2023年人教版高中數(shù)學(xué)選修一知識點歸納超級精簡版

(名師選題)2023年人教版高中數(shù)學(xué)選修一知識點歸納超級精簡版

單選題1、已知是橢圓的兩個焦點，是橢圓上任意一點，過引的外角平分線的垂線，垂足為，則與短軸端點的最近距離為（

）A．B．C．D．答案：C分析：由可知，又已知OQ是△F1F2M的中位線，點Q與y軸重合時，Q與短軸端點距離最近.解：設(shè)F1Q的延長線交F2P的延長線于點M，則由題意知∵∴由題意知OQ是△F1F2M的中位線∴∴Q點的軌跡是以O(shè)為圓心，以6為半徑的圓∴當(dāng)點Q與y軸重合時，Q與短軸端點取最近距離故選：C．2、已知雙曲線的左焦點為F，點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A．B．C．D．答案：A分析：首先根據(jù)題意得到，從而得到，即可得到答案.由題知：設(shè)，一條漸近線方程為，即.因為，所以，故漸近線方程為.故選：A3、已知兩圓分別為圓和圓，這兩圓的位置關(guān)系是（

）A．相離B．相交C．內(nèi)切D．外切答案：B分析：先求出兩圓圓心和半徑，再由兩圓圓心之間的距離和兩圓半徑和及半徑差比較大小即可求解.由題意得，圓圓心，半徑為7；圓，圓心，半徑為4，兩圓心之間的距離為，因為，故這兩圓的位置關(guān)系是相交.故選：B.4、在直角坐標平面內(nèi)，與點距離為2，且與點距離為3的直線共有（

）A．1條B．2條C．3條D．4條答案：C分析：根據(jù)直線是否存在斜率，分類討論，利用點到直線距離公式進行求解即可.當(dāng)直線不存在斜率時，設(shè)為，由題意可知：且，沒有實數(shù)使得兩個式子同時成立；當(dāng)直線存在斜率時，設(shè)直線方程為：，點到該直線的距離為2，所以有，點到該直線的距離為3，所以有，由得：或，當(dāng)時，代入中，得，該方程的判別式，該方程有兩個不相等的實數(shù)根，當(dāng)時，代入中，得，該方程的判別式，該方程有兩個相等的實數(shù)根，所以這樣的直線共有三條，故選：C.小提示：關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是解方程組.5、美術(shù)繪圖中常采用“三庭五眼”作圖法.三庭：將整個臉部按照發(fā)際線至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下頦的范圍分為上庭、中庭、下庭，各占臉長的，五眼：指臉的寬度比例，以眼形長度為單位，把臉的寬度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如圖，假設(shè)三庭中一庭的高度為2cm，五眼中一眼的寬度為1cm，若圖中提供的直線AB近似記為該人像的劉海邊緣，且該人像的鼻尖位于中庭下邊界和第三眼的中點，則該人像鼻尖到劉海邊緣的距離約為（

）A．B．C．D．答案：B分析：建立平面直角坐標系，求出直線AB的方程，利用點到直線距離公式進行求解.如圖，以鼻尖所在位置為原點O，中庭下邊界為x軸，垂直中庭下邊界為y軸，建立平面直角坐標系，則，直線

，整理為，原點O到直線距離為，故選：B6、已知橢圓的右焦點和上頂點分別為點和點，直線交橢圓于兩點，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（

）A．B．C．D．答案：C分析：由題設(shè)，利用為的重心，求出線段的中點為，將B代入直線方程得，再利用點差法可得，結(jié)合，可求出，進而求出離心率.由題設(shè)，則線段的中點為，由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：即代入直線，得①.又B為線段的中點，則，又為橢圓上兩點，，以上兩式相減得，所以，化簡得②由①②及，解得：，即離心率.

