2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第5章 數(shù)列 5.3 等比數(shù)列 5.3.1 等比數(shù)列 第2課時 等比數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)實(shí)錄 新人教B版選擇性必修第三冊

2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章數(shù)列5.3等比數(shù)列5.3.1等比數(shù)列第2課時等比數(shù)列的性質(zhì)教學(xué)實(shí)錄新人教B版選擇性必修第三冊主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容：等比數(shù)列的性質(zhì)，包括通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識的聯(lián)系：本節(jié)課與上一節(jié)課所學(xué)的等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式緊密相關(guān)，學(xué)生需要運(yùn)用已學(xué)知識來理解和掌握等比數(shù)列的性質(zhì)。教材章節(jié)為新人教B版選擇性必修第三冊第5章數(shù)列5.3.1等比數(shù)列。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.發(fā)展邏輯推理能力，通過探索等比數(shù)列的性質(zhì)，提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)推理過程的素養(yǎng)。

2.培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力，引導(dǎo)學(xué)生從具體數(shù)列實(shí)例中提煉出等比數(shù)列的一般性質(zhì)。

3.增強(qiáng)數(shù)學(xué)建模意識，通過實(shí)際問題的分析，使學(xué)生能夠運(yùn)用等比數(shù)列模型解決問題。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

-等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：學(xué)生需要理解并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_n=a_1\cdotq^{(n-1)}\)，其中\(zhòng)(a_1\)是首項(xiàng)，\(q\)是公比，\(n\)是項(xiàng)數(shù)。

-等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：學(xué)生應(yīng)熟練運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）。

-應(yīng)用實(shí)例：通過具體實(shí)例，如幾何級數(shù)或金融計(jì)算，讓學(xué)生應(yīng)用這些公式解決實(shí)際問題。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

-等比數(shù)列性質(zhì)的推導(dǎo)：學(xué)生可能難以理解等比數(shù)列性質(zhì)從定義到公式的推導(dǎo)過程，例如，如何從首項(xiàng)和公比推導(dǎo)出通項(xiàng)公式。

-公比的特殊情況處理：當(dāng)公比\(q=1\)或\(q=-1\)時，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式需要特別處理，學(xué)生可能在這部分遇到困難。

-應(yīng)用中的邏輯推理：在解決實(shí)際問題時，學(xué)生需要運(yùn)用邏輯推理來分析問題，并選擇合適的數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，這一過程可能對學(xué)生來說較為復(fù)雜。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計(jì)二次備課教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有新人教B版選擇性必修第三冊，特別是第5章數(shù)列5.3.1等比數(shù)列部分。

2.輔助材料：準(zhǔn)備等比數(shù)列的圖表、實(shí)例分析視頻，以及相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件演示等。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備計(jì)算器或數(shù)學(xué)軟件，以便于學(xué)生進(jìn)行計(jì)算和驗(yàn)證。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，以便學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)，并確保實(shí)驗(yàn)操作臺或白板用于展示解題過程。教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課

同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，那么今天我們要進(jìn)一步探索等比數(shù)列的另一個重要性質(zhì)——等比數(shù)列的性質(zhì)。請大家回憶一下，我們已經(jīng)掌握了哪些等比數(shù)列的基本知識呢？

（學(xué)生回答）

很好，我們已經(jīng)了解了等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式。那么，接下來我們將要學(xué)習(xí)的是等比數(shù)列的性質(zhì)。今天我們要探究以下幾個問題：

1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式如何推導(dǎo)？

2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是怎樣的？

3.如何運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決實(shí)際問題？

（二）探究等比數(shù)列的性質(zhì)

1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)

同學(xué)們，我們先來探究等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。假設(shè)我們有一個等比數(shù)列\(zhòng)(a_1,a_2,a_3,\ldots\)，其中首項(xiàng)為\(a_1\)，公比為\(q\)?，F(xiàn)在，我們來推導(dǎo)一下通項(xiàng)公式。

