ABC關于x軸成軸對稱的△A（2）畫出△ABC以點O為位似中心，位似比為1∶2的△A第四章三角形第20講圖形的相似與位似（思維導圖+3考點+3命題點17種題型（含6種解題技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標導航02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一比例線段及有關性質(zhì)考點二平行線分線段成比例考點三位似圖形04題型精研·考向洞悉命題點一比例的性質(zhì)?題型01利用比例的性質(zhì)求解?題型02黃金分割命題點二平行線分線段成比例?題型01由平行線分線段成比例判斷式子正誤?題型02平行線分線段成比例?題型03平行線分線段成比例—A型?題型04由平行線分線段成比例—X型?題型05平行線分線段成比例與三角形中位線綜合?題型06平行線分線段成比例常的輔助線—平行線?題型07平行線分線段成比例常的輔助線—垂線命題點三位似圖形?題型01位似圖形的識別?題型02求兩個位似圖形的相似比?題型03求位似圖形的對應坐標?題型04已知位似圖形的相似比求線段長度?題型05求位似圖形的周長?題型06求位似圖形的面積?題型07在坐標系中畫位似中心?題型08在坐標系中畫位似圖形

01考情透視·目標導航中考考點考查頻率新課標要求比例的性質(zhì)★了解比例的基本性質(zhì)、線段的比、成比例的線段;通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割平行線分線段成比例★★掌握基本事實:兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例位似★★了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小【考情分析】在中考中，該模塊內(nèi)容常出現(xiàn)在選擇題、填空題，較為簡單.本專題內(nèi)容是下一節(jié)相似三角形的基礎，需要學生在復習時加以重視.02知識導圖·思維引航03考點突破·考法探究考點一比例線段及有關性質(zhì)1.兩條線段的比定義：如果選用同一長度單位的兩條線段a，b的長分別是m和n，就說兩條線段的比是a：b=m：n，或?qū)懗?，和?shù)的比一樣，兩條線段的比a:b中a叫做比的前項，b叫做比的后項.（兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比）【易錯點】1）“線段的比”與“線段的比值”區(qū)別：線段的比是運算，線段的比值是一個結果，是一個數(shù)；2）求兩條線段的比時，須統(tǒng)一成相同的單位，最終的比值與單位無關，比值沒有單位；3）線段的比，最終要化成最簡整數(shù)比.2.比例線段比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.四條線段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做組成比例的項，線段a，d叫做比例外項，線段b，c叫做比例內(nèi)項.比例中項：如果比例線段的內(nèi)項是兩條相同的線段，即，那么線段b叫做線段a，c的比例中項.【補充】1）若a：b=b：c，則b是a，c的比例中項，所以.2）若線段a：線段b=線段b：線段c，則線段b是線段a，c的比例中項，所以.3.比例的基本性質(zhì)：1）基本性質(zhì)：QUOTE2）推論：3）合比性質(zhì)：，分比性質(zhì)：合分比性質(zhì)：QUOTEQUOTEQUOTE4）等比性質(zhì)：如果5）黃金分割定義：如圖，點B把線段AC分割成AB和BC兩部分（AB＞BC），滿足（此時線段AB是線段AC,BC的比例中項），那么稱點B為線段AC的黃金分割點，AB與AC（或BC與AB）的比成為黃金比，它們的比值為，近似值為0.618.【補充】1)黃金分割是以線段的比例中項來定義的；2)，0.618又被稱為黃金分割數(shù)；1．（2023·廣東·中考真題）我國著名數(shù)學家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻，優(yōu)選法中有一種0.618法應用了（

）A．黃金分割數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)黃金分割比可進行求解．【詳解】解：0.618為黃金分割比，所以優(yōu)選法中有一種0.618法應用了黃金分割數(shù)；故選A．【點睛】本題主要考查黃金分割比，熟練掌握黃金分割比是解題的關鍵．2．（2023·四川甘孜·中考真題）若xy=2，則x?y【答案】1【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵xy∴x?yy故答案為：1．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握比例的性質(zhì)．3．（2023·浙江·中考真題）小慧同學在學習了九年級上冊“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學習內(nèi)容是一個逐步特殊化的過程，請在橫線上填寫適當?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學習過程．圖中橫線處應填：

