高等數(shù)學(xué)高職

《高等數(shù)學(xué)》書名：高等數(shù)學(xué)（下）ISBN：978-7-111-31288-8作者：陶金瑞出版社：機(jī)械工業(yè)出版社本書配有電子課件高等數(shù)學(xué)（下）高職高專ppt課件第九章無窮級數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解無窮級數(shù)收斂與發(fā)散的基本概念，掌握正項(xiàng)級數(shù)和交錯級數(shù)的審斂法；掌握簡單冪級數(shù)收斂于的求法，會將簡單的函數(shù)用間接展開法展開成冪級數(shù)；掌握將周期函數(shù)和奇、偶函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的方法?！陡叩葦?shù)學(xué)》高等數(shù)學(xué)（下）高職高專ppt課件內(nèi)容提要高等數(shù)學(xué)（下）高職高專ppt課件第一節(jié)無窮級數(shù)概念與性質(zhì)重點(diǎn)：（1）級數(shù)及其收斂與發(fā)散（2）級數(shù)的基本性質(zhì)（3）級數(shù)收斂的必要條件難點(diǎn):用定義判斷級數(shù)的斂散性

高等數(shù)學(xué)（下）高職高專ppt課件一、無窮級數(shù)的基本概念高等數(shù)學(xué)（下）高職高專ppt課件二、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂和發(fā)散

例1討論級數(shù)

101解：這是以為公比的等比級數(shù)，分別取級數(shù)的前1項(xiàng)，

前2項(xiàng)，…前n項(xiàng)做和：

……

高等數(shù)學(xué)（下）高職高專ppt課件高等數(shù)學(xué)（下）高職高專ppt課件高等數(shù)學(xué)（下）高職高專ppt課件高等數(shù)學(xué)（下）高職高專ppt課件

判定下列級數(shù)的斂散性（1）（2）（3）（4）解：（1）級數(shù)的部分和為

所以級數(shù)發(fā)散。高等數(shù)學(xué)（下）高職高專ppt課件（2）

級數(shù)的部分和為

，

，

，

，……

即

，

所以

不存在，所以級數(shù)

發(fā)散。

（3）因?yàn)椋?/p>

所以級數(shù)的部分和為

而

所以級數(shù)

收斂，其和為

。

（4）

因?yàn)?/p>

，

所以

而

所以級數(shù)

發(fā)散。

例3討論等比級數(shù)（又稱幾何級數(shù)）

的斂散性。

解：此級數(shù)的部分和為

三、無窮級數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1若

，C為常數(shù)，則

。

性質(zhì)2若

，

，則有

性質(zhì)3一個級數(shù)增加或去掉有限項(xiàng)，不改變級數(shù)的斂散

性（但收斂級數(shù)的和要變）。

性質(zhì)4收斂級數(shù)任意加括號后所形成的新級數(shù)仍收斂，其和不變。

注意：性質(zhì)4的逆命題是錯誤的。

例4

判別級數(shù)

是否收斂，如果收斂，并求其和。

解：

是

的等比級數(shù)，收斂并且和為

。

同理

根據(jù)級數(shù)的性質(zhì)1，2可知，

也收斂，其和為

四、級數(shù)收斂的必要條件

只是級數(shù)收斂的必要條件而不是充分條件；定理：若級數(shù)

收斂，則

。

注：1）

2）

若

不成立，則級數(shù)必定發(fā)散。我們經(jīng)常用

這個結(jié)論來證明級數(shù)發(fā)散。

例5判別級數(shù)

的斂散性。

解：

所以

由級數(shù)收斂的必要條件得原級數(shù)是發(fā)散的。

第二節(jié)正項(xiàng)級數(shù)重點(diǎn)：正項(xiàng)級數(shù)收斂性的兩個判別法難點(diǎn)：比較判別法中尺度的選擇一、比較審斂法1.如果級數(shù)

的每一項(xiàng)

，則稱

為正項(xiàng)級數(shù)

2.設(shè)正項(xiàng)級數(shù)

