導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)易錯(cuò)題（原題版）

專題07導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

目錄

易錯(cuò)點(diǎn)01對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念理解不到位

易錯(cuò)點(diǎn)02錯(cuò)用函數(shù)的求導(dǎo)法則

易錯(cuò)點(diǎn)03混淆“在某點(diǎn)”和“過某點(diǎn)”切線的區(qū)別

易錯(cuò)點(diǎn)04利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間忽略定義域

易錯(cuò)點(diǎn)05混淆極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的區(qū)別

易錯(cuò)點(diǎn)06已知單調(diào)性求參數(shù)時(shí)混淆條件

易錯(cuò)點(diǎn)07判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)畫圖出錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)01：對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念理解不到位

叁易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）若函數(shù)?。┛蓪?dǎo)，則業(yè)生蒙@等于（）

A.-2r⑴B.1r（l）C.一#⑴D./出

【答案】C

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

【詳解】lim/(1—-"1).=」1曲/[l+(-Ax)]-/(l)

AxfO2Ax2Ax->0

故選：C

【易錯(cuò)剖析】

f（.r0+Ar）-/（.r0）本題容易忽略分母不是分子函數(shù)值對(duì)應(yīng)自變

在解題時(shí)要注意f'(x0]=lim—=lim

Ax

量的差而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1.導(dǎo)數(shù)的概念

函數(shù)/（X）在X=X。處瞬時(shí)變化率是lim孚=lim./1(天,+-)-/(%)

,我們稱它為函數(shù)y=在x=%

Ar->0.丫Ax—>0Ax

處的導(dǎo)數(shù)，記作尸（X。）或?。?.

【解讀】①增量—可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0.-0的意義：心與0之間距離

要多近有多近，即18-0|可以小于給定的任意小的正數(shù);

②當(dāng)Ac—0時(shí)，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與

"/5+垓）-"）無限接近;

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率.如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)

刻的瞬間變化率，即尸（與）=lim電=lim/（＞+/）-/（/）.

——°Ax-Ax

2.幾何意義

函數(shù)y=/（x）在X=尤。處的導(dǎo)數(shù)/U）的幾何意義即為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P（XO,y0）處的切線的斜率.

3.物理意義

函數(shù)s=s⑺在點(diǎn)10處的導(dǎo)數(shù)s"o）是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度V,即v=s'（t0）；v=v⑺在點(diǎn)t0的導(dǎo)

數(shù)/仇）是物體在灰時(shí)刻的瞬時(shí)加速度a,即a=v'?o）.

易錯(cuò)提醒：⑴-優(yōu)）=lim”=lim以x。+為）二/（不）,要注意定義式中的分母一定是分子兩個(gè)函數(shù)值

對(duì)應(yīng)自變量的差，如果不是要通過調(diào)整系數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)；（2）/'（尤0）的代數(shù)意義表示函數(shù)/（%）在/處的瞬時(shí)

變化率；（3）/'（%）的幾何意義表示曲線y=/（x）在x=x0處切線的斜率.

叁舉一反三

1.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）若可導(dǎo)函數(shù)的圖象過原點(diǎn),且滿足lim/包=-1,則廣（。）等于（）

-Ax

A.-2B.2C.-1D.1

2.（24-25高二下?全國(guó)?課后作業(yè)）如果函數(shù)y=〃x）在x=l處的導(dǎo)數(shù)為1,那么受（）

A.gB.1C.2D.

3.（24-25高二下?河北石家莊?階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)七附近有定義，且有

2

/（x0+AX）-/（X0）=6ZAX+Z?（AX）（。，〃為常數(shù)），則（）

z

A.f{x）=aB.f（x）=bC.f（x0）=aD./（x0）=Z?

■易錯(cuò)題通關(guān).