【答案】2【分析】根據(jù)題意得出a=2【詳解】解：∵a∴a=∴ac故答案為：2．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關鍵．4．（24-25九年級上·上海普陀·階段練習）在比例尺是1:300000的地圖上，如果某條道路長約為4cm，那么它的實際長度約為km【答案】12【分析】本題主要考查了比例尺，根據(jù)比例尺=【詳解】因為比例尺為1:300000，且圖上距離是4cm所以實際距離是4×300000=1200000cm=12km故答案為：12．5．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）《九章算術》中記載，戰(zhàn)國時期的銅衡桿，其形式既不同于天平衡桿，也異于稱桿衡桿正中有拱肩提紐和穿線孔，一面刻有貫通上、下的十等分線．用該衡桿稱物，可以把被稱物與砝碼放在提紐兩邊不同位置的刻線上，這樣，用同一個砝碼就可以稱出大于它一倍或幾倍重量的物體．圖為銅衡桿的使用示意圖，此時被稱物重量是砝碼重量的倍．【答案】1.2【分析】設被稱物的重量為a，砝碼的重量為1，根據(jù)圖中可圖列出方程即可求解．【詳解】解：設被稱物的重量為a，砝碼的重量為1，依題意得，2.5a=3×1，解得a=1.2，故答案為：1.2．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，掌握杠桿的原理是解題的關鍵．考點二平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例.1）示例：如圖，所得的對應線段成比例的有等等.2）對應線段成比例可用語言形象表示：等等.推論：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，截得的對應線段成比例．如圖，若DE∥BC，則有1．（2022·山東東營·中考真題）如圖，點D為△ABC邊AB上任一點，DE∥BC交AC于點E，連接BE、CD相交于點F，則下列等式中不成立的是（A．ADDB=AEEC B．DEBC=【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可判斷A，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可判斷B、C、D．【詳解】解：∵DE∥∴ADBD=AEEC，△DEF∽△CBF，△∴DECB=DF∴EFBF故選C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理，熟知相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．2．（2023·江蘇·中考真題）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：畫法圖形1．以A為端點畫一條射線；2．用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；3．過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N，M、N就是線段AB的三等分點．

這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學依據(jù)是（

）A．兩直線平行，同位角相等B．兩條平行線之間的距離處處相等C．垂直于同一條直線的兩條直線平行D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例【答案】D【分析】根據(jù)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，即可求解．【詳解】解：由步驟２可得：C、D為線段AE的三等分點步驟３中過點C、D分別畫BE的平行線，由兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例得：M、N就是線段AB的三等分點故選：D【點睛】本題考查兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例．掌握相關結論即可．3．（2023·北京·中考真題）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，F(xiàn)D=2.則BEEC的值為

【答案】3【分析】由平行線分線段成比例可得，BOOE=AOOF=21，OE【詳解】∵AB∥EF∥CD，

AO=2，OF=1，∴BO∴BO=2OE，∵OE∴EC=2OE，∴BE故答案為：32【點睛】本題考查了平行線分線段成比例的知識點，根據(jù)平行線分線段成比例找出線段之間的關系是解決本題的關鍵.4．（2023·吉林·中考真題）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E．若AD=2，BD=3，則

