2025人教版數(shù)學(xué)八年級下冊 第17章 勾股定理 單元培優(yōu)題型訓(xùn)練（學(xué)生版+解析版）

第十七章勾股定理單元重難點題型歸納與訓(xùn)練

題型歸納

一.作輔助線構(gòu)造直角三角形求線段長度

二.利用勾股定理的幾何意義求圖形面積

三.利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）

定理的逆定理

四.方程思想在勾股定理中的運用\1-----1十.勾股定理與全等三角形的綜合

五.以弦圖為背景的問題—J—勾股定理與找規(guī)律問題

六.勾股定理與折疊問題1十二.勾股定理與新定義問題

題型講解

一.作輔助線構(gòu)造直角三角形求線段長度

【題型解讀】通過合理地作輔助線構(gòu)造直角三角形，再結(jié)合直角三角形的各種性質(zhì)（勾股定

理等），就能有效地解決求線段長度的問題，關(guān)鍵是要根據(jù)題目所給的圖形和條件特點，

巧妙地選擇作輔助線的方式.

1.在三角形中作高構(gòu)造直角三角形：當(dāng)已知三角形的一些邊和角的信息，但所求線段在非

直角三角形中時，常通過向某條邊作垂線（即作高）來構(gòu)造直角三角形.這樣就可以利用

直角三角形的相關(guān)性質(zhì)（勾股定理等）來求解線段長度.

2.割補四邊形作輔助線構(gòu)造直角三角形：對于四邊形（如梯形、平行四邊形等），如果要

求其中某些線段的長度，可通過連接對角線、作高、平移某條邊、同時往外延長邊等方

式來構(gòu)造出直角三角形..

例1如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CE是斜邊A8上的高，角平分線8。交CE于點

M.（1）求證：△COM是等腰三角形；（2）若A8=10,AC=8,求CM的長度.

c

例2如圖，在四邊形ABC。中，NA=60°,ZB=ZD=90°,BC=6,CD=9,則AB=.

對應(yīng)練習(xí):

1.如圖，四邊形ABC。中/A=60°,NB=ND=90：AD=8,AB=1,貝U8C+C。等于

C.4V3D.3A/3

2.如圖，ZkABC中，AB=4,BC=6,8。是△ABC的角平分線，Z)E_LA8于點E,AFLBC

于點R若DE=2,則AP的長為

3.如圖，四邊形ABC。中，ZABC=ZADC=60°,ZBAD>90°,ACA.BC,若AB=2,

AD=V2,則BD的長為

4.如圖，已知/B=/C=/￡>=/E=90°,且AB=CZ)=3,8c=4,DE=EF=2,則A,F

兩點間的距離是(

【解法提煉】

①利用等腰三角形的性質(zhì)作高：等腰三角形三線合一

②利用角平分線的性質(zhì)作高：角平分線上的點到角的兩邊距離相等

③利用特殊角的性質(zhì)作輔助線：30°所對的直角邊是斜邊的一半；含45。的直角三角形是

等腰直角三角形；120°可分割為30°與90°等

④利用平移的性質(zhì)作輔助線：平移前后圖形的形狀、大小不變

⑤當(dāng)作了直角三角形斜邊上的高時，可用等面積法求斜邊上高的長

二.利用勾股定理的幾何意義求圖形面積

【題型解讀】勾股定理的幾何意義是以直角三角形兩直角邊為邊長的兩個小正方形的面積的

和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積.

在此基礎(chǔ)上，命題中會設(shè)計許多變式圖形：

1.將正方形改為等邊三角形、半圓；

2.會將斜邊或直角邊上的圖形翻折，構(gòu)造重疊圖形，求陰影部分的面積；

3.會設(shè)計組合圖形，如勾股樹等；可以先利用勾股定理的幾何意義確定一些關(guān)鍵邊長對應(yīng)的

面積關(guān)系，再去求整個圖形的面積，或找規(guī)律.

此類問題考察勾股定理的幾何意義及數(shù)形結(jié)合思想方法，是考試熱點問題.

例1如圖，在此△A8C中，ZC=90°,AC=2,BC=3,以三角形各邊為直徑作半圓，其

中兩半圓交48于點陰影部分面積分別記作Si和S2,則Si,S2之間應(yīng)滿足的等式

是

c

例2如圖是勾股樹衍生圖案，它由若干個正方形和直角三角形構(gòu)成，Si,Si,S3,S4分別表

示其對應(yīng)正方形的面積，若已知上方左右兩端的兩個正方形的面積分別是mb,則S1-

S2+S3-S4的值為.（用含。，6的代數(shù)式表示）

1.如圖，直角三角形ABC中，NC=90°,分別以A3、AC.為直徑向上作半圓.若2C

=2AC=6,則圖中陰影部分的面積為（）

2.如圖1,以直角三角形的各邊分別向外作正方形，再把較小的兩個正方形按圖2的方式放

置在大正方形內(nèi)，己知四邊形C￡>￡G的面積為4,則圖中陰影部分面積為.

3.如圖，以用/XABC的各邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，已知點E在線段。尸上,

BC=1,AC=2,記面積為Si,2XBOE面積為S2,貝US1+S2的值為

F

E

4.如圖①，直角三角形的兩個銳角分別是40°和50°,其三邊上分別有一個正方形.執(zhí)行

下面的操作：由兩個小正方形向外分別作銳角為40。和50°的直角三角形，再分別以所

得到的直角三角形的直角邊為邊長作正方形.圖②是1次操作后的圖形.圖③是重復(fù)上

述步驟若干次后得到的圖形，人們把它稱為“畢達(dá)哥拉斯樹”.若圖①中的直角三角形

斜邊長為3,則10次操作后圖形中所有正方形的面積和為.

