山西大學(xué)附屬中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月月考 數(shù)學(xué) 附答案

數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間：120分總分：150分一．選擇題：本小題8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則A.B. C.3 D.2.如圖所示的圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，，，3，4，5，6，，則A.，4，6， B.，4，6， C.，3，4，5，6，D.，2，4，6，3.已知函數(shù)同時(shí)滿足性質(zhì)：①；②當(dāng)，時(shí)，，則函數(shù)可能為)A.B.C.D.4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽所使用的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如圖①，是一個(gè)“勾股圓方圖”，設(shè)，，；在正方形中再作四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，且，如圖②．若，且，則A. B. C. D.5.某人同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為，，則橢圓的離心率的概率是A. B. C. D.6.2021年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)以“共圓小康夢(mèng)，歡樂過大年”為主題，突出時(shí)代性、人民性、創(chuàng)新性，節(jié)目?jī)?nèi)容豐富多彩，呈現(xiàn)形式新穎多樣，某小區(qū)的5個(gè)家庭買了8張連號(hào)的門票，其中甲家庭需要3張連號(hào)的門票、乙家庭需要2張連號(hào)的門票，剩余的3張隨機(jī)分到剩余的3個(gè)家庭即可，則這8張門票分配到家庭的不同方法種數(shù)為A.48 B.72 C.120 D.2407.若，，，則A． B． C． D．8．已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)，其外接球的表面積為，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過且與垂直的截面與交于點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值為A. B. C. D.二．選擇題：本小題4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，則下列說法正確的有A．展開式共有7項(xiàng) B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng) C．所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128 D．展開式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)10．已知函數(shù)，將圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，若在上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值可能是A.1 B.3 C.5 D.711.已知，，，，且，則的不可能的取值為（參考數(shù)據(jù)：，A. B. C. D.12．已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A.當(dāng)時(shí)，，使得 B.當(dāng)時(shí)，，使得 C.當(dāng)時(shí)，，使得 D.當(dāng)時(shí)，，使得三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，，則．14.某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值不小于60就認(rèn)為身體素質(zhì)合格．現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值，2，3，，，記這100名高中生身體素質(zhì)指標(biāo)值的平均分和方差分別為，經(jīng)計(jì)算，．若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，用的值分別作為的近似值，則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)的合格率為．（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．15．已知，，，，為拋物線上不同的五點(diǎn)，拋物線焦點(diǎn)為，滿足，則．16.（5分）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四．解答題：（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）17.記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，且，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：18.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．（1）求的值；（2）若，從下列三個(gè)條件中選出一個(gè)條件作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：的周長(zhǎng)為9．19.已知雙曲線的兩焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為，且點(diǎn)到漸近線的距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)、，交雙曲線的兩條漸近線于點(diǎn)、在軸左側(cè)）．記和的面積分別為、，求的取值范圍．20．如圖，在四棱錐中，，，，，且．（1）若平面，證明：點(diǎn)為棱的中點(diǎn)；（2）已知二面角的大小為，設(shè)平面和平面的夾角為.求證：滿足．21．