A．25 B．12 C．35【答案】A【分析】利用平行線分線段成比例定理的推論得出AEAC【詳解】解：∵△ABC中，DE∥∴AEAC∵AD=2∴AEAC故選：A．【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題關鍵是牢記“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得對應線段成比例”．5．（2022·四川巴中·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，C為△AOB的OA邊上一點，AC:OC=1:2，過C作CD∥OB交AB于點D，C、D兩點縱坐標分別為1、3，則B點的縱坐標為（A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)CD∥OB得出ACAO=CDOB，根據(jù)AC:OC=1:2，得出ACAO【詳解】解：∵CD∥∴ACAO∵AC:OC=1:2，∴ACAO∵C、D兩點縱坐標分別為1、3，∴CD=3?1=2，∴2OB解得：OB=6，∴B點的縱坐標為6，故C正確．故答案為：6．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平面直角坐標系中點的坐標，根據(jù)題意得出ACAOQUOTEQUOTE考點三位似圖形1.位似圖形定義:如果兩個圖形不僅是相似圖形，且對應點連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心.【概念混淆】位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形.判斷位似圖形的方法：首先看這兩個圖形是否相似，再看對應點的連線是否經(jīng)過位似中心.2.位似圖形的性質(zhì)1)位似圖形的所有對應點的連線所在的直線相交與一點.2）位似圖形的對應線段平行(或在同一條直線上)且比相等.3)位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比.4）位似圖形是相似圖形,具有相似圖形的一切性質(zhì).5）一對對應邊與位似中心(不在同一直線上)形成的兩個三角形相似3.畫位似圖形的一般步驟：1）確定位似中心.2）連接位似中心和原圖的關鍵點并延長.3）根據(jù)位似比，確定所作的位似圖形的關鍵點.4）順次連接上述各點，得到放大或縮小后的圖形.注意事項：1）兩個位似圖形的位似中心，有一個.2）兩個位似圖形的位似中心可能位于圖形的內(nèi)部、外部或邊上.3）兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的同側(cè).（即畫位似圖形時，注意關于某點的位似圖形有兩個.）4.位似變換的坐標特征一般地，在平面直角坐標系中，如果以原點為位似中心，畫出一個與原圖形位似的圖形，使它與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x，y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx，ky)或(-kx，-ky).【小結】以原點為位似中心的位似圖形的坐標符號變化：若兩個圖形在原點同側(cè)，則對應點的橫、縱坐標符號相同；若兩個圖形在原點異側(cè)，則對應點的橫、縱坐標符號相反.1．（2022·寧夏·中考真題）如圖，將三角尺直立舉起靠近墻面，打開手機手電筒照射三角尺，在墻面上形成影子．則三角尺與影子之間屬于以下哪種圖形變換（

）

A．平移 B．軸對稱 C．旋轉(zhuǎn) D．位似【答案】D【分析】根據(jù)位似的定義，即可解決問題．【詳解】根據(jù)位似的定義可知：三角尺與影子之間屬于位似．故選：D．【點睛】本題考查了生活中位似的現(xiàn)象，解決本題的關鍵是熟記位似的定義．2．（2024綏化市一模）下列相似圖形不是位似圖形的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查位似圖形的識別，注意：①兩個圖形必須是相似圖形；②對應點的連線都經(jīng)過同一點；③對應邊平行（或共線）．據(jù)此逐項判斷即可求得答案，注意排除法在解選擇題中的應用．【詳解】解：根據(jù)位似圖形的定義，選項A，B，C是位似圖形，位似中心是交點，不符合題意；選項D中，對應邊AB、DE不平行，故不是位似圖形，符合題意．故選：D．3．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，矩形OABC各頂點的坐標分別為O0,0，A3,0，B3,2，C0,2，以原點O為位似中心，將這個矩形按相似比13

