吉林省四平市伊通滿族自治縣第五中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級下學(xué)期綜合測試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

九年級學(xué)下學(xué)期綜合測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每小題3分，共18分）1.下列成語描述的事件為必然事件的是（）A.旭日東升 B.空中樓閣 C.水中撈月 D.刻舟求劍2.一個幾何體由若干個大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體從左面看到的形狀圖是（）A B. C. D.3.若反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，則m的取值可以是（）A. B. C. D.4.如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，的長為12米，與的夾角為，則高是（）A.米 B.米 C.米 D.米5.如圖，是直徑，點(diǎn)、在上，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.6.如圖，在中，為對角線上兩點(diǎn)，連結(jié)并延長交于點(diǎn)E，連結(jié)并延長交于點(diǎn)F，若，則的值為（）A. B. C. D.二、填空題（每小題3分，共15分）7.杠桿平衡時，“阻力阻力臂動力動力臂”．已知動力和動力臂分別為和，阻力為，阻力臂為，則阻力關(guān)于阻力臂的函數(shù)表達(dá)式為_______．8.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則c的值可以是_____．（寫出一個即可）9.物理課中同學(xué)們觀察了小孔成像現(xiàn)象．如圖，電子蠟燭的火焰高度為、倒立的像的高度為，小孔到火焰的距離為，則小孔到火焰的像的距離為______．10.某圓形噴水池中心O有一雕塑，從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，x軸上的點(diǎn)C，D為水柱的落水點(diǎn)，水柱所在拋物線第一象限部分的函數(shù)表達(dá)式為，則兩個水柱的最高點(diǎn)M，N之間的距離為__________m．11.如圖，一張扇形紙片，，，將這張扇形紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，折痕為，則圖中陰影部分的面積為_______（結(jié)果保留）．三、解答題（本大題共11小題，共87分）12.計算：．13.某中學(xué)計劃向全校學(xué)生招募“陽光小記者”．現(xiàn)有甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生參加小記者競選．（1）若從這四位競選者中隨機(jī)選出一位小記者，則選到男生的概率是________；（2）若從這四位競選者中隨機(jī)選出兩位小記者，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩位女生同時當(dāng)選的概率．14.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）試求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時，直接寫出取值范圍．15.為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛讀書的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購買圖書．已知2022年該學(xué)校用于購買圖書的費(fèi)用為5000元，2024年用于購買圖書的費(fèi)用是7200元．（1）求2022~2024年購買圖書資金的年平均增長率；（2）按此年增長率，計算2025年用于購買圖書的費(fèi)用．16.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求作圖，保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡．（1）在圖①中，畫出點(diǎn)D在邊上，使；（2）在圖②中，畫出點(diǎn)F在邊上，且；（3）在圖③中，畫出點(diǎn)M在邊上、點(diǎn)N在邊上，使．17.如圖，為測量某建筑物的高度，在離該建筑物底部處，目測其頂，視線與水平線的夾角為，目高為．求該建筑物的高度．（精確到）【參考數(shù)據(jù)：，，．】18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，點(diǎn)A、B在y軸的正半軸上，邊與分別與反比例函數(shù)的圖象相交于E、F兩點(diǎn)．且點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為．點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上（點(diǎn)P不與點(diǎn)E、F重合），其橫坐標(biāo)為n．（1）求k的值；（2）連接，當(dāng)與的面積和為矩形面積的一半時，直接寫出n的取值范圍；（3）連接，當(dāng)?shù)拿娣e是該矩形面積的一半時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．19.如圖，是的直徑，是弦，D是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)E．F是延長線上的一點(diǎn)，且．（1）求證：為的切線；（2）連接．若，，求的長．20.（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在正方形ABCD上，使直角頂點(diǎn)與D重合，三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長線于點(diǎn)Q．則DPDQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他條件不變．①如圖2，若PQ＝5，求AP長．②如圖3，若BD平分∠PDQ．則DP的長為．21.如圖、在中，，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上的一點(diǎn)，以為直角邊作等腰直角，使，點(diǎn)Q與點(diǎn)B在的同側(cè)．（1）求的長；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在上時，求的面積；（3）當(dāng)點(diǎn)Q在的平分線上時，求的長；（4）連接、，當(dāng)時，直接寫出的長．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（其中b、c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線，點(diǎn)P在該拋物線上，其橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)M在y軸上，其縱坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q，以為邊作矩形．（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時，求的值；（3）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部函數(shù)部分y隨x的增大而減小時，直接寫出m的取值范圍；（4）當(dāng)時，設(shè)該拋物線與矩形的某一組鄰邊的交點(diǎn)（包括頂點(diǎn)）分別為B、C，直接寫出這兩個交點(diǎn)中最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為1時m的值．

九年級學(xué)下學(xué)期綜合測試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（每小題3分，共18分）1.下列成語描述的事件為必然事件的是（）A.旭日東升 B.空中樓閣 C.水中撈月 D.刻舟求劍【答案】A【解析】【分析】本題考查事件的分類，根據(jù)一定條件下一定會發(fā)生的事是必然事件，一定不會發(fā)生的事是不可能事件，可能發(fā)生可能不發(fā)生的事，是隨機(jī)事件，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、旭日東升，是必然事件，符合題意；B、空中樓閣，是不可能事件，不符合題意；C、水中撈月，是不可能事件，不符合題意；D、刻舟求劍，是不可能事件，不符合題意；故選A．2.一個幾何體由若干個大小相同的小立方塊搭成，從上面看到的幾何體的形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示在該位置的小立方塊的個數(shù)，則這個幾何體從左面看到的形狀圖是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題主要考查了從不同方向看幾何體．從左面看幾何體有兩列，一列有3個小正方體，第二列有2個正方體，畫出圖形即可得出答案．【詳解】解：從左面看幾何體有兩列，每時一列有3個小正方體，第二列有2個正方體，即看到的形狀圖為：．故選：D．3.若反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，則m的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得出，解得，逐項判斷即可得到答案．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，，，選項D符合題意，故選：D

．4.如圖，某博物館大廳電梯的截面圖中，的長為12米，與的夾角為，則高是（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】A【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，直接根據(jù)的正弦可得結(jié)論．【詳解】中，，米，（米．故選：A．5.如圖，是的直徑，點(diǎn)、在上，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了圓周角定理及推論．解題關(guān)鍵是熟練掌握同弧對的圓周角相等，直徑對的圓周角是直角．連接，根據(jù)直徑性質(zhì)得到，根據(jù)圓周角定理得到，即得．【詳解】解：連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴．故選：C．6.如圖，在中，為對角線上的兩點(diǎn)，連結(jié)并延長交于點(diǎn)E，連結(jié)并延長交于點(diǎn)F，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，找出相似三角形得出比例線段是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線判定可得，，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解即可．【詳解】，設(shè)，在中，，，，，，，，．故選：B．二、填空題（每小題3分，共15分）7.杠桿平衡時，“阻力阻力臂動力動力臂”．已知動力和動力臂分別為和，阻力為，阻力臂為，則阻力關(guān)于阻力臂的函數(shù)表達(dá)式為_______．【答案】【解析】【分析】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題列反比例函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)題意可得，進(jìn)而即可求解，掌握杠桿原理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意可得，，∴，即，故答案為：．8.若關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則c的值可以是_____．