2025年橢圓解答題測試題及答案

橢圓解答題測試題及答案姓名：____________________

一、解答題（每題10分，共30分）

1.已知橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若橢圓的焦距為$2c$，且$c^2=a^2-b^2$，求證：$a^2=b^2+c^2$。

2.已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，求證：該橢圓的離心率$e=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

3.已知橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，求橢圓的短軸長度和焦距。

二、計算題（每題10分，共30分）

1.求橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的焦點坐標。

2.求橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$的離心率。

3.求橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的焦距，其中$a=5$，$b=3$。

四、選擇題（每題5分，共25分）

1.若橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$的一個焦點為$F(0,1)$，則該橢圓的離心率為：

A.$\frac{1}{3}$

B.$\frac{3}{4}$

C.$\frac{\sqrt{7}}{4}$

D.$\frac{\sqrt{7}}{3}$

2.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的短軸端點為$(0,\pmb)$，則以下哪個點可能是該橢圓的焦點？

A.$(0,-b)$

B.$(\pmb,0)$

C.$(0,b)$

D.$(\pm\sqrt{a^2-b^2},0)$

3.已知橢圓$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$，則該橢圓的焦距為：

A.2

B.1

C.$\sqrt{2}$

D.$\sqrt{3}$

4.若橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1$的一個焦點為$F(3,0)$，則該橢圓的另一個焦點坐標為：

A.$(-3,0)$

B.$(3,0)$

C.$(0,3)$

D.$(0,-3)$

5.橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的長軸長度是：

A.4

B.5

C.6

D.10

五、證明題（每題10分，共20分）

1.證明：對于橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），若$c^2=a^2-b^2$，則$c$為橢圓的焦距。

2.證明：若橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的離心率為$e$，則$e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$。

六、綜合題（每題10分，共10分）

1.橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$與直線$y=\frac{2}{3}x$相交于兩點$A$和$B$，求線段$AB$的長度。

試卷答案如下：

一、解答題

1.解析思路：由橢圓的定義可知，橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為常數，即$2a$。設橢圓上的任意一點為$P(x,y)$，則$PF_1+PF_2=2a$。由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$PF_1=\sqrt{x^2+(y-c)^2}$，$PF_2=\sqrt{x^2+(y+c)^2}$。將這兩個表達式代入$PF_1+PF_2=2a$，平方后化簡可得$a^2=b^2+c^2$。

2.解析思路：由橢圓的定義可知，橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}$，其中$c$為焦距，$a$為半長軸。由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$c=\sqrt{a^2-b^2}$。將橢圓的方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$代入可得$e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$。將$a=4$，$b=3$代入可得$e=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

3.解析思路：由橢圓的定義可知，橢圓的短軸長度為$2b$，焦距為$2c$。由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$c=\sqrt{a^2-b^2}$。將$a=3$，$b=2$代入可得$c=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$。因此，短軸長度為$2b=4$，焦距為$2c=2\sqrt{5}$。

二、計算題

1.解析思路：由橢圓的標準方程$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$可知，半長軸$a=5$，半短軸$b=4$。由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=3$。因此，焦點坐標為$(\pmc,0)=(\pm3,0)$。

2.解析思路：由橢圓的標準方程$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1$可知，半長軸$a=6$，半短軸$b=3$。由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-9}=3$。因此，離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。

3.解析思路：由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。因此，焦距為$2c=8$。

四、選擇題

1.答案：C

2.答案：D

3.答案：A

4.答案：A

5.答案：D

五、證明題

1.解析思路：由橢圓的定義可知，橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和為常數，即$2a$。設橢圓上的任意一點為$P(x,y)$，則$PF_1+PF_2=2a$。由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$PF_1=\sqrt{x^2+(y-c)^2}$，$PF_2=\sqrt{x^2+(y+c)^2}$。將這兩個表達式代入$PF_1+PF_2=2a$，平方后化簡可得$a^2=b^2+c^2$。

2.解析思路：由橢圓的定義可知，橢圓的離心率$e=\frac{c}{a}$，其中$c$為焦距，$a$為半長軸。由焦距公式$c^2=a^2-b^2$可得$c=\sqrt{a^2-b^2}$。將$e^2=\frac{c^2}{a^2}$代入可得$e^2=1-\frac{b^2}{a^2}$。

六、綜合題

1.解析思路：將直線$y=\frac{2}{3}x$代入橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$中，得$\frac{x^2}{9}+\frac{(\frac{2}{3}x)^2}{4}=1$?；喌?x^2+\frac{4}{9}x^2=9$，即$\frac{13}{9}x^2=9$。解得$x=\pm