1.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）若/'（為）=-2,則lim"%）—〃%+'）=（）

\/Av_s.nA”

A.-1B.-2C.1D.2

2.（24-25高三上?廣西玉林?期中）設(shè)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，若?=2。Q為常

數(shù)），則廣（無。）=（）

A.—2aB.2aC.一〃D.〃

3.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃%）=%ln%,則lim正勻二的值為（）

A.2eB.0C.1D.e

Ax

4.（24-25高三上?上海?期中）若函數(shù)y=/（尤）在x=不處的導(dǎo)數(shù)等于a,則iim"%+2m。）的值為（）

-Ax

A.0B.—aC.〃D.2a

2

5.（24-25高三上?貴州貴陽?階段練習(xí)）若函數(shù)y=〃x）在區(qū)間（zb）內(nèi)可導(dǎo)，且則

lim/U）-fU+/0的值為（）

2°h

A./'（%）B.2廣（X。）C.-2/（x0）D.-/'（%）

6.（23-24高二下.福建龍巖.階段練習(xí)）已知函數(shù)在x=x°處可導(dǎo)，且lim"/一3—）-〃二）=3,則

Axf02Ax

/'（%（））=（）

A.—3B.—2C.—D.2

2

7.（24-25高二?全國(guó)?課后作業(yè)）（多選）若函數(shù)f（x）在x=x0處存在導(dǎo)數(shù)，則+一〃/）的值（）

A.與不有關(guān)B.與〃有關(guān)C.與與無關(guān)D,與//無關(guān)

8.（24-25高三上?浙江?階段練習(xí)）已知：當(dāng)〃無窮大時(shí)，|1+-|的值為e,記為+=e.運(yùn)用上述

<n）〃-n）

結(jié)論，可得1加儂"2力（x>0）=.

易錯(cuò)點(diǎn)02：錯(cuò)用函數(shù)的求導(dǎo)法則

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高三上?山東聊城?期末）函數(shù)y=x%os12x-1］的導(dǎo)數(shù)為（）

B.y'=2xcos^2x-^-j-2x2sin^2x-^-j

C.=x2cos-^-2xsin^2x-y

D.y'=2xcos^2x-y^+2x2sin^2x--1-^

【答案】B

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

=2xcos2x--\-2x2sin\2x~—

33

故選：B.

【易錯(cuò)剖析】

本題容易錯(cuò)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則而出錯(cuò)，要注意求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則的適用前提.

【避錯(cuò)攻略】

1.求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/(x)=c(C為常數(shù))rw=o

/（X）=X。（。eQ）/'(%)=axa~x

x

f(x)=a(a>0,Qw1)fr(x)=ax]na

f(x)=log。％(a>0,aw1)fw=.

x\na

/a)=e'「(x)="

/(x)=lnxr?=-

X

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosX/'(%)=_sinx

2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則："（X）土g（x）］'=f'{x）±g，（x）;

（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則："（x）g（尤）］'=（（尤）g（x）+f（尤）g，（x）;

小p期》+日-nmid（無）1尸（X>g（無）一/（x）g'（x）

（3）函數(shù)商的1Vl求導(dǎo)法則：g（x）*o,則［uvl=-------------7------------.

g。）8一（無）

3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

復(fù)合函數(shù)y=f［g（x）］的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/（?），林=g（x）的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為4=y,'u'：

易錯(cuò)提醒：（1）復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)

數(shù)，即"‘=（2）求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的總原則：先化簡(jiǎn)解析式，再求導(dǎo).注意以下幾點(diǎn)：連乘形式則先展

開化為多項(xiàng)式形式，再求導(dǎo)；三角形式，先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式，再求導(dǎo)；分式形式，

先化為整式函數(shù)或較為簡(jiǎn)單的分式函數(shù)，再求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)，先確定復(fù)合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要

時(shí)可換元.

舉一反三

1.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）己知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y'=M--,則這個(gè)函數(shù)可能是（）

2（x-l）

A.y=AJl-xB.y=InC.y-ln(l-x)D.y=\n—^—

x-1

2.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）下列求導(dǎo)運(yùn)算錯(cuò)誤的是（）

A.(tanx)=-tanxB.(logx)-

、72xln2

C-D.心卜上

3.（24-25高三?全國(guó)?聯(lián)考）已知函數(shù)〃x）=cos12x+。!，則

()

A.-1B.--C.1D-I

2

■易錯(cuò)題通關(guān).

