2025年中考數學壓軸題拔高訓練專題四二次函數的圖象與直線的交點含答案

/專題四二次函數的圖象與直線的交點1.拋物線與直線的交點坐標(1)拋物線y=ax2+bx+ca≠0與直線y=m交點的橫坐標即為方程ax2+bx+c=m的解x?,x?說明：由于直線y=m平行于x軸或與x軸重合，故(2)拋物線y=ax2+bx+ca≠0若方程組y=ax2+bx+c,y=kx+d2.拋物線y=ax2+bx+ca≠0(1)方程ax2+bx+c=kx+m(即ax2+b?k①b?k2?4a②b?k2?4a③b?k(2)含參二次函數y=ax2+bx+ca≠0的圖象與已知直線y=kx+m(k≠0)在一個范圍內有交點一般轉化為方程ax2+bx+c=kx+m①僅常數項未知時，轉化為動直線y=c與定拋物線在某范圍內的交點問題(例2變式1)；②僅二次項系數未知時，轉化為動拋物線y=ax2與定線段的交點問題(例2變式2)；③僅一次項系數未知時，轉化為動直線y=bx與定拋物線在某范圍內的交點問題(例2變式3).應用舉例1.二次函數圖象與直線的交點個數例1在平面直角坐標系中,已知a≠b,設函數y=(x+a)(x+b)的圖象與x軸有M個交點,函數y=(ax+1)(bx+1)的圖象與x軸有N個交點，則()變式設函數y?=x+ax+b的圖象與x軸有m個交點，函數y?=(ax+1)(bx+1)白的圖象與x軸有n個交點，則所有可能的數對(m,n)是2.二次函數圖象與直線或線段的交點例2已知拋物線y=ax2?2x+1a≠0(1)求a的值;(2)設直線y=m(m>0)與拋物線y=ax2?2x+1交于點A,B,與拋物線y=3x?1變式1拋物線y=?x2+3x+c0≤x≤3A.2<c≤5B.2<c≤5或c=1C.2≤c≤5D.2≤c≤5或c=1變式2在平面直角坐標系中,已知M(--1,--2),N(2,1),若拋物線y=ax2?2x+1a≠0A.1≤a<9B.1≤a<C.a≤1或a>D.a≤-5或a≥1變式3已知點A,B的坐標分別為(-2,0),(2,0),若拋物線y=x2+bx+1與線段AB只有一個交點，則b的取值范圍為 進階訓練1.在平面直角坐標系中，點A和點B的坐標分別為(0,2)和(4,2),若拋物線y=ax2?2ax+3(a<0)與線段AB有且只有一個交點，則a的取值范圍是.2.已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過(--3,0)與(1,0)兩點,關于x的方程ax2+bx+c+m=0(m>0)有兩個根,其中一個根是3.若關于x的方程ax2+bx+c+n=0(0<n<m)有兩個整數根，則這兩個整數根是()A.-2或0B.-4或2C.-5或3D.-6或43.已知A,B兩點的坐標分別為(3,-4),(0,-2),線段AB上有一動點M(m,n),過點M作x軸的平行線交拋物線y=ax?12+2于P(x?,y?),Q(x?,y?)兩點.若A.?4≤a<?32C.?32≤a<04.將二次函數y=?x2+2x+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新函數的圖象如圖1-4-1所示.當直線y=x+b與新函數的圖象恰有3個公共點時，b的值為()A.?214或-3C.214或-3D.135.如圖1-4-2,已知拋物線y?=?x2+4x和直線y?=2x+b.我們規(guī)定：當x取任意一個值時，x對應的函數值分別為y?和y?.若y?≠y?,取y?和y?中較大者為M;若.y?=y?,記M=y?=y?..①當x=2時,M的最大值為4;②當b=-3時,使M>y?的x的取值范圍是-1<x<3;③當b=-5時,使M=3的x的值是x?=1,x?=3;④當b≥1時,M隨x的增大而增大.上述結論正確的是(填寫所有正確結論的序號).6.如圖1-4-3,拋物線y=x2+mx與直線y=-x+b交于點A(2,0)和點B.(1)求m和b的值;(2)求點B的坐標，并結合圖象寫出不等式x2+mx>?x+b的解集；(3)點M是直線AB上的一個動點，將點M向左平移3個單位長度得到點N，若線段MN與拋物線只有一個公共點，直接寫出點M的橫坐標xM的取值范圍.7.已知拋物線y=x2?(1)當m=0時，請判斷點(2，4)是否在該拋物線上；(2)該拋物線的頂點隨著m的變化而移動，當頂點移動到最高處時，求該拋物線的頂點坐標；(3)已知點E(-1,-1),F(3,7),若該拋物線與線段EF只有一個交點，求該拋物線頂點橫坐標的取值范圍.8.在平面直角坐標系中，拋物線y?=?