A．9,4 B．4,9 C．1,32 【答案】D【分析】本題考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意B橫縱的坐標乘以13【詳解】解：依題意，B3,2，以原點O為位似中心，將這個矩形按相似比13縮小，則頂點B故選：D．4．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一塊面積為60?cm2的三角形硬紙板（記為△ABC）平行于投影面時，在點光源O的照射下形成的投影是△A1B1A．90?cm2 B．135?cm2【答案】D【詳解】解：∵一塊面積為60?cm2的三角形硬紙板（記為△ABC）平行于投影面時，在點光源O的照射下形成的投影是△∴OBO∴位似圖形由三角形硬紙板與其燈光照射下的中心投影組成，相似比為2:5，∵三角形硬紙板的面積為60?∴S△ABC∴△A1B故選：D．5．（2024·寧夏銀川·三模）如圖，△ABC在平面直角坐標系內(nèi)，頂點坐標分別為A?1,2，B?3,3，(1)畫出△ABC繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)90°的△A(2)以A為位似中心，在網(wǎng)格中畫出△ADE，使△ADE與△ABC位似且面積比為4:1．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了中心對稱作圖和位似作圖，解題的關鍵是作出對應點．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出點A、B、C的對稱點A1、B1、（2）以A為位似中心，作出點A、B、C的位似點，然后順次連接即可．【詳解】（1）解：如圖，△A；（2）解：如圖，△AD1E04題型精研·考向洞悉命題點一比例的性質(zhì)?題型01利用比例的性質(zhì)求解1．（2024·四川成都·中考真題）盒中有x枚黑棋和y枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別．從盒中隨機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38，則xy的值為【答案】3【分析】本題考查簡單的概率計算、比例性質(zhì)，根據(jù)隨機取出一枚棋子，它是黑棋的概率是38，可得x【詳解】解：∵隨機取出一枚棋子，它是黑棋的概率是38∴xx+y=3故答案為：352．（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知x2=y【答案】5【分析】設x2=y3=z4【詳解】解：設x2則x=2k，y=3k，z=4k，故x2故答案為：56【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，正確用同一字母表示各數(shù)是解決此類題的關鍵．3．（2024·江蘇揚州·三模）已知線段a=7+1，b=7?1，則a，【答案】6【分析】本題主要考查了比例中項，根據(jù)比例中項的定義直接列式求值即可得出答案．【詳解】解：設a，b的比例中項線段為x，∵線段a=7+1，∴x2∴x=6∴a，b的比例中項線段等于6，故答案為：6．4．（2024·湖南益陽·模擬預測）小明家鄉(xiāng)有一小山，他查閱資料得到該山“等高線示意圖”（如圖所示），山上有三處觀景臺A，B，C在同一直線上，將這三點標在“等高線示意圖”后，剛好都在相應的等高線上，設A、B兩地的實際直線距離為m，B、C兩地的實際直線距離為n，則mn的值為【答案】2【分析】本題考查了比例線段．根據(jù)題意，得出A、B兩地的實際直線距離，B、C兩地的實際直線距離，然后求根據(jù)比例線段求值即可．【詳解】解：由題意，得A、B兩地的實際直線距離為400?200=200，B、C兩地的實際直線距離為200?100=100，∴m:n=200:100=2:1，即mn故答案為：2．5．（2022·湖南衡陽·中考真題）在設計人體雕像時，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，可以增加視覺美感．如圖，按此比例設計一座高度為2m的雷鋒雕像，那么該雕像的下部設計高度約是（