和

滿足：

則

（1）

若級數(shù)

收斂，

也收斂，

（2）

若級數(shù)

收斂，

也收斂。

這個判別法稱為正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法。

例1

級數(shù)

叫作調(diào)和級數(shù)，試判別其

斂散性。

解：

當(dāng)

時，有

（此不等式可用函數(shù)的

單調(diào)性來證明）

所以

例2

討論

級數(shù)的斂散性。

由比較判別法知解：（1）

當(dāng)

時，

級數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故發(fā)散。

（2）

當(dāng)

時，

，因此

，

發(fā)散。

（3）當(dāng)

時，將級數(shù)改寫成：

解：（1）

因?yàn)?2121nnn<++，而?￥=121nn是12>=p

的p級數(shù)，故級數(shù)?￥=++1221nnn

是收斂的。

（2）

當(dāng)0>x時，有)1ln(xx+>，

所以，

)1ln(nn+>，即nn1)1ln(1>+，

而?￥=11nn是發(fā)散的，故級數(shù)?￥=+1)1ln(1nn發(fā)散。

（4）

因?yàn)?1122+=+>+nnnnnn，

而級數(shù)?￥=+111nn是發(fā)散的

故級數(shù)?￥=+121nnn發(fā)散。

（3）因?yàn)?/p>

而級數(shù)是公比為

54的等比級數(shù)，且收斂的。

故級數(shù)?￥=-1354nnnn收斂。

比較判別法的極限形式：

設(shè)?￥=1nnu和?￥=1nnv是兩個正項(xiàng)級數(shù)，若avunnn=￥?lim，+?Ra，

則這兩個級數(shù)的斂散性相同。

?￥=11sinnn例1

判別級數(shù)的斂散性。

解：易知?￥=11sinnn是正弦級數(shù)，因?yàn)?11sinlim=￥?nnn，

而?￥=11nn發(fā)散，故級數(shù)?￥=11sinnn發(fā)散。

二、比值審斂法例5

判斷下列級數(shù)的斂散性

（1）

?￥=1nnna(0>a)(2)?￥=1!nnnn

(3)?￥=12nnn

解：

（1）

annananauunnnnnnn=+=+=￥?+￥?+￥?1lim1limlim11

因?yàn)?>a，所以當(dāng)10<<a時級數(shù)收斂，當(dāng)1>a時

級數(shù)發(fā)散。

第三節(jié)任意項(xiàng)級數(shù)重點(diǎn)：（1）交錯級數(shù)審斂法（2）絕對收斂與條件收斂難點(diǎn)：絕對收斂與條件收斂一、交錯級數(shù)例1判斷下列級數(shù)的斂散性。

（1）

?￥=-11)1(nnn

（2）

?￥=--111)1(nnn

解：（1）

nun1=，111+=+nun

顯然有

1+>nnuu，且

0lim=￥?nnu

故級數(shù)收斂。

（2）

nun1=，111+=+nun

顯然有

1+>nnuu，且

01lim=￥?nn，

故級數(shù)收斂。

二、絕對收斂與條件收斂例2證明級數(shù)?￥=--121sin)1(nnnn收斂。

證明：

因?yàn)?211sin)1(nnnn￡--，而級數(shù)?￥=121nn是2=p時

的p級數(shù)，它是收斂的，所以由比較判別法，級數(shù)

?￥=--121sin)1(nnnn

收斂，從而級數(shù)?￥=--121sin)1(nnnn是絕對收斂的。

故級數(shù)?￥=--121sin)1(nnnn收斂。

例3指出下列級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂：

（1）

?￥=--111)1(nnn

（2）

?￥=--111)1(nnnn

解：（1）級數(shù)?￥=--111)1(nnn是交錯級數(shù)，由交錯級數(shù)審斂法可知

它收斂。而

??￥=￥=-=-11111)1(nnnnn是1=p的p級數(shù)，是發(fā)散的，

故級數(shù)?￥=--111)1(nnn條件收斂。

（2）級數(shù)?￥=--111)1(nnnn的每項(xiàng)取絕對值得級數(shù)?￥=11nnn，它是23=p

的p級數(shù)，是收斂的，因此級數(shù)?￥=--111)1(nnnn絕對收斂。它本身一

定收斂。

第四節(jié)冪級數(shù)重點(diǎn)：（1）冪級數(shù)概念及收斂半徑、收斂區(qū)間（2）冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)難點(diǎn)：利用冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求冪級數(shù)的和一、冪級數(shù)的概念