1.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)y=xln（2x+5）的導(dǎo)數(shù)為（）

A./=2xIn（2%+5）B..=2%5

C.y=ln（2x+5）H--------D.yf=ln（2x+5）H——

1515

2.（24-25高三上?北京?開學(xué)考試）在下列函數(shù)中，導(dǎo)函數(shù)值不可能取到1的是（）

A.y=xlnxB.y=cosxC.y=TD.y=x-\nx

3.（24-25高三上?上海寶山?階段練習(xí)）已知y=e'cosx,則（）

A.yr=-exsinxB.yf=ex-sinx

D.=5/2exsinf-^--xj

C.V=+

4.（24-25高三上山西?期中）若函數(shù)"%）滿足=d-g-⑵尤2-3X,則/"⑵的值為（）

A.-1B.2C.3D.4

5.（24-25高二下?遼寧?階段練習(xí)）（多選）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A.(In2022/=—^—

B.(log4x)-

、720224xln4

C.]=一——D.(尤3一工]=3元2_二

vtanxJsin2xVX)x

6.（24-25高三上?陜西咸陽?期中）（多選）下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）

A(sinx)xcosx-sinxB=1

〔XJ-X2-rljv

C.(log?3)'=。D.(3]=(2x-x2^ex

7.（24-25高三上?江蘇淮安?開學(xué)考試）（多選）下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）

A一!尸

-5=B.(b),=C.(tanx)'=—D.(ln|x|)r=—

cosXX

8.（24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）（多選）下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（）

，

A,〔十TB.(ej=e-

C.(tanx)'=-D.(Igx)=---

COSXxlnlO

易錯(cuò)點(diǎn)03：混淆“在某點(diǎn)”和“過某點(diǎn)”切線的區(qū)別

，易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（2024.新疆.二模）過點(diǎn)（1,4）且與曲線/（x）=V+x+2相切的直線方程為（）

A.4x-y=0B.7x-4y+9=0

C.4x—y=0或7x-4y+9=0D.4x—y=0或4x—7y+24=0

【答案】C

【分析】先設(shè)過點(diǎn)的切線，再根據(jù)點(diǎn)在曲線上及切線斜率等于導(dǎo)數(shù)值解方程即可求值進(jìn)而求出切線.

【詳解】設(shè)過點(diǎn)(1,4)的曲線y=/(%)的切線為：/:y-y0=(3就+1)(%-&)，

有［(3詔+1)(1—%o)=4-y()

Iy0=就+%。+2

1

X0=-2

解得%=1成.

%=4/9，

y。"

代入/可得4x—y=0或7%-4y+9=0.

故選：C

【易錯(cuò)剖析】

本題容易誤將(1,4)點(diǎn)當(dāng)做函數(shù)的切點(diǎn)而出錯(cuò)，要注意過P點(diǎn)的切線P不一定是切點(diǎn).

【避錯(cuò)攻略】

1.在點(diǎn)P的切線方程

切線方程y-/(^o)=f'^o^x-x0)的計(jì)算：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)A(%0,/(%))處的切線方程為

%=/(%)

y-/(%)=/'(無o)(尤-尤0),抓住關(guān)鍵

k=f'5)'

2.過點(diǎn)尸的切線方程

設(shè)切點(diǎn)為尸(七,%),則斜率左=/'(%),過切點(diǎn)的切線方程為：y-%=/'(%)(尤-尤°),又因?yàn)榍芯€方

程過點(diǎn)AO，”)，所以〃-%=((%)(根-尤0)然后解出毛的值.(％有幾個(gè)值，就有幾條切線)

【注意】在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外.

易錯(cuò)提醒：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題，一定要熟練掌握以下三點(diǎn)：

(1)函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是切線的斜率，即已知切點(diǎn)坐標(biāo)可求切線斜率，已知斜率可求切點(diǎn)坐標(biāo).

(2)切點(diǎn)既在曲線上，又在切線上，切線還有可能和曲線有其它的公共點(diǎn).