（寫出一個即可）【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】本題主要考查了根的判別式．熟練掌握一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，求出c的取值范圍，然后作答即可．【詳解】解：∵一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：，∴c的值可以是0．故答案為：0．9.物理課中同學(xué)們觀察了小孔成像現(xiàn)象．如圖，電子蠟燭的火焰高度為、倒立的像的高度為，小孔到火焰的距離為，則小孔到火焰的像的距離為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)與交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)，由題意得，，，，則，，然后由相似三角形的性質(zhì)即可求解，解題的關(guān)鍵掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)，由題意得：，，，，∴，，∴，∴，∴，∴小孔到火焰的像的距離為，故答案為：．10.某圓形噴水池中心O有一雕塑，從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，建立直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上，x軸上的點(diǎn)C，D為水柱的落水點(diǎn)，水柱所在拋物線第一象限部分的函數(shù)表達(dá)式為，則兩個水柱的最高點(diǎn)M，N之間的距離為__________m．【答案】10【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知易得：N點(diǎn)的坐標(biāo)為和M點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后進(jìn)行計算即可解答．【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時，，故N點(diǎn)的坐標(biāo)為；∵從A點(diǎn)向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴之間的距離為．故答案為：10．11.如圖，一張扇形紙片，，，將這張扇形紙片折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，折痕為，則圖中陰影部分面積為_______（結(jié)果保留）．【答案】【解析】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到圖中陰影面積，即可求解，本題考查了扇形面積，解題的關(guān)鍵是：根據(jù)折疊的性質(zhì)得到圖中陰影面積．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，，，∴圖中陰影面積，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，故答案為：．三、解答題（本大題共11小題，共87分）12.計算：．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵．直接利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)而代入求出答案．【詳解】解：．13.某中學(xué)計劃向全校學(xué)生招募“陽光小記者”．現(xiàn)有甲、乙兩位男生和丙、丁兩位女生參加小記者競選．（1）若從這四位競選者中隨機(jī)選出一位小記者，則選到男生的概率是________；（2）若從這四位競選者中隨機(jī)選出兩位小記者，請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩位女生同時當(dāng)選的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查概率的知識，解題的關(guān)鍵是掌握概率的應(yīng)用，樹狀圖的應(yīng)用，列出結(jié)果，進(jìn)行解答，即可．（1）根據(jù)概率的定義，進(jìn)行解答，即可；（2）畫出樹狀圖，列出所有等可能的結(jié)果，進(jìn)行解答．【小問1詳解】解：從這四位競選者中隨機(jī)選出一位小記者，則選到男生的概率是．故答案：【小問2詳解】解：根據(jù)題意，畫出樹狀圖，如下：由圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，丙、丁同時當(dāng)選的有2種，∴兩位女生同時當(dāng)選的概率是．14.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．（1）試求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)時，直接寫出的取值范圍．【答案】（1）該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）的取值范圍為．【解析】【分析】（）用待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式；（）由二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、求二次函數(shù)的函數(shù)值的取值范圍，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴設(shè)該二次函數(shù)的表達(dá)式，則，解得：，∴該二次函數(shù)的表達(dá)式；【小問2詳解】解：由（）得：該二次函數(shù)的表達(dá)式，∵，∴當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，，；，，∴當(dāng)時，有最大值，∴的取值范圍為．15.為了讓學(xué)生養(yǎng)成熱愛讀書的習(xí)慣，某學(xué)校抽出一部分資金用于購買圖書．