例1求冪級數(shù)

LL++++++nxxxx321的收斂域及和函數(shù))(xS.

x解：這是一個公比為的等比級數(shù)，因此當(dāng)

，

即11<<-x時收斂，當(dāng)1>x時發(fā)散，所以級數(shù)

LL++++++nxxxx321

的收斂域?yàn)?1,1(-，發(fā)散域?yàn)?/p>

。

由等比級數(shù)的求和公式知,它的和函數(shù)為xxS-=11)(，即

LL++++++=-nxxxxx32111

)1,1(-?x

例1

求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間

（1）

?￥=0!nnnx

（2）

?￥=-11)(nnnx

（3）

?￥=-1)1(nnnnx

（4）

?￥=+0212nnnxn

解：收斂半徑為

+￥=+=+==￥?￥?+￥?)1(lim)!1(1!1limlim1nnnaaRnnnnn

故冪級數(shù)?￥=0!nnnx的收斂區(qū)間為),(+￥-￥。

三、冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)性質(zhì)1：

設(shè)冪級?￥=0nnnxa和?￥=0nnnxb的收斂半徑分別為1R和2R，

和函數(shù)分別為)(1xS和)(2xS，),min(21RRR=，則冪級數(shù)

?￥=±1)(nnnnxba的收斂半徑為R，且

)()()(21000xSxSxbaxbxannnnnnnnnn+=±=±???￥=￥=￥=，

RxR<<-

性質(zhì)2：

若冪級數(shù)?￥=1nnnxa的收斂半徑為0>R，和函數(shù)為)(xS，

則在區(qū)間),(RR-內(nèi)和函數(shù)可導(dǎo)，且有

???￥=￥=-￥==￠=￠=￠0010)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS

即冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)。

例3

求冪級數(shù)?￥=-11nnnx的收斂區(qū)間及和函數(shù)，并求數(shù)項(xiàng)級數(shù)

?￥=12nnn的和。

11limlim1=+==￥?+￥?nnaaRnnnn解：

因?yàn)?/p>

把代入冪級數(shù)后都不收斂，所以原級數(shù)的收斂區(qū)間為)1,1(-。設(shè)和函數(shù)為)(xS，

因?yàn)閚xnxdtnt=ò-01，

所以，

xxxdtntdtntdttSnnnxnxnnx-====??òò?ò￥=￥=-￥=-1)()(11010110

例4

對冪級數(shù)

LL+-+-+-=+nnxxxx)1(1112

（11<<-x）

進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分。

2)1(1)11(xx+-=￠+解：由于，對冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得：

LL+-+-+-=++nnnxxxx122)1(321)1(1

（11<<-x）

對冪級數(shù)逐項(xiàng)積分得：

LL+-+-+-=+òòòòòxnnxxxxdttdtttdttddtt002000)1(11

（11<<-x）

即

LL+-++-+-=+-nnxnxxxxx1)1(413121)1ln(1432

（11<<-x）

例5

求冪級數(shù)?￥=1!nnnx的和函數(shù)。

解：例2中已經(jīng)求出它的收斂區(qū)間為),(+￥-￥，

設(shè)和函數(shù)為)(xS，

LL+++++=!!21)(2nxxxxSn即：

),(+￥-￥?x

逐項(xiàng)求導(dǎo)得：)(!!21)(2xSnxxxxSn=+++++=￠LL

即

)()(xSxS=￠

解這個微分方程得：xCexS=)(

由于1)0(=S，所以1=C，于是xexS=)(

即

LL+++++=!!212nxxxenx

第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)的展開重點(diǎn)（1）把函數(shù)展開為冪級數(shù)（2）求函數(shù)的收斂區(qū)間難點(diǎn)（1）冪級數(shù)的展開技巧（2）冪級數(shù)的簡單應(yīng)用一、函數(shù)的冪級數(shù)展開