故選：C.小提示：方法點睛：本題考查求橢圓的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．7、已知圓：，直線：，則當(dāng)?shù)闹蛋l(fā)生變化時，直線被圓所截的弦長的最小值為，則的取值為（

）A．B．C．D．答案：C分析：由直線過定點，結(jié)合圓的對稱性以及勾股定理得出的取值.直線：恒過點，由于直線被圓所截的弦長的最小值為，即當(dāng)直線與直線垂直時（為原點），弦長取得最小值，于是，解得.故選：C8、若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實數(shù)m的值為（

）A．B．9C．D．3答案：A分析：根據(jù)雙曲線漸近線的求法，利用直線平行斜率相等即可求解.的漸近線方程滿足，所以漸進線與平行，所以漸近線方程為，故故選：A9、過點且傾斜角為的直線方程為（

）A．B．C．D．答案：D分析：由傾斜角為求出直線的斜率，再利用點斜式可求出直線方程解：因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，故選：D10、直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，

AA1＝AB，M是A1C1的中點，則AM與平面所成角的正弦值為（

）A．B．C．D．答案：B分析：取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．如圖所示，取的中點，以為原點，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，所以，平面的一個法向量為設(shè)AM與平面所成角為，向量與所成的角為，所以，即AM與平面所成角的正弦值為．故選：B．11、已知橢圓C：（）的左?右頂點分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相交，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A．B．C．D．.答案：B分析：由題設(shè)以線段為直徑的圓為，根據(jù)直線與圓相交，利用點線距離公式列不等式求橢圓C的離心率的范圍.由題設(shè)，以線段為直徑的圓為，與直線相交，所以，可得，即，又，所以.故選：B12、如果復(fù)數(shù)z滿足，那么的最大值是（

）A．B．C．D．答案：A分析：復(fù)數(shù)滿足，表示以為圓心，2為半徑的圓．表示圓上的點與點的距離，求出即可得出．復(fù)數(shù)滿足，表示以為圓心，2為半徑的圓．表示圓上的點與點的距離．．的最大值是．故選：A．小提示：本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義、圓的方程，求解時注意方程表示的圓的半徑為2，而不是．雙空題13、已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，＝

，若x＋y(＋)，則x＝________，y＝________.答案：

1

分析：結(jié)合空間向量的線性運算列方程，由此求得的值.，所以.所以答案是：；14、在標準正交基下，已知向量

，，則向量在上的投影為______，在上的投影之積為______．答案：

-12

56分析：根據(jù)向量的加法求得，即可得在，，上的投影分別為-12，8，7，即可得答案.解：

易得，所以在，，上的投影分別為-12，8，7，其在，上的投影之積為．所以答案是：-12；56.15、橢圓第一象限上一點與中心、右焦點構(gòu)成一個正三角形，則此橢圓的離心率_____，當(dāng)此三角形的面積是

，則

________.答案：

解析：由題意，可得出，，代入橢圓方程，結(jié)合隱含條件求解橢圓的離心率，再由三角形面積列式求得，則可得出的值.解：如圖，由為正三角形，可得，，代入橢圓方程，可得，又，得，解得：，若，則，，則．所以答案是：；．小提示：本題考查橢圓的離心率，考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力.16、如圖，一個酒杯的內(nèi)壁的軸截面是拋物線的一部分，杯口寬cm，杯深8cm，稱為拋物線酒杯．①在杯口放一個表面積為的玻璃球，則球面上的點到杯底的最小距離為______

cm；②在杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，則玻璃球的半徑的取值范圍為______(單位：cm)．答案：

分析：根據(jù)題意，，進而得，，故最小距離為；進而建立坐標系，得拋物線的方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，此時設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，進而只需滿足拋物線上的點到圓心的距離大于等于半徑恒成立，再根據(jù)幾何關(guān)系求解即可.因為杯口放一個表面積為的玻璃球，所以球的半徑為，又因為杯口寬cm，所以如圖1所示，有，所以，所以，所以，又因為杯深8cm，即故最小距離為如圖1所示，建立直角坐標系，易知，設(shè)拋物線的方程為，所以將代入得，故拋物線方程為，當(dāng)杯內(nèi)放入一個小的玻璃球，要使球觸及酒杯底部，如圖2，