首先，我們已知\(a_2=a_1\cdotq\)，\(a_3=a_2\cdotq=a_1\cdotq^2\)，以此類推。我們可以發(fā)現(xiàn)，第\(n\)項(xiàng)\(a_n\)可以表示為\(a_n=a_1\cdotq^{(n-1)}\)。

（學(xué)生計(jì)算）

很好，第5項(xiàng)為\(a_5=2\cdot3^{(5-1)}=2\cdot3^4=162\)。

2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

我們已經(jīng)知道了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_n=a_1\cdotq^{(n-1)}\)，那么\(S_n\)可以表示為\(S_n=a_1+a_1\cdotq+a_1\cdotq^2+\ldots+a_1\cdotq^{(n-1)}\)。

為了方便計(jì)算，我們可以將\(S_n\)與\(q\cdotS_n\)進(jìn)行對比：

\(q\cdotS_n=a_1\cdotq+a_1\cdotq^2+a_1\cdotq^3+\ldots+a_1\cdotq^n\)

\(q\cdotS_n-S_n=a_1\cdotq-a_1+a_1\cdotq^2-a_1\cdotq+\ldots+a_1\cdotq^n-a_1\cdotq^{(n-1)}\)

簡化后，我們得到：

\((q-1)\cdotS_n=a_1-a_1\cdotq^n\)

進(jìn)一步整理，我們可以得到等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)

讓我們再用具體的例子來驗(yàn)證一下這個公式是否正確。假設(shè)有一個等比數(shù)列，首項(xiàng)\(a_1=3\)，公比\(q=2\)，我們要找出它的前5項(xiàng)和。

（學(xué)生計(jì)算）

很好，前5項(xiàng)和為\(S_5=\frac{3(1-2^5)}{1-2}=31\)。

3.等比數(shù)列的性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用

同學(xué)們，現(xiàn)在我們已經(jīng)掌握了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，那么如何將這些知識運(yùn)用到實(shí)際問題上呢？

我們可以通過以下幾個例子來學(xué)習(xí)如何運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)解決實(shí)際問題：

（1）例題：一個等比數(shù)列的首項(xiàng)為2，公比為3，求它的第7項(xiàng)和前7項(xiàng)和。

（2）例題：一個等比數(shù)列的前5項(xiàng)和為100，公比為2，求它的首項(xiàng)。

（3）例題：一個等比數(shù)列的第四項(xiàng)是-12，公比是\(-\frac{1}{2}\)，求它的第10項(xiàng)和前10項(xiàng)和。

請同學(xué)們在練習(xí)本上獨(dú)立完成以上例題，然后我們一起來檢查答案。

（三）課堂練習(xí)

1.求解以下等比數(shù)列的第10項(xiàng)：

（1）首項(xiàng)為4，公比為\(\frac{1}{2}\)

（2）首項(xiàng)為-3，公比為\(-\frac{1}{3}\)

2.求解以下等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：

（1）首項(xiàng)為-2，公比為-3，n=7

（2）首項(xiàng)為5，公比為\(\frac{1}{4}\)，n=5

請同學(xué)們在規(guī)定時間內(nèi)完成練習(xí)，完成后舉手示意。

（四）檢查答案并講解

1.檢查學(xué)生答案，指出錯誤之處，并進(jìn)行講解。

2.強(qiáng)調(diào)解題過程中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，如通項(xiàng)公式的推導(dǎo)、前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用等。

3.鼓勵學(xué)生提出問題，共同解決。

（五）課堂總結(jié)

同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的性質(zhì)，包括通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及它們在實(shí)際問題中的應(yīng)用。希望大家能夠通過今天的課程，更好地理解和掌握等比數(shù)列的性質(zhì)。

最后，請同學(xué)們在課后回顧今天所學(xué)內(nèi)容，鞏固所學(xué)知識。下一節(jié)課我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)等比數(shù)列的其他性質(zhì)，敬請期待。

