2025中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9講 二元一次方程組（含解析+考點(diǎn)卡片）

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第9講二元一次方程組

一．選擇題（共10小題）

1．若是方程3x+ay＝5的解，則a的值是（）

?=1

A．?1=?2B．﹣1C．4D．﹣4

2．由方程組可得出x與y之間的關(guān)系是（）

?+?=?4

A．x+y＝1??3=?B．x+y＝﹣1C．x+y＝7D．x+y＝﹣7

3．二元一次方程組的解是（）

3?+4?=19

A．??2B?．=3C．D．

?=3?=1?=7?=5

①

4．已?知=關(guān)0于x，y的方程組?=4，將此?方=程2組的兩個(gè)方程左?右=兩1邊分別對應(yīng)相加，得到一

?+??=7

個(gè)新的方程，當(dāng)每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，這些方程有一個(gè)公共解，這個(gè)公共解為（）

m????=2+?②

A．B．C．D．

?=4?=1?=5?=?5

5．我?國=古?代1算題：“馬四匹，?牛=六?頭4，共價(jià)四十八兩?（=我?國4古代貨幣單位）?；=馬4三匹，牛五頭，共價(jià)三十

八兩．問馬、牛各價(jià)幾何？”設(shè)馬價(jià)x兩，牛價(jià)y兩，可列方程組為（）

A．B．

4?+6?=484?+3?=48

C．3?+5?=38D．6?+5?=38

6?+4?=484?+6?=48

6．在5“?+雙3減?”=政38策下，王老師把班級里43名學(xué)生分成5?若+干3?小=組3，8每組只能是4人或5人，則分組方案有

（）

A．4種B．3種C．2種D．1種

7．我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有一問題：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各

幾何？”其大意為：現(xiàn)有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人

步行．問人與車各多少？設(shè)有x人，y輛車，則所列方程組正確的是（）

A．B．

??

=?+2

3=??23

???9

?9=?

22=?

C．D．

??

=??2

3=?+23

???9

+9=?

22=?

8．我國古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《增刪算法統(tǒng)宗?六均輸》中有一個(gè)“隔溝計(jì)算”的問題：“甲乙隔溝牧放，二人暗

里參詳．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙說得甲九只，兩家之?dāng)?shù)相當(dāng)，二人閑坐惱心腸，畫地算了半

響”其大意為：甲，乙兩人一起放牧，兩人心里暗中數(shù)羊．如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數(shù)為乙的2倍；

如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數(shù)相同．請問甲，乙各有多少只羊？設(shè)甲有羊x只，則下列說法正確的

是（）

A．列方程：x+9＝2（x﹣18+9）

B．列方程組為：

?+9=??18

C．設(shè)乙有羊y只，?列+方9=程組2(為??：18+9)

?+9=2(??9)

D．甲有羊27只，乙有羊18只??9=?+9

9．如圖所示的是2024年2月份的月歷，其中“U型”、“十字型”兩個(gè)陰影圖形分別覆蓋其中五個(gè)數(shù)字（“U

型”、“十字型”兩個(gè)陰影圖形可以重疊覆蓋，也可以上下左右移動），設(shè)“U型”覆蓋的五個(gè)數(shù)字之和為

S1，“十字型”覆蓋的五個(gè)數(shù)字之和為S2．若S1+S2＝176，則S2﹣S1的最大值為（）

日一二三四五六

123

45678910

11121314151617

18192021222324

2526272829

A．39B．44C．65D．71

10．如下是明代數(shù)學(xué)家程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中的一個(gè)問題，其大意為：有一群人分銀子，如果每人

分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還差八兩．設(shè)共有銀子x兩，共有y人，則所列方程（組）錯(cuò)

誤的是（）

隔壁聽得客分銀，

不知人數(shù)不知銀，

七兩分之多四兩，

九兩分之少半斤．

《算法統(tǒng)宗》注：明代時(shí)I斤＝16兩，故有“半

斤八兩”這個(gè)成語

A．7y+4＝9y﹣8B．

??4?+8

=

C．D．79

7?=??47?=?+4

二．填9?空=題?（+共85小題）9??8=?

