北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊同步訓(xùn)練：平行線的判定和性質(zhì)（10類熱點題型）解析版

第02講平行線的判定和性質(zhì)（10類熱點題型講練）

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的位置關(guān)系;

2.掌握利用同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角判定判定兩條直線平行的條件，并能解決一些問題;

3.掌握平行線的性質(zhì)與判定的綜合運用;

4.體會平行線的性質(zhì)與判定的區(qū)別與聯(lián)系.

思維導(dǎo)圖

平行線的判定和性質(zhì)

同位角、內(nèi)錯角、平行線的定義及表示平行公理及推論平行線的判定方法平行線的性質(zhì)

同旁內(nèi)角的概念

知識點01同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的概念

1.同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角：

填空：⑴如圖，/I和/5,分別在直線AB,CD的上方（同一方）,在直線EF的右側(cè)（同側(cè)）.具有這種

位置關(guān)系的一對角是同位角.

（2）如圖，N3和N5,在直線A3,CD之間,在直線EP的西側(cè).具有這種位置關(guān)系的一對角叫做內(nèi)錯角.

（3）如圖，/3和N6,在直線AB,CDZ（B],在直線跖的圓側(cè).具有這種位置關(guān)系的一對角叫做同旁內(nèi)角.

【總結(jié)】（1）同位角：在被截直線的同一方向，截線的圓側(cè)的一對角.

⑵內(nèi)錯角：在被截直線的內(nèi)側(cè)，截線的兩側(cè)的一對角.

（3）同旁內(nèi)角：在被截直線的內(nèi)側(cè),截線的同側(cè)的一對角.

知識點02平行線的定義及表示

⑴定義：在同一平面內(nèi)內(nèi),不相交的兩條直線.

⑵表示：平行用“2”符號表示，讀作“平行于”.

1.同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系：⑴壬后⑵相交

2.利用直尺和三角尺畫平行線：一“落”、二“靠”、三“移”、四“畫”.

【注意】平行線的畫法四字訣

1.“落”：三角板的一邊落在已知直線上；

2.“靠”：用直尺緊靠三角板的另一邊；

3.“移”：沿直尺移動三角板，直至落在已知直線上的三角板的一邊經(jīng)過已知點；

4.“畫”：沿三角板過已知點的邊畫直線.

知識點03平行公理及推論

⑴平行公理：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

⑵推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即如果c//a,那么b〃c.

【注意】平行公理

⑴“有且只有”強調(diào)直線的存在性和唯一性.

⑵前提條件“經(jīng)過直線外一點”，若點在直線上，不可能有平行線.

知識點04平行線的判定方法

平行線的判定方法1：

⑴文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角想笠，那么這兩條直線平行.簡單說成：同位角

相等,兩直線平行.

⑵幾何語言*

或者/4=/8,N3=/7）,

：.AB//_CD.

平行線的判定方法2：

⑴文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相笠，那么這兩條直線平行.簡單說成：內(nèi)錯角

相等,兩直線平行.

⑵幾何語言：

：/2=/8（或者N3=/5）,

：.AB//_CD.

平行線的判定方法3：

⑴文字表述：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互處，那么這兩條直線平行.簡單說成：同旁內(nèi)

角互補,兩直線平行.

⑵幾何語言：

VZ2+Z5=180°(或者N3+N8=180"),

：.XB//_CD.

平行線的其他判定方法：

⑴在同一平面內(nèi)，平行于同一條直線的兩條直線平行.

(2)在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線壬立.

【總結(jié)】判定兩直線平行的方法

方法一：平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線就是平行線.

方法二：平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.

方法三：同位角相等，兩直線平行.

方法四：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

方法五：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

方法六：同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行.

知識點05平行線的性質(zhì)

⑴文字表達(dá)：

①兩條平行線被第三條直線所截，同位角相篁，內(nèi)錯角相笠，同旁內(nèi)角互補;

②簡單說成：

兩直線平行，同位角相等;

兩直線平行，內(nèi)錯家相等;

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補;

⑵幾何語言表述：

已知，如圖所示，若

則①同位角：N1=N￡（或N2=N§,Z4=Z8,Z3=Z7）；

②內(nèi)錯角：/2=/8（或/3=/￡）；

③同旁內(nèi)角：Z2+Z5=180°（或/3+/芭=180°）.

題型精講

題型01同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的辨別

【例題】（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級?？计谥校┤鐖D，下列結(jié)論正確的是（）

A.N5與N4是對頂角B.N1與N3是同位角C.N2與N3是同旁內(nèi)角D.N1與N2是同旁內(nèi)角

【答案】D

【分析】本題考查同位角同旁內(nèi)角、對頂角，根據(jù)同位角、同旁內(nèi)角、對頂角的定義進行判斷，熟練掌握

各角的定義是解題的關(guān)鍵.