(3)曲線y=/(x)“在”點(diǎn)尸(%,%)處的切線與“過”點(diǎn)尸(%,%)的切線的區(qū)別：曲線在點(diǎn)

尸(無。,%)處的切線是指點(diǎn)P為切點(diǎn)，若切線斜率存在，切線斜率為左=r(%),是唯一的一條切線；曲線

y="“)過點(diǎn)尸(天,%)的切線，是指切線經(jīng)過點(diǎn)P,點(diǎn)P可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)，而且這樣的直線可

能有多條.

(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法

利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，

進(jìn)而求出參數(shù)的值或取值范圍.

（3）求解與導(dǎo)數(shù)的幾何意義有關(guān)問題時(shí)應(yīng)注意的兩點(diǎn)

（1）注意曲線上橫坐標(biāo)的取值范圍；

（2）謹(jǐn)記切點(diǎn)既在切線上又在曲線上.

舉一反三

1.（24-25高三上?廣東?階段練習(xí)）函數(shù)〃x）=lnx+2x的圖象在點(diǎn)（1,2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形

的面積為（）

A.士B.—C.-D.—

2368

2.（23-24高二下?山西晉城?期末）過原點(diǎn)。作曲線/（x）=ex-辦的切線，其斜率為2,則實(shí)數(shù)。=（）

A.eB.2C.e+2D.e-2

3.（24-25高三?山東臨沂?期中）若過點(diǎn)（4匕）可以作曲線y=e㈤的兩條切線，則（）

fc+1a+ia+lb+1

A.e<aB.e<bC.0<b<eD.0<a<e

>易錯(cuò)題通關(guān).

1.（24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí)）曲線y=*（x-l）在x=l處的切線方程為（）

A.x=lB.y=lC.y=xD.y=x-1

2.（24-25高三上?河南?階段練習(xí)）曲線y=ex-2ax在x=0處的切線經(jīng)過點(diǎn)（2,-1）,則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.-1B.0C.1D.2

3.（24-25高三上?海南省直轄縣級(jí)單位?階段練習(xí)）函數(shù)y=E在點(diǎn)（0,-1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉

圖形的面積為（）

A.-B.-C.—D.1

842

4.（24-25高三上?天津武清?階段練習(xí)）若直線y="與曲線y=lru+]相切，則％=（）

2x

A.In2H—B.-C.—D.4

424

5.（2024?河南洛陽?三模）（多選）若過點(diǎn)尸（1,0）作曲線y=d的切線，則這樣的切線共有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

6.（24-25高三?山東日照?期中）已知過點(diǎn)A（a,0）作曲線y=xe'的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)。的取值可能

為()

A.-2B.-3C.-4D.-5

7.(23-24高二下?北京西城?階段練習(xí))已知直線，=叱-2是曲線y=lnx的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為()

A.[：，一1]B.(e,l)C.D.(0,1)

8.(24-25高三上?上海?開學(xué)考試)經(jīng)過點(diǎn)P(>2)可以作與曲線2/_3x-y=0相切的不同直線共有()

A.。條B.1條C.2條D.3條

易錯(cuò)點(diǎn)04：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間忽略定義域

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例(23-24高二下.寧夏吳忠?期中)函數(shù)/(?=《的單調(diào)減區(qū)間為()

Inx

A.(-oo,e)B.(0,e)C.(l,e)D.(0,1)和(l,e)

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再解不等式即得答案.

【詳解】函數(shù)/(》)=怖的定義域?yàn)?。,D5L+⑹，求導(dǎo)得(。)=臀^,

lux(Inx)

由r(x)<0,即臀^<0,解得0<x<l或l<x<e,

(Inx)

所以函數(shù)“X)=4的單調(diào)減區(qū)間為(0,1)和(1,e).

Inx

故選：D

【易錯(cuò)剖析】

本題容易忽略定義域?yàn)?0,1)。(1,—)而錯(cuò)選B.

【避錯(cuò)攻略】

1.函數(shù)單調(diào)性的判定方法

設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果尸(x)>0,則y=/(x)為增函數(shù)；如果/'(x)<0,則y=/(x)

為減函數(shù).

