湖南省常德市高中學(xué)校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

常德市優(yōu)質(zhì)高中學(xué)校聯(lián)盟年下學(xué)期高二期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)本試卷共4頁全卷滿分分，考試時間分鐘.注意事項：答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡上.橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求的定義域得集合，求函數(shù)的值域得集合，根據(jù)集合的交集運算即可得.【詳解】由，解得，所以，而，所以，所以，故選：B.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，對應(yīng)的向量分別是，，則（）A.2B.4C.5D.6【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義求，再求，結(jié)合復(fù)數(shù)的模的坐標公式求結(jié)論.【詳解】由題意得，，第1頁/共23頁所以，所以，故選：C.3.以點為圓心，且與軸相切的圓的標準方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】依題求得圓的半徑，再結(jié)合圓心坐標可得出所求圓的標準方程.【詳解】以點為圓心，且與軸相切的圓的半徑為，故圓的標準方程是.故選：A.4.已知等差數(shù)列的前項和為，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式可得，結(jié)合題意繼而即可求解.【詳解】由為等差數(shù)列得，解得，所以.故選：A.5.已知橢圓的左、右焦點分別為，，若橢圓上一點P滿足，且，則橢圓的離心率為（）第2頁/共23頁A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)列式求解離心率即可.【詳解】解：如圖，設(shè)，∴，∵∴，∴離心率.故選：C．6.已知函數(shù)，（與在區(qū)間上有且僅有3個交點，則的最小值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出圖形，結(jié)合圖形可得，解之即可求解.【詳解】由圖可知，要使與在區(qū)間上有且僅有3個交點，則，解得，即的最小值為.故選：D.第3頁/共23頁7.在中，已知，，，是的中點，是線段上一點，且.連接并延長交于點，則線段的長度為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】積的運算律求出模即可.【詳解】設(shè)，則，由，，三點共線，得，解得，即，，因此，所以.故選：B8.已知正四面體的頂點，，均在球在平面與球面交于點.若平面，平面，平面，平面，（）且與（）之間的距離為同一定值，棱，分別與交于點，，若的周長為，則球的半徑為（）第4頁/共23頁A.2B.1C.D.【答案】A【解析】，，使計算得，（與（的距離為，即可計算，由的周長為即可求得半徑.【詳解】設(shè)和（）之間的距離為，球的半徑為，所以，由正弦定理可得，則，故，所以，由、、共線，則存在實數(shù)使，且，則，所以，，所以即，整理得，可得，所以，即，所以，又（）且與（）之間的距離為，則，，故，，第5頁/共23頁由余弦定理可得，所以，，同理可得，且，的周長，解得，故選：A.【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.二、多項選擇題：本大題共36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.9.已知雙曲線：的上焦點為：是的一條漸近線，是上支上的一點，為坐標原點，則（）A.到的距離為2B.的焦距為C.的離心率為D.若，則的最小值為4【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)漸近線求出雙曲線的標準方程，結(jié)合點線距公式計算即可判斷A；根據(jù)焦距和離心率的定義即可判斷BC；根據(jù)雙曲線的定義計算即可判斷D.【詳解】由題得雙曲線：的漸近線方程為，又直線：是的一條漸近線，第6頁/共23頁所以，即雙曲線的標準方程為.A選項，到：的距離為，故A錯誤；B選項，，故雙曲線的焦距為，故B錯誤；C選項，雙曲線的離心率，故C正確；D選項，設(shè)雙曲線的下焦點為，由雙曲線的定義得，即，所以，當且僅當A，，三點共線時，取得最小值為4，故D正確.故選：CD10.如圖，點在棱長為1的正方體的面對角線上運動點異于結(jié)論正確的是（）A.異面直線與所成角為60°B.C.三棱錐的體積為D.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為【答案】ABD第7頁/共23頁【解析】【分析】對于A，通過平移即可借助于正三角形進行判斷；對于B，通過證明平面即可判斷；對于CD量的夾角公式求出所成角正弦值的解析式，由二次函數(shù)的值域即得.【詳解】對于A，如圖，連接，，，在正方體中，則異面直線與所成角為，又，所以為等邊三角形，即，故A正確；對于B，如圖，連接，因平面，平面，則，易得，又，則平面，又平面，故，同理可證，因平面，故平面，又因，則平面，故.故B正確；對于C，在正方體中，，平面，平面，故平面，而點在棱長為1的正方體的面對角線上運動，故有，即C錯誤；第8頁/共23頁對于D，建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，，設(shè)，，則，即，所以，，而，因平面，平面，則，又平面，所以平面，即平面的法向量為，，則，因，故，即D正確.故選：ABD.定義為不超過最大整數(shù)，例如：，.已知集合，且，，，下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則的真子集個數(shù)為C.記為中所有元素之和，且（的單調(diào)性無法確定第9頁/共23頁D.若（滿足：對任意，，都有，則的最小值為3【答案】AD【解析】即可判斷ABC示，進而（，即可判斷D.【詳解】A選項：，則，，，，，故A正確；B此項：，，故，，，，故，，，，故，，則（（故真子集個數(shù)最大為，故B錯誤；C選項：由題設(shè)有，若，則，若，則，則，矛盾，故當時，有，當時，，而，所以，則，得，則，即數(shù)列為常數(shù)列，所以數(shù)列的單調(diào)性可確定，故C錯誤；第10頁/共23頁D選項：（，，故，，由，，，∵，∴，故，，且，故，故（）.故當時，，所以的最小值為3，故D正確.