【解法提煉】

①變式圖形結(jié)論一致：以直角三角形兩直角邊為邊長的兩個小正三角形（半圓）的面積的和,

等于以斜邊為邊長的大正三角形（半圓）的面積.

②將斜邊上的半圓翻折后所構(gòu)成的陰影部分面積等于直角三角形的面積

②勾股樹中，每長出新一層的正方形面積之和都相等，都等于上一層的正方形面之和，也都

等于最下面的正方形的面積.

三.利用求兩條線段的平方和(差)

【題型解讀】利用勾股定理求兩條線段的平方和或平方差，?？冀獯痤}或證明題.常用思路:

1.在直角三角形中利用勾股定理變形：々2+〃=，可變形為層=/一房；

2.若兩條線段不在已有的直角三角形內(nèi)，那么可以嘗試通過作輔助線的方式構(gòu)造出合適的直

角三角形，使這兩條線段成為該直角三角形的邊(可以是兩條直角邊，或者一條直角邊

與斜邊)，然后運用勾股定理計算它們的平方和.

3.若兩條線段不在已有的直角三角形內(nèi)，還可利用三角形的性質(zhì)、構(gòu)造全等三角形等，通過

等量代換線段進(jìn)行證明.

例1如圖，在△ABC中，AB^AC,于點Z),/CBE=45°,BE分別交AC,AD

于點E、F.

(1)如圖1,若A8=13,BC=10,求AF的長度；

(2)如圖2,若求證：BF2+EF2^AE1.

對應(yīng)練習(xí)：

1.如圖，CE是△ABC的角平分線，過點E作EF〃BC,分別交AC及△ABC的外角NACO

的平分線于點M,F.若CM=3,則CE?+c產(chǎn)的值為()

BCD

A.36B.9C.6D.18

2.如圖，在△ABC和△ABO中AB=AC=AD,AC.LAD,AE_L5c于點E,AE的反向延長

線與交于點R連結(jié)CO,則線段5RDF,CO三者之間的關(guān)系為（）

c

A.BF-DF=CDB.BF+DF=CD

C.BF2+DF2=CD1D.2BF-2DF=CD

3.如圖，四邊形ABC。中，AC-LBD,A￡>=3,BC=5,則452+052=______.

B

4.如圖，在放ZkABC中，已知NA=90°,。是斜邊8c的中點,OE_L8C交AB于點E,連

接CE.

(1)求證：B評-AE?=AC2；

(2)若AC=6,BD=5,求AE的長.

A

BDC

【解法提煉】

①構(gòu)造直角三角形證明；

②通過線段的等量代換進(jìn)行證明，如：

等腰三角形的性質(zhì)：等角對等邊；

角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角的兩邊距離相等；

線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等;

全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等.

四.方程思想在勾股定理中的運用

【題型解讀】方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是建立數(shù)學(xué)模型的工具，是溝通已知和未

知的橋梁.從問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中的已知量和未知量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)符號

（主要是等式）表示出來，通過建立方程（組）來求解未知量，從而解決問題.這種思想

的核心是把未知量當(dāng)作已知量來對待，利用已知條件建立等式關(guān)系.方程思想在勾股定理

及其實際應(yīng)用中都有重要作用，是中考?？碱}型.

例1如圖，在中，ZACB=90°，AB=lQcm,AC^6cm,動點尸從點B出發(fā)，沿

例2如圖，在放ZsABC中，ZACB=90°,過點C作CZ）_LAB,垂足為D已知AO=2,

BD=4.設(shè)CD長為尤.

（1）根據(jù)勾股定理，得4:2=,Bd=.（都用含x的代數(shù)式表示）

（2）求x的值.

對應(yīng)練習(xí)：

1.《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在《勾股》章中記載了一道“折竹抵地”

問題.對這個問題稍作改編，如圖，在△ABC中，ZACB=90°,BC+AC=7,4B=5,

AOBC,求AC的長.則AC的長為

A

CB

2.如圖，在△ABC中，A5=24,AC=13,。是線段BC上一點，連接A。，AD=20,CD=

21,則5。的長為.

A「_______

【解法提煉】

①合理設(shè)元：根據(jù)題目條件，設(shè)出合適的未知數(shù).如果是直接求直角三角形的邊長，通常設(shè)

其中一條邊為未知數(shù)，再根據(jù)邊與邊之間的關(guān)系（如和、差、倍數(shù)關(guān)系等）表示其他邊.

②準(zhǔn)確找等量關(guān)系列方程：

1.在折疊問題中，抓住折疊前后圖形全等，對應(yīng)邊相等的性質(zhì).先求出折疊后新形成的直角

|三角形的一些邊長（利用己知條件和勾股定理），再設(shè)未知數(shù)表示相關(guān)邊長，在新的直

角三角形中根據(jù)勾股定理列方程.

2.在多個直角三角形關(guān)聯(lián)問題中，利用公共邊建立等量關(guān)系.在不同的直角三角形中分別用

勾股定理表示出公共邊的平方，從而得到方程.

③解方程與檢驗：對于列出的方程，要熟練運用解方程的方法求解.在求解過程中，可能會

得到多個解，需要根據(jù)實際情況（邊長不能為負(fù)等）進(jìn)行取舍.