問題：（1）

在（1）式中，系數(shù)0a，1a，2a，…，na…如何確定？

（2）

)(xf滿足什么條件才能展開為x的冪級數(shù)？

我們來解決問題（1），不妨設(shè)展開式（1）成立，那么根據(jù)冪

級數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)法，對式（1）依次求出各階導(dǎo)數(shù)：

)(xf?￥=0nnnxa對于一個給定的函數(shù)，如果能找到一個冪級數(shù),使

（RxR<<-）

（1）

成立，那么就說函數(shù))(xf可以展開為x

的冪級數(shù),（1）式稱為)(xf

的x的冪級數(shù)展開式。

把0=x代入（1）式及上述各式中得：

0)0(af=，1)0(af=￠，2!2)0(af=￠￠，…，nnanf!)0()(=，…

于是

)0(0fa=，!1)0(1fa￠=，!2)0(2fa￠￠=，

…，!)0()(nfann=，…

代入到（1）式中得

LL+++￠￠+￠+=nnxnfxfxffxf!)0(!2)0(!1)0()0()()(2（RxR<<-）

（2）

LL+++++=￠-1232132)(nnxnaxaxaaxf

…………

L+++++=++221)(2)!2()!1(!)(xanxananxfnnnn

…………

稱式（2）為)(xf的麥克勞林展開式，（或稱)(xf在0=x

處的泰勒展開式）。式（2)右端的級數(shù)稱為)(xf的麥克勞林級數(shù)

（或稱)(xf在0=x處的泰勒級數(shù)）。

并且我們可以得到：如果)(xf在包含點(diǎn)0=x在內(nèi)的某一

區(qū)間),(RR-內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)，且

（x在0和x之間，RxR<<-）

那么，)(xf在),(RR-區(qū)間內(nèi)就可以展開為麥克勞林級數(shù)。用上述

方法把已知函數(shù)展開成x的冪級數(shù)叫做直接展開法。

例1

把函數(shù)xexf=)(展開為x的冪級數(shù)。

LL+++++!!2!112nxxxn），，，（...321=n解：由于xnexf=)()(，故得1)0()(=nf，

由公式（2）得，xe的麥克勞林級數(shù)為

由第四節(jié)的例2知，它的收斂半徑為+￥=R，下面證明這

個級數(shù)在),(￥-￥內(nèi)收斂于xe。

（

x在0和

x之間）

因?yàn)閤ee<x，故對任意給定的x，xe有界，而

)!1(1++nxn

是收斂級數(shù)的一般項(xiàng)，所以根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，對任意

的x

，都有

0)!1(lim1=++￥?nxnn

從而，

0)(lim=￥?xRnn，

Rx?

這樣，我們得到xe的麥克勞林級數(shù)為

LL+++++=!!2!112nxxxenx

（+￥<<￥-x）

例2

求正弦函數(shù)的麥克勞林級數(shù)。

解：

xysin=的各階導(dǎo)數(shù)為

)2sin()()(pnxxfn+=

（

0,1,2,3n=L）

)0()(nf（n=0，1，2，3，…）依次循環(huán)地取0，1，0，-1，…，

于是得xsin的展開式為

LL++-+-+-+)!12()1(!5!31253nxxxxnn

（

0,1,2,3n=L）

容易求得此級數(shù)的收斂區(qū)間為),(￥-￥。而

11)()!1(]2)1(sin[)!1()()(+++++=+=nnnnxnnxnfxRpxx

（

x在0和

x之間）

例3

余弦函數(shù)xxfcos)(=的麥克勞林級數(shù)。

解：根據(jù)冪級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對xsin的展開式兩邊求導(dǎo)得：

LL+-+-+-=!2)1(!4!21cos242nxxxxnn

（+￥<<￥-x）

因?yàn)?/p>

所以由例1的討論可得

0)(lim=￥?xRnn，

Rx?

