抽象函數(shù)的定義域、求值、解析式、單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用（5大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)（原卷版）

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專(zhuān)題03抽象函數(shù)的定義域、求值、解析式、單調(diào)性、奇偶性

的應(yīng)用

o------------題型歸納?定方向----------?>

目錄

題型01抽象函數(shù)的定義域.......................................................................1

題型02抽象函數(shù)求值...........................................................................2

題型03抽象函數(shù)的解析式.......................................................................3

題型04抽象函數(shù)的單調(diào)性.......................................................................5

題型05抽象函數(shù)的奇偶性.......................................................................7

?>----------題型探析,明規(guī)律-----------?>

題型01抽象函數(shù)的定義域

【解題規(guī)律?提分快招】

抽象函數(shù)定義域的確定

所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒(méi)有具體解析式的函數(shù)類(lèi)型，求抽象函數(shù)的定義域問(wèn)題，關(guān)鍵是

注意對(duì)應(yīng)法則。在同一對(duì)應(yīng)法則的作用下，不論接受法則的對(duì)象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致

的，都在同一取值范圍內(nèi)。

抽象函數(shù)的定義域的求法

(1)若已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閇a,b],則復(fù)合函數(shù)/(g(x))的定義域由a空(x)@求出.

⑵若已知函數(shù)/(g(x))的定義域?yàn)閇a,b],則/(x)的定義域?yàn)間(x)在加時(shí)的值域.

注：求函數(shù)的定義域，一般是轉(zhuǎn)化為解不等式或不等式組的問(wèn)題，注意定義域是一個(gè)集合，其結(jié)果必須用

集合或區(qū)間來(lái)表示.

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.(24-25高三上?貴州六盤(pán)水?期末)已知函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,3],則函數(shù)/(2x-1)的定義域?yàn)?)

A.[-3,5]B.[-1,1]C.[0,4]D.[0,2]

已知函數(shù)y=/（3x+2）的定義域?yàn)閯t函數(shù)y=冷的定義域?yàn)?/p>

2.（24-25高三上?陜西咸陽(yáng)?期中）

()

A.（1,5]B.[1,5]C.[-1,1]D.（2,5]

3.（24-25高三上?云南昆明?期中）已知函數(shù)〃x-3）的定義域是卜2,4],則函數(shù)〃2工-1）的定義域是（）

A.B.[―5,7]C.[—9,1]D.[—2,1]

4.（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)閇0,3],則函數(shù)/（2工-1）的定義域?yàn)椋ǎ?

A.[1,4]B.[0,2]C.[0,4]D.[1,2]

5.（24-25高三上?陜西咸陽(yáng)?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x-l）的定義域?yàn)椋?8,3],則函數(shù)/[工J定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.[1,2]B.[1,2)

C.(-co,+8)D.(-w,l]_(2,+oo)

題型02抽象函數(shù)求值

【解題規(guī)律?提分快招】

一般采用賦值法，0』，尤,-尤是常見(jiàn)的賦值手段

【典例訓(xùn)練】

一、單選題

1.（24-25高三上?福建泉州?階段練習(xí)）若對(duì)任意的x,yeR,函數(shù)滿足=+則/⑴=

()

A.6B.4C.2D.0

2.（24-25高三上?廣東深圳?期中）已知函數(shù)/（%）的定義域?yàn)椋ā?+8）,Vx,ye（0,+o））,都有

U=/(x)-/(y)+l,且=則/(512)=()

A.-6B.-7C.-8D.-9

3.（24-25高三上?廣東江門(mén)?階段練習(xí)）函數(shù)/（x）滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)無(wú),＞，均有/(x-y)"(y)=/(x)wO,

且了⑴=；，/(2)1/(3)?/(4)??“2025).

)

/(I)/(2)/(3)/(2024)一

A.1014B.1012C.2024D.2025

4.（24-25高三上?山東濰坊?期中）已知定義在R上的函數(shù)〃%）滿足"％-y+1）-〃%+y+l）=〃%）〃y）,

且/(1)=2,則/(2)+/(3)+/(4)=()

A.2B.0C.-2D.-4

5.(24-25高三上?黑龍江?階段練習(xí))已知“X)是定義在R上的函數(shù)，且〃龍+1)-/(力=1+〃尤+1)〃力,

"1)=2,貝1]〃2024)=()

A.-2B.-3C.-D.1

32

6.(24-25高三上?湖南?階段練習(xí))定義在(0,+")上的函數(shù)滿足條件①Vxe(O,”)，〃工)片0,②

VX,JG(0,-KO),/(xy)=1/(x)/(y),仆+N)=：])，則的值為()

