江西省撫州市2024-2025學年高二上學期期末考試 數(shù)學 含解析

撫州市2024—2025學年度上學期學生學業(yè)質量監(jiān)測高二數(shù)學試題卷說明：1.本卷共有4大題，19個小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.本卷分為試題卷和答題卡，答案要求寫在答題卡上，不得在試題卷上作答，否則不給分.3.所有考試結束3天后，考生可憑準考證號登錄智學網（）查詢考試成績，密碼與準考證號相同.一、單項選擇題：共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，僅有一項符合題目要求.1.已知直線，，若，則（）A.0 B.1 C. D.2【答案】A【解析】【分析】利用垂直的關系可得斜率之積為，即可得解.【詳解】由直線，，滿足可得，，可得，故選：A.2.圓心為且過點的圓的標準方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)各項給定圓的方程確定圓心，判斷是否在圓上即可.【詳解】由的圓心為，A錯；由的圓心為，B錯；由的圓心為，顯然點在圓上，C對；由的圓心為，D錯；故選：C.3.設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（）A.1 B.2 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件得到，設，再利用橢圓的定義及條件得到且，即可求出結果.【詳解】因為橢圓，所以，又因為，所以，即，設，則①，且②，由①②得到，即，所以，故選：B.4.如圖，三棱錐中，，，，且，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的運算法則求解即可.【詳解】如圖所示：.故選：C.5.若，則下列結論中正確是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法逐項計算判斷.【詳解】對于A，取，得，A錯誤；對于B，展開式中項的系數(shù)為，B錯誤；對于C，二項式展開式中各項系數(shù)均為正，取，得，C正確；對于D，取，得，取，得，聯(lián)立解得，因此，D錯誤.故選：C6.已知過原點直線與圓相交于兩點，則的最小值為（）A.6 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】判斷原點與圓的位置關系，再由最小有直線，最后應用幾何法求弦長即可.【詳解】由，即原點在已知圓內部，且圓心，，若原點為，要使最小，只需直線，而，所以最小.故選：D7.在“文化撫州，夢想之舟”半程馬拉松比賽中，某路段設三個服務站，某高校5名同學到甲、乙、丙三個服務點做志愿者，每名同學只去1個服務點，每個服務點至少1人，則不同的安排方法共有（）A.25種 B.150種 C.300種 D.50種【答案】B【解析】【分析】利用先分組后分配來解題，分組中要注意均分組消序思想.【詳解】五名同學分三個小組，若按2人，2人，1人來分有種，若按3人，1人，1人來分有種，再把這三個小組排列到三個服務站去共有種，所以每個服務點至少有1人的不同安排方法有：種，故選：B.8.如圖，已知是雙曲線的左?右焦點，為雙曲線上兩點，滿足，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義和性質分析可得，進而可得，結合勾股定理運算求解.【詳解】延長與雙曲線交于點，因為，根據(jù)對稱性可知，設，則，可得，即，所以，則，，即，可知，在中，由勾股定理得，即，解得.故選：D.【點睛】方法點睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求的值；2．焦點三角形的作用在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結合起來．二、多項選擇題：共3小題，每小題6分，共18分.每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，不選或有選錯的得0分.9.已知空間向量，，則下列選項中正確的是（）A.當時， B.當時，C.當時， D.當時，【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)向量垂直、平行的坐標表示列方程求參數(shù)判斷A、B；應用向量坐標加法及模長的坐標運算列方程求參數(shù)判斷C；由向量夾角的坐標表示求余弦值，進而確定正弦值判斷D.【詳解】A：，則，可得，錯；B：，則，可得，對；C：，可得或，錯；D：，則，故，則，對.故選：BD10.如圖，在直三棱柱中，，，，分別是棱，，的中點，在線段上，則下列說法中正確的有（）A.平面 B.平面C.存在點，滿足 D.三棱錐的體積不變【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)已知易得為平行四邊形，有，應用線面平行的判定判定A；由直線與面相交判斷B；假設，即，令并應用勾股定理列方程求解判斷C；首先證平面，再由棱錐的體積公式判斷D.【詳解】由題設，易得是邊長為2的正方形，且，，又是的中點，則且，故為平行四邊形，所以，面，面，則平面，A對；由上分析知，面即為面，顯然直線與面相交，B錯；由，若，即，令，則，，而，則，即，顯然無解，C錯；由，面，面，則平面，又在線段上，故到面距離為定值，且的面積為定值，所以三棱錐的體積不變，D對；故選：AD11.天文學家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)：在同一平面內，到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡是卡西尼卵形線.已知兩定，，動點滿足，設的軌跡為曲線，下列說法中正確的有（）A.的橫坐標最大值是2 B.曲線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形C.存在點，使得 D.面積最大值2【答案】BCD【解析】【分析】利用軌跡方程代數(shù)關系來證明相關選項，對于A利用縱坐標放縮去求橫坐標范圍，對于B則利用的代入檢驗就可作出判斷，對于C則利用方程組消元看看是否有解，對于D，則利用定義來求面積，只需要看是否存在直角.【詳解】由可得：，即，即，則，對于A，由，得，平方展開化簡得：，解得，即的橫坐標最大值是，故A錯誤；對于B，由滿足，所以曲線關于原點對稱，又由，也滿足，所以曲線關于坐標軸對稱，故B正確；對于C，若存在點，使得，則有，又由于則聯(lián)立，消去可得：，即有解，所以存在點，故C正確；對于D，，面積最大值2，由選項C可知，存在的最大值點，故D正確.