導(dǎo)數(shù)解答題之零點(diǎn)問題八大題型（學(xué)生版）-2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)題型突破

重難點(diǎn)專題11導(dǎo)數(shù)解答題之零點(diǎn)問題八大題型匯總

題型1一個(gè)零點(diǎn)問題..............................................................1

題型2兩個(gè)零點(diǎn)問題..............................................................2

題型3三個(gè)零點(diǎn)問題..............................................................3

題型4判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)..............................................................4

題型5最值函數(shù)的零點(diǎn)問題........................................................5

題型6同構(gòu)法解零點(diǎn)問題..........................................................6

題型7零點(diǎn)差問題................................................................7

題型8割線法切線法與零點(diǎn)........................................................8

MKDII

題型1一個(gè)零點(diǎn)問題

【例題1】(2024秋?重慶?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=alnx-R).

⑴討論的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)g(x)=/(%)+■在區(qū)間(1,+8)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【變式1-1]1.(2023?河北保定?河北省唐縣第一中學(xué)校考二模)已知函數(shù)f(x)=。+2)ex

+x2+ax,其中常數(shù)aeR,e是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴若a=一3,求久支)的最小值；

(2)若函數(shù)g(x)=f(%)-2cosx恰有一^零點(diǎn)，求a的值.

【變式1-1】2.(2023秋?江西?高三統(tǒng)考開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=x(a+lnx)—a%2

(aGR).

(1)當(dāng)a=。時(shí)，求曲線y=/(久)在點(diǎn)(1)(1))處的切線方程；

(2)若久久)在(1,+8)上僅一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【變式1-1】3.(2023春?江西贛州?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)f⑶=%2-2alnx-a2

b.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，若f。)的最小值為2,求實(shí)數(shù)b的值；

(2)若存在ae[e,e3],使得函數(shù)/(久)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

【變式1-1]4.(2023?河南開封?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=ex-ax2.

(1)若函數(shù)f(久)的圖象與直線y=%-1相切,求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若函數(shù)g(x)=/(%)-%+1有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型2兩個(gè)零點(diǎn)問題

【例題2】(2023秋?全國?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=21nx+a￡(a€R).

⑴若f(久)<。在(0,+8)上恒成立，求a的取值范圍：

(2)設(shè)9(久)=/一/(嗎，%1(久2為函數(shù)9(%)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：xi%2<1.

【變式2-1】1.(2023秋?湖南長沙?高三長郡中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))證明下面兩題：

⑴證明:當(dāng)x>l時(shí),ex>x2;

(2)當(dāng)。<a<5時(shí)，證明函數(shù)/㈤=方+a(|nx-久)有2個(gè)不同零點(diǎn).

x

【變式2-1]2.(2022秋?廣東東莞?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)“久)=ae-ln(x+1)+

Ina—1.

(1)若a=l,求函數(shù)/(久)的單調(diào)區(qū)間及極值；

(2)若函數(shù)〃久)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式2-1]3.(2023秋?貴州貴陽?高三貴陽一中?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)-x)=In%-a，

Ina,a>1.

(1)若函數(shù)/。)在萬=1處的切線的斜率為1-e,求實(shí)數(shù)a的值(e是自然對數(shù)的底數(shù));

(2)若函數(shù)/(嗎有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

x

【變式2-1]4.(2023秋?安徽合肥?高三合肥一中校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函婁好(久)=ae-x

(e是自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

x

(2)若。(K)=ae(x-1)-Inx+/(久)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

題型3三個(gè)零點(diǎn)問題

【例題31(2023春?重慶九龍坡?高三重慶市育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知=2|Oga|%|-e

x3(a>0且a豐1).

(1)試討論函數(shù)了(久)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a>1時(shí)，若/(久)有三個(gè)零點(diǎn)/,久2,"3.

①求a的范圍；

②設(shè)<%2<x3,求證：+2點(diǎn)+>2e—2.

【變式3-1】1.(2023春?重慶沙坪壩?高三重慶八中?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)

f(x)=(x+a)(Inx—Ina)—ax+a2,其中a>0.