【詳解】A、/5與N2+Z3是對頂角，故本選項錯誤，不符合題意；

B、N1與N3+N4是同位角，故本選項錯誤，不符合題意；

C、N2與N3沒有處在兩條被截線之間，故本選項錯誤，不符合題意；

。、N1與N2是同旁內(nèi)角；故本選項正確，符合題意；

故選：D.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?四川巴中?七年級四川省巴中中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖所示，有下列五種說法：①N1和N4是

同位角；②/3和N5是內(nèi)錯角；③N2和/6是同旁內(nèi)角；④N5和N2是同位角；⑤N1和/3是同旁內(nèi)角；

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②④⑤

【答案】D

【分析】本題考查了同位角、內(nèi)錯角以及同旁內(nèi)角的定義，根據(jù)內(nèi)錯角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義尋

找出各角之間的關(guān)系，再比照五種說法判斷對錯，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：根據(jù)內(nèi)錯角、同位角以及同旁內(nèi)角的定義分析五種說法.

①N1和N4是同位角，即①正確；

②N3和N5是內(nèi)錯角，即②正確；

③N2和/6是內(nèi)錯角，即③不正確；

④N5和N2是同位角，即④正確；

⑤N1和N3是同旁內(nèi)角，即⑤正確.

故選：D.

2.（2023下?廣東河源?七年級期中）如圖，a,b,c三條直線兩兩相交，下列說法錯誤的是（）

A.N1與N2是同位角B.N2與N4是內(nèi)錯角

C.23與N4是對頂角D.N1與N3是同旁內(nèi)角

【答案】B

【分析】本題考查相交直線所成相關(guān)角的概念，解答關(guān)鍵是熟知同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角、對頂角的相

關(guān)概念和判斷方法.

【詳解】解：A.N1與/2是直線縱直線6被直線c所截，所得到的同位角，因此選項A不符合題意；

B.N2與/4是直線八直線c被直線b所截，所得到的同位角，因此選項8符合題意；

C.23與N4是對頂角，因此選項C不符合題意；

D.N1與23是直線從直線c被直線a所截，所得到的同旁內(nèi)角，因此選項。不符合題意；

故選：B.

題型02同位角相等，兩直線平行

【例題】根據(jù)要求完成下面的填空：

如圖，直線A3,CO被政所截，若已知Nl=/2.

vZ2=Z3（）,

又?.?N1=N2（已知），

.-.Z=Z______,

0//（）.

【詳解】vZ2=Z3（對頂角相等）,

又?.?N1=N2（已知），

:.Z\=Z3,

:.AB//CD（同位角相等，兩直線平行），

故答案為：對頂角相等，1,3,AB.CD,同位角相等，兩直線平行.

【變式訓(xùn)練】

1.請完成下面的推理過程并在括號里填寫推理依據(jù)：

如圖，AB±BC,Z1+Z2=90°,Z2=Z3,仍與。尸平行嗎？為什么？

^ABIBC（已知），0ZABC=°

即N3+N4=°（）

又回4+/2=90。（）,

且—2=13（已知）

0Z1=Z4（）

^BE//DF（）

【詳解】解：BE//DF.理由如下：

SAB1BC（已知），SZABC=90°,

即N3+N4=90。（等量代換）

又回4+/2=90。（已知），

且/2=N3（已知）

0Z1=Z4（等角的補角相等）

@BE〃DF（同位角相等，兩直線平行）.

故答案為：90,90,等量代換，已知，等角的補角相等，同位角相等，兩直線平行.

2.如圖，已知AC_LAE,BD±BF,Z1=35°,Z2=35°.AC與BD平行嗎？AE■與班'平行嗎？閱讀下

面的解答過程，并填空或填寫理由.

解：AC與3D平行；AE與8尸平行，理由如下:

Z1=35°,N2=35°

Z1=Z2

()//()()；

又；ACYAE

ZEAC=90°

■.ZEAB=ZEAC+Z1=()。

同理可得NFBG=NFSD+/2=()。

0()//()().

【詳解】解：AC與平行；AE與8尸平行，理由如下：

Z1=35°,Z2=35°

Z1=Z2

AC//同位角相等，兩直線平行)；

又；ACYAE

Z￡AC=90°

ZE4B=/EAC+4=125°

同理可得/FBG=ZFBD+/2=125°

AE〃'(同位角相等，兩直線平行).

題型03內(nèi)錯角相等，兩直線平行

【例題】如圖，EF交AD于O,交AD于A,CD交于。，Z1=Z2,N3=24,試判斷A3和CD

的位置關(guān)系，并說明為什么.

【詳解】解：AB//CD.

理由：?.?N1=N2,N3=/4,/2=/3,

.-.Z1=Z4,

^AB//CD.

【變式訓(xùn)練】

1.推理填空：

已知：如圖AB上3C于B,CD,3c于C,Z1=Z2,求證：BE//CF.

A

證明：^ABIBC^B,CO_L3C于C（已知）

0Z1+Z3=9O°,N2+N4=90°

EINI與N3互余，N2與N4互余

X0Z1=Z2J）,

0_=_（_）

SBE//CF（_）.

【詳解】解：^ABIBC^B,CO,3c于C（已知）

回/1+/3=90°,Z2+Z4=90°

EIN1與/3互余，N2與N4互余

又國/1=/2（已知）,

國/3=/4（等角的余角相等）

0BE//CF（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

2.如圖，直線C。、所交于點。，OA,08分別平分NCOE和NDOE,已知Nl+N2=90。，且N2：N3=2：5.

