山東省棗莊市市中區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末階段性質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁(yè)，共頁(yè)第17頁(yè)，共17頁(yè)2024—2025學(xué)年度第一學(xué)期市中區(qū)階段性質(zhì)量監(jiān)測(cè)高二數(shù)學(xué)試題考試范圍：選擇性必修一：考試時(shí)間：120分鐘：第1卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若，在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可得首先求出直線上的一個(gè)向量，即可得到它的一個(gè)方向向量，再利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可得出答案．【詳解】因?yàn)锳，B在直線l上，所以，與共線的向量可以是直線l的一個(gè)方向向量，其他選項(xiàng)經(jīng)驗(yàn)證與均不共線.故選：B2.過(guò)兩直線與的交點(diǎn)，并且與第一條直線垂直的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)，求出所求直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由，解得，得直線與的交點(diǎn)為點(diǎn)．因?yàn)樗笾本€與直線垂直，故所求直線的斜率，因此，所求直線的方程為，即．故選：B.3.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，直接求出橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)作答.【詳解】橢圓的長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)分別為a，b，有，則橢圓半焦距，顯然，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A4.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則以下錯(cuò)誤的是（）A. B.夾角的余弦值為C.A，B，C，D共面 D.點(diǎn)O到直線AB的距離是【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及夾角計(jì)算公式即可求解A,B,根據(jù)共面向量基本定理可判斷C，根據(jù)點(diǎn)線距離的向量法即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，A正確；夾角的余弦值為，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正確；因?yàn)椋?，所以點(diǎn)O到直線AB的距離是，D正確．故選:B．5.已知圓的方程為，為圓上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，求出過(guò)點(diǎn)與圓相切的切線的斜率，即可求出的取值范圍.【詳解】圓的方程為，即，圓心為，半徑，則表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的連線的斜率，過(guò)點(diǎn)作圓的切線方程，顯然，切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即．則k+2?kk2+1所以的取值范圍為．故選：C．6.已知，向量，，，且，，則的值為（）A.－1 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量垂直、共線的坐標(biāo)表示求出可得答案.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，，由，則，解得，由，則，解得，則.故選：A.7.圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)對(duì)稱圓的圓心，解方程組即得圓心，然后代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得解.【詳解】圓的圓心為O0,0，設(shè)對(duì)稱圓的圓心為，依題意得，解得，又圓的半徑與對(duì)稱圓的半徑相等都為2，所以對(duì)稱圓的方程為.故選：B.8.已知雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，直線經(jīng)過(guò)，且與交于，兩點(diǎn).若，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，則，利用雙曲線的定義表示，，由勾股定理可得關(guān)系進(jìn)而可得離心率．【詳解】由題意知，，且A，B都在雙曲線的右支上．設(shè)，則，，．在中，，得，則，.在中，，即，得．所以雙曲線C的離心率為.故選：B二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是B.雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是C.拋物線的準(zhǔn)線方程是D.直線與圓相交【答案】AC【解析】【分析】由圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線的定義即可判斷ABC，由圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系即可判斷D.【詳解】在橢圓中，因?yàn)?，，則，且焦點(diǎn)在軸上，A正確．雙曲線的頂點(diǎn)在軸上，B錯(cuò)誤．拋物線開口向左，，準(zhǔn)線為，C正確．圓心到直線的距離，則直線與圓相切，D錯(cuò)誤．故選：AC.10.已知直線，下列說(shuō)法正確的是（）A.直線過(guò)定點(diǎn)B.點(diǎn)到直線的最大距離為C.直線一定經(jīng)過(guò)第四象限D(zhuǎn).當(dāng)時(shí)，直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線為【答案】ABD【解析】【分析】求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)可判斷A；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，求出最大距離可判斷B；直線不一定經(jīng)過(guò)第四象限可判斷C；先求出直線與直線的交點(diǎn)，再求出直線上一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，由兩點(diǎn)式即可求出，可判斷D.【詳解】對(duì)于A，，令，可得：，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確；對(duì)于B，直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，且最大距離為，故B正確；對(duì)于C，直線過(guò)定點(diǎn)，不一定經(jīng)過(guò)第四象限，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，直線，設(shè)直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線為，一定經(jīng)過(guò)直線和直線交點(diǎn)，設(shè)為，由可得：，所以，在直線上任取一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)一定在上，所以，解得：，所以，在直線上，所以，化簡(jiǎn)可得：，故D正確.故選：ACD.11.在正方形中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，與相交于一點(diǎn)，且C.存在點(diǎn)，使得平面D.異面直線與所成角的余弦值的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，直接證明平面即可判斷A；對(duì)于B，設(shè)和相交于點(diǎn)E，則，所以，即可判斷B；對(duì)于C，建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面的法向量，利用共線向量，即可判斷C；對(duì)于D，由和進(jìn)行求解，可判斷D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，在正方體中，易知，由平面，得，而，故平面，所以，同理可得，又因?yàn)?