為了精準(zhǔn)地找到目標(biāo)人群，更好地銷售新能源汽車，某店對(duì)近期購(gòu)車的男性與女性各100位進(jìn)行問卷調(diào)查，并作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下列聯(lián)表購(gòu)買新能源汽車（人數(shù)）購(gòu)買傳統(tǒng)燃油車（人數(shù)）男性女性（1）當(dāng)時(shí)，將樣本中購(gòu)買傳統(tǒng)燃油車的購(gòu)車者按性別采用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人調(diào)查購(gòu)買傳統(tǒng)燃油車的原因，記這3人中女性的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）定義，其中為列聯(lián)表中第行第列的實(shí)際數(shù)據(jù)，為列聯(lián)表中第行與第列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總頻數(shù)得到的理論頻數(shù)．基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則：首先提出零假設(shè)（變量，相互獨(dú)立），然后計(jì)算的值，當(dāng)時(shí)，我們推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；否則，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為和獨(dú)立．根據(jù)的計(jì)算公式，求解下面問題：當(dāng)時(shí)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，請(qǐng)分析性別與是否喜愛購(gòu)買新能源汽車有關(guān)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若認(rèn)為性別與是否喜愛購(gòu)買新能源汽車有關(guān)，則至少有多少名男性喜愛購(gòu)買新能源汽車？附：0.10.0250.0052.7065.0247.87922．（12分）已知函數(shù)．（1）若單調(diào)遞減，求的取值范圍；（2）若的兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，且，證明：．（參考數(shù)據(jù)：數(shù)學(xué)答案一．選擇題：本小題8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.（5分）已知，為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則A． B． C．3 D．【分析】求出，再由為實(shí)數(shù)，能求出．【解答】解：，由于為實(shí)數(shù)，則，所以，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）如圖所示的圖中，、是非空集合，定義集合為陰影部分表示的集合．若，，，，3，4，5，6，，則A．，4，6， B．，4，6， C．，3，4，5，6， D．，2，4，6，【分析】分析可知，，求出集合、、，即可得集合．【解答】解：由圖可知，，，因?yàn)?，，?，5，7，，，3，4，5，6，，則，2，3，4，5，6，7，，，5，，因此，，2，4，6，．故選：．3．已知函數(shù)同時(shí)滿足性質(zhì)：①；②當(dāng)，時(shí)，，則函數(shù)可能為A． B．C．D．【分析】①說明為偶函數(shù)，②，說明函數(shù)在上單調(diào)遞減，再逐項(xiàng)分析即可．【解答】解：①說明為偶函數(shù)，②，說明函數(shù)在上單調(diào)遞減．不滿足②，不滿足①，不滿足②，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增．對(duì)于，滿足①，當(dāng)，，單調(diào)遞減，也滿足②．故選：．4.（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽所使用的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．如圖①，是一個(gè)“勾股圓方圖”，設(shè)，，；在正方形中再作四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，且，如圖②．若，且，則A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則，，，化簡(jiǎn)得到．【解答】解：因?yàn)?，，所以，所以，故選：．5.某人同時(shí)擲兩顆骰子，得到點(diǎn)數(shù)分別為，，則橢圓的離心率的概率是A． B． C． D．【分析】由得，從而，擲兩顆骰子得到點(diǎn)數(shù)共有36個(gè)基本事件，利用列舉法求出其中滿足的基本事件有9個(gè)，由此能求出橢圓的離心率的概率．【解答】解：由得，所以，擲兩顆骰子得到點(diǎn)數(shù)共有36個(gè)基本事件，其中滿足的基本事件有：，，，，，，，，，共9個(gè)，故橢圓的離心率的概率為．故選：．6.2021年春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)以“共圓小康夢(mèng)，歡樂過大年”為主題，突出時(shí)代性、人民性、創(chuàng)新性，節(jié)目?jī)?nèi)容豐富多彩，呈現(xiàn)形式新穎多樣，某小區(qū)的5個(gè)家庭買了8張連號(hào)的門票，其中甲家庭需要3張連號(hào)的門票、乙家庭需要2張連號(hào)的門票，剩余的3張隨機(jī)分到剩余的3個(gè)家庭即可，則這8張門票分配到家庭的不同方法種數(shù)為A．48 B．72 C．120 D．240【分析】這8張連號(hào)的門票不妨設(shè)為1，2，3，4，5，6，7，8，先考慮3張連號(hào)的門票的選法共有6種情況，再考慮2張連號(hào)的門票的選法．最后考慮剩余的3張隨機(jī)分到剩余的3個(gè)家庭的選法共有種．利用加法與乘法原理可得這8張門票不同的分配方法的種數(shù)．【解答】解：這8張連號(hào)的門票不妨設(shè)為1，2，3，4，5，6，7，8，先考慮3張連號(hào)的門票的選法共有6種情況：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，再考慮2張連號(hào)的門票的選法：對(duì)于：，2，，，3，，，4，，分別有4，3，3種選法；利用對(duì)稱性可得：對(duì)于，5，，，6，，，7，分別有3，3，4種選法．最后考慮剩余的3張隨機(jī)分到剩余的3個(gè)家庭的選法共有種．利用加法與乘法原理可得這8張門票分配到家庭的不同方法種數(shù)種．故選：．7．若，，，則A． B． C． D．【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算將、、化簡(jiǎn)，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比較大小，進(jìn)而求得結(jié)果．【解答】解：由，得，由．得，由，得．設(shè)函數(shù)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，，所以（a）（b）（c），又因?yàn)?