11．若x，y滿足方程組，則x+y＝．

2?+3?=2

12．已知是二元一3次?方+程2?組=3的解，則的立方根為．

?=2??+??=81

3???

13．一千官?兵=一1千布，一官四尺無零??數(shù)?，?四?=兵1才得布一尺，請問2官兵多少數(shù)？這首詩的意思是：一千名官

兵分一千尺布，一名軍官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，則軍官有名，士兵有名．

14．已知關(guān)于x，y的方程組．以下結(jié)論：①當(dāng)k＝0時(shí)，方程組的解也是方程x﹣2y＝

?+2?=?

﹣4的解；②存在實(shí)數(shù)k，使得2?x++y3＝?0=；3③??不1論k取什么實(shí)數(shù)，x+3y的值始終不變；④若3x+2y＝6，則

k＝1．其中正確的序號是．

15．為了方便大家采購水果，各大超市開通了送貨到家的便民服務(wù)．新世紀(jì)百貨超市推出了適宜大多數(shù)家

庭需求的甲、乙兩種水果禮盒供市民直接選購（兩種禮盒均由A、B、C三種水果混合搭配）．其中，甲種

水果禮盒每盒裝有1千克A，3千克B，1千克C；乙種水果禮盒每盒裝有2千克A，1千克B，2千克C．甲、

乙兩種水果禮盒每盒成本價(jià)分別為盒中A，B，C三種水果的成本之和．已知B種水果每千克成本價(jià)為4.5

元，甲種水果禮盒每盒售價(jià)為39元，利潤率為30%；乙種水果禮盒的利潤率為20%．若這兩種水果禮盒

的總銷售利潤率達(dá)到24%，則該超市銷售的甲、乙兩種水果禮盒的數(shù)量之比是．

三．解答題（共5小題）

16．解方程組：．

2???=5

17．近年來教育部3?要+求4學(xué)?校=積2極開展素質(zhì)教育，落實(shí)“雙減”政策，深圳市某中學(xué)把足球和籃球列為該校

的特色項(xiàng)目．學(xué)校準(zhǔn)備從體育用品商店一次性購買若干個(gè)籃球和足球，若購買3個(gè)籃球和2個(gè)足球共490

元，購買2個(gè)籃球和3個(gè)足球共460元．

（1）籃球、足球的單價(jià)各是多少元？

（2）根據(jù)學(xué)校實(shí)際需要，需一次性購買籃球和足球共100個(gè)．購買籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的一半，

為使購買的總費(fèi)用最小，那么應(yīng)購買籃球、足球各多少個(gè)？

18．如圖，某校的飲水機(jī)有溫水、開水兩個(gè)按鈕，溫水和開水共用一個(gè)出水口．溫水的溫度為30℃，流速

為20mL/s；開水的溫度為100℃，流速為15mL/s．整個(gè)接水的過程不計(jì)熱量損失．

物理常識：

開水和溫水混合時(shí)會發(fā)生熱傳遞，開水放出的熱量等于

溫水吸收的熱量，可以轉(zhuǎn)化為：開水的體積×開水降低

的溫度＝溫水的體積×溫水升高的溫度．

（1）甲同學(xué)用空杯先接了6s溫水，再接4s開水，接完后杯中共有水mL；

（2）乙同學(xué)先接了一會兒溫水，又接了一會兒開水，得到一杯280mL溫度為40℃的水（不計(jì)熱損失），

求乙同學(xué)分別接溫水和開水的時(shí)間．

19．習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某校為提

高學(xué)生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得第十屆茅盾文學(xué)獎的A、B兩種書籍．若購買2本A種書籍和3本B