【解讀】①利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，要在函數(shù)的定義域內(nèi)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào);

②在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，/'(x)>0(/'(x)<0)是函數(shù)/(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分條件，而不是必

要條件.例如，函數(shù)/(x)=d在定義域(_8,+o。)上是增函數(shù)，但/(%)=3必20.

2.求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟

①確定函數(shù)/（X）的定義域；

②求/'（x）,令尸（%）=0,解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；

③把函數(shù)/（x）的間斷點(diǎn)的橫坐標(biāo)和f\x）=0的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把

函數(shù)/（x）的定義域分成若干個(gè)小區(qū)間;

④確定了'（X）在各小區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，根據(jù)/'（x）的符號(hào)判斷函數(shù)/（幻在每個(gè)相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.

3函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)與求函數(shù)單調(diào)區(qū)間

/⑴>0=>/（X）單調(diào)遞增；/（X）單調(diào)遞增=>f\x）>0；

r（x）<0=>/（X）單調(diào)遞減；/（%）單調(diào)遞減=>f\x）<0.

易錯(cuò)提醒：（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間必須樹立定義域優(yōu)先的思想，即先求函數(shù)的定義域，然后再定義域上求

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）含參函數(shù)單調(diào)性討論的分類標(biāo)準(zhǔn)：①函數(shù)類型；②開口方向；③判別式；④導(dǎo)數(shù)等

于0有根無根；⑤兩根大??；⑥極值點(diǎn)是否在定義域內(nèi).

舉一反三

1.（2024?黑龍江佳木斯?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)〃尤）=：Y-3A41nx,則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.（4,+co）B.（0,1）C.（0,4）D.（1,4）

2.（2024全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（x）=ln（x-2）+ln（4-x）,則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（一力,3）D.（3,+。）

3.（24-25高三上?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）設(shè)/（x）=（Y+6）lnx+；尤2,aeR.

（1）若。=0,求"X）在x=l處的切線方程；

（2）若oeR,試討論/（x）的單調(diào)性.

>易錯(cuò)題通關(guān).

InY

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)〉=吧的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

x

A.\雙:]B.（e,+e）C.D.（0,e）

2.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)7的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

110,1

A.一,+8B.—00,—C.(e,+8)D.

3.(2024?浙江?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)〃％)=ln(2%-1)-f+%的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(0,1)B.r1

Z1-A/21+應(yīng)、ni+收〕

C.D.

2'2

\/

4.(2025?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃%)=(m-2)%2-(m-4)x-ln%-2,則()

A.當(dāng)0＜加＜2時(shí)，函數(shù)“X)在(0,+8)上單調(diào)

B.當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，函數(shù)在(0,+8)上不單調(diào)

C.當(dāng)相，2時(shí)，函數(shù)八%)在(0,+8)上不單調(diào)

D.當(dāng)根=0時(shí)，函數(shù)八%)在(0,+8)上單調(diào)

5.⑵-24高二下?福建福州?期中)函數(shù)/(x)=xln(-x)的單調(diào)遞減區(qū)間是

x

6.(23-24高二下?上海?期中)函數(shù)y=匚e的嚴(yán)格遞減區(qū)間是

x-2

7.(24-25高三上?福建三明?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=ln(l-%)+0n(l+x)水W0.

⑴若函數(shù)〃元)存在一條對(duì)稱軸，求上的值;

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

易錯(cuò)點(diǎn)05：混淆極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的區(qū)別

,易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例(2024?遼寧丹東.一模)若x=l是函數(shù)/(刈Wd+m+l)/-(02+°_3卜的極值點(diǎn)，則a的值為()

A.-2B.3C.一2或3D.-3或2

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)，由廣⑴=。求出。，然后針對(duì)。的每一個(gè)值，進(jìn)行討論，驗(yàn)證尤=1

是不是函數(shù)的極值點(diǎn)，即可得答案.