，，，所以，，均大于，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以．故選：．8．（5分）已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)，其外接球的表面積為，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過且與垂直的截面與交于點(diǎn)，則三棱錐的體積的最大值為A． B． C． D．【分析】根據(jù)外接球的表面積求解球半徑，利用正三棱柱的外接球球心位置結(jié)合勾股定理可得棱柱的高，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)的軌跡在以為直徑的圓上，即可確定點(diǎn)到底面距離的最大值，最后利用體積公式求解即可．【解答】解：外接球的表面積為，可得外接球半徑為．因?yàn)檎庵牡酌孢呴L(zhǎng)，所以，所以△的外接圓半徑為，設(shè)三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，則有，解得，即側(cè)棱，設(shè)的中點(diǎn)為，作出截面如圖所示，因?yàn)?，，所以，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，當(dāng)點(diǎn)在弧的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)到底面距離的最大，且最大值為，因?yàn)?，所以此時(shí)點(diǎn)在線段上，符合條件，所以三棱錐的體積的最大值為．故選：．二．選擇題：本小題4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和是，則下列說法正確的有A．展開式共有7項(xiàng) B．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng) C．所有二項(xiàng)式系數(shù)和為128 D．展開式的有理項(xiàng)共有4項(xiàng)【分析】利用賦值法求出的值，然后結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)以及通項(xiàng)逐項(xiàng)判斷．【解答】解：令可得：，解得，故該二項(xiàng)式為，故展開式中共項(xiàng)，故錯(cuò)誤；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的第4、5項(xiàng)，故錯(cuò)誤；所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故正確；展開式的通項(xiàng)為，，1，2，，7，當(dāng)，3，5，7時(shí)，為有理項(xiàng)，故正確．故選：．10．（5分）已知函數(shù)，將圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，若在上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則的取值可能是A．1 B．3 C．5 D．7【分析】化簡(jiǎn)得，進(jìn)而得，，由題意可得，即可得的范圍，結(jié)合選項(xiàng)即可得答案．【解答】解：因?yàn)?，又因?yàn)閷D象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖象，所以，，當(dāng)時(shí)，，，又因?yàn)樵谏锨∮幸粋€(gè)極值點(diǎn)，所以，解得，故選：．11.已知，，，，且，則的可能取值為（參考數(shù)據(jù)：，A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意化簡(jiǎn)得到，令，求得單調(diào)遞增，結(jié)合，，得到存在，使得，求得最小值，設(shè)，求得在上單調(diào)遞減，進(jìn)而得到（2），即可求解．【解答】解：由，可得且，所以，令，可得，令，可得，為單調(diào)遞增函數(shù)，即單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，又因?yàn)椋?），在，上遞增，所以正確．故選：．12．已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．當(dāng)時(shí)，，使得 B．當(dāng)時(shí)，，使 C．當(dāng)時(shí)，，使得 D．當(dāng)時(shí)，，【分析】對(duì)于，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出的取值范圍，可求得的取值范圍，可判斷選項(xiàng)；求出線段中點(diǎn)的軌跡方程，可求得的取值范圍，可判斷選項(xiàng)；將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式結(jié)合△可求得的取值范圍，可判斷選項(xiàng)；求出線段中點(diǎn)的軌跡方程，可求得的最小值，可判斷選項(xiàng)．【解答】解：在橢圓中，，由題意可得，上焦點(diǎn)記為，對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)，、，，聯(lián)立，可得，△，由韋達(dá)定理可得，，所以，，錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，由題意可得，兩式作差可得，因?yàn)橹本€的斜率存在，則，所以，，整理可得，又因?yàn)?，消去可得，其中，所以，，所以，，?duì)；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即，聯(lián)立，可得，△，解得，由韋達(dá)定理可得，，同理，所以，，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，使得對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，由選項(xiàng)可知，，即，即，由可得，故點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，而點(diǎn)到直線的距離為，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)時(shí)，取最小值，錯(cuò)．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，，則13．【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出．【解答】解：等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，，，，解得，，．故答案為：13．14.