）（結果精確到0.01m．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3A．0.73m B．1.24m C．1.37m【答案】B【分析】設雕像的下部高為xm，由黃金分割的定義得x2【詳解】解：設雕像的下部高為xm，則上部長為（2-x）m，∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，雷鋒雕像為2m，∴x2∴x=5即該雕像的下部設計高度約是1.24m，故選：B．【點睛】本題考查了黃金分割的定義，熟練掌握黃金分割的定義及黃金比值是解題的關鍵．6．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）已知非負實數(shù)a，b，c滿足a?12=b?23=3?c4，設S=a+2b+3c的最大值為m【答案】1116【分析】設a?12=b?23=3?c4=k，則a=2k+1，b=3k+2，c=3?4k，可得S=?4k+14；利用a，【詳解】解：設a?12=b?23=3?c4∴S=a+2b+3c=2k+1+2(3k+2)+3(3?4k)=?4k+14．∵a，b，c為非負實數(shù)，∴2k+1?03k+2?0解得：?1∴當k=?12時，S取最大值，當k=3∴m=?4×(?1n=?4×3∴nm故答案為：11【點睛】本題主要考查了比例的性質(zhì)，解不等式組，非負數(shù)的應用等，設a?12QUOTEQUOTEQUOTE?題型02黃金分割1．（2023·四川達州·中考真題）如圖，樂器的一根弦AB=80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，即AC2=AB?BC，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則兩個支撐點C，D【答案】80【分析】本題考查了黃金分割，利用黃金分割的等積式得一元二次方程是解題的關鍵．設AC=xcm，則BC=80?xcm，由AC2=BC?AB得x2=8080?x【詳解】解：設AC=xcm，則BC=∵AC∴x解得x1∴AC=40同理可求，BD=40∴AD=AB?BD=80?40∴CD=AC?AD=40故答案為：8052．（2024·山西·中考真題）黃金分割是漢字結構最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習字格書寫的漢字“晉”端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點A，B分別在習字格的邊MN，PQ上，且AB∥NP，“晉”字的筆畫“、”的位置在AB的黃金分割點C處，且BCAB=5?1【答案】5?1/【分析】本題考查了黃金分割的定義，正方形的性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)，先證明四邊形ABPN是矩形，根據(jù)黃金分割的定義可得BCAB【詳解】∵四邊形MNPQ是正方形，∴∠N=∠P=90°，又∵AB∥∴∠BAN+∠N=180°，∴∠BAN=90°，∴四邊形ABPN是矩形，∴AB=NP=2cm又∵BCAB∴BC=5故答案為：5?13．（2022·陜西·中考真題）在20世紀70年代，我國著名數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所做EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點，即BE2=AE?AB．已知AB為2米，則線段BE【答案】(5?1)【分析】根據(jù)點E是AB的黃金分割點，可得AEBE【詳解】∵點E是AB的黃金分割點，∴AEBE∵AB=2米，∴BE=（故答案為：（5?1【點睛】本題主要考查了黃金分割的應用，掌握黃金比是解題的關鍵．4．（2024·湖南長沙·模擬預測）黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為5?12．這個比例被公認為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割．如圖，樂器上的一根弦長AB=80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為【答案】8【分析】本題主要考查了黃金分割的定義，根據(jù)黃金分割的定義分別求出AC，DB，再根據(jù)線段的和差關系進行計算即可解答．【詳解】解：∵點C是靠近點B的黃金分割點，AB=80cm∴AC=5∵點D是靠近點A的黃金分割點，AB=80cm∴DB=∴CD=AC+BD?AB=240∴支撐點C，D之間的距離為80故答案為：805．（2020·四川瀘州·中考真題）古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點G將一線段MN分為兩線段MG，GN，使得其中較長的一段MG是全長MN與較短的段GN的比例中項，即滿足MGMN=GNMG=5?12，后人把5?12這個數(shù)稱為“黃金分割”數(shù)，把點G稱為線段MN的“黃金分割”點．如圖，在△ABC中，已知AB=AC=3，BC=4，若

A．10?45 B．35?5 C．5?2【答案】A【分析】作AF⊥BC，根據(jù)等腰三角形ABC的性質(zhì)求出AF的長，再根據(jù)黃金分割點的定義求出BE、CD的長度，得到△ADE中DE的長，利用三角形面積公式即可解題.【詳解】解：過點A作AF⊥BC，∵AB=AC，∴BF=12在Rt△ABF,AF=AB∵D是邊BC的兩個“黃金分割”點，∴CDBC=5解得CD=25同理BE=25∵CE=BC-BE=4-(25-2)=6-2∴DE=CD-CE=45-8，∴S△ABC=12×DE×AF=12故選：A.