［詳解］/(x)=^x3+(?+1)x2—［a1+Q—3)X=>/⑺=兀2+2(Q+1)%-(/+〃-3

由題意可知/'(1)=0=/'(1)=l+2(a+l)—(a~+a—3)=0=>°=3或。=—2.

當(dāng)a=3時(shí)，/'(龍)=無?+8x—9=(x+9)(x—1),

令廣⑺>0,解得x<—9或x>l,函數(shù)在(一七一9)和(1,+⑹上單調(diào)遞增；

令(⑺<0,解得-9<x<l,函數(shù)/(尤)在(-9,1)上單調(diào)遞減，

所以尤=1是函數(shù)的極值點(diǎn)符合題意；

當(dāng)a=-2時(shí)，尸(x)=廠-2x+l=(x-1)-上。，

所以函數(shù)/(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，沒有極值，不符合題意，舍去，

故選：B.

【易錯(cuò)剖析】

導(dǎo)數(shù)等于零點(diǎn)的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)而言，其極值點(diǎn)應(yīng)滿足兩個(gè)條件，一是導(dǎo)數(shù)

等于零，二是在極值點(diǎn)兩邊導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)相反.

【避錯(cuò)攻略】

1.函數(shù)的極值

函數(shù)在點(diǎn)龍。附近有定義，如果對(duì)X。附近的所有點(diǎn)都有/(X)<八/),則稱/(X0)是函數(shù)的一個(gè)極大

值，記作，極大值=/(%).如果對(duì)％附近的所有點(diǎn)都有〃尤)>/(%),則稱/(X。)是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作

y極小值=/(%).極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱/為極值點(diǎn)?

2.求可導(dǎo)函數(shù)，(尤)極值的一般步驟

第一步：先確定函數(shù)/(尤)的定義域；

第二步：求導(dǎo)數(shù)「(X)；

第三步：求方程/'(x)=0的根；

第四步：檢驗(yàn)((x)在方程「(無)=。的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為

負(fù)，那么函數(shù)y=/(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)

y=在這個(gè)根處取得極小值.

易錯(cuò)提醒：(1)①可導(dǎo)函數(shù)/(尤)在點(diǎn)與處取得極值的充要條件是：/是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即尸5)=0,

且在無。左側(cè)與右側(cè)，/'(X)的符號(hào)導(dǎo)號(hào).

②((%)=0是與為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如/。)=無3,-(。)=。，但%=0不是極值點(diǎn).另

外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)/（x）=W，在極小值點(diǎn)尤。=。是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：升為

可導(dǎo)函數(shù)/（X）的極值點(diǎn)nZVo）=0;但/（X。）=0X^0為了（幻的極值點(diǎn).

（2）①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最

值是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；

②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；

③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得.

1.（24-25高三上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）若x=0是函數(shù)/5）=33-1+；]/+面+0口一1的極小值點(diǎn)，則

/（x）的極大值為（）

A,-B.-C.--D.--

6336

2.（24-25高三上?天津武清?期中）已知函數(shù)/（同=丁+。111（》-1）有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（—oo,0]B.（—co,0）C.^0,—D.^-00,—

3.（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）=x*-c）2在x=l處有極大值，貝卜=（）

A.1B.2C.3D.4

?易錯(cuò)題通關(guān)

1.（2024?四川瀘州?一模）已知函數(shù)/'（x）=x（x-a）2在*=1處取得極大值，貝匹的值是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（24-25高三上?江西階段練習(xí)）若x=0是函數(shù)/。）=+3-5+：）/+（4+。及-1的極小值點(diǎn)，貝廳⑺的