，所以平面，又平面，∴，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)題意可得，為中點(diǎn)，設(shè)和相交于點(diǎn)E，連接和，如圖所示：，因?yàn)椋?，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則,，設(shè)平面的法向量，則,則，令，則，故，設(shè)，則，則，由平面，則，所以，則不存在,即不存在使得平面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由，，則，此時(shí)，即為中點(diǎn)，故D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)，，則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為______，=______.【答案】①.②.【解析】【分析】直接利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量模的坐標(biāo)表示可得的值.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，即線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以．故答案為：；.13.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后可得結(jié)果.【詳解】由得，所以，，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：14.已知點(diǎn)，若的夾角為銳角，則的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)的夾角為銳角，可得，且不能同向共線解出即可得出．【詳解】，，的夾角為銳角，，且不能同向共線．解得，．則的取值范圍為．故答案為:．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，計(jì)算：（1）求向量同向的單位向量；（2）若，求的值；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)單位向量定義求向量同向的單位向量；（2）應(yīng)用向量的線性運(yùn)算和垂直的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，所以，與同向的單位向量為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，，又，所以，?16.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，PD⊥平面ABCD，且，．（1）求證：平面PCD；（2）求AP與平面CMB所成角的正弦值；（3）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)為，分別連接，利用中位線性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行的判定即可.（2）以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，用向量的方法求直線與平面所成角的正弦值；（3）求平面的法向量，用向量的方法求二面角的余弦值．【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)為，分別連接，又因?yàn)槭荘A的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，所以，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面PCD.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示則，，設(shè)平面的法向量，則，即，令，則，.設(shè)直線與平面所成的角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.【小問(wèn)3詳解】.設(shè)平面的法向量m=x,y,z，即，令，則..又平面的法向量.設(shè)二面角的大小為，則為銳角，，所以二面角的余弦值為．17.已知橢圓E：的離心率，左焦點(diǎn)，（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的一般式方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求出即可；（2）當(dāng)k不存在時(shí)，弦長(zhǎng)不符，當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式列列方程求出斜率，則直線方程可得.【小問(wèn)1詳解】，，∴，，所以橢圓方程為；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，當(dāng)k不存在時(shí)，通徑（舍）；當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立消去得：，，∴；解得，故直線方程為：.18.若圓與圓相交于P，Q兩點(diǎn)，，且為線段PQ的中點(diǎn)，則稱是的m等距共軛圓.已知點(diǎn)，均在圓上，圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）若圓是圓的8等距共軛圓，設(shè)圓心的軌跡為.（i）求的方程.（ii）已知點(diǎn)，直線l與曲線交于異于點(diǎn)H的E，F(xiàn)兩點(diǎn)，若直線HE與HF的斜率之積為3，試問(wèn)直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（i）；（ii）直線過(guò)定點(diǎn)【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)解得，即可得圓心和半徑，進(jìn)而可得圓的方程；（2）（i）分析可知，可知圓心的軌跡為是以為圓心，半徑的圓；（ii）分類討論直線l的斜率是否存在，根據(jù)斜率公式以及韋達(dá)定理分析求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閳A心在直線上，設(shè)，且點(diǎn)，均在圓上，則，可得，解得，即圓心為，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】（i）因?yàn)?，由題意可得：，可知圓心的軌跡為是以為圓心，半徑的圓，所以的方程為；（ⅱ）若直線l的斜率存在，設(shè)直線l：，，聯(lián)立方程，消去y可得，則，且，因?yàn)?，整理可得，則可得，即或，當(dāng)，直線過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)，直線過(guò)定點(diǎn)，不合題意；可知直線過(guò)定點(diǎn)；若直線l的斜率不存在，設(shè)，則，即，且在圓上，則，即，解得，不合題意；綜上所述：直線過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類型及解法1.動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為，由題設(shè)條件將b用k表示為，得，故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)；2.動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題．解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點(diǎn)．19.已知拋物線，過(guò)焦點(diǎn)F的動(dòng)直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M．（1）當(dāng)直線l的傾斜角為時(shí)，，求拋物線G的方程：（2）對(duì)于（1）問(wèn)中的拋物線G，若點(diǎn)，求證：為定值，并求出該定值．【答案