【點睛】本題考查了“黃金分割比”的定義、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理的應用以及三角形的面積公式，求出DE和AF的長是解題的關鍵。6．（2023·寧夏銀川·一模）如圖①，點C把線段AB分成兩部分(AC>BC)，若ACAB=BCAC，那么稱點類似的，可以定義“黃金分割線”：直線l把一個面積為S的圖形分成面積為S1和S2的兩部分(S1>(1)如圖②，在△ABC中，若點D是線段AB的黃金分割點(BD>AD)，線段CD所在直線是△ABC的黃金分割線嗎？為什么？(2)在（1）的條件下，如圖③，過點C作一條直線交BD邊于點E，過點D作DF∥EC交△ABC的一邊于點F，連接EF，交CD于點①S△CFG______S△EDG（填“＞”“＜”或“②EF是△ABC的黃金分割線嗎？為什么？【答案】(1)線段CD所在直線是△ABC的黃金分割線；理由見解析(2)①=；②EF是△ABC的黃金分割線，理由見解析【分析】本題考查了相似形的綜合應用，解題關鍵在于讀懂題意，了解黃金分割線的定義．（1）過點C作CM⊥AB于點M，點D是線段AB的黃金分割點，(BD>AD)，根據(jù)定義即可求解．（2）①DF∥EC，可知S△CFD②由題意可知，S△BDC【詳解】（1）解：線段CD所在直線是△ABC的黃金分割線，理由如下：如圖，過點C作CM⊥AB于點M，∵點D是線段AB的黃金分割點，(BD>AD)，∴BDAB∴12即S△BDC∴線段CD所在直線是△ABC的黃金分割線；（2）解：①∵DF∥∴S∴S即S△CFG故答案為：=；②EF是△ABC的黃金分割線，理由：由題意可知，S△BDC∵S∴S同理，S△ADC由（1）知，S△BDC則有S四邊形∴EF是△ABC的黃金分割線．命題點二平行線分線段成比例?題型01由平行線分線段成比例判斷式子正誤兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例，對應線段成比例可用語言形象表示：等等.1．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，在△ABC中，點D、E在邊AB上，點F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，點H為AF與A．AHHF=CGC．CGBF=AD【答案】D【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)AC∥【詳解】解：∵AC∥∴AHHF∵DG∥∴DBAE∵AC∥∴CGBF∵DG∥∴△BEF相似于△BDG，∴EFGD故選：D．2．（2023·山西呂梁·一模）如圖，在△ABC中，DE∥AC，DF∥BC．則下列比例中錯誤的是（A．ADBD=DFBC B．ADBD=【答案】A【分析】由平行線分線段成比例及相似三角形的判定和性質(zhì)，即可得出結論．【詳解】解：∵DF∥BC，∴ADDB=AF∵DE∥∴∠A=∠BDE，∴△ADF∽△DBE，∴AD∴A選項錯誤，故選：A．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關鍵．3．（2023·北京海淀·三模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是AD上一點，連接CE并延長交BA的延長線于點F，則下列結論中錯誤的是（

）

A．∠AEF=∠DEC B．FA:CD=AE:BCC．FA:AB=FE:EC D．AB=DC【答案】B【分析】根據(jù)已知及平行線分線段成比例定理進行分析，可得CD∥BF，依據(jù)平行線成比例的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：A、根據(jù)對頂角相等，此結論正確；B、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)定理，得FA:FB=AE:BC，所以此結論錯誤；C、根據(jù)平行線分線段成比例定理得，此項正確；D、根據(jù)平行四邊形的對邊相等，所以此項正確．故選：B．【點睛】此題綜合運用了平行四邊形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線分線段成比例定理．4．（2021·廣東·二模）如圖，在△ABC中，點D是AB邊上的一點．以B為圓心，以一定長度為半徑畫弧，分別交AB、BC于點F、G，以D為圓心，以相同的半徑畫弧，交AD于點M，以M為圓心，以FG的長度為半徑畫弧，交MN于點N，連接DN并延長交AC于點E．則下列式子中錯誤的是（）A．ADBD=AEEC B．ABBD=【答案】C【分析】由平行線分線段成比例可得ADBD=AEEC，ADAB【詳解】解：由題意可得：∠ABC＝∠ADE，∴DE∥BC，∴ADBD=AEEC，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．?題型02平行線分線段成比例1．（2021·四川甘孜·中考真題）如圖，直線l1∥l2∥l3，直線a,b與l1,A．4 B．6 C．7 D．12【答案】B【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出AB:【詳解】解：∵l1∴AB:∵AB:BC=2:3，∴DE=6．故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關鍵．2．（2024·四川成都·一模）如圖，l1∥l2∥【答案】18【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，平行線分線段成比例定理指的是兩條直線被一組平行線所截，截得的對應線段的長度成比例．根據(jù)平行線分線段成比例，即可求解．【詳解】解：∵l1∴ABBC∵AB=6，DE=5，EF=15，∴6BC解得：BC=18．故答案為：18．QUOTE?題型03平行線分線段成比例—A型模型介紹A型X型圖示幾何表達∵DE∥BC∴∵DE∥BC∴1．（2024·吉林長春·三模）如圖，在△ABC中，點D、E為邊AB的三等分點，點F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，CE交DG于點H．若AC=12，則GH的長為．【答案】2【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線分線段成比例定理和相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵．利用平行線的性質(zhì)得到△BEF∽△BAC，利用相似三角形的性質(zhì)求得FE的長度，利用平行線分線段成比例定理求得CG=FG，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結論．【詳解】∵點D，E為邊AB的三等分點，∴BE∵AC∥EF∴△BEF∽△BAC，∴EF∵AC=12，∴EF=4，∵點D，E為邊AB的三等分點，AC∥DG∥EF，∴點F，G為邊BC的三等分點，∴CG=FG，∵DG∥EF，∴△CGH∽△CFE，∴GH∴CG=1故答案為：22．（2022·山東臨沂·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC，ADDB=23，若A．65 B．125 C．185【答案】C【分析】由DE∥BC，ADDB【詳解】解：∵DE∥BC，∴AD∵AC=6，∴6?CE解得：CE=18故選C【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例，證明“ADDB3．（2023·湖北恩施·中考真題）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點D，E，EF∥AC交BC于點F，