（六）布置作業(yè)

1.復(fù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，完成教材上的練習(xí)題。

2.預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容，提前了解等比數(shù)列的其他性質(zhì)。

同學(xué)們，今天的課程到此結(jié)束，希望大家課后認(rèn)真完成作業(yè)，共同提高數(shù)學(xué)水平。再見！教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-等比數(shù)列的幾何意義：可以介紹等比數(shù)列在幾何學(xué)中的應(yīng)用，如等比數(shù)列的項(xiàng)在坐標(biāo)系中對應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的圖形，以及這些圖形與幾何性質(zhì)的關(guān)系。

-等比數(shù)列在金融學(xué)中的應(yīng)用：探討等比數(shù)列在復(fù)利計(jì)算、股票收益預(yù)測等金融領(lǐng)域的重要性。

-等比數(shù)列在物理科學(xué)中的應(yīng)用：介紹等比數(shù)列在物理學(xué)中描述自然現(xiàn)象的例子，如振動系統(tǒng)的周期性變化。

2.拓展建議：

-學(xué)生可以通過閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)課外書籍，如《數(shù)學(xué)的故事》或《數(shù)學(xué)之美》，了解等比數(shù)列的歷史背景和應(yīng)用案例。

-鼓勵學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽或挑戰(zhàn)題目，如國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽（IMO）中的相關(guān)題目，以提升解題技巧和邏輯思維能力。

-組織學(xué)生進(jìn)行小組項(xiàng)目，選擇等比數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用場景進(jìn)行深入研究，如股票市場分析、利率計(jì)算等，以增強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

-利用網(wǎng)絡(luò)資源，如教育平臺上的視頻課程或在線論壇，讓學(xué)生在課余時間進(jìn)行自我學(xué)習(xí)，拓寬知識面。

-設(shè)計(jì)一些開放性問題，如“如何將等比數(shù)列的概念應(yīng)用到日常生活中的一個實(shí)際問題中？”激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問題的能力。

-引導(dǎo)學(xué)生研究等比數(shù)列與其他數(shù)學(xué)分支的關(guān)系，如與級數(shù)理論、概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)的關(guān)系，以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的理解。

-提供一些歷史文獻(xiàn)或數(shù)學(xué)家的傳記，讓學(xué)生了解等比數(shù)列在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位和影響，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)史意識。典型例題講解1.例題1：已知等比數(shù)列的首項(xiàng)\(a_1=3\)，公比\(q=2\)，求該數(shù)列的第6項(xiàng)\(a_6\)。

解答：根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_n=a_1\cdotq^{(n-1)}\)，代入\(a_1=3\)，\(q=2\)，\(n=6\)，得到\(a_6=3\cdot2^{(6-1)}=3\cdot2^5=96\)。

2.例題2：已知等比數(shù)列的前5項(xiàng)和\(S_5=31\)，首項(xiàng)\(a_1=3\)，公比\(q=2\)，求該數(shù)列的第5項(xiàng)\(a_5\)。

解答：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)，代入\(S_5=31\)，\(a_1=3\)，\(q=2\)，得到\(31=\frac{3(1-2^5)}{1-2}\)。解得\(a_5=3\cdot2^4=48\)。

3.例題3：已知等比數(shù)列的首項(xiàng)\(a_1=-2\)，公比\(q=-\frac{1}{2}\)，求該數(shù)列的前10項(xiàng)和\(S_{10}\)。

解答：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)，代入\(a_1=-2\)，\(q=-\frac{1}{2}\)，\(n=10\)，得到\(S_{10}=\frac{-2(1-(-\frac{1}{2})^{10})}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{-2(1-\frac{1}{1024})}{\frac{3}{2}}=\frac{-2\cdot\frac{1023}{1024}}{\frac{3}{2}}=\frac{-2046}{1536}=-\frac{1023}{768}\)。