種書籍需用160元；若購買6本A種書籍與購買7本B種書籍的費(fèi)用相同．求每本A種書籍和每本B種

書籍的價(jià)格各為多少元．

20．王阿姨去買水果，3千克芒果和2千克香蕉應(yīng)付40元，可她把兩種水果的單價(jià)弄反了，以為要付35

元．那么在單價(jià)沒有弄反的情況下，購買6千克芒果和5千克香蕉應(yīng)付多少元？

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之二元一次方程組

參考答案與試題解析

一．選擇題（共10小題）

1．若是方程3x+ay＝5的解，則a的值是（）

?=1

A．1?=?2B．﹣1C．4D．﹣4

【考點(diǎn)】二元一次方程的解．

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】B

【分析】把x與y的值代入方程計(jì)算即可求出a的值．

【解答】解：把代入方程得：3﹣2a＝5，

?=1

解得：a＝﹣1，?=?2

故選：B．

【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．

2．由方程組可得出x與y之間的關(guān)系是（）

?+?=?4

A．x+y＝1??3=?B．x+y＝﹣1C．x+y＝7D．x+y＝﹣7

【考點(diǎn)】解二元一次方程組．

【專題】計(jì)算題；一次方程（組）及應(yīng)用．

【答案】B

【分析】方程組消去m即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式．

①

【解答】解：，

?+?=?4

把代入得：﹣＝﹣，

②①??x+3y=?3②4

則x+y＝﹣1，

故選：B．

【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．

3．二元一次方程組的解是（）

3?+4?=19

A．??2B?．=3C．D．

?=3?=1?=7?=5

【考點(diǎn)?=】0解二元一次方程組．?=4?=2?=1

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】D

【分析】應(yīng)用加減消元法，求出方程組的解即可．

①

【解答】解：，

3?+4?=19

×，可得＝，

①+②2??52x?=253②

解得x＝5，

把x＝5代入②，可得：5﹣2y＝3，解得y＝1，

∴原方程組的解是．

?=5

故選：D．?=1

【點(diǎn)評】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，注意代入消元法和加減消元法的應(yīng)用是關(guān)鍵．

①

4．已知關(guān)于x，y的方程組，將此方程組的兩個(gè)方程左右兩邊分別對應(yīng)相加，得到一

?+??=7

個(gè)新的方程，當(dāng)每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，這些方程有一個(gè)公共解，這個(gè)公共解為（）

m????=2+?②

A．B．C．D．

?=4?=1?=5?=?5

【考點(diǎn)?=】?二1元一次方程組的解；?=解?二4元一次方程組．?=?4?=4

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】C

【分析】根據(jù)題意①+②得x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0，然后根據(jù)題意列出方程組即可求得公共解．

【解答】解：①+②得，

x+my+mx﹣y＝9+m

x﹣y﹣9+mx+my﹣m＝0

x﹣y﹣9+m（x+y﹣1）＝0

根據(jù)題意，這些方程有一個(gè)公共解，與m的取值無關(guān)，

，

????9=0

解?得+??1=．0

?=5

故選：?C=．?4

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的解法，二元一次方程組的基本解法有代入消元法和加減消元法．

5．我國古代算題：“馬四匹，牛六頭，共價(jià)四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹，牛五頭，共價(jià)三十

八兩．問馬、牛各價(jià)幾何？”設(shè)馬價(jià)x兩，牛價(jià)y兩，可列方程組為（）

A．B．

4?+6?=484?+3?=48

C．3?+5?=38D．6?+5?=38

6?+4?=484?+6?=48

【考點(diǎn)5?】+由3?實(shí)=際3問8題抽象出二元一次方程組．5?+3?=38

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．

【答案】A

【分析】直接利用“馬四匹、牛六頭，共價(jià)四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹、牛五頭，共價(jià)三十

八兩”列出方程組即可．

【解答】解：設(shè)馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可列方程組為：．

4?+6?=48

故選：A．3?+5?=38

【點(diǎn)評】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，正確得出等式是解題關(guān)鍵．

6．在“雙減”政策下，王老師把班級里43名學(xué)生分成若干小組，每組只能是4人或5人，則分組方案有

（）

A．4種B．3種C．2種D．1種

【考點(diǎn)】二元一次方程的應(yīng)用．

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．

【答案】C

【分析】設(shè)可以分成x組4人組，y組5人組，根據(jù)各組的人數(shù)之和為43人，即可得出關(guān)于x，y的二元

一次方程，結(jié)合x，y均為自然數(shù)，即可得出共有2種分組方案．

【解答】解：設(shè)可以分成x組4人組，y組5人組，

依題意得：4x+5y＝43，

∴y．

43?4?