極大值為（）

A.-B.-C.--D.--

6336

1JT

3.（24-25高二?全國(guó)?課后作業(yè)）若函數(shù)/（xbasinx+gsiiBx在x=§處有最值，則〃等于（）

A.2B.1C.氈D.0

3

4.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）設(shè)函數(shù)（力=工，若“X）的極小值為則。=（）

x+a

A.—B.—C.—D.2

222

5.（24-25高三上?四川綿陽?階段練習(xí)）/（尤）=g尤3-依2-8依+1在（-3,0）上有極大值，無極小值，則。的取

值范圍是（）

A.WB.（。,+<?）C.（-<?,-3）D.1

已矢口/（%）=在元=一處有極值貝|。一人=（

6.（24-25高三上?江西南昌?階段練習(xí)）%3+36/%2+6%+4210,

A.-2或-7B.T或—11C.11D.-7

7.（23-24高二下?山東臨沂?期中）已知函數(shù)=當(dāng)x=l時(shí)，有極大值則。=（）

A.2B.1C.0D.-1

易錯(cuò)點(diǎn)06:已知單調(diào)性求參數(shù)時(shí)混淆條件

易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

13

典例（24-25高三上?山東臨沂?期中）若函數(shù)〃力=y3/+6+4的單調(diào)遞減區(qū)間恰為［T,4］,則實(shí)

數(shù)a的值為.

【答案】-4

1

［詳解］由題意得，f'（x）=x-3X+a,

???函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間恰為［T4］,

即三一3元+。W0的解集為［T4］,

...所以-1和4是尸（力=0的兩根，

々=—1x4=—4.

故答案為：-4.

【易錯(cuò)剖析】

本題易混淆八x）在區(qū)間D上單調(diào)和八尤）的單調(diào)區(qū)間是D的區(qū)別而出錯(cuò).

【避錯(cuò)攻略】

1.可導(dǎo)函數(shù)六尤）在某區(qū)間上單調(diào)

（1）可以轉(zhuǎn)化為/,（%）>0（/,（^）>0）在給定區(qū)間上恒成立;

（2）給定的區(qū)間是原函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間（或遞減區(qū)間）的子區(qū)間，利用集合間關(guān)系求解

2.可導(dǎo)函數(shù)f（x）在某區(qū)間上不單調(diào)

（1）可轉(zhuǎn)化為f（x）在給定區(qū)間上有正有負(fù)，即廣（x）=0在給定區(qū)間上有實(shí)根（必要條件），且有不等實(shí)根

（充分條件）;

（2）可以通過求函數(shù)值域的方法解決.

（3）可以利用根的分布方法解決.

3可導(dǎo)函數(shù)f（x）在某區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，轉(zhuǎn)化為/'（x）>0（或（尤）<0）有解問題.

易錯(cuò)提醒：

已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）熟悉基本函數(shù)的單調(diào)性。

（2）注意下列二者之間的區(qū)別：函數(shù)在區(qū)間/上單調(diào)遞增（減）；函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間是D.

注意：其中/三。.

（3）首先明確已知函數(shù)的單調(diào)性；然后根據(jù)已知條件列出關(guān)于所求參數(shù)的不等式，正確解出含參數(shù)的不等

式，結(jié)果要用集合或區(qū)間的形式表示出來.

舉一反三

1.若函數(shù)〃到=著在[2,+8）上單調(diào)遞增，則上的取值范圍為（）

A.k>—B.kW—1C.k<1D.k<——

33

2.（24-25高二上?全國(guó)?課后作業(yè)）若函數(shù)=-依2一2在區(qū)間（1,4）內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的

取值范圍是（）

A?[I*）B.

32J

C.D.—

2

3.（24-25高三上?上海?期中）已知g。）是定義域?yàn)镽、的函數(shù)，g（x）=ax+2,若對(duì)任意的1<%<尤2<2,都

有g(shù)（Jg（2）>3成立，則實(shí)數(shù)“的取值范圍是（

）

玉-x2

A.。+8）B.--r°.

C.D.--

■易錯(cuò)題通關(guān)

1.（2024湖北.一模）已知函數(shù)/（力=依2_向+2%是減函數(shù)，則。的取值范圍為（）

C.D.8,一；

A.(-oo,0]B.