4.例題4：已知等比數(shù)列的第3項(xiàng)\(a_3=8\)，公比\(q=-2\)，求該數(shù)列的首項(xiàng)\(a_1\)。

解答：根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_n=a_1\cdotq^{(n-1)}\)，代入\(a_3=8\)，\(q=-2\)，\(n=3\)，得到\(8=a_1\cdot(-2)^{2}\)。解得\(a_1=\frac{8}{4}=2\)。

5.例題5：已知等比數(shù)列的前5項(xiàng)和\(S_5=10\)，公比\(q=-\frac{1}{2}\)，求該數(shù)列的首項(xiàng)\(a_1\)。

解答：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)，代入\(S_5=10\)，\(q=-\frac{1}{2}\)，\(n=5\)，得到\(10=\frac{a_1(1-(-\frac{1}{2})^5)}{1-(-\frac{1}{2})}\)。解得\(a_1=\frac{10\cdot\frac{31}{32}}{\frac{3}{2}}=\frac{10\cdot31}{32\cdot\frac{3}{2}}=\frac{310}{48}=\frac{155}{24}\)。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.案例分析法：在講解等比數(shù)列的性質(zhì)時，我嘗試使用具體的案例來幫助學(xué)生理解，比如通過股票市場的收益模式來展示等比數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用，這種方法能夠讓學(xué)生更加直觀地感受到數(shù)學(xué)的價值。

2.互動式教學(xué)：在課堂上，我鼓勵學(xué)生參與討論，提出問題，這樣可以激發(fā)學(xué)生的興趣，同時也讓他們在解決問題的過程中加深對知識的理解。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問題

1.學(xué)生對概念理解不夠深入：有些學(xué)生對于等比數(shù)列的定義和性質(zhì)的理解還停留在表面，沒有形成深刻的認(rèn)識。

2.課堂互動不足：雖然我鼓勵學(xué)生提問和討論，但實(shí)際參與的學(xué)生數(shù)量有限，課堂互動的氛圍還有待加強(qiáng)。

3.實(shí)踐環(huán)節(jié)不足：在教學(xué)中，我可能過于注重理論講解，而忽視了實(shí)踐環(huán)節(jié)，學(xué)生缺乏動手操作和實(shí)際應(yīng)用的機(jī)會。

反思改進(jìn)措施（三）

1.深化概念教學(xué)：為了幫助學(xué)生深入理解等比數(shù)列的概念，我計(jì)劃在教學(xué)中加入更多的圖形和動畫，通過視覺輔助來幫助學(xué)生更好地把握數(shù)列的變化規(guī)律。

2.豐富課堂互動：我將設(shè)計(jì)更多的問題和討論環(huán)節(jié)，鼓勵所有學(xué)生參與進(jìn)來，同時也可以通過小組合作的方式，讓學(xué)生在團(tuán)隊(duì)中學(xué)習(xí)和交流。

3.加強(qiáng)實(shí)踐環(huán)節(jié)：為了讓學(xué)生將理論知識應(yīng)用到實(shí)踐中，我計(jì)劃增加一些實(shí)際操作的練習(xí)，比如讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)等比數(shù)列問題，并嘗試解決，這樣可以提高他們的動手能力和解決問題的能力。

4.個性化輔導(dǎo)：對于理解困難的學(xué)生，我將提供個性化的輔導(dǎo)，通過一對一的講解和練習(xí)，幫助他們克服學(xué)習(xí)上的障礙。

5.反饋與評價：我將定期收集學(xué)生的反饋，了解他們對教學(xué)方法的看法，并根據(jù)反饋調(diào)整教學(xué)策略，同時也會通過定期的測試和作業(yè)來評價學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。作業(yè)布置與反饋?zhàn)鳂I(yè)布置：

1.完成教材課后習(xí)題，特別是關(guān)于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前