故選：AD【點睛】方法點睛：(公式)問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì).三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知拋物線：（）上一點到其焦點的距離與到軸的距離之差為2，則______.【答案】4【解析】【分析】利用拋物線定義即可求解.【詳解】由拋物線的定義得：第11頁/共23頁拋物線上的點到其焦點的距離等于點到準線的距離，則，.故答案為：413.記數(shù)列的前項和為，若，則______.【答案】4048【解析】和與之間的關(guān)系分析可知數(shù)列是首項為22的等差數(shù)列，進而可得結(jié)果.【詳解】因為當時，則，即，解得；當時，則，兩式相減得，整理可得.且符合上式，可知數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，所以.故答案為：4048.14.如圖所示，由半橢圓和兩個半圓，組成曲線、分別是、的圓心.若過點、作兩條平行線、分別與、和、交于、和、的最小值為______.第12頁/共23頁【答案】【解析】【分析】求出橢圓方程，設(shè)直線與橢圓的另一個交點為，由對稱性得出，進而得出，設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達定理，結(jié)合弦長公式可求得的最小值，進而得解.【詳解】半圓的圓心為，半徑為，半圓的圓心為，半徑為，對于橢圓的焦距為，則，可得，所以，橢圓的方程為，如圖所示，設(shè)直線與橢圓的另一個交點為，由橢圓的對稱性可知，點與點關(guān)于原點對稱，即點為線段、的中點，所以，四邊形為平行四邊形，第13頁/共23頁所以，，，若的斜率不存在，則直線過點，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，，所以，，故當時，取最小值，則的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解本題的關(guān)鍵在于利用對稱性得出，由此得出，將問題轉(zhuǎn)化為橢圓的焦點弦長的最值問題.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓經(jīng)過，，且圓心在直線上.（1）求圓標準方程；（2）若直線：截得圓弦長最短時，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）.【解析】1）設(shè)圓的方程為，由條件列方程求可得結(jié)論；第14頁/共23頁（2）由圓的性質(zhì)可得直線與垂直時，直線被圓截得的弦長最短，由直線垂直時兩直線的斜率關(guān)系列方程求可得結(jié)論.【小問1詳解】因圓心在直線上，設(shè)圓心坐標為，圓標準方程為：，則，解得：即圓標準方程為：【小問2詳解】已知直線：過定點，圓的圓心為，當直線與垂直時，直線被圓截得的弦長最短，，所以，即.16.在中，內(nèi)角，，對應(yīng)的邊分別為，，，.（1）求角的大?。唬?）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】1可得，結(jié)合角的范圍即可求解.（2）利用余弦定理及基本不等式，結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【小問1詳解】第15頁/共23頁，，，，.，，.，，.【小問2詳解】，由余弦定理知，當且僅當時等號成立，所以.，所以面積的最大值為.17.與交于點平面，平面平面.第16頁/共23頁（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】1）由已知結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理證明平面，平面，由此證明，，再利用線面垂直判定定理證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，求直線的方向向量和平面的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論.【小問1詳解】證明：∵四邊形為正方形，∴，∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，平面，∴.又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，平面，∴，∵，平面，∴平面.【小問2詳解】由題意可建立空間直角坐標系如圖所示，第17頁/共23頁令，可得，，，則，，，∵在四棱臺中，上，下底面為正方形且，∴且，∴，即，則，，∴.設(shè)平面的法向量為，則，故，令，得，所以為平面的一個法向量，且.設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.18.已知拋物線（的直線與拋物線交于點，，點在第一象限，為坐標原點.（1）求的最小值（用第18頁/共23頁（2）若直線與拋物線的準線交于點（?。┣笞C：軸；（ⅱ）若直線的斜率大于零，的中點為，過點作直線的垂線交拋物線的準線于點，與的面積相等，求直線的斜率.【答案】（1）.（2【解析】1）設(shè)的方程，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達定理和拋物線的定義即可求出求解；（2i）求得ii）設(shè)過點的垂線方程為，證明，由，解之即可求解.【小問1詳解】易知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，整理得，所以，，，當且僅當時等號成立，所以的最小值是.【小問2詳解】（?。┮字本€的方程為，則，由（1）知，所以，所以軸.第19頁/共23頁（ⅱ）過點的垂線方程為，所以與準線的交點為，則，所以，則，又，，記點，到直線的距離分別是，，由相似知所以，由條件知，化簡得，解得，因為直線的斜率大于零，所以直線的斜率.19.已知數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，，，數(shù)列的前項和為，，（）.定義：若被除得的余數(shù)為，記為，如：，，數(shù)列滿足，記的前項和為.第20頁/共23頁（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）若對任意，都有恒成立，求的最大值；（3）求數(shù)列的前項和.【答案】（1）.（2）.（3）【解析】1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出通項公式；根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求出