五.以弦圖為背景的問題

【題型解讀】趙爽弦圖是中國古代數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理而構(gòu)造的幾何圖形.它通過圖

形的割補，巧妙地利用面積關(guān)系，將四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個

大正方形，從而得出直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方這一重要結(jié)論，為

勾股定理提供了一種簡潔而直觀的證明方法，這也是中國古代數(shù)學(xué)在幾何領(lǐng)域的一項杰

出成就.趙爽弦圖充分體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)中“形數(shù)統(tǒng)一”的思想.它以幾何圖形的方

式直觀地表達(dá)了代數(shù)關(guān)系，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來，為解決數(shù)學(xué)問題提供了一種新的思

路和方法.趙爽弦圖作為一種經(jīng)典的數(shù)學(xué)文化素材，被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生了

解不同文化背景下的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程，拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，培養(yǎng)了學(xué)生的跨文化交流

意識和數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此以趙爽弦圖為背景的數(shù)學(xué)文化類題型是近年的熱點題型.

例1【知識鏈接】在求解幾何圖形的面積時，通常會利用割、補等手段.所謂“割”，就

是將原圖形分為若干個常見的規(guī)則圖形（如正方形、直角三角形等），分割后各個圖形

的面積之和等于原圖形的面積.

縱觀歷史，我國著名的數(shù)學(xué)家趙爽在《勾股圓方圖注》中繪制了一張弦圖（見圖1）,并

將大正方形中四個完全相同的直角三角形命名為朱實，中間的小正方形命名為黃實.上

述規(guī)則圖形無縫隙、無重疊.

【問題探究】

一張趙爽弦圖如圖2所示.若四個直角三角形的兩條直角邊都分別為。和〃（即AF=BG

=CH=DE=a,AG=BH=CE=DF=b）,且

（1）請你用含。、6的代數(shù)式表示出正方形EPGH的面積S,并求出當(dāng)。=5,b=12時，

S的值.

（2）現(xiàn)將趙爽弦圖中的四個完全相同的直角三角形分別沿著正方形ABC。的四條邊向外

翻折，得到如圖3所示的大正方形〃KL、記正方形EFGH的面積為Si,正方形的

面積為S2,正方形/JKL的面積為S3.請問是否存在常數(shù)左，使得Si+S3=/S2成立？若存

在，請求出人的值；若不存在，請說明理由.

對應(yīng)練習(xí):

1.圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的.在

□△ABC中，若直角邊AC=6,BC=5,將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向

外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個風(fēng)車的外圍周長（圖乙中的實線）

是（）

2.如圖1是著名的趙爽弦圖，它是由四個全等的直角三角形拼成，每個直角三角形的兩直角

邊的長分別為。和6,斜邊長為。

(1)如圖1請你用它驗證勾股定理.

(2)如圖2四邊形A8CD中AC_LBD于點O,AB=6,BC=5,CD=2,請直接寫出A。

圖1圖2

3.著名的趙爽弦圖(如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a,較小的直角邊長

都為b,斜邊長部為c),大正方形的面積可以表示為也可以表示為4x1a&+(a-b)2,

由推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a,b,斜邊長為c,則。2+/

—c1.

(1)圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理；

(2)如圖③，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C,河邊原有兩個取水點A、B,AB

=AC,由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新

建一個取水點H(A、H、B在同一條直線上)，并新修一條路CH,且CH1AB.測得

5=0.8千米，82=0.4千米，求新路CH比原路CA少多少千米？

(3)已知△ABC中，AC=10,BC=17,AB=21,求△ABC的面積.

4.中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明，在世界數(shù)學(xué)史上具有獨特的貢獻(xiàn)和地位，

體現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究中的繼承和發(fā)展.現(xiàn)用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”.Rt

△ABC中，ZACB=90°若AC=b,BC=a,請你利用這個圖形解決下列問題：

(1)試說明：a2+i>2=c2；

(2)如果大正方形的面積是15,小正方形的面積是4,求(a+b)2的值.

【解法提煉】

①熟練掌握勾股定理的各種證明方法;

②熟練運用數(shù)形結(jié)合思想，以形證數(shù).

六.勾股定理與折疊問題

【題型解讀】在圖形折疊問題中，折疊前后的圖形關(guān)于折痕對稱，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.當(dāng)

折疊后的圖形中有直角三角形時，經(jīng)常利用勾股定理建立方程求解邊長.此類問題考察了

學(xué)生的方程思想，是中考?？碱}型.

例1如圖，長方形A8OC中點A坐標(biāo)為(4,5),點E是x軸上一動點，連接AE,把

沿AE折疊，當(dāng)點8落在y軸上時點E的坐標(biāo)為.

例2在長方形紙片A8CD中，46=6,4。=10,點E是邊CD上一點，將△AED沿AE所

在直線折疊，使點。落在點尸處.

(1)如圖1,當(dāng)點P落在對角線AC上時，求CP的長;

(2)如圖2,當(dāng)點尸落在邊BC上時，求CE的長；

(3)如圖3,當(dāng)點E為。的中點，且AF的延長線交BC于點G時，求CG的長.

DECDE

XBAB

圖1圖2

對應(yīng)練習(xí)：

L把正方形ABC。沿對邊中點所在的直線對折后展開，折痕為MN,再過點2折疊紙片，使

點A落在上的點尸處，折痕為8E,若長為2,則EN的長為.