A．165 B．167 C．2【答案】A【分析】先證得四邊形DEFC是平行四邊形，得到DE=FC，再利用平行線截線段成比例列式求出FC即可．【詳解】∵DE∥BC，∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴DE=FC，∵EF∥∴FCBF∵BF=8，∴FC=16∴DE=16故選：A．【點睛】此題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線截線段成比例，正確理解平行線截線段成比例是解題的關鍵．4．（2023·湖南岳陽·中考真題）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點C為BD的中點，以點C為切點的切線與AB的延長線交于點E．

（1）若∠A=30°,AB=6，則BD的長是（結果保留π）；（2）若CFAF=13【答案】2π【分析】（1）連接OC,OD，根據(jù)點C為BD的中點，根據(jù)已知條件得出∠BOD=120°，然后根據(jù)弧長公式即可求解；（2）連接OC，根據(jù)垂徑定理的推論得出OC⊥BD，EC是⊙O的切線，則OC⊥EC,得出EC∥BD，根據(jù)平行線分線段成比例得出EBAB=13，設【詳解】解：（1）如圖，連接OC,OD，

∵點C為BD的中點，∴BC=又∵∠A=30°，∴∠BOC=∠COD=2∠A=60°，∴∠BOD=120°，∵AB=6，∴OB=1∴l(xiāng)BD故答案為：2π（2）解：如圖，連接OC，

∵點C為BD的中點，∴BC=∴OC⊥BD，∵EC是⊙O的切線，∴OC⊥EC,∴EC∴CFAF∵CFAF∴EBAB設EB=2a，則AB=6a，BO=3a,EO=EB+BO=5a，∴EC=EO2∴CEAE故答案為：12【點睛】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，切線的性質(zhì)，弧長公式，平行線分線段成比例定理等知識，綜合性較強，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵．?題型04由平行線分線段成比例—X型1．（2023·北京·中考真題）如圖，直線AD，BC交于點O，AB∥EF∥CD.若AO=2，OF=1，F(xiàn)D=2.則BEEC的值為