又∵=x，y5均為自然數(shù)，

∴或，

?=2?=7

∴共?有=72種分?組=方3案．

故選：C．

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．

7．我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有一問題：“今三人共車，兩車空；二人共車，九人步．問人與車各

幾何？”其大意為：現(xiàn)有若干人和車，若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人

步行．問人與車各多少？設(shè)有x人，y輛車，則所列方程組正確的是（）

A．B．

??

=?+2

3=??23

???9

?9=?

22=?

C．D．

??

=??2

3=?+23

???9

+9=?

【考點(diǎn)2】由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組；數(shù)學(xué)常識2．=?

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．

【答案】D

【分析】根據(jù)“若每輛車乘坐3人，則空余兩輛車；若每輛車乘坐2人，則有9人步行”，即可得出關(guān)于x，

y的二元一次方程組，此題得解．

【解答】解：依題意得．

?

3=??2

??9

故選：D．2=?

【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次

方程組是解題的關(guān)鍵．

8．我國古典數(shù)學(xué)文獻(xiàn)《增刪算法統(tǒng)宗?六均輸》中有一個(gè)“隔溝計(jì)算”的問題：“甲乙隔溝牧放，二人暗

里參詳．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上，乙說得甲九只，兩家之?dāng)?shù)相當(dāng)，二人閑坐惱心腸，畫地算了半

響”其大意為：甲，乙兩人一起放牧，兩人心里暗中數(shù)羊．如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數(shù)為乙的2倍；

如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數(shù)相同．請問甲，乙各有多少只羊？設(shè)甲有羊x只，則下列說法正確的

是（）

A．列方程：x+9＝2（x﹣18+9）

B．列方程組為：

?+9=??18

C．設(shè)乙有羊y只，?列+方9=程組2(為??：18+9)

?+9=2(??9)

D．甲有羊27只，乙有羊18只??9=?+9

【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組．

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．

【答案】C

【分析】根據(jù)“如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數(shù)為乙的2倍；如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數(shù)相同”，

即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．

【解答】解：∵如果乙給甲9只羊，那么甲的羊數(shù)為乙的2倍，

∴x+9＝2（y﹣9）；

∵如果甲給乙9只羊，那么兩人的羊數(shù)相同，

∴x﹣9＝y(tǒng)+9．

∴根據(jù)題意可列方程組．

?+9=2(??9)

故選：C．??9=?+9

【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題

的關(guān)鍵．

9．如圖所示的是2024年2月份的月歷，其中“U型”、“十字型”兩個(gè)陰影圖形分別覆蓋其中五個(gè)數(shù)字（“U

型”、“十字型”兩個(gè)陰影圖形可以重疊覆蓋，也可以上下左右移動），設(shè)“U型”覆蓋的五個(gè)數(shù)字之和為

S1，“十字型”覆蓋的五個(gè)數(shù)字之和為S2．若S1+S2＝176，則S2﹣S1的最大值為（）

日一二三四五六

123

45678910

11121314151617

18192021222324

2526272829

A．39B．44C．65D．71

【考點(diǎn)】二元一次方程的應(yīng)用．

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．

【答案】B

【分析】設(shè)“U型”覆蓋的五個(gè)數(shù)字中最小的數(shù)字為a，“十字型”覆蓋的五個(gè)數(shù)字中最小的數(shù)字為b，則

S1＝5a+26，S2＝5b+35，由S1+S2＝176，可列出關(guān)于a，b的二元一次方程，化簡后可得出a+b＝23，結(jié)合

b的最大值為15，即可得出此時(shí)a的值，進(jìn)而可求出S2﹣S1的最大值．

【解答】解：設(shè)“U型”覆蓋的五個(gè)數(shù)字中最小的數(shù)字為a，“十字型”覆蓋的五個(gè)數(shù)字中最小的數(shù)字為b，