Az--------------------->^15

2.如圖，將邊長為9的正方形紙片ABCD沿折疊，使點A落在邊上A'點處，點

。的對應(yīng)點為點。'，若A'8=3,則。/=.

2覘儀

3.如圖，△42。和△BCD都是等邊三角形紙片，AB=2,將△42。紙片翻折，使點A落在

CD的中點￡處，折痕為FG,點只G分別在邊AB、上.

(1)求證：△FBE是直角三角形；

(2)求8尸的長.

4.如圖，長方形紙片ABC。，AD//BC,將長方形紙片折疊，使點。與點B重合，點C落

在點。處，折痕為EE

(1)求證：BE=BF.

(2)若NABE=18°,求/2FE的度數(shù).

(3)若AB=4,AD=8,求AE的長.

5.如圖，在長方形中，AB=12,AD=13,點E為8C上一點，將△ABE沿AE折疊,

使點8落在長方形內(nèi)點/處，且以'=5.

(1)試說明：△AOF是直角三角形；

(2)點。、F、E是否在一條直線上，請說明理由；

(3)求EC的長.

6.如圖所示，四邊形0nBe是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的長方形紙片，。為原點，點A

在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，0A=10,0C=8,在0C邊上取一點。，

將紙片沿翻折，使點。落在BC邊上的點E處，求：

(1)線段AE和8E的長度；

(2)兩點E和。的坐標(biāo).

【解法提煉】

①在折疊問題中，折疊前后圖形成軸對稱，對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等；

②折疊后的圖形中，直角三角形可能并不總是顯而易見的，需要仔細(xì)分析折疊前后的幾何關(guān)

系，才能確定哪些部分形成了直角三角形；

③折疊問題常常使用方程思想，列勾股定理方程解決.

7.勾股定理與網(wǎng)格問題

【題型解讀】網(wǎng)格問題是勾股定理應(yīng)用中的?？碱}型.

1.利用勾股定理在網(wǎng)格中構(gòu)造直角三角形求斜線段的長度，從而求出三角形的面積、周長、

高等；

2.在網(wǎng)格中按題目要求設(shè)計三角形，邊長為有理數(shù)/無理數(shù)，考察了學(xué)生對長為無理數(shù)的線段

的構(gòu)造，鍛煉了學(xué)生的作圖能力.

例1如圖，在4X4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，若

BD是AABC的高，則BD的長為()

A.2B.V3C.3D.1V3

例2樂樂同學(xué)對方格紙中的數(shù)學(xué)問題很感興趣，請你一起來探究吧.

(1)圖中每個小正方形方格的邊長為1,請你在方格紙上按照如下要求設(shè)計直角三角形,

直角三角形的三個頂點都在格點上：

①使它的三邊中有一邊的邊長不是有理數(shù)

②使它的三邊中有兩邊邊長不是有理數(shù)

③使它的三邊邊長都不是有理數(shù)

①②③

（2）樂樂認(rèn)為要計算圖中梯形ABC。的面積可以利用“算兩次”的思想，第一種方法是

直接求梯形A8CD的面積，第二種方法是利用割或補的方法，請你寫出兩種方法的過程

（割或補的方法只寫一種）.

對應(yīng)練習(xí):

1.（1）如圖b在如下6X6的正方形網(wǎng)格中（每個小正方形邊長均為1）,畫出一個面積

為17的正方形；

（2）在如，2所示的數(shù)軸上找到表示-代的點A（保留畫圖痕跡）.

2.請你在方格紙上按照要求設(shè)計直角三角形:

圖1圖2圖3

（1）使它的三邊中有一邊邊長為無理數(shù)；

（2）使它的三邊中有兩邊邊長是無理數(shù)；

（3）使它的三邊邊長都是無理數(shù).

3.在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中.每個小正方形的頂點稱為格點.以頂點都是格點

的正方形力BCD的邊為斜邊，向外作四個全等的直角三角形，使四個直角頂點E,F,G,H都是

格點，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點弦圖.例如，在圖1所示的格

點弦圖中，正方形力BCD的邊長為岳，此時正方形EFGH的面積為52.問：當(dāng)格點弦圖中

的正方形28CD的邊長為每時，正方形EFGH的面積的所有可能值是（不包括52）.

【解法提煉】

①利用勾股定理在網(wǎng)格中畫出長為無理數(shù)的線段時，通常是把線段放在與網(wǎng)格構(gòu)成的直角三

角形中，利用勾股定理求其長度；

②在網(wǎng)格中求格點三角形的高，常用的方法是利用網(wǎng)格求面積，再用面積法求高，即等面積

法.

八.勾股定理與最短距離問題

【題型解讀】在立體圖形中，勾股定理常用于求解幾何體表面上兩點之間的最短距離.這是

因為立體幾何圖形中的路徑情況較為復(fù)雜，而將其展開后利用平面上的勾股定理可以有

效地解決最短距離問題.此類問題綜合了立體圖形和平面圖形的知識，能夠考查學(xué)生的空

間想象能力和對幾何定理的應(yīng)用能力，考察了轉(zhuǎn)化思想，是常考題型.

例1如圖，圓柱形玻璃杯高為14c%,底面周長為32cm,在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點B處有

一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從

外壁A處到內(nèi)壁2處的最短距離為（）cm（杯壁厚度不計）.

B蜂蜜

B.21cmC.20cmD.27cm

例2如圖所示是一塊長，寬，高分別是6cm,5cm和3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從長

方體木塊的頂點A處，沿著長方體的表面到長方體上和A相對的頂點8處吃食物，那么

它需要爬行的最短路徑的長度為.