【答案】3【分析】由平行線分線段成比例可得，BOOE=AOOF=21，OE【詳解】∵AB∥EF∥CD，

AO=2，OF=1，∴BO∴BO=2OE，∵OE∴EC=2OE，∴BE故答案為：32【點睛】本題考查了平行線分線段成比例的知識點，根據(jù)平行線分線段成比例找出線段之間的關系是解決本題的關鍵.2．（2022·北京·中考真題）如圖，在矩形ABCD中，若AB=3,AC=5,AFFC=14【答案】1【分析】根據(jù)勾股定理求出BC，以及平行線分線段成比例進行解答即可．【詳解】解：在矩形ABCD中，AD∥BC，∴AEBC=AF∴AE4∴AE=1，故答案為：1．【點睛】此題考查了勾股定理以及平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關鍵．3．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點，CF交BD于點E，CF的延長線交BA的延長線于點G，EF=1，EC=3，則GF的長為（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得GFFC=AGCD，EGEC=BG【詳解】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴GFFC=AG設GF為x，∵EF=1，EC=3，∴EG=1+x，BG=AG+CD，∴x4=AG∴1+x3即8?x=0，得x=8，∴GF=8．故選：C．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例的性質(zhì)，熟練掌握其性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2024·江蘇蘇州·二模）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點，過點D作DE∥BC交AC于點E，過點B作AC的平行線交ED的延長線于點F，連接FC交AB于點G，設△ABC的面積為S1，△FCB的面積為S2，△FBG的面積為S3，若【答案】34【分析】本題考查了平行線等分線段定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，比例的性質(zhì)，分別利用平行線等分線段定理，相似三角形的判定和性質(zhì)及三角形的面積得出S1S2=ABBD，S3S2=【詳解】解：∵△ABC與△FBC是等高三角形，且S△FBC∴S1∵DE∥∴ABBD∴S1∵△FBG與△FBC高相同，∴S3S∵BF∥∴△BGF∽△AGC，∴FGCG∴FGCG+FG即FGFC∵DE∥BC，∴四邊形BCEF為平行四邊形，∴CE=BF，∴FGFC∵DE∥∴BDAB∴BDAB+BD∴S3S∵S1∴S1∴S1∴ABBD∴ABAB+BD∴BDAB∴ADAB故答案為：345．（2024·浙江·模擬預測）如圖1，在正方形ABCD中，E為BC延長線上一點，連接AE交對角線BD于F，交CD于G．(1)若AF=4，(2)探索AF，(3)如圖2，連接ED，求EDEA【答案】(1)28(2)A(3)5【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)以及平行線分線段成比例可得ABDG=AFGF=43，設AB=4x，DG=3x（2）通過平行線分線段成比例AFGF（3）如圖，過點B作BH⊥AE于點H，連接DH，證明△ABH∽△AEB，得到DHAD=DEEA，得出點H在以AB為直徑的圓上運動，取AB的中點O為圓心，12AB長為半徑畫圓，則H在⊙O上運動，連接OD交⊙O于點H1，設AB=2a，則OH=OH1=12AB=a，當D【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB∥CD，∴AB設AB=4x，DG=3x，∴AG=A∵AG=AF+FG=7，∴5x=7，∴x=7∴AB=4x=7∴正方形的邊長為285（2）AF∵AB∥∴△ABF~△GDF，∴AF∵AD∥∴△BEF~△DAF∴BE∴AF∴AF（3）如圖，過點B作BH⊥AE于點H，連接DH，則∠AHB=90°，在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABE=90°，∵∠BAH=∠EAB，∴△ABH∽△AEB，∴ABAE=∴AD∴AD又∵∠DAH=∠EAD，∴△ADH∽△AED，∴ADAE=∵∠AHB=90°，∴點H在以AB為直徑的圓上運動，取AB的中點O為圓心，12AB長為半徑畫圓，則H在⊙O上運動，連接OD交⊙O于點設AB=2a，則OH=OH當D，H，O三點共線時，即H與H1∴DH=DH∵DH≥OD?a，OD=O∴DH的最小值為5a?a∴DHAD的最小值為∴DEEA的最小值為【點睛】本題考查了平行線分線段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，圓周角定理，準確作出輔助線，得出當D，H，O三點共線時，即H與H1重合，DH≥OD?a?題型05平行線分線段成比例與三角形中位線綜合1．（2022·湖南湘西·模擬預測）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，BD=8，OE∥AB，交BC于點E，OE=2.5，則AC的長為．【答案】6【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理以及三角形中位線定理等知識，熟記各性質(zhì)是解題的關鍵．由菱形的性質(zhì)可得BO=4，AC⊥BD，利用OE為△ABC的中位線求得AB，借助勾股定理求出AO，即可求解．【詳解】解：∵菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，∴OA=OC=12AC，OB=∵OE∥AB，∴OCOA∴BE=CE，∴OE為△ABC的中位線，∴AB=2OE=5，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AO=∴AC=2AO=6，故答案為：6．2．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6．點F是AB中點，連接CF，把線段CF沿射線BC方向平移到DE，點D在AC上．則線段CF在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形CFDE的周長和面積分別是(

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，16【答案】C【分析】先論證四邊形CFDE是平行四邊形，再分別求出CF、CD、DF，繼而用平行四邊形的周長公式和面積公式求解即可．【詳解】由平移的性質(zhì)可知：DF∥CE,DF=CE，∴四邊形CFDE是平行四邊形，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6∴AC=在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，點F是AB∴CF=∵D