則S1＝a+a+7+a+8+a+9+a+2＝5a+26，S2＝b+b+6+b+7+b+8+b+14＝5b+35，

∵S1+S2＝176，

∴5a+26+5b+35＝176，

∴a+b＝23．

∵b的最大值為15，

∴此時(shí)a的值為8，

∴S2﹣S1＝5b+35﹣（5a+26）＝5（b﹣a）+9＝5×（15﹣8）+9＝44，

∴S2﹣S1的最大值為44．

故選：B．

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．

10．如下是明代數(shù)學(xué)家程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中的一個(gè)問題，其大意為：有一群人分銀子，如果每人

分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還差八兩．設(shè)共有銀子x兩，共有y人，則所列方程（組）錯(cuò)

誤的是（）

隔壁聽得客分銀，

不知人數(shù)不知銀，

七兩分之多四兩，

九兩分之少半斤．

《算法統(tǒng)宗》注：明代時(shí)I斤＝16兩，故有“半

斤八兩”這個(gè)成語

A．7y+4＝9y﹣8B．

??4?+8

=

C．D．79

7?=??47?=?+4

【考點(diǎn)9?】=由?實(shí)+際8問題抽象出二元一次方程組；數(shù)學(xué)常識9?．?8=?

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．

【答案】D

【分析】根據(jù)“如果每人分七兩，則剩余四兩；如果每人分九兩，則還差八兩”，即可列出關(guān)于x（或y）

的一元一次方程，此題得解．

【解答】解：∵如果每人分七兩，則剩余四兩，如果每人分九兩，則還差八兩，

∴7y+4＝9y﹣8或或．

??4?+87?=??4

=

故選：D．799?=?+8

【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方

程是解題的關(guān)鍵．

二．填空題（共5小題）

11．若x，y滿足方程組，則x+y＝1．

2?+3?=2

【考點(diǎn)】二元一次方程組3的?解+；2?解=二3元一次方程組．

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】將方程組中的兩個(gè)方程相加得到5x+5y＝5，進(jìn)而得到x+y＝1即可．

①

【解答】解：，

2?+3?=2

得，＝，

①+②5x+35?y+52?=3②

即x+y＝1，

故答案為：1．

【點(diǎn)評】本題考查二元一次方程組的解，解二元一次方程組，理解二元一次方程組解的定義，掌握二元一

次方程組的解法是正確解答的關(guān)鍵．

12．已知是二元一次方程組的解，則的立方根為2．

?=2??+??=81

3???

【考點(diǎn)】二?元=一1次方程組的解；立方??根?．??=12

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】把代入二元一次方程組得關(guān)于a，b的方程組，解方程組求出a，b，從而求出

?=2??+??=8

所求代數(shù)式的?立=方1根即可．?????=1

①

【解答】解：把代入二元一次方程組得：，

?=2??+??=82?+?=8

由得：＝﹣，

②a2b?1=1?????=12???=1②

把a(bǔ)＝2b﹣1代入①得：b＝2，

把b＝2代入a＝2b﹣1得：a＝3，

∴

1

3??2?

1

＝=39﹣×13?2×2

＝8，

∴的立方根為：2，

1

3??2?

故答案為：2．

【點(diǎn)評】本題主要考查了二元一次方程組的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的解是使方程左右兩

邊相等的未知數(shù)的值．

13．一千官兵一千布，一官四尺無零數(shù)，四兵才得布一尺，請問官兵多少數(shù)？這首詩的意思是：一千名官

兵分一千尺布，一名軍官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，則軍官有200名，士兵有800名．

【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用．

【專題】應(yīng)用題；一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力；應(yīng)用意識．

【答案】200，800．

【分析】設(shè)軍官有x名，士兵有y名．由題意列出二元一次方程組，解方程組可得出答案．

【解答】解：設(shè)軍官有x名，士兵有y名．根據(jù)題意得：

，

?+?=1000

1

4?+?=1000

解得4．

?=200

故答案?為=：802000，800．

【點(diǎn)評】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．

14．已知關(guān)于x，y的方程組．以下結(jié)論：①當(dāng)k＝0時(shí)，方程組的解也是方程x﹣2y＝

?+2?=?