對應(yīng)練習(xí)：

1.如圖是一個底面為等邊三角形的三棱鏡，在三棱鏡的側(cè)面上，從頂點A到頂點A'鑲有

一圈金屬絲，已知此三棱鏡的高為8c7”，底面邊長為50〃，則這圈金屬絲的長度至少

2.我國古代有這樣一個數(shù)學(xué)問題，其題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，該圓柱

的高為15尺，底面周長為4尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點

B處，則葛藤的最短長度是（）

A.25尺B.歷1尺C.5g尺D.5V^尺

3.如圖，在一個長為20加，寬為16根的矩形草地上放著一根長方體木塊，已知該木塊的較

長邊和場地寬AD平行，橫截面是邊長為2羽的正方形，一只螞蟻從點A處爬過木塊到達(dá)點

C處需要走的最短路程是（）m.

A.8V13B.4V41C.2V185D.2V233

4.如圖，長方體的長、寬、高分別為3c7九，Icwt,6cm.如果一只小蟲從點A開始爬行，經(jīng)

過兩個側(cè)面爬行到另一條側(cè)棱的中點2處，那么這只小蟲所爬行的最短路程為（）

A.5cmB.4小cmC.6cmD.1cm

5.圖①所示的正方體木塊棱長為4c",沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，

得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距

離為cm.

B

圖①

【解法提煉】

①將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，再使用勾股定理求最短路徑長;

②當(dāng)路徑經(jīng)過幾何體的表面和內(nèi)側(cè)時，還考察將軍飲馬問題模型;

③有時展開路徑的不同，得到的路徑長度不一樣，學(xué)生應(yīng)全面考慮所有情況，分類討論，最

后將不同情況的結(jié)果進(jìn)行比較，得出最短的路徑的長度.

九.勾股數(shù)相關(guān)問題

【題型解讀】在幾何問題中，當(dāng)判斷出三角形的三邊是勾股數(shù)時，可以直接利用勾股數(shù)的性

質(zhì)確定三角形是直角三角形，并且可以快速得到邊長之間的關(guān)系.在實際應(yīng)用中，要先根

據(jù)實際情況構(gòu)建直角三角形模型，然后看邊長是否符合勾股數(shù)的特征，如果符合，就可

以簡化計算過程.因此，掌握常見的勾股數(shù)及勾股數(shù)的性質(zhì)非常重要，是?？碱}型，是大

題中的常用巧妙計算工具.

L勾股數(shù)概念：滿足+〃的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

2.常見勾股數(shù)：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41；10,

24,26等等.

3.勾股數(shù)拓展性質(zhì)：一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)左(左為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)

同樣是勾股數(shù).

例1已知：整式A=(次+1)2-(?2-1)2,整式B>0.

嘗試：化簡整式A；

發(fā)現(xiàn)：A=#,求整式B；

聯(lián)想：由上可知，B2=(n2+l)2-(n2-1)2,BPS2+(n2-1)2=(n2+l)2,當(dāng)”>1

時，B,"2-1,居+1為直角三角形的三邊長，如圖，填寫下表中8的值：

直角三角形三邊/-1B/+1

勾股數(shù)組I/17

勾股數(shù)組n35

對應(yīng)練習(xí)：

1.有六根細(xì)木棒它們的長度分別是3,4,6,8,10,12(單位：cm),從中取出三根首尾

順次連接搭成一個直角三角形，則這三根木棒的長度分別為()

A.3,4,8B.4,6,12C.6,8,10D.3,8,12

2.觀察下列勾股數(shù)組：3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41；-a.b、c.你能發(fā)

現(xiàn)什么規(guī)律，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，請寫出：

(1)當(dāng)a=19時，則b、c的值是多少？

(2)當(dāng)a—2n+l時,求b、c的值.你能證明所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎.

3.觀察下列勾股數(shù)

第一組：3=2X1+1,4=2X1X(1+1),5=2X1X(1+1)+1

第二組：5=2X2+1,12=2X2X(2+1),13=2X2X(2+1)+1

第三組：7=2X3+1,24=2X3X(3+1),25=2X3X(3+1)+1

第四組：9=2X4+1,40=2X4X(4+1),41=2X4X(4+1)+1

…觀察以上各組勾股數(shù)組成特點，第7組勾股數(shù)是(只填數(shù)，不填等式)

【解法提煉】

①勾股數(shù)的性質(zhì)：一組勾股數(shù)，都擴(kuò)大相同倍數(shù)左(左為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)

同樣是勾股數(shù)；

②勾股數(shù)具有一定的規(guī)律，需要結(jié)合題目條件通過觀察找出規(guī)律求解；

③在尋找勾股數(shù)時，如果沒有注意等條件限制，可能會得到不符合要求的結(jié)果.另外，在應(yīng)

用勾股數(shù)時，沒有正確判斷是否是直角三角形就盲目使用勾股數(shù)的性質(zhì)，也會導(dǎo)致解題

錯誤.

十.勾股定理與全等三角形的綜合

【題型解讀】勾股定理主要用于直角三角形中邊的關(guān)系求解，全等三角形則側(cè)重于三角形形

狀和大小完全相同的判定與性質(zhì)應(yīng)用.當(dāng)這兩個知識點綜合在一起時，通常會涉及到復(fù)雜

的幾何圖形，往往需要通過構(gòu)造全等三角形，同時結(jié)合勾股定理求出相關(guān)線段的長度來

完成解答.勾股定理與全等三角形的綜合問題是中考?？碱}型.