題型03抽象函數(shù)的解析式

【解題規(guī)律?提分快招】

抽象函數(shù)的模型

【反比例函數(shù)模型】

反比例函數(shù)：小+.前管，則/"邛，卜)均不列

【一次函數(shù)模型】

模型1：若/(X土y)=/(x)±/(y),則=/⑴X；

模型2：若/(x±y)=/(x)±/(y),則/(幻為奇函數(shù)；

模型3：若于(x+y)=/(型+/(y)+m,則f(x)=[/(1)+m\x-m；

模型4：若/(%-y)=f(x)-f(y)+私則模型="⑴一河x+m；

【指數(shù)函數(shù)模型】

模型1：若/(x+y)=/(%)/(?則"X)="⑴]'；/U)>0

模型2：若/(尤7)=04,則F(x)=[/W；/W>0

f(y)

模型3：若f(x+y)=,則于。)=[，⑴向；

m

模型4：若/(x-y)=m~~，則/(x)=m'°)；

/(y)Lm

【對(duì)數(shù)函數(shù)模型】

模型1：若/(x")=W(x),貝！|/(x)=/(a)logaX(a>CLS.wL%>0)

模型2：若/(取)=/(%)+/(y),則/(x)=/(a)log“x(a>(LliLwLx,y>0)

Y

模型3：若/(])=/(%)—/(>),則/0)=/(。)108°%(。>0且/1,羽丁>0)

模型4：若/(知)=/(x)+/(y)+m,則/(x)=[/(a)+加]log°x—加(a>0且一l,x,y>0)

模型5：若/(二)=/(x)—/(y)+〃z,則/(x)=[〃a)-/"]log“x+Ma>(KwL],y>0)

【幕函數(shù)模型】

模型1：若/(取)=/(%)/(丁)，則/(%)=/(。產(chǎn)、(。>0且wl)

模型2：若/申=緇，則〃x)=〃a產(chǎn)”(。>。且工1，"。，/320)

代入則可化簡(jiǎn)為累函數(shù)；

【余弦函數(shù)模型】

模型1：f(x+y)+f(x-y)=2/(x)/(y)(/(x)^[H^J0),則/(x)=coswx

模型2：若/(x)+/(y)=2/(W4/■(三馬(/⑴不恒為0),貝」a)=coswx

【正切函數(shù)模型】

模型：若/(X土y)=言)；猥(7W3豐1)，則/(xQtanwx

一2

模型3：若/(x+y)+/(x—y)=4(x)/(y)(/(x"P^M)),則/(x)=%coswx

K

【典例訓(xùn)練】

一、填空題

1.(23-24高三上.江西南昌?階段練習(xí))已知函數(shù)“X)滿足〃x+2)=〃x)+l,則〃x)的解析式可以是一

(寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)解析式即可).

2.(23-24高三上?遼寧遼陽(yáng)?期中)已知“X)是定義在(。,+e)上的單調(diào)函數(shù)，且以e(0,-),

/=⑴-《)=6,貝1]/(100)=.

3.(23-24高三上?湖北?期末)函數(shù)〃x)滿足/(x)+U=。，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)符合題意的函數(shù)〃x)的解析

式.

4.(24-25高三上?北京?期中)寫(xiě)出同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的一個(gè)函數(shù)/(%)=—.

①Vx,yeR,/(xy)=/(x)/(y).

②Vx,'<0,+?)且中>,

5.(2025高三?全國(guó)?專(zhuān)題練習(xí))設(shè)是定義在R上的函數(shù)，且滿足對(duì)任意x,九等式

/(2y-力=-2/(x)+3y(4x-y+3)恒成立，則”尤)的解析式為.

6.(23-24高三上.浙江杭州?期末)寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有性質(zhì)①對(duì)任意。<花<9，都有/'(不)>/(%)；②

f(xy)=/(x)/(y)的函數(shù)〃x)=.

7.(23-24高三上海南?？?期末)已知函數(shù)八%)的定義域?yàn)閰^(qū),且/(彳+,)+/(》7)=2〃力/(日，〃0)=1,

請(qǐng)寫(xiě)出滿足條件的一個(gè)/(尤)=(答案不唯一).

8.(2024.陜西銅川.三模)已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且/(x+1)為奇函數(shù)，寫(xiě)出函數(shù)/(X)的

一個(gè)解析式為〃x)=.

