2025年中考數學一輪專題復習強化練習專項訓練02 二次函數的最值問題 （含答案）

專項訓練二二次函數的最值問題

1.在平面直角坐標系中,二次函數y=x2+mx+m2-m(m為常數)的圖象經過點(0,6),其對稱軸在y軸左

側,則該二次函數有()

A.最大值5B.最大值

15

4

C.最小值5D.最小值

15

2.已知關于x的二次函數y=ax2-6ax+9a+5(a<0),在m≤x4≤6的取值范圍內,若0<m<3,則()

A.函數有最大值9a+5

B.函數有最大值5

C.函數沒有最小值

D.函數沒有最大值

3.(2023·杭州)設二次函數y=a(x-m)(x-m-k)(a>0,m,k是實數),則()

A.當k=2時,函數y的最小值為-a

B.當k=2時,函數y的最小值為-2a

C.當k=4時,函數y的最小值為-a

D.當k=4時,函數y的最小值為-2a

4.在平面直角坐標系中,如果點P的橫坐標和縱坐標相等,則稱點P為“和諧點”.例如點(1,1),

-,-,(-,-),…,都是“和諧點”.若二次函數y=ax2+4x+c(a≠0)的圖象上有且只有一個“和諧

11

33

點”,,當20≤x2≤m時,函數y=ax2+4x+c-(a≠0)的最小值為-3,最大值為1,則m的取值范圍是

333

(2)24

A.m≤4B.m≥2

C.2≤m≤4D.2<m<4

5.對于題目“當-2≤x≤1時,二次函數y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,求實數m的值.”甲的結果是2或,

乙的結果是-或-,則()3

7

A.甲的結果正確34

B.乙的結果正確

C.甲、乙的結果合在一起才正確

D.甲、乙的結果合在一起也不正確

6.(2023·紹興)已知二次函數y=-x2+bx+c.

(1)當b=4,c=3時,

①求該函數圖象的頂點坐標;

②當-1≤x≤3時,求y的取值范圍.

(2)當x≤0時,y的最大值為2;當x>0時,y的最大值為3,求二次函數的解析式.

1.(2024·廣西)課堂上,數學老師組織同學們圍繞關于x的二次函數y=x2+2ax+a-3的最值問題展開

探究.

【經典回顧】二次函數求最值的方法.

(1)老師給出a=-4,求二次函數y=x2+2ax+a-3的最小值.

①請你寫出對應的函數解析式;

②求當x取何值時,函數y有最小值,并寫出此時的y值.

【舉一反三】老師給出更多a的值,同學們即求出對應的函數在x取何值時,y的最小值.記錄結果,

并整理成如表:

a…-4-2024…

x…*20-2-4…

y的最小值…*-9-3-5-15…

注:*為②的計算結果.

【探究發(fā)現】老師:“請同學們結合學過的函數知識,觀察表格,談談你的發(fā)現.”

甲同學:“我發(fā)現,老師給了a值后,我們只要取x=-a,就能得到y(tǒng)的最小值.”

乙同學:“我發(fā)現,y的最小值隨a值的變化而變化,當a由小變大時,y的最小值先增大后減小,所以

我猜想y的最小值中存在最大值”.

(2)請結合函數解析式y(tǒng)=x2+2ax+a-3,解釋甲同學的說法是否合理?

(3)你認為乙同學的猜想是否正確?若正確,請求出此最大值;若不正確,說明理由.

2.(2024·廊坊廣陽區(qū)一模)如圖,拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(-5,0)兩點,與y軸交于點

C.P是拋物線上的任意一點(不與點C重合),點P的橫坐標為m,拋物線上點C與點P之間的部分

(包含端點)記為圖象G.

備用圖

(1)求拋物線的解析式.

(2)當m符合什么條件時,圖象G的最大值與最小值的差為4?

(3)將線段AB先向左平移1個單位長度,再向上平移5個單位長度,得到線段A'B'.若拋物線y=-x2+

bx+c平移后與線段A'B'有兩個交點,且這兩個交點恰好將線段A'B'三等分,求拋物線平移的最短路

程.

【詳解答案】

基礎夯實

222

1.D解析:將點(0,6)代入y=x+mx+m-m,得m-m=6,解得m1=3,m2=-2.∵對稱軸在y軸左側,∴-<0,∴m>0,∴

?

2?

2-

∴∵∴該二次函數圖象開口向上有最小值∴最小值故選

m=3,y=x+3x+6.1>0,,,y=2.D.

4×1×6315

-4×1=4

2.B解析:拋物線的對稱軸為直線x=-=3,

6?

2?

在m≤x≤6的取值范圍內,若0<m<3,則x=m和x=6在對稱軸的兩側,

則拋物線在頂點處取得最大值,即x=3時,y=9a-6a×3+9a+5=5.故選B.