例1如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連接B4,尸8,PC,以BP為邊作/尸8。=60°,

S.BQ=BP,連接CQ.

(1)觀察并猜想AP與C。之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若NAPB=150°,PB=8,E4=6,連接PQ,求PC的長.

例2如圖，四邊形A2CD的對角線交于點E,BE=ED,ZBAC=90°,ZACD^2ZACB.若

對應(yīng)練習(xí)：

1.如圖，在△力中，4B=4。=5,BC=6,線段AB,4C的垂直平分線交于點。，貝|04的

長度為________________.

2.如圖，四邊形ABC。中，對角線點F為CD上一點，連接交于點E,

AF±AB,DE=DF,ZBAG=ZABC=45°,BC+4G=20/，AE=2ER貝UAF=()

17V2

A.12B.8V2C.10

3.如圖，在Rf^CDE中,/DCE=90°,分別以CD、DE為邊在放外部作正方形

ABCD和正方形DEFG,連接AG,若S^ADG^=V10,S正方形A3CD=10,則EF的值為.

CE

4.在RfAABC中，NC=90°,點M為邊AB的中點，點D在邊3c上.

(1)如圖1,若AC=6,8C=8,MDLAB,求M。的長；

(2)如圖2,過點M作0與邊AC交于點E,試探究：線段AE,DE,三者

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【解法提煉】

①利用全等三角形性質(zhì)創(chuàng)造勾股定理應(yīng)用條件：

首先觀察圖形，尋找全等三角形的條件(如SSS、SAS.ASA、A4S、HL).一旦證明了三角

形全等，就可以得到對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的結(jié)論，這些結(jié)論可以幫助我們確定直角三角

形的邊或角的信息.就可以進(jìn)行線段的等量代換，再利用勾股定理進(jìn)行計算.

②通過勾股定理獲取邊的信息輔助全等三角形證明：

在一些情況下，需要先利用勾股定理求出某些邊的長度，以此來補充全等三角形證明的條件.

比如，己知兩個直角三角形有一條公共斜邊，且另外兩條邊的長度關(guān)系已知，通過勾股定理

求出各自另一條直角邊的長度，從而證明兩個三角形全等.

③綜合利用兩者解決復(fù)雜問題：

在求解邊長、角度或面積等問題時，要靈活轉(zhuǎn)換思路.如果是求邊長，可能先通過全等得到

部分邊相等，再在直角三角形中用勾股定理求出其他邊；如果是求角度，先利用全等得到角

相等，再結(jié)合直角三角形內(nèi)角的性質(zhì)（如兩銳角互余）求解；對于求面積，可能先通過全等

轉(zhuǎn)化圖形形狀，再利用勾股定理求出關(guān)鍵邊長來計算面積.

十一.勾股定理與找規(guī)律問題

【題型解讀】勾股定理中的找規(guī)律問題是一種綜合性較強(qiáng)的題型.它主要是在勾股定理的基

礎(chǔ)上，通過一系列給定的直角三角形邊長數(shù)據(jù)、幾何圖形排列等內(nèi)容，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中

隱藏的規(guī)律.這種題型不僅考查學(xué)生對勾股定理本身的理解和運用，還考驗他們觀察、歸

納和推理的能力.

例1如圖1,在?△ABC中，ZACB=90°,AC=1,BC=2,將△ABC放置在平面直角坐

標(biāo)系中，使點A與原點重合，點C在x軸正半軸上.將AABC按如圖2方式順時針滾動

（無滑動），則滾動2024次后，點8的橫坐標(biāo)為（）

A.2024+6746B.2023+673有

C.2025+674逐D.2022+673V5

對應(yīng)練習(xí)：

L如圖，直角二角形的三邊上分別有一個正方形，其中最大正方形邊長為1.執(zhí)行下面的操

作：由兩個小正方形向外分別作直角三角形，再分別以所得到的直角三角形的直角邊為

邊長作正方形.重復(fù)上述操作2024次，則此時形成的圖形中所有正方形的面積之和

為.

2.如圖，△OA1A2為等腰直角三角形，04=1,以斜邊OA2為直角邊作等腰放△OAM3,

再以043為直角邊作等腰RfZ\OA3A4,…，按此規(guī)律作下去便得到了一個海螺圖案，則

的長度為.（用含w的式子表示）

3.在△ABC中，ZC=90°,ZA,/B,NC的對邊分別為a,b,c,設(shè)△ABC的面積為s,

s

周長為/,探索］與a+b-c的值之間的關(guān)系.

（1）填表:

S

abca+b-c—

l

345-------------

51213--------------

81517--------------

（2）分析后猜想：若設(shè)a+6-c=〃？（機(jī)為正實數(shù)），貝=（用〃7表示）；

（3）請寫出（2）中結(jié)論的推導(dǎo)過程.