設(shè)玻璃球軸截面所在圓的方程為，依題意，需滿足拋物線上的點到圓心的距離大于等于半徑恒成立，即，則有恒成立，解得，可得.所以玻璃球的半徑的取值范圍為.所以答案是：；小提示：本題考查拋物線的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模能力，運算求解能力，是中檔題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于設(shè)出球觸及酒杯底部的軸截面圓的方程，進而將問題轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到圓心的距離大于等于半徑恒成立求解.17、若點在雙曲線上，且點的橫坐標與雙曲線的右焦點的橫坐標相同，則點的縱坐標為______．點與雙曲線的左焦點間的距離為______．答案：

11分析：由題意可得，代入雙曲線方程求出，再由雙曲線的定義即可求解.記雙曲線的左、右焦點分別為，，設(shè)．因為點的橫坐標與雙曲線的右焦點的橫坐標相同，所以，所以，解得，所以．由雙曲線定義可得，所以．所以答案是：；11解答題18、已知圓C與y軸相切，圓心C在射線上，且截直線所得弦長為．（1）求圓C的方程；（2）已知點，直線與圓C交于A、B兩點，是否存在m使得，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．答案：（1）；（2）不存在，理由見解析．分析：（1）設(shè)圓C的方程為，圓C與y軸相切，則，圓心C在射線上，所以，根據(jù)弦長公式得，解方程組即可得結(jié)果；（2）依題意得在線段的中垂線上，則，根據(jù)斜率關(guān)系即可求出參數(shù)值．（1）設(shè)圓C的方程為

圓心C在射線上，所以圓C與y軸相切，則點到直線的距離

，由于截直線所得弦長為，所以則得，又

所以(舍去)，

故圓C的方程為；（2）假設(shè)m存在，由（1）得，因為，所以在線段的中垂線上，則，因為，所以

解得；當(dāng)時，直線方程為即，圓心到該直線的距離，該直線與圓相離，不合題意；所以不存在實數(shù)m滿足題干要求.小提示：圓的弦長的常用求法：(1)幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則

；(2)代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：．19、已知定點、和動點．(1)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：動點M的軌跡及其方程．條件①：條件②：(2)，求：動點M的軌跡及其方程．答案：(1)答案見解析；(2)答案見解析.分析：（1）根據(jù)不同的選擇，結(jié)合橢圓的定義，即可求得動點的軌跡及其方程；（2）對的取值范圍進行分類討論，結(jié)合不同情況求得對應(yīng)的軌跡及方程即可.（1）選擇條件①：，因為，故點的軌跡是以為焦點的橢圓，設(shè)其方程為，則，，故其方程為：.即選擇條件①，點的軌跡是橢圓，其方程為；選擇條件②：，因為，故點的軌跡是線段，其方程為.（2）因為，當(dāng)時，此時動點不存在，沒有軌跡和方程；當(dāng)時，此時，由（1）可知，此時動點的軌跡是線段，其方程為；當(dāng)時，此時，此時點的軌跡是以為焦點的橢圓，其方程為.綜上所述：當(dāng)時，動點沒有軌跡和方程；當(dāng)時，動點的軌跡是線段，其方程為；當(dāng)時，動點的軌跡是以為焦點的橢圓，其方程為.20、已知的頂點，AB邊上的高所在的直線方程為．(1)求直線AB的方程；(2)在兩個條件中任選一個，補充在下面問題中．①角A的平分線所在直線方程為②BC邊上的中線所在的直線方程為______，求直線AC的方程．答案：(1)；(2)若選①：直線AC的方程為；若選②：直線AC的方程為.分析：（1）由兩直線垂直時，其斜率間的關(guān)系求得直線AB的斜率為，再由直線的點斜式方程可求得答案；（2）若選①：由，求得點，再求得點B關(guān)于的對稱點，由此可求得直線AC的方程；若選②：由，求得點，設(shè)點，由BC的中點在直線上，和點C在直線上，求得點，由此可求得直線AC的方