⑴求/3。尸的度數(shù)；

⑵試說明AB〃CD的理由.

【詳解】（1）回Q4,03分別平分/COE和ZDOE,

0ZAOE=ZAOC=-ZCOE,Z2=ZBOE=-ZDOE,

22

0ZCOE+ZDOE=180°,

0Z2+ZAOC=9O°,

I3ZCOE=Z3,

mZA0C=-Z3,

2

0Z2+-Z3=9O°,

2

團N2：N3=2：5,

0Z3=-Z2,

2

0Z2+ix-Z2=9O°,

22

0/2=40°,

0Z3=1OO°,

團NB。尸=N2+N3=140°；

(2)0Z1+Z2=9O°,N2+NAOC=90°,

0Z1=ZAOC,

ElAB〃CD.

題型04同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

【例題】如圖，已知直線AB、CD被直線E尸所截，GE平分4￡下，GF平分NEFC,Zl+Z2=90°,AB//CD

嗎？為什么？

解：I3GE平分上4￡尸，GF平分NEFC(已知)，

0ZAEF=2N,ZEFC=2N,

^ZAEF+ZEFC=(),

0Z1+Z2=9OO(),

團ZAEF+NEFC=°,

^AB//CD.

【詳解】解：?；GE平分NAEF,GF平分NEFC(已知),

.-.ZAEF=2Z1,ZEFC=2N2,

ZAEF+ZEFC=2(Z1+Z2)(等量代換)

vZl+Z2=90o(已知)，

ZAEF+ZEFC=180°,

AB//CD.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，Zl=60°,Z2=60°,Z3=120°.

A

DE

試說明。石〃BC,。/〃A3,根據(jù)圖形，完成下列推理:

0Z1=6O°,Z2=6O°（已知）

0Z1=Z2（等量代換）

B//（）

團4員。石相交，

0Z4=Z1=6O°（）

0Z3=12O°

0Z3+Z4=18O°

回一〃_（）

【詳解】團4=60。,/2=60。（已知）

0Z1=Z2（等量代換）

BDE//BC（同位角相等，兩直線平行）

0AB,OE相交，

0Z4=Z1=6O°（對頂角相等）

團/3=120°

EIZ3+Z4=180o

0DF"AB（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

故答案為：DE,BC,同位角相等，兩直線平行；對頂角相等；DF,AB,同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

2.完成下面的證明.

已知：如圖，直線。，b,c被直線/所截，Zl+Z2=180°,Z1=Z3.求證：b//c.

證明：0Z1+Z2=18O°,

Ela〃().

EIZ1=Z3,

Sa//().

^b//c().

【詳解】證明：HZ1+Z2=18O°,

^a//b（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）.

0Z1=Z3,

Bia//c（同位角相等，兩直線平行）.

Blb//c（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）.

題型05平行線及平行公理

【例題】如圖，已知直線a,b,c被d所截，且a〃6,N1=N2.試說明：b//c.

解:因為N1=N2（已知）

Z1=Z3（）

所以N=N（等量代換）

所以//（）

又因為（己知）

所以//（）

【詳解】解：因為N1=N2（已知）

Z1=Z3（對頂角相等）

所以N2=N3（等量代換）

所以2〃c（同位角相等，兩直線平行）

又因為?！?（已知）

所以心〃￡（平行于同一直線的兩條直線互相平行）

【變式訓(xùn)練】

1.如圖所示，直線AB,CD相交于點O,OD平分NEOB,O尸平分/AOE,GHLCD,垂足為點”，GH

與尸。平行嗎？說明理由.

【詳解】解：GH//FO,理由如下:

回。。平分/反歸，O尸平分NAOE,

0NEOD=-ZEOB,/EOF=-ZAOE,

22

ZAOE+ZEOB=180°,

aZEOD+ZEOF=90°,即尸O_LCD,

◎GHLCD,

0GH〃FO.

2.如圖，AB1MN,CD工MN,垂足分別是8,D,NFDC=NEBA.

⑴判斷CD與AB的位置關(guān)系；（不需要證明）

⑵求證：DF//BE.

【詳解】（1）解：^ABIMN,CD±MN,

^\CD//AB.

（2）證明：-.-ZFDC=ZEBA,ZCDM=ZABM=90,

ZCDM-ZFDC=ZABM-ZEBA（等式的性質(zhì)），

即ZFDM=ZEBM,

DF//BE（同位角相等，兩直線平行）.

題型06添加一條件使兩條直線平行

【例題】（2023下?黑龍江牡丹江,七年級統(tǒng)考期末）如圖，寫出能判定CD的一個條件（寫出

一個即可）.

【答案】NEAB=NC（答案不唯一）

【分析】本題主要考查了平行線的判定.要判斷AB〃CD,要看它們的截線所構(gòu)成的“三線八角"圖中各角

的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的判定定理解答即可.