(1)若a=1,求不等式f(x)>。的解集；

(2)求證：Vae(2,+oo),函數(shù)/■(X)有三個(gè)零點(diǎn)Xi,%2,冷(久1<%2<乂3),且久2,%3成等

比數(shù)列.

【變式3-1】2.(2023秋?重慶?高三重慶一中?？奸_學(xué)考試)設(shè)函數(shù)FQ)=X—asinx,

xG,g(x)=x2—1—2axlnx,且/(比)有唯一零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍；

(2)證明：g(x)存在三個(gè)零點(diǎn)；

(3)記/(X)的零點(diǎn)為p,以久)最小的零點(diǎn)為q,證明：q-ep<l,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).

【變式3-1]3.(2023?山東?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)了(x)=翳—In久-

Ina-1有三個(gè)零點(diǎn).

⑴求a的取值范圍;

(2)設(shè)函數(shù)/⑴的三個(gè)零點(diǎn)由小到大依次是久1,如知證明：a]'〉e.

【變式3-1]4.(2023?廣東深圳??？级?已知函數(shù)“久)=舒一㈤睞

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)①當(dāng)0<a<爭寸，試證明函數(shù)“乃恰有三個(gè)零點(diǎn)；

②記①中的三個(gè)零點(diǎn)分別為乂1,%2,%3,且<X2<%3,試證明/(1-X3)>d(Xi-1).

題型4判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)

【例題4](2022秋?廣東珠海?高三珠海市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)f(%)=|%2+

(1—a)x—Inx(a^O).

⑴討論函婁好(久)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a<一1時(shí)，判斷函數(shù)。(久)=(x-l)lnx-x+1-/(久)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2x

【變式4-1]1.(2023秋?廣東?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知曲線C：/(%)=sin%+ae-x

(aeR)

⑴若曲線C過點(diǎn)P(0,-1),求曲線C在點(diǎn)P處的切線方程；

(2)當(dāng)。=—1時(shí)，求f(久)在|o,品上的值域；

⑶若。<aW1,討論g(x)=/(x)+1cos2x-a-甘勺零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式4-1]2.(2023四11成都校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)f⑴=詈.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=/(久)—a,求以久)在[0,3川的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式4-1】3.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)

/(%)=alnx—%+1,其中aGR.

⑴討論函數(shù)/(%)零點(diǎn)個(gè)數(shù);

(2)求證：ei+9*七>n(nGN*).

【變式4-1]4.(2023河南統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)f(久)=fax2-(a+1)%+Inx.

(1)當(dāng)a>0時(shí)，討論函數(shù)-x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=—1時(shí)，判斷函數(shù)以久)=/(X)+(久2一2久+1)/的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由.

題型5最值函數(shù)的零點(diǎn)問題

【例題5】(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)[⑴=e*-a%2(aeR),g(x)=x-l.

(1)若直線y=g(久)與曲線y=/(%)相切，求a的值；

(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值，討論函數(shù)八(久)=min{/(x),g(x)}的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式5-1]1.(2021秋廣東深圳?高三紅嶺中學(xué)?？计谀?已知函婁好(久)=In%.

(1)討論函數(shù)9。)=/(久)-ax(a￡R)的單調(diào)性；

1

(2)①證明函數(shù)尸(x)=/(x)—了(e為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一的零點(diǎn)；

②設(shè)①中函數(shù)F(x)的零點(diǎn)為久o,記m(x)=min{x/Q：),*}(其中min{a,b}表示a力中的較小

x

值),若m(久)=n(nGR)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根句,孫(孫<x2)，證明：i+

X2>2x0.

【變式5-1]2.(2023?廣東?高三專題練習(xí))已知函數(shù)“久)=-In%,g(x)=x3-ax+^,

aER.

⑴若函數(shù)9(%)存在極值點(diǎn)%o,且g(xD=g(xo),其中xi#久o,求證：打+2沏=0;

(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值，記函數(shù)八(久)=min{f(x),g(x)}(x>0),若函數(shù)h(x)

有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式5-1】3.(2023?四川南充?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)f(x)=xsin久+COSX+'/,

X

g(x)=xln-.