題型04抽象函數(shù)的單調(diào)性

【解題規(guī)律?提分快招】

抽象函數(shù)的性質(zhì)

1.周期性：f(x+a)=f(x)=>T=a；f(x+a)=-f(x)=>T=2a；

/(x+a)==T=2a；(左為常數(shù))；f(x+a)=f(x+b)=^T=|a-/?|

J\x)

2.對(duì)稱(chēng)性：

對(duì)稱(chēng)軸：f(a-x)=/>(a+x)或者f(2a-x)=/(x)nf(x)關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)；

對(duì)稱(chēng)中心：f(a-x)+f(a+x)=2bf(2a-x)+f[x)=2bn/(x)關(guān)于(a,b)對(duì)稱(chēng);

3.如果/'(x)同時(shí)關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)，又關(guān)于(b,c)對(duì)稱(chēng)，則/'(x)的周期T=|a—4

4.單調(diào)性與對(duì)稱(chēng)性(或奇偶性)結(jié)合解不等式問(wèn)題

①/'(X)在R上是奇函數(shù)，且/'(X)單調(diào)遞增n若解不等式/(%1)+/(%2)>0,則有

%1+X2>0;

f(x)在R上是奇函數(shù)，且/'(x)單調(diào)遞減n若解不等式/(%；)+/(%2)>0,則有

再+/<°；

②f(x)在R上是偶函數(shù)，且/'(x)在(0,”)單調(diào)遞增n若解不等式/(%1)>則有國(guó)>同(不

變號(hào)加絕對(duì)值)；

y(x)在R上是偶函數(shù)，且/'(x)在(0,內(nèi))單調(diào)遞減n若解不等式/(%1)>/(x2),則有閭<岡(變號(hào)

加絕對(duì)值)；

③/'(x)關(guān)于(。乃)對(duì)稱(chēng)，且/>(X)單調(diào)遞增n若解不等式/(XJ+/(X2)>2&,則有

再+工2>2。；

y(x)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且/>(X)單調(diào)遞減n若解不等式/(X1)+/(X2)>2Z?,則有

%］+九2<2〃；

④/(X)關(guān)于X=a對(duì)稱(chēng)，且f(x)在(a,4w)單調(diào)遞增n若解不等式/(再)>/'卜)，則有歸—a|>|x2-a|

(不變號(hào)加絕對(duì)值)；

/(X)關(guān)于x=a對(duì)稱(chēng)，且/'(x)在(a,+8)單調(diào)遞減n若解不等式/(x1)>/(x2),則有,—《<卜一

(不變號(hào)加絕對(duì)值)；

【典例訓(xùn)練】

1.(24-25高三上?河北石家莊?階段練習(xí))已知是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，且

〃尤)+g(x)=q二+2/一3,則不等式〃3—2x)>/(x+2)的解集是()

兒［得B."C.［一同(5,+8)D.1,5)

2.(湖北省武漢市問(wèn)津教育聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)/(x)是定義在

［T4］上的偶函數(shù)，在［yo］上單調(diào)遞增.若/■(x+l)<〃-2),則實(shí)數(shù)尤的取值范圍是()

A.(F,-3)(l,+oo)B.(-3,1)C.[-3,1)(3,5]D.[-5,-3)(1,3]

3.(24-25高三上?福建泉州?期中)已知函數(shù)〃司=/3_已3一%+%,則滿足“2m-2)+〃相-1)>6的實(shí)數(shù)冽

的取值范圍是()

13

A.—,+00B.—,+00C.D.(3,+oo)

32

4.(23-24高三上?浙江杭州?期末)若定義在R上的奇函數(shù)/(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，且/(3)=0,則滿足

4(x-2)20的X的取值范圍是()

A.[-1,0][5,+8)B.[-2,-1]][0,5]

C.[-2,0][5,+。D.[-1,0][2,5]

5.(24-25高三上?河北邢臺(tái)?期末)已知函數(shù)是定義在R上的減函數(shù)，且/(工-1)-2為奇函數(shù)，對(duì)任意

的。目-2,3］,不等式〃4—)+/(/一1卜4恒成立，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是()

6.(24-25高三上?甘肅天水?期末)函數(shù)“X)的定義域?yàn)?。，若?duì)于任意的王,當(dāng)國(guó)〈龍2時(shí)，都有

)(%)4/(9),則稱(chēng)函數(shù)在。上為非減函數(shù).設(shè)函數(shù)在[0』上為非減函數(shù)，且滿足以下三個(gè)條件:

①〃0)=0；②=③=l-.則/,]+[1等于()

A.—B.—C.—D.-

1282565124

7.(24-25高三上?江蘇?期末)已知“X)是定義在R上的偶函數(shù)，若%,當(dāng)＜0,笆)且再彳々時(shí),

>3(司+々)恒成立,41)=3,則滿足了(/+尤卜3(/+村的實(shí)數(shù)x的取值范圍為()

-1-y/s—1+5/5r-I—1+5/5r-I

A.二一，1—B.[-1,1]C.0，1—D.[0,1]