(x+4)x?n與x軸交于點A和點B(n,0)(n≥?4),頂點坐標記為??k?.拋物線y?=?(1)寫出A點坐標;(2)求k?,k?的值(用含n的代數式表示)；(3)經過點M2n+9?5n2和點N(2n,9-5n2)的直線與拋物線y?=?x+4 專題四二次函數的圖象與直線的交點答案|應用舉例|例1C[解析]·:y=x+a∴∴函數y=(x+a)(x+b)的圖象與x軸有2個交點.∴M=2.∵函數yax+1bx+1∴當ab≠0時,a+b函數y=(ax+1)(bx+1)的圖象與x軸有2個交點,即N=2,此時M=N;當ab=0時,不妨令a=0,∵a≠b,∴b≠0,函數y=(ax+1)(bx+1)=bx+1為一次函數.圖象與x軸有一個交點,即N=1,此時M=N+1.綜上可知,M=N或M=N+1.故選C.變式(1,0),(1,1),(2,1),(2,2)[解析]當a≠b時,m=2;當a=b時,m=1.當a=b=0時,n=0;當a=b≠0時,n=1;當a≠b=0或0=a≠b時,n=1;當非零數a≠非零數b時，n=2.∴(m,n)可能是(1,0),(1,1),(2,1),(2,2).例2解:(1)拋物線.y=ax2?2x+1a≠0的對稱軸為直線(2)由(1)可知，拋物線的解析式為y=x2?2x+1.由y=m(m>0)與.y=x2?2x+1,得x?1∴∴線段AB長度為x由y=m(m>0)與.y=3(x-1)2, 可得3x?1∴線段CD長度為23m3變式1B[解析]?x2+3x+c=x+2,即c=x2?2x+2.∴當0≤x≤3時,拋物線y=x2?2x+2與直線y=c只有一個交點.如圖,點A(0,2),B(3,5),頂點C(1,1),結合圖象，可知當c=1或2<c≤5時只有一個交點.變式2A[解析]解法1(轉化為方程求解)：易得過M(-1,-2),N(2,1)的直線表達式為y=x-1.當ax2?2x+1=x?1時，ax2=3x?2.當x=-1時,3x-2=3×(-1)-2=-5;當x=2時,3x-2=3×2-2=4,∴線段的端點轉化為A(-1,-5),B(2,4).∴拋物線.y=ax2與線段AB有兩個交點.①當a>0時，若直線AB與拋物線y=ax2只有一個交點，則方程ax2=3x?2有兩個相等的根，有?32?4a?此時有98x2?3x+2=0,解得當拋物線y=ax2過B(2,4)時,得a=1.由圖象知：拋物線.y=ax2的開口大小位于上述兩種情況之間時，與線段AB必有兩個交點，∴1≤a<②當a<0時，顯然拋物線y=ax2與線段AB在第四象限必有一個交點.當拋物線y=ax2過點A(-1,-5)時,得a=-5.由圖象知：當拋物線y=ax2的開口大小不大于拋物線y=?5x2的開口大小時與線段AB在第三象限必有一個交點,∴a≤-5.綜上，1≤a<9解法2(數形結合求解):易得過M(-1,-2),N(2,1)的直線表達式為y=x-1.令ax2?2x+1=x?1,則ax2?3x+2=0.∵直線與拋物線有兩個交點，.∴△=?32?4×a×2>0.解得當x=0時,y=1,∴拋物線恒過定點(0,1).結合圖象可知：①當a<0時,a+2+1≤?2,4a?4+1≤1,②當0<a<98時.解得a≥1,∴1≤a<綜上，1≤a<9變式3b=±2或b>2.5或b<-2.5[解析]解法1(轉化為方程求解)：當y=0時，x2+bx+1=0,∴bx=?x2?1在--2≤x≤2范圍內只有一個解.當x=-2時,?x2?1=?5,當x=2時,?x2?1=?5,記M(-2,-5),N(2,-5),∴直線y=bx與定拋物線.y=?x2?1在線段MN上只有一個交點.如圖，當直線y=bx與定拋物線.y=?x2?1只有一個交點時，方程x2+bx+1=0有兩個相等的根，由△=b2?4=0得b=±2,此時x2±2x+1=0,,解得x=±1(在-2≤x≤2范圍內),∴成立.由圖象知：當b≤-2或b≥2時直線y=bx與定拋物線y=?x2?1有一個或兩個交點.當直線y=bx過點M(-2,-5)時,b=2.5;當直線y=bx過點N(2,-5)時,b=-2.5.由圖象知:當直線y=bx位于直線y=-2.5x與直線y=-2x之間或位于直線y=2x與直線y=2.5x之間時與拋物線y=?x2?1有兩個交點,即-2.5≤b<-2或2<b≤2.5時,直線y=bx與拋物線.綜上,b=±2或b>2.5或b<-2.5.解法2(數形結合求解)：依題意，應分為兩種情況討論：①當Δ=0，即二次函數圖象的頂點在x軸上時，b2?4=0,解得b=±2.此時交點為(-1,0)或(1,0),符合題意.