于是得：

LL++-+-+-=+)!12()1(!5!3sin1253nxxxxxnn

（+￥<<￥-x）

例4

求函數(shù)xxxf-+=11ln)(的麥克勞林級數(shù)。

解：

)1ln()1ln(11ln)(xxxxxf--+=-+=

可先求)1ln(x+和)1ln(x-的展開式：

LL++-+-+-=++1)1(32)1ln(132nxxxxxnn

（11￡<-x）

把上式中的x換為x-，得：

LL-+-----=-+132)1ln(132nxxxxxn

（11<￡-x）

兩式相減便得：

)1253(211ln123LL+-++++=-+-nxxxxxxn

（11<<-x）

例5

把x1展開成2-x的冪級數(shù)。

解：

把x-11的展開式中的x換為22--x得：

)2)2(2)3(2)2(221(211443322L--+---+--=xxxxx

（1221<--<-x）

整理得：

)2)2()1(2)3(2)2(22211143322LL+--++---+--=+nnnxxxxx

（40<<x）

二、冪級數(shù)的應(yīng)用舉例例6

求o15sin的近似值（精確到410-）。

1215p=o解：

因?yàn)?，由xsin的展開式得：

12153)12()!12(1)1()12(!51)12(!311212sin----+-+-?nnnpppppL

因?yàn)?112412<<p，所以

當(dāng)取前兩項(xiàng)為其近似值時，其誤差不大于第三項(xiàng)，

所以，2588.0)12(!311212sin3?-?ppp

例7

計(jì)算積分ò10sindxxx的近似值（精確到

410-）

解：

被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，將被積函數(shù)按冪級數(shù)

展開，有

LL++-+-+-=)!12()1(!5!31sin242nxxxxxnn

（+￥<<￥-x）

兩邊積分得：

所以

若取前3項(xiàng)作為其近似值，則誤差不大于第四項(xiàng)，

例8

利用冪級數(shù)證明歐拉公式

xixeixsincos+=

（*）

證明：在xe的展開式中，將x換為ix得：

LL++++++=!)(!3)(!2)(132nixixixixenix

12-=iii-=314=iii=5由于，，，，…所以

xixxxxixxxixxixixeixsincos)!5!3()!4!21(!5!4!3!2153425432+=-+-+-+-=-++--+=LLL

證畢。

第六節(jié)傅立葉級數(shù)重點(diǎn)：（1）三角函數(shù)系的正交性（2）把周期為的函數(shù)展開為傅立葉技術(shù)，并求出收斂于的范圍難點(diǎn)：（1）收斂定理的理解（2）傅立葉系數(shù)的計(jì)算一、問題的提出在自然現(xiàn)象和科學(xué)技術(shù)中，常會遇到各種周期現(xiàn)象，這類周期

現(xiàn)象中的有關(guān)量在經(jīng)過一定的時間T以后，又回到原來的初值。這

樣的周期一般是可由周期為T的函數(shù)來描述。

)()(tfTtf=+

例如：彈簧的振動可用函數(shù))sin(jw+=tAS來表示；

正弦交流電的電流強(qiáng)度可用函數(shù)

)sin(0jw+=tII來表示。

其中A和0I叫做振幅，w是角頻率，j叫做初位相。它們

都是以wp2=T為周期的函數(shù)，它們所描述的周期現(xiàn)象稱為簡諧振動。

二、三角函數(shù)系的正交性如果級數(shù)（1）在某種條件下能收斂于一個函數(shù))(xf，（Dx?），則稱函數(shù))(xf能展開成傅立葉級數(shù)，或者說三角級數(shù)（1）在這種條件下收斂于函數(shù))(xf，即

?￥=++=10)sincos()(nnnnxbnxaAxf，

Dx?