某市統(tǒng)計(jì)高中生身體素質(zhì)的狀況，規(guī)定身體素質(zhì)指標(biāo)值不小于60就認(rèn)為身體素質(zhì)合格．現(xiàn)從全市隨機(jī)抽取100名高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值，2，3，，，經(jīng)計(jì)算，．若該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值服從正態(tài)分布，則估計(jì)該市高中生身體素質(zhì)的合格率為．（用百分?jǐn)?shù)作答，精確到參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【分析】計(jì)算樣本的平均數(shù)和方差，由此估計(jì)，，再結(jié)合參考數(shù)據(jù)求．【解答】解：因?yàn)?00個(gè)數(shù)據(jù)，，，，的平均值，方差，所以的估計(jì)值為，的估計(jì)值為．設(shè)該市高中生的身體素質(zhì)指標(biāo)值為，由，得，，所以．故答案為：．15．已知，，，，為拋物線上不同的五點(diǎn)，拋物線焦點(diǎn)為，滿足，則A．5 B．10 C． D．【分析】由題意可得，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，由，可得，根據(jù)拋物線的定義，可得結(jié)論．【解答】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為．設(shè)，，，，的縱坐標(biāo)分別為，，，，，則，，，根據(jù)拋物線的定義，可得，故選：．16.（5分）已知函數(shù)，則的最小值是2；若關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】第一空，由題意可知，故設(shè)，作出其圖象，數(shù)形結(jié)合，可得的最小值；第二空，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線與曲線相切時(shí)的的值，將關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，可得答案．【解答】解：根據(jù)與大小關(guān)系（比較與大小的推理見后附），可知，設(shè)，注意到曲線與曲線恰好交于點(diǎn)，顯然，，作出的大致圖象如圖，可得的最小值是1，從而的最小值是2．由，得．設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，，，直線過定點(diǎn)，則，解得，從而．由圖象可知，若關(guān)于的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則直線與曲線有3個(gè)交點(diǎn)，則，即所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．故答案為：2；．附：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，所以在區(qū)間，上單調(diào)遞減，從而（1），此時(shí)；當(dāng)時(shí)，設(shè)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，（e），即；當(dāng)時(shí)，（e），即；當(dāng)時(shí)，（e），即．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．四．解答題：（本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）17.記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，且，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：．【分析】（1）由已知可得：，即，又，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，然后求其通項(xiàng)公式即可；（2）由（1）可得，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求證即可．【解答】（1）解：記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，且，，，則，即，又，，即，則數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，即；（2）證明：由（1）可得，又?jǐn)?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)考查了等比數(shù)列的求和公式，屬基礎(chǔ)題．18.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，．（1）求的值；（2）若，從下列三個(gè)條件中選出一個(gè)條件作為已知，使得存在且唯一確定，求的面積．條件①：；條件②：；條件③：的周長(zhǎng)為9．【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換，求解即可得出答案；（2）由（1）得，若選條件①：利用余弦定理可求得，，進(jìn)而面積公式分析運(yùn)算；若選條件②：分為銳角和為鈍角兩種情況討論，利用余弦定理可求，，結(jié)合題意分析判斷；若選條件③：根據(jù)題意可求得，，利用余弦定理結(jié)合面積公式運(yùn)算求解，即可得出答案．【解答】解：（1），則，；（2）由（1）得，由正弦定理得，若選條件①：由余弦定理得，即，又，解得，則，此時(shí)存在且唯一確定，，則，，；若選條件②：，即，若為銳角，則，由余弦定理，即，整理得，且，解得，則；若為鈍角，則，由余弦定理得，即，整理得，且，解得，則；綜上所述，此時(shí)存在但不唯一確定，不合題意；若條件③：由題意得，即，解得，則，此時(shí)存在且唯一確定，由余弦定理得，則，，．19.已知雙曲線的兩焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2，焦距為，且點(diǎn)到漸近線的距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）若過點(diǎn)的直線分別交雙曲線的左、右兩支于點(diǎn)、，交雙曲線的兩條漸近線于點(diǎn)、在軸左側(cè)）．記和的面積分別為、，求的取值范圍．【分析】（1）利用雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，焦距，結(jié)合點(diǎn)到漸近線的距離為．求解雙曲線方程即可．（2）設(shè)出直線方程，求出距離，聯(lián)立直線與雙曲線方程，求解距離，求解面積的比值，推出范圍即可．【解答】解：（1）由，知，，，故雙曲線的方程為或．由點(diǎn)到漸近線的距離為，知雙曲線方程為．