4.在平面直角坐標(biāo)系中,將若干個邊長為2個單位長度的等邊三角形按如圖所示的規(guī)律擺放,

點P從原點。出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著等邊三角形的邊

。4—442-4243—4344—444…的路線運動，設(shè)第九秒運動到點B（"為正整數(shù)），則點

「2023的坐標(biāo)是（）

【解法提煉】勾股定理找規(guī)律問題解題步驟:

①觀察分析數(shù)據(jù)或圖形特點：

1.對于邊長規(guī)律問題，先觀察每組勾股數(shù)的大小關(guān)系、差值、倍數(shù)等特點；

2.對于幾何圖形規(guī)律問題，要仔細(xì)觀察圖形的拼接方式、邊長變化、角度變化等.比如在拼

接的正方形和直角三角形組成的圖形中，注意每個新添加的圖形對整體邊長或面積的影

響，是按固定比例增加，還是有其他的數(shù)量關(guān)系；

②嘗試建立數(shù)學(xué)模型或表達(dá)式：根據(jù)觀察到的規(guī)律，嘗試用代數(shù)式來表示.在幾何圖形規(guī)律

問題中，建立邊長、面積等與圖形序號"（表示第n個圖形或第〃層圖形等）的數(shù)量關(guān)系；

②驗證規(guī)律的正確性：對于找到的規(guī)律，通過代入更多的數(shù)據(jù)、圖形序號等來驗證其是否正

確.

易錯點分析：

①觀察不全面：只看到部分?jǐn)?shù)據(jù)或圖形的特點，忽略了其他重要信息，導(dǎo)致找到的規(guī)律不完

整或者錯誤.例如，在觀察勾股數(shù)時，只關(guān)注了數(shù)字的遞增，而沒有考慮到三邊之間的運

算關(guān)系.

②錯誤建立表達(dá)式：在建立數(shù)學(xué)表達(dá)式時，可能由于對規(guī)律的理解不準(zhǔn)確，導(dǎo)致表達(dá)式錯誤.

比如，在幾何圖形規(guī)律中，錯誤地判斷了邊長與圖形序號的函數(shù)關(guān)系，使得計算結(jié)果不

符合實際圖形.

③驗證不嚴(yán)謹(jǐn)：驗證規(guī)律時，只是簡單地代入了少量數(shù)據(jù)，沒有進(jìn)行全面的驗證.當(dāng)規(guī)律比

較復(fù)雜時，少量數(shù)據(jù)的驗證可能會遺漏一些特殊情況，導(dǎo)致錯誤的規(guī)律沒有被發(fā)現(xiàn).

十二.勾股定理與新定義問題

【題型解讀】勾股定理中的新定義問題是一種創(chuàng)新型題型.它是在勾股定理的基礎(chǔ)上，引入

新的概念、規(guī)則或運算方式，要求學(xué)生運用勾股定理以及對新定義的理解來解決問題.

這種題型能夠很好地考查學(xué)生的閱讀理解能力、知識遷移能力和創(chuàng)新思維.常見題型有:

新定義幾何概念、新定義運算或關(guān)系、新定義動態(tài)幾何情境，比如，在平面直角坐標(biāo)系

中定義一種動態(tài)的“勾股點”.勾股定理中的新定義問題是考試命題熱點.

例1如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么我們稱這個三角形為“美麗三角

形”.在?△ABC中，ZC=90°,AC=4V3,若△ABC是“美麗三角形”，則BC的

長

對應(yīng)練習(xí)：

1.定義：我們把三角形某邊上中線的長度與這邊中點到高的距離的比值稱為三角形某邊的

“中高偏度值”.如圖，在R/TXABC中，ZACB=90°,AC=8,BC=6,則△ABC中

AB邊的“中高偏度值”為()

1213

C.——D.—

55

2.對角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的“垂美"四邊形ABCD,

對角線AC,BD交于點O.

(1)若A0=2,B0=3,C0=4,D0=5,請求出B&CD2,ZM2的值；

(2)若AB=6,C￡)=10,求BC2+AZ)2的值；

(3)請根據(jù)(1)(2)題中的信息，寫出關(guān)于“垂美”四邊形關(guān)于邊的一條結(jié)論.

3.若三角形有一邊上的中線等于這條邊的長，則稱這個三角形為“等中三角形”.

(1)如圖，在△ABC中，AB=AC=2V5,BC=4,求證：ZvlBC是"等中三角形”；

(2)在放ZXABC中，/C=90°,AC=2值，若△ABC是“等中三角形”，求BC的長.

4.定義:在△ABC中，若BC=a,AC=b,AB=c,a,b、c滿足收+/二廿，則稱這個三角

形為“類勾股三角形”.請根據(jù)以上定義解決下列問題:

（1）如圖1所示，若等腰三角形ABC是“類勾股三角形"，AB=BC,AC>AB,請求

ZA的度數(shù).

（2）如圖2所示，在△ABC中，且NONA,求證：△ABC為“類勾股

三角形”.志明同學(xué)想到可以在AB上找一點D使得AD=CD,再作CEA.BD,請你幫

助志明完成證明過程.

5.方格紙中每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點連線為邊的多邊形稱為“格點

多邊形

（1）在圖1中確定格點并畫出一個以A、B、C、。為頂點的四邊形，使其為軸對稱圖形

（一種情況即可）；

（2）直接寫出圖2中4EG8的面積是；

（3）在圖3中畫一個格點正方形，使其面積等于17.

【解法提煉】

①仔細(xì)研讀新定義：遇到新定義問題，首先要認(rèn)真閱讀并理解新定義的內(nèi)容.明確新定義所

涉及的對象（是幾何圖形、運算還是其他概念）、條件（滿足什么要求才能符合新定義）

和結(jié)論（根據(jù)新定義可以得到什么結(jié)果）.例如，對于“勾股四邊形”的定義，要抓住

對角線互相垂直這個關(guān)鍵條件，以及聯(lián)想到與四邊形面積計算相關(guān)的直角三角形.