【詳解】解：0Z￡AB=ZC,0AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；

0ZC4B+ZC=18OO,0AB//CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）；

0ZB=ZD,^AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；

0ZCDB+ZS=18O°,^AB//CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）；

故答案為：ZEAB=ZC（答案不唯一）.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023下?江蘇蘇州?七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在下列四組條件中：①4=/2,②N3=/4,③

ZBAC=ZACD,（4）ZBAD+ZABC=180°,能判定AD/BC的是.（填序號）

【答案】①②④

【分析】根據(jù)平行線的判定條件，逐一判斷即可解答.

【詳解】解：①4=N2,能判斷AD/3C,故此選項符合題意；

②?.?/3=/4,，AD〃3C,故此選項符合題意；

?-.-ZBAC^ZACD,:.AB//CD,故此選項不符合題意；

（4）?.-ZBAD+ZABC=180°,:.AD//BC,故此選項符合題意，

故答案為：①②④.

【點睛】本題考查了平行線的判定條件，即內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)

角互補，兩直線平行，熟知上述判定條件是解題的關(guān)鍵.

2.（2023下?山東德州?七年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線族，MN,垂足為且4=140。，若增加

一個條件使得AB//CD,試寫出一個符合要求的條件.

【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)進行解答即可.

【詳解】解：可以添加條件N2=50。，

團EF_LMN,

團區(qū)=90。，

團ZBFM=900+50°=140°,

ZAFN=ZBFM=140°f

^ZAFM=Z1,

^\AB//CD.

故答案為：Z2=50°.（答案不唯一）

【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定，內(nèi)錯角相等，兩直

線平行；同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

題型07根據(jù)平行線的性質(zhì)求角度

【例題】（2023下?新疆阿克蘇?七年級?？计谀┤鐖D，AB//CD,直線所分別交A3、8于點E、F,

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的定義結(jié)合平角的定義即可求解.

0Z3=Z1=35°

EIEG平分，AEF

0Z3=Z4=35°

團N2=180°—35°—35°=110°.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)、求出N3=4=35。是關(guān)

鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023下?浙江金華?七年級校聯(lián)考期末）如圖，點E在8C的延長線上，連接DE,作NCED的角平分線

分別交線段A。，DC于點尸，點G,已知AB〃CD,AD//BC.

AFD

⑴試說明NMD=2NDEE；

⑵若ZB=105。，ZDFE=28°,求NCDE的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)ZCDE=19°

【分析】⑴根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出NB￡?=2NB￡F，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NDFE=NB￡F；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得"CE=N3=105。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NADC=4>CE=105。，

ZAD￡+ZBED=180°,根據(jù)(1)的結(jié)論得出NBED=2NOfE=56。，ZADE=180°-ABED=124°,進而

根據(jù)NCDE=NADE-NADC,即可求解.

【詳解】(1)解：S1EF平分NCED,

SZBED=2ZBEF,

BAD//BC

^ZDFE=ZBEF,

(2)解：^AB//CD,ZB=105°,

0ZDCE=ZB=105°,

SAD//BC,

ElZADC=Z.DCE=105°,ZADE+ZBED=180°.

ZDFE=28°,

0NBED=2NDFE=56°,

0ZADE=180O-ABED=124°,

0ZCDE=ZADE-ZADC=124°-105°=19°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.(2023下,貴州黔南?七年級統(tǒng)考期末)如圖，已知AB〃CD,AD//BC,ZDCE=90°,點E在線段AB

上，N/CG=90°，點尸在直線AD上，ZAHG=90°.

⑴圖中與一。相等的角有

⑵若NECF=25。,求NBCD的度數(shù)；

⑶在(2)的條件下，點。(點。不與8,"兩點重合)從點8出發(fā)，沿射線BG的方向運動，其他條件不

變，求NB4F的度數(shù).

【答案】⑴NOCG,NECF,ZB

(2)155°

⑶25。或155。

【分析】(1)根據(jù)同角的余角相等以及平行線的性質(zhì)，即可得到與“相等的角；

(2)根據(jù)/瓦戶=25。，ZDCE=90°,可得？/CD65?,再根據(jù)N5c/=90。，即可得到

?BCD65?90?155?；

(3)分兩種情況討論：當(dāng)點C在線段9上；點。在初延長線上，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到NB4方

的度數(shù)為25。或155。.

【詳解】(1)解：???AD〃5C,

:.ZD=ZDCG,

vZFCG=90°,NDCE=90。,

ZECF=ZDCG,

：.ZD=ZECF,

-.?AB//DC,

:.ZDCG=ZB,

..ZD=NB；

???與/。相等的角為NOCG,/ECF,NB；

(2)解：?.ZECF=25。,NDCE=90。,

ZFCD=65°f

QN3c/=90。，

/.ZBCD=650+90°=155°；

(3)解：分兩種情況進行討論：

①如圖。，當(dāng)點。在線段5”上時，點尸在ZM的延長線上，此時NECF=ZDCG=ZB=25。，

?：AD〃BC,

.\ZBAF=ZB=25°；

②如圖4當(dāng)點。在5"的延長線上時，點尸在線段AD上.

???N5=25。，AD//BC,

ZBAF=180°-25°=155°,

綜上所述，NB4尸的度數(shù)為25。或155。.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

題型08平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用

【例題】（2023下,全國?七年級期中）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞湖而過，在A,B,C三處經(jīng)過

三次拐彎，此時道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行（即CD）,若NA=100。，ZB=160°,則NC

【答案】120。/120度

【分析】首先過8作3尸〃AE,根據(jù)AE〃CD,可得AE〃班'〃CD,進而得到NA=NAB尸,

ZFBC+ZC=180°,然后可求出NC的度數(shù).