﹣4的解；②存在實(shí)數(shù)k，使得2?x++y3＝?0=；3③??不1論k取什么實(shí)數(shù)，x+3y的值始終不變；④若3x+2y＝6，則

k＝1．其中正確的序號是①②③．

【考點(diǎn)】二元一次方程組的解；解二元一次方程組；二元一次方程的解．

【專題】計(jì)算題；運(yùn)算能力．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】直接利用二元一次方程組的解法表示出方程組的解進(jìn)而分別分析得出答案．

【解答】解：①當(dāng)k＝0時(shí)，原方程組可整理得：，

?+2?=0

解得：，2?+3?=?1

?=?2

把?=代1入x﹣2y＝﹣4得：x﹣2y＝﹣2﹣2＝﹣4．

?=?2

即①?=正1確；

①

②，

?+2?=?

由﹣得：＝﹣，

②2?+①3?=3x?+y?12②k1

若x+y＝0，則2k﹣1＝0，

解得：k，

1

即存在實(shí)=數(shù)2k，使得x+y＝0，

即②正確；

③解方程組，

?+2?=?

得2，?+3?=3??1

?=3??2

∴x?+3=y＝13?k﹣?2+3（1﹣k）＝1，

∴不論k取什么實(shí)數(shù)，x+3y的值始終不變，

故③正確；

④解方程組，

?+2?=?

得2，?+3?=3??1

?=3??2

若3?x+=21y＝?6?，

則3（3k﹣2）+2（1﹣k）＝6，

∴k，

10

故④=錯(cuò)7誤．

所以正確的序號是①②③．

故答案為①②③．

【點(diǎn)評】本題主要考查解二元一次方程組的能力，熟練掌握解二元一次方程組的技能和二元一次方程的解

的定義．

15．為了方便大家采購水果，各大超市開通了送貨到家的便民服務(wù)．新世紀(jì)百貨超市推出了適宜大多數(shù)家

庭需求的甲、乙兩種水果禮盒供市民直接選購（兩種禮盒均由A、B、C三種水果混合搭配）．其中，甲種

水果禮盒每盒裝有1千克A，3千克B，1千克C；乙種水果禮盒每盒裝有2千克A，1千克B，2千克C．甲、

乙兩種水果禮盒每盒成本價(jià)分別為盒中A，B，C三種水果的成本之和．已知B種水果每千克成本價(jià)為4.5

元，甲種水果禮盒每盒售價(jià)為39元，利潤率為30%；乙種水果禮盒的利潤率為20%．若這兩種水果禮盒

的總銷售利潤率達(dá)到24%，則該超市銷售的甲、乙兩種水果禮盒的數(shù)量之比是5：6．

【考點(diǎn)】二元一次方程的應(yīng)用．

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】設(shè)A種水果每千克成本價(jià)為x元，C種水果每千克成本價(jià)為y元，根據(jù)甲種水果禮盒的售價(jià)及利

潤率，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程，解之可得出x+y的值，將其代入2（x+y）+4.5中，可求出乙種