三角級數(shù)（1）中出現(xiàn)的函數(shù)綜合

稱為三角函數(shù)系

?￥=++10)sincos(nnnnxbnxaA由正弦、余弦函數(shù)組成的形如

的級數(shù)，稱為三角級數(shù)，又稱傅立葉級數(shù)。

其中

都是常數(shù)。

設(shè))(xf以p2為周期，并且可以展開成傅立葉級數(shù)（1），即

?￥=++=10)sincos()(nnnnxbnxaAxf

（2）

首先就要解決如下的兩個問題：

（1）

展開式中的系數(shù)0A，na，nb，如何確定？

（2）

)(xf滿足什么樣的條件，展開式才收斂于)(xf呢？

下面先來解決問題（1）。假定函數(shù))(xf在],[pp-上可積，并且它的展開

式可以逐項(xiàng)積分，則有

?òòòò￥=----++=10)sincos()(nnnnxdxbnxdxadxAdxxfpppppppp

由三角函系的正交性可得：

002)(AdxAdxxfppppp==òò--

200aA=dxxfa)(10ò-=ppp令，則

再用kxcos乘以（2）式右端，并在],[pp-上積分，有

?òòòò￥=----++=10)cossincoscos(coscos)(nnnkxdxnxbkxdxnxadxkxAkxdxxfpppppppp

由三角函數(shù)的正交性，得：

，從而求出na：

（n=1，2，3，…）

nanb由（3）式所確定的系數(shù)，稱為)(xf的傅立葉系數(shù)，把它們代入

（2）式即得)(xf的傅立葉級數(shù)展開式

?￥=++=10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf

（5）

同理用kxsin乘以（2）式兩端，并在],[pp-上積分，可得：

（n=1，2，3，…）

（3）

（4）

綜上所述，)(xf的展開式的系數(shù)可以表示如下：

（n=1，2，3，…）

（n=1，2，3，…）例1

設(shè))(xf以p2為周期，它在],[pp-上的表達(dá)式為

?íì-=,1,1)(xf

pp<￡<￡-xx00

將)(xf展開成傅立葉級數(shù)。

解：

計(jì)算傅立葉系數(shù)

（2）

寫出傅立葉級數(shù)

])12sin(1215sin513sin31[sin4LL+--++++xnnxxxp

）

0211=+-（1）

討論收斂性：

由于)(xf滿足收斂定理的條件，它在pkx=（處不連續(xù)，其它地方都連續(xù)，由收斂定理知道，在pkx=時，

級數(shù)收斂于，

pkx1)(xf在時，級數(shù)收斂于，即

])12sin(1215sin513sin31[sin4)(LL+--++++=xnnxxxxfp

（+￥<<￥-x，pkx1，）

其和函數(shù)的圖形如圖。

例2

設(shè)?íì<<￡￡-=ppxxxxf0,00,)(，以p2為周期，將)(xf展開為

傅立葉級數(shù)。

解：（1）

計(jì)算傅立葉系數(shù)

21)(100pppppp-===òò--xdxdxxfa

(2)寫出傅立葉級數(shù)

L-++-++-++-)5sin515cos52(4sin41)3sin313cos32(2sin21)sincos2(422xxxxxxxxpppp

）不連續(xù)，(3)

討論斂散性

)(xf滿足收斂定理的條件，在p)12(+=kx

（

因此在這些點(diǎn)級數(shù)收斂于22)(02)0()0(pppp-=-+=++-ff在其它點(diǎn)處都

收斂于)(xf，因此

)3sin312sin21(sin)5cos513cos31(cos24)(22LL-+-+++++-=xxxxxxxfpp

（+￥<<￥-x，pkx1，）

例3)(xf以p2為周期，在],[pp-上的表達(dá)式為xxf=)(，將)(xf

展開為傅立葉級數(shù)。

解：

（1）

計(jì)算傅立葉級數(shù)

ppppppp=+-==òòò--0001)(1xdxxdxdxxfa

第七節(jié)正弦與余弦級數(shù)周期延拓重點(diǎn)：（1）奇函數(shù)與偶函數(shù)分別展開為正弦級數(shù)和余弦級數(shù)（2）把已知函數(shù)進(jìn)行奇延拓和偶延拓難點(diǎn)：函數(shù)的周期性延拓一、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅立葉級數(shù)這個定理說明，如果)(xf為奇函數(shù)，那么它的傅立葉級數(shù)是