?.?ZA=100°,

ZABF=ZA=100°,

XvZABC=160°,

ZFBC=160°-100°=60°,

■：AE//CD,

:.FB//CD,

,-.ZC=l800-ZFBC=180°-60°=120°,

故答案為：120。.

【點睛】此題主要考查了平行線性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?福建泉州?七年級統(tǒng)考期末）光線從空氣射入水中時，光線的傳播方向會發(fā)生改變，這就是折射

現(xiàn)象.如圖，水面與底面所平行，光線從空氣射入水里時發(fā)生了折射，變成光線8C射到水底C

處射線X3。是光線的延長線，4=60。，N2=43。，則的度數(shù)為.

【答案】17。/17度

【分析】由平行線的性質(zhì)可知N/監(jiān)C=Z1=60°,再根據(jù)對頂角相等得出N的9=Z2=43°,最后由

ZDBC=ZMBC-N儂求解即可.

【詳解】解：0MN〃EF,

0NMBC=Z1=60°.

0ZMBD=Z2=43°,

02DBC=AMBC-AMBD=17°.

故答案為：17。.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，對頂角相等.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

2.（2023下?江蘇蘇州?七年級蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谥校﹫D1中所示是學(xué)校操場邊的路燈，圖2為路燈的

示意圖，支架AB、8C為固定支撐桿，燈體是CO,其中A3垂直地面于點A,過點C作射線CE與地面平

行（即CE//D,已知兩個支撐桿之間的夾角ZABC=140°，燈體CD與支撐桿之間的夾角/DCB=80。，

則NQCE的度數(shù)為.

D.

E-

A

水平地面

圖1圖2

【答案】30。/30度

【分析】過點5作B/〃CE.先利用平行線的性質(zhì)和垂直的定義、角的和差關(guān)系求出NC3/，再利用平行

線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系求得結(jié)論.

【詳解】解：過點8作3尸〃CE.

-,-CE//1,

.-.ZABF=XI=90°.

ZABC=140°,

ZCBF=140°-90°=50°.

■.■BF//CE,

:.ZECB=Z.CBF=5CP.

ZDCE=ZDCB-ZBCE

=80°-50°

=30°.

水平地面

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

題型09平行線的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用

【例題】（2023上?吉林長春?七年級統(tǒng)考期末）【感知探究】（1）如圖①，已知，AB//CD,點M在A3上,

點N在CO上.求證：AMEN=ZBME+ZDNE.

【類比遷移】（2）如圖②，NF、NBMF、ZDNF的數(shù)量關(guān)系為（不需要證明）

【結(jié)論應(yīng)用】（3）如圖③，已知ZBAC=120°,ND=80。，貝|NACD=_°.

F

圖①圖②圖③

【答案】(1)見解析；(2)NF=NBMF-ZDNF；(3)20

【分析】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，作輔助線是解題的關(guān)鍵.

(1)過點E作跖〃鉆，根據(jù)平行線的性質(zhì)可求解；

(2)如圖②，過F作根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(3)如圖③，過C作CG〃鈿，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：如圖①，過點￡作跖〃鈣，

又

SEF//CD,

:.ZNEF=ZDNE,

ZMEN=ZMEF+ZNEF,

即/MEN=/BME+NDNE；

(2)解：NBMF=ZMFN+4FND.

證明：如圖②，過歹作廠K||AB,

圖②

:.ZBMF=ZMFK,

⑦AB〃CD,

^\FK\\CD,

.\ZFND=ZKFN,

.?.ZMFN=ZMFK-ZKFN=ZBMF-ZFND,

即：ZBMF=ZMFN+ZFND.

故答案為：ZBMF=ZMFN+AFND-

(3)如圖③，過C作CG〃AB,

ZGCA=180°-ABAC=60°,

SAB//DE,

國CG〃DE,

Z.GCD=NCDE=80°,

.-.ZACD=20°,

圖③

故答案為：20.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?湖南岳陽,八年級校考開學(xué)考試）如圖，Z1=Z2,ZBAE=ZBDE,點尸在DE的延長線上,

點C在AB的延長線上，且平分ZBEF.

⑵若NA4E=40。，求NEBD.

【答案】⑴見解析

（2）40°

【分析】（1）根據(jù)對頂角相等結(jié)合題意推出NABE=N1，根據(jù)"同位角相等，兩直線平行"即可判定AB〃OE；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合題意推出Z4￡F=NBDE,即可判定短〃8。，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的

定義求解即可.

【詳解】⑴證明：B\ZABE^Z2（對頂角相等），又N1=N2（已知），

0ZABE=Z1（等量代換），

BiAB//DE（同位角相等，兩直線平行）；

（2）解：由（1）已證可得：ZBAE=ZAEF=40°（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

又也NBAE=NBDE,

^ZAEF=ZBDE（等量代換）,

SAE//BD（同位角相等，兩直線平行），

SZAEB=ZEBD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

又EIEA平分ZBEF,

^ZAEB=ZAEF,

0Z.EBD=ZAEB=ZAEF=ZBAE=40°,

0Z￡BD=4O°.