⑴當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f⑶在[—兀閏上的極值;

(2)用max{m,n}表示n中的最大值，記函數(shù)%0)=max{fQ),g(x)}(久>0),討論函數(shù)h(x)

在(0,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【變式5-114.(2023?四川南充?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)f(x)=￡+?—%,g(x)=ln久其中e

為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)用max{m,n}表示n中的最大值，記函數(shù)h(x)=max(/(x),g(x)}(x>0),當(dāng)a>。時(shí)，

討論函數(shù)僅久)在(0,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

題型6同構(gòu)法解零點(diǎn)問題

【例題6】(2022秋?重慶沙坪壩?高三重慶市鳳鳴山中學(xué)?？茧A段練習(xí))1.已知函數(shù)-x)=ae"

—ln(x+2)+Ina—2.

(1)若/。)在％=0處取得極值，求a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)請?jiān)谙铝袃蓡栔羞x擇一問作答，答題前請標(biāo)好選擇.如果多寫按第一個(gè)計(jì)分.

①若/'(%)>0恒成立，求a的取值范圍.

②若久久)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【變式6-1]1.(2021秋?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=e'-1

—mx2(meR).

(1)選擇下列兩個(gè)條件之一：①爪=3；②6=1；判斷久支)在區(qū)間(0,+8)是否存在極小

值點(diǎn)，并說明理由；

(2)已知6>0,設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)+伍引式血幻.若9(乃在區(qū)間(0,+8)上存在零點(diǎn)，求實(shí)

數(shù)小的取值范圍.

【變式6-1】2.(2020秋?湖南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函婁好(久)=aex-ln(%+1)+In

CL—1.

(1)若a=l,求函婁好(久)的極值;

(2)若函數(shù)"久)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【變式6-1]3.(2021秋?重慶南岸?高三重慶市第十一中學(xué)校校考階段練習(xí))已知f(x)=%

I[nx+a+1y.

(1)若函數(shù)9(%)=/(x)+xcosx—sinx—xlnx—1在(0⑶上有1個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2)若關(guān)于x的方程比…=|x2+ax-1有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

【變式6-1]4.(2021春?江蘇?高三專題練習(xí))已知函數(shù)-x)=e2x+a-jlnx+1

(1)若函數(shù)y=f(x)在(oj)上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；

(2)若函數(shù)y=/(x)在定義域內(nèi)沒有零點(diǎn)，求a的取值范圍.

題型7零點(diǎn)差問題

【例題7](2023秋?河南?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)/(x)=Ingx+a+1)—楙+9+b有兩個(gè)零點(diǎn)

^1A2(%1<X2).

(1)a=0時(shí)，求b的范圍;

(2)6=-1且a<曲寸，求證：x2-^1<2V5-4a.

【變式7-1]1.(2023秋?河北衡水?高三校考開學(xué)考試)已知函數(shù)f(x)=InQ+1),g(x)=f

x

(x)+ae,其中a€R.

(1)求過點(diǎn)(-1,-1)且與函數(shù)f(x)的圖象相切的直線方程；

x

(2)①求證：當(dāng)久>0時(shí)，e>l+x+Y；

②若函數(shù)g(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),久2,求證：|%2—%ll<2+I"—1.

【變式7-1]2.(2022?全國?高三專題練習(xí))設(shè)/(久)=暴3+mx2+nx

(1)如果9(%)=/(%)-2%-3在1=2處取得最小值一5,求/(%)的解析式；

(2)如果m+n<10(771,71eN+),/(%)的單調(diào)遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，試求血和荏的值.

【變式7-1]3.(2023秋?河南?高三河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知函數(shù)〃久)=|mx2

—2%+1+ln(x+l)(m>l).

(1)求曲線C:y=八久)在點(diǎn)P(0,l)處的切線方程；

(2)求證：函數(shù)”久)存在單調(diào)遞減區(qū)間[a,b],并求出單調(diào)遞減區(qū)間的長度t=b-a的取值范

圍.

【變式7-1】4.(2023春?上海黃浦?高三格致中學(xué)?？奸_學(xué)考試)已知關(guān)于x的函數(shù)

y=f(%),y=g(%)與h(%)=kx+b(k,beR)在區(qū)間D上恒有/(%)>h(x)>g(%).