題型05抽象函數(shù)的奇偶性

【典例訓(xùn)練】

1.(24-25高三上?江蘇揚(yáng)州?期中)已知函數(shù)y=〃x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都滿足

2/(x)f(y)=/(x+y)+f(x-y),且/⑴=-1,〃0)口0,則函數(shù)“力是()

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.既奇又偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)

2.(24-25高三上?山東濟(jì)寧?期中)已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,滿足〃x+y)-"(尤)+〃y)]=2024,則

下列說(shuō)法正確的是()

A./(x)是偶函數(shù)B./(尤)是奇函數(shù)

C./(x)+2024是奇函數(shù)D./(力+2024是偶函數(shù)

3.已知對(duì)任意x,yeR,都有/(“+/(丫)=2/('口(牙)，且/■⑼W0,那么()

A.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

C.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)

4.(23-24高三下?河南洛陽(yáng)?期末)已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)镽,f(a)f(b)-f(a)=ab-b,貝I]()

A.40)=0B.41)=2C.〃同一1為偶函數(shù)D.〃尤)-1為奇函數(shù)

5.(多選)(24-25高三上?廣東?階段練習(xí))已知函數(shù)“X)滿足/(x+l)〃y+l)=〃x)〃y)+/(x)+〃y)+l,

且/(0)=0,/(1)>0,則()

A.f(-l)=-lB./(^+l)=/(x)+l

C.不可能是奇函數(shù)D.在［0』上單調(diào)遞增

6.(24-25高三上?安徽宿州?期中)己知定義在(-8,0)(0,+s)上的函數(shù)〃x),滿足/3)+2=〃#+〃田,

且當(dāng)尤>1時(shí)，/(x)>2,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A."-1)=2B./(尤)為偶函數(shù)

C.f(-2025)</(-2024)D.若/(x+2)<2,則—3<x<—l

o-----------題型通關(guān)?沖高考-----------?>

一、單選題

1.(2024.山西.一模)己知函數(shù)"尤)是定義在｛x|"0｝上不恒為零的函數(shù)，若〃⑹=羋+^^，則()

A.f(l)=lB.=1

C./(X)為偶函數(shù)D.f(x)為奇函數(shù)

3?.

2.(24-25高三上?遼寧丹東?期中)已知函數(shù)〃同=(尤.2?+1，對(duì)于任意的，er[T，2],不等式

〃2f)+〃a+r)42恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-co,-2]B.(f,-10]C.[-3,+oo)D.[7,+co)

3.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y滿足

f^+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且/(1)=1,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A./(O)=2B.〃尤)為偶函數(shù)

C./(X)為奇函數(shù)D.〃2)=-1

4.(24-25高三上?天津北辰?階段練習(xí)汨知“X)為R上的奇函數(shù)，〃2)=2,若對(duì)V%,9e他,+CO),當(dāng)外>/

時(shí)，都有(西則不等式(x+l)/(x+l)>4的解集為()

A.(-3,1)B.(-3,-1)(-1,1)C.D.(f,—3)-(1,+8)

5.(24-25高三上.河南駐馬店.期末)設(shè)函數(shù)〃x)=ln(l+W)則使〃x)<〃2x-1)成立的龍的范圍

是()

-00,jo(l,+00)

B.

6.(23-24高三下?黑龍江大慶?開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)的定義域?yàn)镽,且/0,若

f(x+y)+/(x)/(y)=4肛，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A.OB.叫=-2

C.函數(shù)/卜-￡|是偶函數(shù)D.函數(shù)/1+是減函數(shù)

7.(24-25高三上?新疆?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足〃x+y)</(x)+/(y)-1,且當(dāng)x>0時(shí),

/(%)<1,設(shè)a=/(e'-l),人=/(1!1(尤+1)),則()

A.a>bB.a<bC.a>bD.a<b

8.(2024.遼寧撫順.一模)已知定義域?yàn)椋葇XRO｝的函數(shù)滿足〃x+y)"(x)+/(y)]=/(x)〃y),

f(l)=2,且當(dāng)無(wú)?0,內(nèi))時(shí)，〃x)>0恒成立，則下列結(jié)論正確的是()

A.H=6B./(2x)=2/(x)

C.為奇函數(shù)D.〃尤)在區(qū)間(。,+巧是單調(diào)遞增函數(shù)

二、多選題

9.(24-25高三上?江蘇常州?階段練習(xí))已知函數(shù)/(元)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y滿足

/(x+y)=/(x)+/(y)+l,且/(1)=0,則下列結(jié)論正確的是()

A./(0)=-1B./(-1)=-2

C.為R上的減函數(shù)D./(刈+1為奇函數(shù)

10.(24-25高三上?河北滄州?階段練習(xí))已知定義在(F,0)L(。,")上的函數(shù)〃尤)滿足