【點評】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定定理與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

2.（2023下?江蘇泰州?七年級?？计谥校┤鐖D，在AABC中，點。、F在邊上，點E在AB邊上，點G在

AC邊上，E尸與GD的延長線交于點H,ZBDH=ZB,ZAEH=ZADH.

⑴即與AD平行嗎？為什么？

⑵若NH=40。，求/&ID的度數(shù).

【答案】⑴平行，見解析

（2）40°

【分析】（1）EH//AD,理由如下：由己知條件，ZBDH=ZB,根據(jù)平行線的判定可得⑷5〃G”,根據(jù)平

行線的性質(zhì)得44D+ZAZ汨=180。，等量代換得到Z&W+ZA￡H=180。，即可得出答案；

（2）結(jié)合（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得解.

【詳解】（1）EH//AD,理由如下：

■.ZBDH=ZB,

:.AB//GH,

ZBAD+ZADH=180°,

ZAEH=ZADH,

.-.ZBAD+ZAEH=180°,

:.EH//AD;

（2）■.■ZBAD+ZADH=180°,

5L-.-EH//AD,

.-.ZH+ZADH=18Q°,

:.ZH=ZBAD,

■.■ZH=40°,

:.ZBAD=40°.

【點睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟記平行線的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

題型10根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定探究角的關(guān)系

【例題】（2023下?浙江?七年級專題練習(xí)）如圖，已知直線且％和小4分別交于48兩點，點P在

直線上.

（1）4、N2、N3之間的關(guān)系為；

（2）如果點尸在A、2兩點之間運動時，4、N2、N3之間的關(guān)系為；

⑶如果點尸（點尸和A、2不重合）在A、B兩點外側(cè)運動時，4、N2、N3之間關(guān)系為

【答案】⑴N1+N2=N3

（2）Z1+Z2=Z3

（3）Z1-Z2=Z3^Z2-Z1=Z3

【分析】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等，平行于同一直線的兩條直線平行.

（1）過點尸作PQ〃4,如圖1,由于4〃/2,則尸?！?,根據(jù)平行線的性質(zhì)得N1=N4,Z5=Z2,所以

Z1+Z2=Z3；

（2）由（1）中的證明過程，可知4、N2、N3之間的關(guān)系不發(fā)生變化；

（3）根據(jù)題意，畫出圖形，分點尸在A3延長線上和點尸在班延長線上兩種情況；利用平行線的性質(zhì)可推

出4、Z2,N3之間的關(guān)系.

【詳解】（1）解:如圖1,過點P作PQ〃/一

回戶?！?1,

0Z1=Z4（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

團尸?！?1，4〃4（已知），

團尸?！?2（平行于同一條直線的兩直線平行），

0Z5=Z2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

0Z3=Z4+Z5,

0Z1+Z2=Z3（等量代換）;

故答案為：/1+N2=N3；

(2)解：由(1)的證明過程知，Zl、N2、N3之間的關(guān)系不發(fā)生變化;

故答案為：Z1+Z2=Z3；

(3)解：過點P作尸2〃4，

飄〃4，

團PQ〃/2〃小

當(dāng)點P在A3延長線上時，如左圖

貝上2=14,?11CPQ?3?4

0Z1=Z3+Z2,

BPZ1-Z2=Z3；

當(dāng)點尸在54延長線上時，如右圖,

國PQ〃/2〃4，

fflZl=Z4,?21DPQ?3?4,

0Z2=Z3+Z1,

BPZ2-Z1=Z3；

綜上，Z1-Z2=Z3Z2-Z1=Z3.

故答案為：Z1-Z2=Z3^Z2-Z1=Z3.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023上?黑龍江佳木斯?八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，已知尸，NA=60。，點P為射線AE上任意

一點（不與點A重合），BC,分別平分NABP和/尸3F,交射線AE于點C,點。.

(1)圖中NCBD=°；

⑵當(dāng)NACB=/ABD時，ZABC=°；

⑶隨點尸位置的變化，圖中NAPB與NAZ汨之間的數(shù)量關(guān)系始終為,請說明理由.

【答案］⑴60

(2)30

⑶不變，2：1

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義只要證明即可；

(2)想辦法證明ZABC=ZCBP=NDBP=ZDBF即可解決問題；

(3)不變.可以證明NAPS=NPBF,ZADB=ZDBF=ZPBF.

【詳解】(1)解：?.?AE〃BF,

ZABF=180°-ZA=120°,

又,：BC,3D分別平分NAB尸和NPM,

Z.CBD=ZCBP+ZDBP=|(ZABP+NPBF)=ZABF=60°,

故答案為：60.

(2)-.-AE//BF,

:.ZACB=ZCBF,

又?：ZACB=ZABD,

ZCBF=ZABD,

ZABC=ZABD-ZCBD=ZCBF-ZCBD=ZDBF,

ZABC=ZCBP=ZDBP=ZDBF,

ZABC=|ZCBD=30°,

故答案為：30.