故選：BCD.三、填空題：共3小題，每題5分，共15分.12.雙曲線的離心率為2，求______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程及離心率公式列方程求參數(shù)值即可.【詳解】由題設，易知，則，所以，由，可得.故答案為：13.設為正整數(shù)，展開式中僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項為__________．【答案】112【解析】【詳解】由展開式中僅有第5項的二項式系數(shù)最大得則，令，則展開式中的常數(shù)項為14.在平面凸四邊形中，，，且，，將四邊形沿對角線折起，使點A到達點的位置.若二面角的大小范圍是，則三棱錐的外接球表面積的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】取中點，連接，取的外心，過點作平面，過點作平面交于點，進而確定球心的位置及二面角的平面角為并確定范圍，利用幾何關系求球體半徑，即可得球體表面積的范圍.【詳解】由題意知，和是等邊三角形，取中點，連接，取的外心，則是的外心，過點作平面，則三棱錐外接球球心在上過點作平面交于點，則點即為三棱錐的外接球球心，由，知，為二面角的平面角，則，設，則，又，所以，因為平面，平面，所以，所以三棱錐的外接球半徑，所以三棱錐外接球的表面積.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)球心的性質確定位置，并求出二面角的平面角的范圍為關鍵.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.解答寫在答題卡上的指定區(qū)域內.15.設直線與.（1）若，求、之間的距離；（2）當直線與兩坐標軸正半軸圍成的三角形的面積最大時，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由直線平行的判定列方程求參數(shù)，再由平行線的距離公式求距離；（2）根據(jù)已知可得，再由三角形面積公式有，即可確定面積最大時的值.【小問1詳解】由，則，化簡得，可得或，當時，不成立，當時，，，此時之間的距離為.【小問2詳解】直線與兩坐標軸的正半軸圍成三角形，，則，與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形的面積為，當時，有最大.16.已知為原點，直線與圓交于、兩點.（1）若，求的值；（2）若過點作圓的兩條切線，切點為、，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用垂徑定理來求直線與圓相交的弦長，從而可得方程求解的值；（2）利用勾股定理來求切線長，從而可計算面積，然后可用基本不等式來求最值即可.【小問1詳解】由圓可得：圓心為，半徑，其中，而圓心到直線的距離，所以，解得，即的值為1.【小問2詳解】由（1）可知，由勾股定理可得四邊形由兩個全等的直角三角形組成。所以，當且僅當時成立所以當四邊形有最大面積.17.已知拋物線與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為，且點的橫坐標為3.（1）求拋物線的方程；（2）過點作一直線交拋物線于兩點，求弦的中點軌跡方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設點的坐標為，由點在雙曲線的漸近線上確定點坐標，再由點在拋物線上求參數(shù)，即可得方程；（2）設，，中點，，結合斜率兩點式及點差法得到，整理即可得軌跡，注意驗證軸的情況.【小問1詳解】設點的坐標為，因為點在第一象限，所以，雙曲線的漸近線方程為，因為點在雙曲線的漸近線上，所以，所以點的坐標為，又點在拋物線上，所以，所以，故拋物線的標準方程為；【小問2詳解】設，，中點，，若直線的斜率存在，，由，，則，所以，即，整理得，化簡得，直線的斜率不存在，軸，弦中點為也符合，綜上：軌跡方程為.18.如圖，在三棱錐中，，，，，、分別為、中點.（1）證明：；（2）證明：平面與平面的交線平面；（3）若，二面角的正切值為2，求的長.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）1【解析】【分析】（1）利用線線垂直證明線面垂直即可得證；（2）利用線面平行的判定和性質定理來進行推理證明即可；（3）先把二面角的正切值轉化為余弦值，再利用空間向量法來求解二面角的余弦值，從而得到方程求解邊長，也可以利用空間關系來證明線面垂直，并作圖證明二面角的平面角，再求解即可.【小問1詳解】因為，，，平面，所以平面，又因為平面，所以，【小問2詳解】因為分別是的中點，所以，因為平面，平面，即平面，又因為平面，而平面平面，所以，而平面，平面，所以平面；【小問3詳解】解法一：以A為坐標原點，所在直線為坐標軸建立如圖所示的空間直角坐標系：由（2）知，平面且平面，故平面平面，平面PAB法向量，設，則，，，則，設平面法向量，則，設二面角的平面角為，已知，所以，，解得：.（設也同樣可以）解法二：延長，過C作于點，連接，過P作于點，面，，為所成的二面角設，二面角的正切值為2，則得中，為等腰直角三角形，，在中，，代入得，解得：，.19.如圖所示，在圓錐內放入兩個球，它們都與圓錐的側面相切（即與圓錐的每條母線相切），且這兩個球都與平面相切，切點分別為，數(shù)學家丹德林利用這個模型證明了平面與圓錐側面的交線為橢圓，記為，為橢圓的兩個焦點.設直線分別與該圓錐的母線交于兩點，過點的母線分別與球相切于兩點，已知，.以直線為軸，在平面內，以線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作斜率不為0的直線，直線與橢圓交于兩點，分別為橢圓左右頂點，記的斜率為，的斜率為.求出；（3）已知為橢圓的右頂點，直線與橢圓相交于兩點（，兩點異于點），且，求的面積最大值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設有、求橢圓參數(shù)，即可得橢圓方程；（2）設，，的方程為，聯(lián)立橢圓及韋達定理可得，再由斜率的兩點式有，整理化簡即可得結果；（3）設直線為，聯(lián)立橢圓方程應用韋達定理及向量垂直的坐標表示可得關于參數(shù)的方程，即可求參數(shù)，進而確定直線過定點，最后三角形面積公式得關于的表達式，即可求最大值.【小