2.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若函數(shù)=J尤2一9加在區(qū)間,-1間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是（）

A.1<6/<3B.a>4

C.-2<a<3D.l<a<4

3.（22-23高二下.北京海淀?期中）若函數(shù)"xb'-lnx在（0㈤上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是（）

A.[l,+oo)B.(l,+oo)C.(0,1)D.(0,1]

4.（24-25高三上?山東棗莊?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃力=廠：在R上單調(diào)遞增，貝心的取值范圍

Ie—ax,x<（J

是（）

A.[1,+<?)B.[0,1]C.[-1,1]D.(-<?,1]

5.（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃同=（2/+如+*"1（4>0）在上存在單調(diào)遞減區(qū)間,

則。的取值范圍為（）

C.^0,1^U(8,+°o)D.

A.(0,1)U(4,4W)B.(1,4)

6.（2019?四川涼山?一模）若0<%<工2<，z都有叫-他叫<玉-龍2成立，則。的最大值為（）

A.；B.1C.eD.2e

易錯(cuò)點(diǎn)07：判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)畫圖出錯(cuò)

叁易錯(cuò)陷阱與避錯(cuò)攻略

典例（24-25高三上?北京?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=ae、-/有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（）

2e

A.0<a<一B.0<a<ln2C.a<eD.0<?<In—

e2

【答案】A

【分析】先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)題意將導(dǎo)函數(shù)為零轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)y=a和g（x）=2mx有兩個(gè)交點(diǎn)，然后利用

導(dǎo)數(shù)求g（x）=/的單調(diào)性，進(jìn)而確定g。）圖象，最后根據(jù)圖象確定實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】因?yàn)?（無）=。6*-彳2,；./，（力=祝*-2工,

由已知函數(shù)於）有兩個(gè)極值點(diǎn)可得有ae=2x=0兩個(gè)解

2x

即y=a和g(x)=m有兩個(gè)交點(diǎn),

2(1-x)

g'（無）=

二當(dāng)X＜1時(shí)，g'（X）＞0,g（x）在（一8,1）上單調(diào)遞增,

當(dāng)尤>1時(shí)，g'(X)<0,g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

2

故gOOmax=g6=—，

e

而Xf+8時(shí)，g(x)—0,Xf-8時(shí)，g(X)->-CO；

故選：A.

【易錯(cuò)剖析】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像變化時(shí)一定要區(qū)分圖像趨向無窮時(shí)，是趨近無窮還是趨近于一個(gè)常數(shù).

【避錯(cuò)攻略】

1.判斷函數(shù)＞=/（無）在某個(gè)區(qū)間上是否存在零點(diǎn)，主要利用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷.首先看函數(shù)

y=/（x）在區(qū)間［。，句上的圖象是否連續(xù)，然后看是否有若有，則函數(shù)＞=在區(qū)間（a,。）

內(nèi)必有零點(diǎn).

2.判斷函數(shù)y=/（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，常用以下方法：

（1）解方程：當(dāng)對(duì)應(yīng)方程易解時(shí)，可通過解方程，判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知條件進(jìn)行判斷；

（3）通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷，畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷.

3.已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根），求參數(shù)的取值范圍常用的方法：

方法1：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

方法2：分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，再轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決.

方法3：數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，再數(shù)形結(jié)合求解.

易錯(cuò)提醒：|判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法：

方法1：利用零點(diǎn)存在性定理判斷法；

方法2：代數(shù)法：求方程〃x)=0的實(shí)數(shù)根；

方法3：幾何法：對(duì)于不易求根的方程，將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或

利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解.在利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性并分析函數(shù)圖像的

變化趨勢(shì).

舉一反三

1.(24-25高三上?遼寧沈陽?階段練習(xí))已知〃*)=臊如-111%(〃后0),若〃無)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取

值范圍為()

2.(2025高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x+2)e*-加有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)小的取值范圍為()

A.[--B.1一-C.(0,+oo)D.(-℃>,0)

3.(2024高二上?全國(guó)?專題練習(xí))若函數(shù)“X)和g(x)的圖象上恰好有兩對(duì)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，則函數(shù)

和g(x)為“對(duì)偶函數(shù)”.已知/(x)=l-e*,g(x)=<zr+xlnx是“對(duì)偶函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(e-l,+oo)B.C.D.(-℃,e-l)

■4易錯(cuò)題通