已知2022年該學(xué)校用于購買圖書的費(fèi)用為5000元，2024年用于購買圖書的費(fèi)用是7200元．（1）求2022~2024年購買圖書資金的年平均增長率；（2）按此年增長率，計算2025年用于購買圖書的費(fèi)用．【答案】（1）（2）8640元【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)2022~2024年購買圖書資金的年平均增長率為，增長率的定義列式，求解即可，（2）根據(jù)增長率的定義及2024年的費(fèi)用，列式計算即可．【小問1詳解】解：設(shè)2022~2024年購買圖書資金的年平均增長率為，根據(jù)題意，得，解得（不符合題意，舍去），答：2022~2024年購買圖書資金的年平均增長率為．【小問2詳解】解：由題意，得（元）．答：按此年增長率，2025年用于購買圖書的費(fèi)用為8640元．16.如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求作圖，保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡．（1）在圖①中，畫出點(diǎn)D在邊上，使；（2）在圖②中，畫出點(diǎn)F在邊上，且；（3）在圖③中，畫出點(diǎn)M在邊上、點(diǎn)N在邊上，使．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】（1）取格點(diǎn)E，連接交于D，；（2）取格點(diǎn)D，E，連接交于F，證明，可得，即；（3）取格點(diǎn)D，M，連接交于N，連接，根據(jù)可證，可得，則，可證，根據(jù)斜邊中線等于斜邊的一半可證．【小問1詳解】解：如圖：D為所求；【小問2詳解】解：如圖：F為所求；【小問3詳解】解：如圖：，為所求；【點(diǎn)睛】本題考查無刻度直尺作圖，涉及全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，斜邊中線，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用全等三角形，相似三角形，斜邊中線，三角函數(shù)構(gòu)造圖形求解是解題的關(guān)鍵．17.如圖，為測量某建筑物的高度，在離該建筑物底部處，目測其頂，視線與水平線的夾角為，目高為．求該建筑物的高度．（精確到）【參考數(shù)據(jù)：，，．】【答案】【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)求出邊長．首先在中求出的高度，根據(jù)建筑物的高度即可求出結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，．在中，，，∴，∴．答：該建筑物的高度約為．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形，點(diǎn)A、B在y軸的正半軸上，邊與分別與反比例函數(shù)的圖象相交于E、F兩點(diǎn)．且點(diǎn)E的坐標(biāo)為，點(diǎn)F的坐標(biāo)為．點(diǎn)P在反比例函數(shù)的圖象上（點(diǎn)P不與點(diǎn)E、F重合），其橫坐標(biāo)為n．（1）求k的值；（2）連接，當(dāng)與的面積和為矩形面積的一半時，直接寫出n的取值范圍；（3）連接，當(dāng)?shù)拿娣e是該矩形面積的一半時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）6（2）（3）或【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是利用反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出值，再結(jié)合圖形的性質(zhì)和面積公式進(jìn)行求解．（1）根據(jù)反比例函數(shù)上點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之積等于，列出關(guān)于的方程，進(jìn)而求出值．（2）通過分析與的面積和與矩形面積的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)的位置確定的取值范圍．（3）根據(jù)的面積是矩形面積的一半，設(shè)邊上高的為h，求出高，分別討論點(diǎn)在上完下方時和點(diǎn)在上完上方時，求解得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【小問1詳解】解：點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，，，；【小問2詳解】解：，，∵，∴當(dāng)點(diǎn)P在E，F(xiàn)之間的反比例函數(shù)圖象上時滿足條件，；【小問3詳解】解：，，，，，設(shè)邊上高的為h，，點(diǎn)在的下方時，時，當(dāng)時，，點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)在的上方時，時，當(dāng)時，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．19.如圖，是的直徑，是弦，D是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)E．F是延長線上的一點(diǎn)，且．（1）求證：為的切線；（2）連接．若，，求的長．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】本題主要考查了切線的判定，垂徑定理的推論，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，（1）如圖，連接，，證明即可；（2）設(shè)，則，在中，，可得，再根據(jù)勾股定理可解決問題；熟練掌握其性質(zhì)，合理添加輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【小問1詳解】如圖，連接，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵是直徑，D是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，即，∵是半徑，∴是的切線；【小問2詳解】設(shè)，則，在中，，∴，解得，∴，∵，∴，∴．