（2）設(shè)，，，，．由可得；由，可得．由得，，．．由和的高相等，可，由，得，所以，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．20．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，，且．（1）若平面，證明：點(diǎn)為棱的中點(diǎn)；（2）已知二面角的大小為，當(dāng)平面和平面的夾角為時(shí)，求證：．【分析】（1）找到面與面的交線，利用線面平行，得到線線平行，進(jìn)而證明點(diǎn)為棱的中點(diǎn)．（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩平面的法向量公式求出平面和平面的夾角，進(jìn)而利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍．【解答】證明：（1），，，，在直角三角形中，，又，為的平分線，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，在中，，是等腰三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線平面，過的平面與平面的交線為，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)；（2）證明：由（1）可得，，，，，平面，為二面角的平面角，，又，為正三角形，又，，，，平面，故平面，平面，平面平面，取的中點(diǎn)為，連，則，平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)分別為平面和平面的法向量，則，取，則，，取，則，，在范圍內(nèi)單調(diào)遞減，平面和平面所成夾角滿足．21.21．為了精準(zhǔn)地找到目標(biāo)人群，更好地銷售新能源汽車，某店對(duì)近期購(gòu)車的男性與女性各100位進(jìn)行問卷調(diào)查，并作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下列聯(lián)表購(gòu)買新能源汽車（人數(shù)）購(gòu)買傳統(tǒng)燃油車（人數(shù)）男性女性（1）當(dāng)時(shí)，將樣本中購(gòu)買傳統(tǒng)燃油車的購(gòu)車者按性剔采用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人調(diào)查購(gòu)買傳統(tǒng)燃油車的原因，記這3人中女性的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）定義，其中為列聯(lián)表中第行第列的實(shí)際數(shù)據(jù)，為列聯(lián)表中第行與第列的總頻率之積再乘以列聯(lián)表的總頻數(shù)得到的理論頻數(shù)．基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則：首先提出零假設(shè)（變量，相互獨(dú)立，然后計(jì)算的值，當(dāng)時(shí)，我們推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過；否則，我們沒有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為和獨(dú)立．根據(jù)的計(jì)算公式，求解下面問題：當(dāng)時(shí)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，請(qǐng)分析性別與是否喜愛購(gòu)買新能源汽車有關(guān)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，若認(rèn)為性別與是否喜愛購(gòu)買新能源汽車有關(guān)，則至少有多少名男性喜愛購(gòu)買新能源汽車？附：0.10.0250.0052.7065.0247.879【分析】（1）用分層抽樣的方法抽取的購(gòu)買傳統(tǒng)燃油車的6人中，男生有2人，女生有4人，由題意可知的可能取值為1，2，3，求出對(duì)應(yīng)的概率，得到的分布列，進(jìn)而求出；（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)及所給公式計(jì)算，與參考數(shù)據(jù)比較即可得出結(jié)論；（ⅱ）根據(jù)基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則及的計(jì)算公式得到關(guān)于的不等式，再根據(jù)的取值范圍以及實(shí)際意義即可得解．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，用分層抽樣的方法抽取購(gòu)買傳統(tǒng)燃油車的6人中，男性有2人，女性有4人，由題意可知，的可能取值為1，2，3，，，，的分布列如下表：123．（2）零假設(shè)為性別與是否購(gòu)買新能源汽車獨(dú)立，即性別與是否購(gòu)買新能源汽車無關(guān)聯(lián)，當(dāng)時(shí)，，，，，，，，，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為性別與是否購(gòu)買新能源汽車有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005．（ⅱ），由題意可知，整理得，又，，，所以的最大值為4，又，至少有76名男性購(gòu)買新能源汽車．21．在2023年春節(jié)期間，為了進(jìn)一步發(fā)揮電子商務(wù)在活躍消費(fèi)市場(chǎng)方面的積極作用，保障人民群眾度過一個(gè)平安健康快樂祥和的新春佳節(jié)，甲公司和乙公司在某購(gòu)物平臺(tái)上同時(shí)開啟了打折促銷，直播帶年貨活動(dòng)，甲公司和乙公司所售商品類似，存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系．（1）現(xiàn)對(duì)某時(shí)間段100名觀看直播后選擇這兩個(gè)公司直播間購(gòu)物的情況進(jìn)行調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：選擇甲公司直播間購(gòu)物選擇乙公司直播間購(gòu)物合計(jì)用戶年齡段歲4050用戶年齡段歲30合計(jì)是否有的把握認(rèn)為選擇哪家直播間購(gòu)物與用戶的年齡有關(guān)？（2）若小李連續(xù)兩天每天選擇在甲、乙其中一個(gè)直播間進(jìn)行購(gòu)物，第一天等可能地從甲、乙兩家中選一家直播間購(gòu)物，如果第一天去甲直播間購(gòu)物，那么第二天去甲直播間購(gòu)物的概率為0.7；如果第一天去乙直播間購(gòu)物，那么第二天去甲直播間購(gòu)物的概率為0.8，求小李第二天去乙直播間購(gòu)物