(3)不變.理由如下：

AE//BF,

:.ZAPB=APBF,ZADB=ZDBF,

又?：BD平貨/PBF,

:.ZADB=NDBF=gNPBF=g/APB,^ZAPB：ZAD3=2：1.

故答案為2：1.

【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬

于中考?？碱}型.

2.（2023下?浙江杭州?七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知直線即與直線45,直線。分別交于點E,F,

平分NAEF交直線C。于點M,且NFEM=NFME.

⑵點G是射線MD上的一個動點（不與點尸重合），團平分NEEG交直線8于點”，過點H作“

交直線AB于點N,設(shè)NEHN=a,NEGF=B.

①點G在點尸右側(cè)，且￡=70。，求c的度數(shù)；

②點G在運動過程中，&和4之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出結(jié)論.

【答案】⑴見解析

（2）①55。；②，=2a或￡=180°-2a

【分析】（1）由角平分線的定義即得出=,結(jié)合題意可證明ZA￡M=4ME,即得出AB〃CD；

（2）①EH平分NFEG和HN〃EM,可得NEHN=NHEM=/HEF+/FEM,從而得到

NEHN=NHEF+NFME=a,再由NEGE=180。一/孫花—NG邱/,可得￡=180。-20,即可求解；②分

兩種情況討論：當(dāng)點G在點下的右側(cè)，當(dāng)點G在點尸的左側(cè)時，即可求解.

【詳解】（1）證明：EI￡M平分NAEF,

團NAEM=NFEM.

y^NFEM=NFME,

SZAEM=ZFME,

0AB“CD；

團E”平分NFEG,

^\ZHEF=ZHEGf

出HN〃EM,

團^EHN=ZHEM=ZHEF+Z.FEM,

⑦ZFEM=NFME,

國NEHN=/HEF+NFME=a,

^\ZEGF=1800-ZFME-ZGEM=1800-ZFME-ZFEM-2ZHEF=180°-2(ZFME-^ZHEF),

團/=180。一2a,

070=70°,

團70。=180?！?a,

解得a=55。.

②a和4之間的數(shù)量關(guān)系為月=2?；??=180。-2a.理由如下：

當(dāng)點G在點尸的右側(cè)，由(2)得a=180。-26

當(dāng)點G在點方的左側(cè)時，如圖2,

團平分NFEG,

^ZHEF=ZHEG,

田HN〃EM,

⑦ZEHN=ZHEM,

?ZFEM=NFME,

⑦NEGF=/FME+NGEM=NFEM+NGEM=NGEM+2NHEG+NGEM=2(/GEM+NHEG)=2/HEM,

⑦NEGF=2/EHN,

即Z?=2。，

綜上所述，。和￡之間的數(shù)量關(guān)系為6=2。或，=180。-2a.

【點睛】本題考查角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵.

強化訓(xùn)練

一、單選題

1.（2023下?云南昭通?七年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，下列條件不能判定9〃8的是（）

A.Z1=Z3B.Z3=Z5C.Z1+Z2=18O°D.Z1=Z5

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的判定定理，對各項逐一進行判斷即可.

【詳解】解：44=N3,根據(jù)同位角相等，兩直線平行可判定鉆〃CD,故此選項不符合題意；

B、Z3=Z5,對頂角相等，不能判定A3〃8,故此選項符合題意；

C、Zl+Z2=180°,根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行可判定AB〃CD,此選項不符合題意；

D、Z1=Z5,根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可判定故此選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了平行線的判定定理，解題的關(guān)鍵是正確識別"三線八角"中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，

不能遇到相等或互補關(guān)系的角就誤認(rèn)為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補，才

能推出兩被截直線平行.

2.（2023下?廣東江門,七年級統(tǒng)考期末）如圖所示，以下說法錯誤的是（）

A.N1與N2是同位角B.N4與23是同位角

C./5與N3是內(nèi)錯角D.N4與/5是同旁內(nèi)角

【答案】C

【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的定義逐項判斷即可.

【詳解】解：A、N1與N2是同位角，正確，不符合題意；

B、N4與/3是同位角，正確，不符合題意；

C、N5與/3不是內(nèi)錯角，錯誤，符合題意；

D、N4與/5是同旁內(nèi)角，正確，不符合題意，

故選：C.

【點睛】本題考查同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角，解答的關(guān)鍵是理解定義：如果兩條直線被第三條直線所截

所形成的的角，在兩條被截直線之間且在截線兩側(cè)的兩個角互為內(nèi)錯角；在兩條被截直線同一方且在截線

同側(cè)的兩個角互為同位角；在兩條被截線之間且在截線同側(cè)的兩個角互為同旁內(nèi)角.