20.（1）如圖1，將直角三角板的直角頂點(diǎn)放在正方形ABCD上，使直角頂點(diǎn)與D重合，三角板的一邊交AB于點(diǎn)P，另一邊交BC的延長線于點(diǎn)Q．則DPDQ（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）將（1）中“正方形ABCD”改成“矩形ABCD”，且AD＝2，CD＝4，其他條件不變．①如圖2，若PQ＝5，求AP長．②如圖3，若BD平分∠PDQ．則DP的長為．【答案】（1）＝；（2）①1，②【解析】分析】（1）先證明△ADP≌△CDQ，即可求解；（2）①先證明△ADP∽△CDQ，可得＝＝＝，設(shè)AP＝x，則CQ＝2x，再由勾股定理，即可求解；②過點(diǎn)B作BE⊥DP交DP延長線于點(diǎn)E，BF⊥DQ于點(diǎn)F，根據(jù)△ADP∽△CDQ，可得∠APD=∠Q，＝＝＝，從而得到∠BPE=∠Q，再由角平分線的性質(zhì)定理可得BE=BF，進(jìn)而證得△BEP≌△BFQ，得到BP=BQ，從而得到，再由勾股定理，即可求解．【詳解】解∶（1）在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，∵∠PDQ=90°，∴∠PDQ=∠ADC=90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP=∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ；故答案為∶=（2）①∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°．∵∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ．又∵∠A＝∠DCQ＝90°．∴△ADP∽△CDQ，∴＝＝＝，設(shè)AP＝x，則CQ＝2x，∴PB＝4－x，BQ＝2＋2x．由勾股定理得，在Rt△PBQ中，PB2＋BQ2＝PQ2，代入得（4－x）2＋（2＋2x）2＝52，解得x＝1，即AP＝1．∴AP的長為1．②如圖，過點(diǎn)B作BE⊥DP交DP延長線于點(diǎn)E，BF⊥DQ于點(diǎn)F，由①得：△ADP∽△CDQ，∴∠APD=∠Q，＝＝＝，∴CQ=2AP，∵∠APD=∠BPE，∴∠BPE=∠Q，∵BD平分∠PDQ，BE⊥DE，BF⊥DQ，∴BE=BF，∵∠E=∠BFQ=90°，∴△BEP≌△BFQ，∴BP=BQ，設(shè)AP=m，則BQ=BP=4-m，CQ=2m，∴2+2m=4-m，解得：，即，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形性質(zhì)，相似三角形和全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，勾股定理等知識，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．21.如圖、在中，，，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊上的一點(diǎn)，以為直角邊作等腰直角，使，點(diǎn)Q與點(diǎn)B在的同側(cè)．（1）求的長；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在上時，求的面積；（3）當(dāng)點(diǎn)Q在的平分線上時，求的長；（4）連接、，當(dāng)時，直接寫出的長．【答案】（1）10（2）（3）或（4）或【解析】【分析】（1）在中應(yīng)用勾股定理，即可求解，（2）由，得到，設(shè)，由，即可求出，根據(jù)三角形面積公式，即可求解，（3）交于點(diǎn)，作，由，得到，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理得設(shè)，由，解得：，，，由，得到，分當(dāng)在上時，當(dāng)在上時，兩種情況討論即可求解，（4）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，得到，進(jìn)而得到，分當(dāng)在上時，，當(dāng)在上時，．本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的性質(zhì)定理，直角三角形斜邊中線，解題的關(guān)鍵是：分情況討論．【小問1詳解】解：∵，，，∴，【小問2詳解】解：當(dāng)點(diǎn)落在上時，∵是中點(diǎn)，，∴，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，設(shè)，則，∴，解得：，∴，【小問3詳解】解：當(dāng)點(diǎn)Q在的平分線上時，交于點(diǎn)，作，垂足為，∵，，∵，∴，，∵平分，設(shè)，則，∴，解得：，∴，，∵，，∴，∴，設(shè)，則，當(dāng)在上時，，解得：，則，當(dāng)在上時，，解得：，則，綜上所述，的長為或，【小問4詳解】解：∵，是中點(diǎn)，∴，∵是等腰直角三角形，∴，當(dāng)在上時，，當(dāng)在上時，，綜上所述，或．22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（其中b、c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為直線，點(diǎn)P在該拋物線上，其橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)M在y軸上，其縱坐標(biāo)為，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)Q，以為邊作矩形．（1）求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時，求的值；（3）當(dāng)拋物線在矩形內(nèi)部的函