水果禮盒每盒成本價(jià)，設(shè)該超市銷售m盒甲種水果禮盒，n盒乙種水果禮盒，根據(jù)這兩種水果禮盒的總銷

售利潤率達(dá)到24%，可列出關(guān)于m，n的二元一次方程，解之即可得出結(jié)論．

【解答】解：設(shè)A種水果每千克成本價(jià)為x元，C種水果每千克成本價(jià)為y元，

根據(jù)題意得：（1+30%）（x+4.5×3+y）＝39，

解得：x+y＝16.5，

∴乙種水果禮盒每盒成本價(jià)是2（x+y）+4.5＝2×16.5+4.5＝37.5．

設(shè)該超市銷售m盒甲種水果禮盒，n盒乙種水果禮盒，

根據(jù)題意得：（16.5+4.5×3）×30%m+37.5×20%n＝[（16.5+4.5×3）m+37.5n]×24%，

整理得：1.8m＝1.5n，

解得：m：n＝5：6．

故答案為：5：6．

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的關(guān)鍵．

三．解答題（共5小題）

16．解方程組：．

2???=5

【考點(diǎn)】解二元一3?次+方4程?組=．2

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．

①

【解答】解：，

2???=5

×得：＝，

①4+②31?1x+42?2=2②

解得：x＝2，

把x＝2代入①得：4﹣y＝5，

解得：y＝﹣1，

則方程組的解為．

?=2

【點(diǎn)評】此題考查?了=?解1二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．

17．近年來教育部要求學(xué)校積極開展素質(zhì)教育，落實(shí)“雙減”政策，深圳市某中學(xué)把足球和籃球列為該校

的特色項(xiàng)目．學(xué)校準(zhǔn)備從體育用品商店一次性購買若干個(gè)籃球和足球，若購買3個(gè)籃球和2個(gè)足球共490

元，購買2個(gè)籃球和3個(gè)足球共460元．

（1）籃球、足球的單價(jià)各是多少元？

（2）根據(jù)學(xué)校實(shí)際需要，需一次性購買籃球和足球共100個(gè)．購買籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的一半，

為使購買的總費(fèi)用最小，那么應(yīng)購買籃球、足球各多少個(gè)？

【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用．

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；一元一次不等式（組）及應(yīng)用；一次函數(shù)及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．

【答案】（1）籃球的單價(jià)是110元，足球的單價(jià)是80元；

（2）為使購買的總費(fèi)用最小，那么應(yīng)購買34個(gè)籃球、66個(gè)足球．

【分析】（1）設(shè)籃球的單價(jià)是x元，足球的單價(jià)是y元，根據(jù)“購買3個(gè)籃球和2個(gè)足球共490元，購買

2個(gè)籃球和3個(gè)足球共460元”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)購買m個(gè)籃球，則購買（100﹣m）個(gè)足球，根據(jù)購買籃球的數(shù)量不少于足球數(shù)量的一半，可列出

關(guān)于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范圍，設(shè)購買籃球和足球的總費(fèi)用為w元，利用總價(jià)＝

單價(jià)×數(shù)量，可找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題．

【解答】解：（1）設(shè)籃球的單價(jià)是x元，足球的單價(jià)是y元，

根據(jù)題意得：，

3?+2?=490

解得：2．?+3?=460

?=110

答：籃球?的=單80價(jià)是110元，足球的單價(jià)是80元；

（2）設(shè)購買m個(gè)籃球，則購買（100﹣m）個(gè)足球，

根據(jù)題意得：m（100﹣m），

1

≥

解得：m．2

100

設(shè)購買籃≥球和3足球的總費(fèi)用為w元，則w＝110m+80（100﹣m），

即w＝30m+8000，

∵30＞0，

∴w隨m的增大而增大，

又∵m，且m為正整數(shù)，

100

∴當(dāng)m≥＝334時(shí)，w取得最小值，此時(shí)100﹣m＝100﹣34＝66．

答：為使購買的總費(fèi)用最小，那么應(yīng)購買34個(gè)籃球、66個(gè)足球．

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系

式．

18．如圖，某校的飲水機(jī)有溫水、開水兩個(gè)按鈕，溫水和開水共用一個(gè)出水口．溫水的溫度為30℃，流速

為20mL/s；開水的溫度為100℃，流速為15mL/s．整個(gè)接水的過程不計(jì)熱量損失．

物理常識：

開水和溫水混合時(shí)會發(fā)生熱傳遞，開水放出的熱量等于

溫水吸收的熱量，可以轉(zhuǎn)化為：開水的體積×開水降低

的溫度＝溫水的體積×溫水升高的溫度．

（1）甲同學(xué)用空杯先接了6s溫水，再接4s開水，接完后杯中共有水180mL；

（2）乙同學(xué)先接了一會兒溫水，又接了一會兒開水，得到一杯280mL溫度為40℃的水（不計(jì)熱損失），

求乙同學(xué)分別接溫水和開水的時(shí)間．

【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用．

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】（1）杯子中水的體積＝溫水的體積+開水的體積，把相關(guān)數(shù)值代入整理即可；