(1)若/(%)=/+2%,5(x)=-%2+2%,D=(-oo,4-oo),求h(x)的表達(dá)式；

(2)若/(%)=/_%+1,=fclnx,/i(x)=kx—k,D=(0,+8),求k的取值范圍；

(3)若/(%)=%4—2x2,g(%)=4x2—8,/i(x)=4(t3—t)x—3t4+2t2(0<|t|<V2),D=

U[-V2,V2],求證：n-m<V7.

題型8割線法切線法與零點(diǎn)

【例題8】(2020?安徽合肥?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=詈(e為自然對數(shù)的底

數(shù)).

(1)求函數(shù)"久)的零點(diǎn)與，以及曲線y=/(%)在％=久o處的切線方程；

(2)設(shè)方程f(久)=>0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根比1/2,求證：|久1一久21<2-儂1+/.

【變式8-1]1.(2020?湖北武漢?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)f(久)=(e-x)lnx(e為自然對數(shù)的底

數(shù)).

(1)求函數(shù)久久)的零點(diǎn)，以及曲線y=f(久)在其零點(diǎn)處的切線方程；

(2)若方程/(久)=可機(jī)40)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根比1，%求證：|久1-久2l<e-l-言.

【變式8-1]2.(2017?山西臨汾?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(久)=(%2-x)e\

(1)求曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程;

(2)若-x)—ax+eNO恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)若方程f(久)=儂爪€R)有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根燈/2,求證：⑶一初<十+6+1.

【變式8-113.(2021秋?山東泰安?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)人久)=(x—l)ln(x+l),曲

線y=/(久)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程為y=kx+b(k,beR).

(1)求匕b的值；

(2)證明：/(x)>kx+b;

⑶若函數(shù)9(x)=/(%)+m(meR)有兩個(gè)零點(diǎn)久i,%2,證明：咫一/I41一小一哉.

【變式8-1]4.(2022?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函婁好(x)=(x+1)(1—1).

(1)求/(%)在點(diǎn)(—1/(—1))處的切線方程；

(2)若方程/(久)=6有兩個(gè)實(shí)數(shù)根打，%2,且問<“2,證明打一/<1+第苧+言.

X

1.(2023?湖北黃岡?黃岡中學(xué)?？既?已知函數(shù)fO)=xsinx+cosK+a/,g(x)=xlr%

⑴當(dāng)a=o時(shí)，求函數(shù)/(久)在[一^汨上的極值；

(2)用max{m,n}表示m,n中的最大值，記函數(shù)h(x)=max(/(x))5r(x)}(x>0),討論函數(shù)%(x)

在(0,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

2.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)了(%)=/-/+m(m>o).

(1)求曲線y=/(%)在點(diǎn)(1即)處的切線方程；

(2)討論函數(shù)g(x)=|/(%)-加-e的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

3.(2023廣東揭陽?？级?已知函婁好⑺=lnx-"

(1)討論-x)的單調(diào)性；

(2)若%%2,01<久2)是f。)的兩個(gè)零點(diǎn)?證明:

.2

(0+x2>-；

(ii)尤2—%i>過產(chǎn).

4.(2021?山東濰坊?統(tǒng)考三模)設(shè)函數(shù)f(久)=xlnx.

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(e-2/(e-2))處的切線方程；

(2)若關(guān)于x的方程久久)=a有兩個(gè)實(shí)根，設(shè)為巧，x2(xi<%2),證明：久2-久1<1+2a+

e~2.

5.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知函婁好(%)=a久—，(a+l)lnx.

(1)當(dāng)。=0時(shí)，求f。)的最大值；

(2)若f(%)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

6.(2022?全國統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)/㈤=?—lnx+x—a.

(1)若了0)20,求a的取值范圍；

(2)證明：若fO)有兩個(gè)零點(diǎn)%1，犯,則當(dāng)久2<1.

7.(2022?全國統(tǒng)考高考真題)已知函數(shù)f(x)=ln(l+%)+。疣一

(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=/(久)在點(diǎn)(0)(0))處的切線方程；

(2)若f(久)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