②將新定義與勾股定理結(jié)合：在理解新定義后，思考如何將其與勾股定理聯(lián)系起來.如果是

新定義幾何圖形，看看圖形中的直角三角形（可能是隱含的）與新定義的關(guān)系.如在“勾

股四邊形”中，對角線互相垂直就形成了直角三角形，可利用直角三角形的邊（對角線

的部分線段）和勾股定理來解決面積等問題.對于新定義運算，要根據(jù)勾股定理確定運算

中涉及的邊的關(guān)系，再代入運算.

第十七章勾股定理單元重難點題型歸納與訓(xùn)練

題型歸納

一.作輔助線構(gòu)造直角三角形求線段長度

二.利用勾股定理的幾何意義求圖形面積

三.利用勾股定理求兩條線段的平方和（差）

定理的逆定理

四.方程思想在勾股定理中的運用\1-----1十.勾股定理與全等三角形的綜合

五.以弦圖為背景的問題—J—勾股定理與找規(guī)律問題

六.勾股定理與折疊問題1十二.勾股定理與新定義問題

題型講解

一.作輔助線構(gòu)造直角三角形求線段長度

【題型解讀】通過合理地作輔助線構(gòu)造直角三角形，再結(jié)合直角三角形的各種性質(zhì)（勾股定

理等），就能有效地解決求線段長度的問題，關(guān)鍵是要根據(jù)題目所給的圖形和條件特點，

巧妙地選擇作輔助線的方式.

1.在三角形中作高構(gòu)造直角三角形：當(dāng)已知三角形的一些邊和角的信息，但所求線段在非

直角三角形中時，常通過向某條邊作垂線（即作高）來構(gòu)造直角三角形.這樣就可以利用

直角三角形的相關(guān)性質(zhì)（勾股定理等）來求解線段長度.

2.割補四邊形作輔助線構(gòu)造直角三角形：對于四邊形（如梯形、平行四邊形等），如果要

求其中某些線段的長度，可通過連接對角線、作高、平移某條邊、同時往外延長邊等方

式來構(gòu)造出直角三角形..

例1如圖，在△ABC中，ZACB=90°,CE是斜邊A8上的高，角平分線8。交CE于點

M.

（1）求證：△COM是等腰三角形；

（2）若AB=10,AC=8,求CM的長度.

c

【解答】（1）證明：???3。平分NABC,

：.ZCBD=ZABDf

VZACB=90°,CE上AB,

：.ZCBD+ZCDB=90°,ZABD+ZBME=90°,

'：ZBME=ZCMD,

：.ZABD+ZCMD=90°,

:?/CDB=/CMD,

:?CM=CD,

???△CD”是等腰三角形；

（2）解：作。尸，A3于點尸，如圖所示，

*：ZDCB=90°,平分NA8C,

:,DC=DF,

VZACB=90°,AB=10,AC=8,

BC=7AB2-24c2=V102—82=6,

*：SAABC-SABCD+S/\ADB，

ACBCBCCDABDF

----=----+-----，

222

廠8X66CD10DF

即—=—+----，

222

解得CD=DF=3,

由（1）知：CM=CD,

：.CM=3,

即CM的長度為3.

【小結(jié)】本題考查勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是

明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

例2如圖，在四邊形ABC。中，ZA=60°,ZB=ZD=90°,BC=6,CD=9,貝l]A8=

8A/3_.

【解答】解：過點。作OELAB于點E,CT^LOE于尸,

則有四邊形BC尸E為矩形，BC=EF,BE=CF,

VZA=60°,

A30°,

VZr>=90°,

：.ZCDE=6Q°,ZDCF=30°,

在△CO尸中，

：C￡>=9,

：.DF=1CD=CF=,CD=^,

;EF=BC=6,

921

：.DE=EF-^-DF=6+^=苗，

貝UAE=噌=學(xué)，

v3/

：.AB=AE+BE^學(xué)+竽=8?

故答案為：8V3.

A

【小結(jié)】本題考查了勾股定理的知識以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)，注意掌握在直

角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，難度一般.

對應(yīng)練習(xí)：

1.如圖，四邊形ABC。中NA=60°,/B=/D=90°,AD=8,AB=I,則2C+C￡)等于

()

A.6A/3B.5V3C.4V3D.3百

【解答】解：如圖，延長AB、3c相交于E,

在中，可求得AE?-?！?=4。2,且AE=2A￡),

計算得AE=16,DE=85

于是BE=AE-AB=9,

在中，可求得BC2+BE2=CE2,且CE=2BC,

:.BC=3?CE=6A/3,

于是CD=DE-CE=2y/3,

BC+CD=5V3.

故選：B.

【小結(jié)】本題考查了勾股定理的運用，考查了30。角所對的直角邊是斜邊的一半的性質(zhì)，

本題中構(gòu)建直角△4￡?￡求8E,是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，AABC>AB=4,BC=6,2。是△ABC的角平分線，Z)E_L4B于點E,AF±BC

10

于點「若DE=2,則AF的長為一.

-3-

【解答】解：過點。作OH_LBC于H,

A

VDE±AB,DHLBC,是△ABC的角平分線,

：.DE=DH=2,

SAABD+5△CBD-s△ABC，

111

x4x2+-x6x2=_x6xAF,

222

解得4F=學(xué)，

故答案為：?.

【小結(jié)】此題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積計算，掌握角的平分線上的點到角的

兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，四邊形ABCD中，ZABC=ZADC=60°,ZBAD>9Q°,AC1.BC,若AB=2,

【解答】解：過點A作AELC。于點E