3.A解析:令y=0,則0=a(x-m)·(x-m-k),解得x1=m,x2=m+k.∴拋物線的對稱軸為直線x=.當k=2時,

?+?+?2?+?

22

拋物線的對稱軸為直線x=m+1.把x=m+1代入y=a(x-m)(x-m-2),得y=-a.∵a>0,∴當x=m+1,k==2時,y有最小值,

最小值為-a.故A正確,B錯誤.當k=4時,拋物線的對稱軸為直線x=m+2.把x=m+2代入y=a(x-m)(x-m-4),得y=-4a.

∵a>0,∴當x=m+2,k=4時,y有最小值,最小值為-4a.故C,D錯誤.故選A.

4.C解析:令ax2+4x+c=x,即ax2+3x+c=0,

由題意知,Δ=32-4ac=0,即4ac=9,

又方程的根為-,

33

2?=2

解得a=-1,c=-.

9

4

故函數y=ax2+4x+c-=-x2+4x-3,

3

4

如圖,該函數圖象頂點為(2,1),與y軸交點為(0,-3),由對稱性知,該函數圖象也經過點(4,-3).

由于函數圖象在對稱軸(直線x=2)左側y隨x的增大而增大,在對稱軸右側y隨x的增大而減小,且當0≤x≤m時,

函數y=-x2+4x-3的最小值為-3,最大值為1,

∴2≤m≤4.故選C.

5.D解析:二次函數的對稱軸為直線x=m,

①m<-2時,x=-2時二次函數有最大值,

此時-(-2-m)2+m2+1=4,

解得m=-,與m<-2矛盾,舍去;

7

4

②當-2≤m≤1時,x=m時,二次函數有最大值,

此時,m2+1=4,

解得m=-或m=(舍去);

③當m>1時3,x=1時3二次函數有最大值,

此時-(1-m)2+m2+1=4,

解得m=2.

綜上所述,m的值為2或-,

所以甲、乙的結果合在一起3也不正確.故選D.

6.解:(1)①當b=4,c=3時,y=-x2+4x+3=-(x-2)2+7,

∴該函數圖象的頂點坐標為(2,7).

②頂點坐標為(2,7),拋物線開口向下,

當-1≤x≤2時,y隨x的增大而增大,

當2≤x≤3時,y隨x的增大而減小.

∴當x=2時,y有最大值7.

又∵2-(-1)>3-2,

∴當x=-1時,y取得最小值,最小值為-2.

∴當-1≤x≤3時,-2≤y≤7.

(2)∵當x≤0時,y的最大值為2,當x>0時,y的最大值為3,

∴拋物線的對稱軸直線x=在y軸的右側,∴>0.

??

22

∴b>0.

∵拋物線開口向下,當x≤0時,y的最大值為2,

∴c=2.

(-)-

又∵=3,

(-)2

4×1×??

4×1

∴b=±2.

∵b>0,∴b=2.

∴二次函數的解析式為y=-x2+2x+2.

能力提升

1.解:(1)①a=-4,y=x2+2ax+a-3=x2-8x-7.

②當x=-=4時,y取得最小值,為16-32-7=-23.

?

2?

(2)合理,理由:

∵1>0,∴函數有最小值,

當x=-a時,y取得最小值,

故甲同學的說法合理.

(3)乙同學的猜想正確.

當x=-a時,y=x2+2ax+a-3=-a2+a-3,

∵-1<0,∴y有最大值,

∴當a=時,y的最大值為-+-3=-.

11111

2424

2.解:(1)將A(1,0),B(-5,0)代入y=-x2+bx+c,

得-,

--,

1+?+?=0

解得255?-+,?=0

,

?=4

∴拋物?線=的5解析式為y=-x2-4x+5.

(2)在y=-x2-4x+5中,

令x=0,則y=5,

∴C(0,5),

∵y=-x2-4x+5=-(x+2)2+9,

∴拋物線的頂點為(-2,9),

當y=5時,-x2-4x+5=5,

∴x=0或x=-4,

當m≤-4時,

圖象G的最大值為9,最小值為-m2-4m+5,

∴9-(-m2-4m+5)=4,

解得m=0(舍去)或m=-4,

∴當m=-4時,圖象G的最大值與最小值的差為4.

當-4<m≤-2時,

圖象G的最大值為9,最小值為5,圖象G的最大值與最小值的差為4.

當-2<m<0時,

圖象G的最大值為-m2-4m+5,最小值為5,

∴-m2-4m+5-5=4,

解得m=-2(舍去).

當m>0時,

圖象G的最大值為5,最小值為-m2-4m+5,

∴5-(-m2-4m+5)=4,