②當△>0，即二次函數圖象頂點在x軸下方時，根據二次函數的圖象恒過定點(0，1)，結合圖象可知有以下四種可能：或4+2b+1=0,?b2>2或4+2b+1>0,4?2b+1<0|進階訓練|1.a≤?18[解析]拋物線y=ax2?2ax+3的對稱軸為直線：x=?∵a<0，∴拋物線的開口向下.其大致圖象如圖.當拋物線.y=ax2?2ax+3經過點B(4,2)時,2=a×42?2a×4+3,解得a=?18,對于拋物線∵拋物線y=ax2?2ax+3與線段AB只有一個交點，∴|a|≥?又∵a<0,∴a≤-18.∴a的取值范圍是2.B[解析]方程ax2+bx+c+m=0的根,即拋物線y=ax2+bx+c與直線y=-m交點的橫坐標.∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過(--3,0)與(1,0)兩點,∴拋物線的對稱軸為直線x=-1.又∵關于x的方程ax2+bx+c+m=0m0)有兩個根，其中一個根是3，設方程ax2+bx+c+n=0的兩根為x?,x?,∵0<n<m,∴拋物線.y=ax2+bx+c和直線y=-m,y=-n的大致圖象如圖.∴?5<x?<?3,1<x?<3.∵方程ax2+bx+c+n=0有兩個整數根，∴方程的兩個整數根為-4或2.3.C[解析]如圖,拋物線.y=ax?12+2的頂點坐標為(1,2),當拋物線.y=ax?12+2經過點A(3,-4)時,觀察圖象可知，當拋物線與線段AB沒有交點或經過點A時滿足條件，∴?34.A[解析]拋物線y=?x2+2x+3的頂點坐標為(1,4),與x軸的交點為A(-1,0),B(3,0).把拋物線y=?x2+2x+3在x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，則翻折部分所在拋物線的解析式為y=x?1∴3+b=0.解得b=-3.當直線y=x+b與拋物線y=x?12?4(?1≤x≤3)只有一個交點時，直線y=x+b與該新圖象恰好有三個公共點，即方程(x?12?4=x+b有兩個相等的實數解，整理得x2?3x?b?3=0,△=32?4?b?3=0,解得b=5.②④[解析]對于①:當x=2時,.y?=?22+4×2=4,y?=2×2+b=4+b,顯然只要b>0,M的值就為4+b,故①錯誤;對于②：當b=-3時，在同一直角坐標系內畫出y?，y?的圖象，如圖①，解y=?x2+4x,y=2x?3,得∴兩個函數圖象的交點坐標為(-1，-5)和(3，3)，觀察圖象可知使M>y?的x的取值范圍是-1<x<3,故②正確；對于③：當b=-5時，在同一直角坐標系內畫出.y?,y?的圖象，如圖②，故M=3時分類討論：當y?=?x2+4x=3時,解得x?=3,x?=1;當y?=2x?5=3時，解得.x?=4,，故③錯誤；對于④：令?x2+4x=2x+b,由△=0,解得b=1.結合圖③可知當b≥1時,y?≥y?.故此時M=y?，故M隨x的增大而增大，故④正確.故答案為②④.6.解:(1)∵拋物線y=x2+mx經過點A(2,0),∴4+2m=0.∴m=-2.∵直線y=-x+b經過點A(2,0),∴-2+b=0.∴b=2.(2)當x2?2x=?x+2時，解得x?=?1,x?=2.∴點B的坐標為(-1,3).結合圖象可知，不等式x2+mx>?x+b的解集為x<-1或x>2.(3)-1≤xM<2或xM=3.[解析]當點M在線段AB上(不含點A)時，∵MN=3，而A，B兩點間的水平距離為3，故此時只有一個交點,即-1≤xM<2;當點M在點B的左側時，線段MN與拋物線沒有公共點；當點M在點A的右側時，當xM=3時，拋物線和線段MN交于拋物線的頂點(1,--1),即xM=3時,線段MN與拋物線只有一個公共點.綜上，-1≤xM<2或x7.解:(1)當m=0時,拋物線為y=x2?x+3.將x=2代入得y=4-2+3=5,∴點(2，4)不在拋物線上.(2)拋物線.y=x2?m+1x+2m+3的頂點坐標為化簡得m+12而?∴當m=3時，頂點縱坐標最大，即頂點移動到了最高處，此時頂點坐標為(2，5).(3)由點E(-1,-1),F(3,7)得直線EF的解析式為y=2x+1.由y=2x+1,得x=2,y=5或∴直線y=2x+1與拋物線y=x2?m+1而(2,5)在線段EF上,∴若該拋物線與線段EF只有一個交點，則(m+1，2m+3)不在線段EF上或(2,5)與(m+1,2m+3)重合,∴m+1<-1或m+1>3或m+1=2(此時2m+3=5).∴拋物線頂點的橫坐標x頂點=m+12<?18.解:(1)∵y?=-(x+4)(x-n),令y?=0,則-(x+4)(x-n)=0,