3.（2023上?陜西銅川?八年級統(tǒng)考期末）如圖，下列推理及括號中所注明的推理依據(jù)錯誤的是（）

A.^AD//BC,:.ZBAD+ZD=18O°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

B.-.-AB//CD,:.ZBCD+ZABC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）

C.vZl=Z3,:.AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

D.-.-ZDAM=ZCBM,..AD//BC（同位角相等，兩直線平行）

【答案】A

【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，利用平行線的判定方法與性質(zhì)逐一分析即可得到答案，熟記

平行線的判定方法與平行線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【詳解】解：回.?.NB4D+NABC=18O。（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），故A符合題意；

-.-AB//CD,ZBCD+ZABC=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），故8不符合題意；

vZl=Z3,:.AB//CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），故C不符合題意；

ZDAM=ZCBM,..AD//BC（同位角相等，兩直線平行），故D不符合題意；

故選A

4.（2023上?陜西榆林?八年級?？计谀┤鐖D，直線?！?,直線/與直線。相交于點P,與直線b相交于點

A.35°B.55°C.125°D.145°

【答案】A

【分析】本題考查了平行線性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，平角的定義計算即可.

【詳解】如圖，0a"b,4=55。，

團/3=/1=55°,

M-

a

團N2+N3+N4=180°,N4=90°,

團N2=180°—N3—N4=35°,

故選A.

5.（2023上?四川宜賓?七年級四川省宜賓市第二中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知：AB//CD,CD//EF,AE

平分ZBAC,ACVCE,有下列結(jié)論：①AB〃跖；②2N1-N4=90°；③2N3-N2=180°；④

N3+；/4=135。.結(jié)論正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D4個

【答案】D

【分析】①根據(jù)平行線的傳遞性可以判斷出來；②“'1您所以/2+/4=90。，然后根據(jù)兩直線平行同旁

內(nèi)角互補可得N2+N54C=180。，即N2+2/l=180。，聯(lián)立可求得結(jié)果；③根據(jù)/1+/3=180。以及

2?1?2180?,可求得結(jié)果；④根據(jù)/2+/4=90。即2?1?2180?以及4+/3=180。，可求得結(jié)果.

【詳解】解：^\ACLCE,

0/2+/4=90°,

EIAE平分NBAC,

SZBAE=ZCAE=Z1,即/BAC=2/1,

(1)^AB//CD,CD//EF,

SAB//EF,

故①正確；

②團AB，C￡）,

0Z2+ZBAC=18O°,

0/2+2/1=180°,即/2=180°—2/1,

0/2+/4=90°,

[S180o-2Zl+Z4=90o,

即2Z1-Z4=9O°,

故②正確；

③由①可得AB〃EF,

EIZBAE+Z3=180o,

EIZl+Z3=180o,即/1=18O°-N3,

又AB〃CD,

0ZBAC+Z2=18O°,

即2?1?2180?,

將/1=180。一/3代入2?1?2180?,

化簡可得：2N3—N2=180。，

故③正確；

④0/2+/4=90°,2?1?2180?,

02Z1-Z4=9O°,

團/1+/3=180。，

0Z3+-Z4=1350,

2

故④正確；

正確的個數(shù)共有4個，

故選：D.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、平行線的傳遞性、兩直線平行內(nèi)錯角相等、兩直線平行同旁內(nèi)

角互補、角平分線的有關(guān)計算，準(zhǔn)確找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

6.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第十七中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖所示的四個圖形中，N1和N2

是同位角的是________.（填序號）

【答案】①②④

【分析】根據(jù)同位角的定義，逐一判斷選項，即可得到答案.

【詳解】解：①即和回2在兩條直線的同側(cè)，也在第三條直線的同側(cè)，故它們是同位角；

②町和國2在兩條直線的同側(cè)，也在第三條直線的同側(cè)，故它們是同位角；

③即與回2分別是四條直線中的兩對直線的夾角，不符合同位角的定義，故它們不是同位角;

④町和團2在兩條直線的同側(cè)，也在第三條直線的同側(cè)，故它們是同位角.

故答案為：①②④.

【點睛】本題主要考查同位角的定義，掌握同位角的定義："兩條直線被第三條直線所截，在兩條直線的同

側(cè)，在第三條直線的同旁的兩個角，叫做同位角”，是解題的關(guān)鍵.

7.（2023下?湖北?七年級統(tǒng)考期末）如圖，直線QE經(jīng)過點A,請?zhí)砑右粋€條件使直線,則該條件

可以是.

BN-----------

【答案】ZB=ZDAB##Z.C=AEAC

【分析】根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行"，可得出答案.

【詳解】解:由"內(nèi)錯角相等，兩直線平行”得：

當(dāng)=或=時，都有DE〃3c

【點睛】本題考查平行線的判定定理.熟記相關(guān)定理時解決此題的關(guān)鍵.

8.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考期中）如圖，1//AB,ZA=2.ZB.若Nl=108。，則N2

的度數(shù)為.

AL--------------------

【答案】36。/36度

【分析】由對頂角相等可得N3=Nl=108°,再由平行線的性質(zhì)可求得NA=72。，ZB=Z2,結(jié)合已知條

件可求得即可求解.

【詳解】解：如圖，

-.?Zl=108°,

r.N3=Nl=108。，

團/〃AB,

.?.Z3+ZA=180°,N2=NB,

...ZA=180°—N3=72°,

?：ZA=2ZB,

.".ZB=36°,

.-.Z2=36°.

故答案為：36°

【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直

線平行，同旁內(nèi)角互補.

9.（2023上?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，一條公路兩次拐彎后，和

原來的方向相同，如果第一次拐的角是136。