（2）設(shè)該學(xué)生接溫水的時(shí)間為xs，接開水的時(shí)間為ys，由物理常識的公式列出方程組即可．

【解答】（1）甲同學(xué)用空杯先接了6s溫水，再接4s開水，接完后杯中共有水：20mL/s×6s+4s×15mL/s＝

180mL；

（2）解：設(shè)該學(xué)生接溫水的時(shí)間為xs，接開水的時(shí)間為ys．

根據(jù)題意可得方程組：，

20?+15?=280

解得：，15?×60=20?×10

?=12

8

答：學(xué)生?接=溫3水的時(shí)間為12s，接開水的時(shí)間為s．

8

【點(diǎn)評】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，3熟練列出方程組是解答本題的關(guān)鍵．

19．習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”．某校為提

高學(xué)生的閱讀品味，現(xiàn)決定購買獲得第十屆茅盾文學(xué)獎的A、B兩種書籍．若購買2本A種書籍和3本B

種書籍需用160元；若購買6本A種書籍與購買7本B種書籍的費(fèi)用相同．求每本A種書籍和每本B種

書籍的價(jià)格各為多少元．

【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用．

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．

【答案】每本A種書籍的價(jià)格為35元，每本B種書籍的價(jià)格為30元．

【分析】設(shè)每本A種書籍的價(jià)格為x元，每本B種書籍的價(jià)格為y元，根據(jù)“購買2本A種書籍和3本B

種書籍需用160元；購買6本A種書籍與購買7本B種書籍的費(fèi)用相同”，可列出關(guān)于x，y的二元一次方

程組，解之即可得出結(jié)論．

【解答】解：設(shè)每本A種書籍的價(jià)格為x元，每本B種書籍的價(jià)格為y元，

根據(jù)題意得：，

2?+3?=160

解得：．6?=7?

?=35

答：每本?=A種30書籍的價(jià)格為35元，每本B種書籍的價(jià)格為30元．

【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．

20．王阿姨去買水果，3千克芒果和2千克香蕉應(yīng)付40元，可她把兩種水果的單價(jià)弄反了，以為要付35

元．那么在單價(jià)沒有弄反的情況下，購買6千克芒果和5千克香蕉應(yīng)付多少元？

【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用．

【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．

【答案】購買6千克芒果和5千克香蕉應(yīng)付85元．

【分析】設(shè)蘋果單價(jià)為x元/千克，香蕉單價(jià)為y元/千克，根據(jù)3千克芒果和2千克香蕉應(yīng)付40元和把兩

種水果的單價(jià)弄反了，以為要付35元列出方程，求出方程的解即可．

【解答】解：設(shè)蘋果單價(jià)為x元/千克，香蕉單價(jià)為y元/千克．

根據(jù)題意，得，

3?+2?=40

解得，2?+3?=35

?=10

則6x?+5=y＝585（元）．

答：購買6千克芒果和5千克香蕉應(yīng)付85元．

【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出

合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．本題的等量關(guān)系是：蘋果的單價(jià)×克數(shù)+香蕉的單價(jià)×克數(shù)＝總

錢數(shù)．

考點(diǎn)卡片

1．?dāng)?shù)學(xué)常識

數(shù)學(xué)常識

此類問題要結(jié)合實(shí)際問題來解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識要了解．比如給出一個(gè)物體的高度要會選擇它合

適的單位長度等等．

平時(shí)要注意多觀察，留意身邊的小知識．

2．立方根

（1）定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根．這就是說，如果x3＝a，

那么x叫做a的立方根．記作：．

3

（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，0的立?方根是0，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)．即任意數(shù)都有立方根．

（3）求一個(gè)數(shù)a的立方根的運(yùn)算叫開立方，其中a叫做被開方數(shù)．

注意：符號中的根指數(shù)“3”不能省略；對于立方根，被開方數(shù)沒有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有唯一一

3

個(gè)立方根．?

【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)

1．平方根的性質(zhì)：正數(shù)a有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根．

2．立方根的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是

0．

3．一元一次方程的應(yīng)用

（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：

（1）探索規(guī)律型問題；

（2）數(shù)字問題；

利潤

（3）銷售問題（利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，利潤