只含有正弦項(xiàng)的正弦級數(shù)

如果)(xf為偶函數(shù)，那么它的傅立葉級數(shù)是只含有余弦項(xiàng)

的余弦級數(shù)

例1)(xf是周期為p2的函數(shù)，它在],[pp-上的表達(dá)式為xxf=)(，

將)(xf展開為傅立葉級數(shù)。

解：

所給函數(shù)滿足收斂定理的條件，它在點(diǎn)p)12(+=kx處收斂于

02)(2)0()0(=-+=++-ppppff

在連續(xù)點(diǎn)處收斂于)(xf。其次，若不計(jì)p)12(+=kx，則)(xf是周期為p2的

奇函數(shù)。顯然，)(xf的傅立葉級數(shù)是正弦級數(shù)。

）（,......3,2,1)1(2cos2]sincos[2sin2sin)(210200=-=-=+-===+òònnnnnnxnnxxnxdxxnxdxxfbnnppppppp

代入到正弦級數(shù)表達(dá)式并由收斂定理中得)(xf的傅立葉展開式

例2

將函數(shù)xExfsin)(=（0>E）展開為傅立葉級數(shù)。

解：

因?yàn)?(xf為偶函數(shù)，所以它的展開式為余弦級數(shù)，)(xf是在

),(+￥-￥內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，并且周期是p，當(dāng)然p2也是它的周期。

???íì--=--+++-=--+===òòò為偶數(shù)為奇數(shù)nnEnnxnnxnEdxxnxnEnxdxxEnxdxxfan,)1(4,0]1)1cos(1)1cos([])1sin()1[sin(cossin2cos)(220000ppppppppp

（11n）

補(bǔ)充1a，

0]2sin[2cossin2cos)(202001==×==òòppppppxExdxxExdxxfa

二、函數(shù)的周期性延拓例2將函數(shù)1)(+=xxf

（p￡￡x0）分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù)。

解：先求正弦級數(shù)，為此對函數(shù))(xf進(jìn)行奇延拓，如圖

將nb代入到正弦級數(shù)中并由收斂定理得

]4sin43sin322sin2sin)2[(21L+-++-+=+xxxxxppppp

（p<<x0）

再求余弦級數(shù)，為此對)(xf進(jìn)行偶延拓，如圖

++=]sincossin[202nnxnnxnnxxpp22+==òòcos)1(cos)(00xdxxdxnxxfanpppp

???íì=-==-=LL,5,3,1,4,6,4,2,0]1[cos222nnnnnppp

2]2[2)1(20200+=+=+=òpppppxxdxxa

將na代入到余弦級數(shù)中并由收斂定理得：

（)5cos513cos31(cos412122L+++-+=+xxxxppp￡￡x0）

第八節(jié)周期為2Ｌ的函數(shù)的傅立葉級數(shù)重點(diǎn)：把周期為2Ｌ的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)求出收斂于的范圍難點(diǎn)：把函數(shù)展開為正弦級數(shù)和余弦級數(shù)

定理：設(shè)周期為l2的函數(shù))(xf滿足收斂定理的條件，則

它的傅立葉級數(shù)展開式為

?￥=++=10)sincos(2)(nnnlxnblxnaaxfpp

（1）

其中系數(shù)na，nb為

???íì====òò--LL,3,2,1,sin)(1,2,1,0,cos)(1ndxlxnxflbndxlxnxflallnllnpp

(2)

當(dāng))(xf為奇函數(shù)時，

?￥==1sin)(nnlxnbxfp

（3）

其中ò=lndxlxnxflb0sin)(2p

（L,3,2,1=n）

當(dāng))(xf為偶函數(shù)時，

?￥=+=10