導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)的零點問題5題型分類-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題15導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.-函數(shù)的零點問題5題型分類

彩題如工總

題型1:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)

題型5：導(dǎo)數(shù)與“隱零點”問題

題型2：根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)

專題15導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一函數(shù)的

零點問題5題型分類

題型4：零點與不等式的證明問題

題型3：根據(jù)零點個數(shù)求值

彩先渡寶庫

1、函數(shù)零點問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點或者求零點的個數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點情況，求參數(shù)

的值或取值范圍.

求解步驟：

第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與X軸(或直線>=左)在某區(qū)間上的交點

問題；

第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像；

第三步：結(jié)合圖像判斷零點或根據(jù)零點分析參數(shù).

2、函數(shù)零點的求解與判斷方法：

(1)直接求零點：令/(無)=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間團(tuán)，口上是連續(xù)不斷的曲線，且/(a)'/(Z?)<0,還必

須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.

(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不

同的值，就有幾個不同的零點.

3、求函數(shù)的零點個數(shù)時，常用的方法有：一、直接根據(jù)零點存在定理判斷；二、將/'(尤)整理變形成

〃x)=g(x)-Mx)的形式，通過g(x)/(x)兩函數(shù)圖象的交點確定函數(shù)的零點個數(shù)；三、結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函

數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點個數(shù).

4、利用導(dǎo)數(shù)研究零點問題：

（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識確定

極值點和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖像；

（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過

構(gòu)造函數(shù)的方法，把問題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點問題；

（3）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想

研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)研究.

（―）

函數(shù)零點的求解與判斷方法

（1）直接求零點：令人尤）=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

（2）零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間團(tuán)，團(tuán)上是連續(xù)不斷的曲線，且八。）次6）<0,還必須結(jié)合函

數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個零點.

（3）利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標(biāo)有幾個不同

的值，就有幾個不同的零點.

（4）結(jié)合導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷函數(shù)零點個數(shù).

注：導(dǎo)函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的

探索、參數(shù)的分類討論等），需要學(xué)生對多種基本方法，基本思想，基本既能進(jìn)行整合，注意思路是通過

極值的正負(fù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)，較為復(fù)雜和綜合的函數(shù)零點個數(shù)問題，

分類討論是必不可少的步驟，在哪種情況下進(jìn)行分類討論，分類的標(biāo)準(zhǔn)，及分類是否全面，都是需要思考

的地方

題型1：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點個數(shù)

1-1.（2024高三下?江蘇常州?階段練習(xí)）已知/（x）=sin"x,g（x）=lnx+me*（"為正整數(shù)，mwR）.

⑴當(dāng)〃=1時，設(shè)函數(shù)用（力=f一1一2/（x）,xe（0,7i）,證明：%（力有且僅有1個零點；

（2）當(dāng)”=2時，證明：+g（x）<（x+m）ex-1.

1-2.(2024,江西九江?二模)己知函數(shù)/(無)=e*-依。(〃?陽，g(x)=x-l.

⑴若直線y=g(x)與曲線y=相切，求a的值；

⑵用表示〃.〃中的最小值，討論函數(shù)/i(x)=min"(x),g(x)｝的零點個數(shù).

1-3.(2024?山東?一模)已知/(x)=asinx-尤+」一(尤>-1),且0為/(x)的一個極值點.

x+1

⑴求實數(shù)。的值；

(2)證明：①函數(shù)"X)在區(qū)間(T,+8)上存在唯一零點；

11?1

②彳-----<^sin—<1,其中〃wN*且〃>2.

1-4.(2024?山東?一模)已知函數(shù)〃x)=asinx—ln(l+x).

⑴若對VX?T0］時，/(x)>o,求正實數(shù)〃的最大值；

⑵證明：Xsin7T<ln2；

&=2k

⑶若函數(shù)g(尤)=〃H+--癡1?的最小值為m,試判斷方程*E-ln(l+x)=0實數(shù)根的個數(shù)，并說明理

由.

1-5.(2024高三上?海南省直轄縣級單位?階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=x2—alnx(aeR).

⑴判斷函數(shù)〃x)的單調(diào)性；

(2)設(shè)g(x)=r(x)-〃x)-21n〃x),證明：當(dāng)。=2時，函數(shù)g(x)有三個零點.

彩健題祕籍

(二)

根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)

函數(shù)由零點求參數(shù)的取值范圍的常用方法與策略：

1、分類參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從/(無)中分離

參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通

過解不等式確定參數(shù)的取值范圍；

2、分類討論法：一般命題情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)

的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各

個小范圍并在一起，即可為所求參數(shù)的范圍.

題型2:根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)

2-1.(2024高二下,浙江臺州?期末)已知函數(shù)〃力=。垢+可.

⑴當(dāng)〃=1時，求曲線y=/(x)在點(1J⑴)處的切線方程；

(2)證明：當(dāng)時，“X)有且只有一個零點；

⑶若〃尤)在區(qū)間(0,1),(1,M)各恰有一個零點，求。的取值范圍.

2-2.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=g1+x-ln3)-2(a>0),若函數(shù)在區(qū)間(0,+巧內(nèi)存

在零點，求實數(shù)。的取值范圍.

2-3.(2024?四川成都?一模)已知函數(shù)/(x)=(ge'+q[e*-g+l)x.

⑴討論了(X)的單調(diào)性;

(2)若/(力有兩個零點，求。的取值范圍.

2-4.(2024高三上?廣東?階段練習(xí))已知函數(shù)/(元)=(尤-Je'+?x+；)2.

(1)討論的單調(diào)性；

(2)若〃尤)有兩個零點，求。的取值范圍.

2-5.(2024?浙江?二模)設(shè)函數(shù)/(x)=尤-sin段.

(1)證明：當(dāng)xe[0,l]時，/(x)<0；

(2)記g(x)=f(x)-aln國,若g(x)有且僅有2個零點，求。的值.

2-6.(2024高三?全國?專題練習(xí))已知〃對=9+/+依+，有3個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

題型3：根據(jù)零點個數(shù)求值

4To

3-1.(2024?陜西寶雞?二模)己知與是方程dei+21nx-4=0的一個根，貝路丁+21n%的值是()

A.3B.4C.5D.6

3-2.（2024高三上?廣東東莞?階段練習(xí)）已知函數(shù)/。）=（/-2尤）1,若方程〃力=。有3個不同的實根看，

巧，x（x,＜x＜x）,則，"的取值范圍是_________.

323z—X2

22x

3-3.（2024?福建福州,二模）已知函數(shù)=xe—（a+l）xe*+2a-1有三個零點x1,x2,x3,且％v%＜。＜崖.

貝！J（2—西匕西）（2—々e巧乂2—.

彩做題秘籍,=）

零點與不等式的證明問題

證明雙變量不等式的基本思路：首先進(jìn)行變量的轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙變量所滿足的關(guān)系式，

或者通過比值代換（令f=u）,利用關(guān)系式將其中一個變量用另一個變量表示，代入要證明的不等式，化簡后

根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值，并把最值應(yīng)用到所證不等式.

題型4：零點與不等式的證明問題

4-1.（2024高三上?廣東深圳,階段練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=（*'-尤2一G，aeR.

（1）當(dāng)」=1時,求函數(shù)g（x）=/（%）+*的單調(diào)區(qū)間;

4

（2）當(dāng)0＜。＜丁;，時，函數(shù)/（九）有兩個極值點為，x（石＜々），證明：%-王〉2.

e-1

4-2.（2024?寧夏）已知函數(shù)/（%）=（丁+3/+以+b）ex

（I）如〃=力=-3,求/（九）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若了⑺在（-8,。）,（2,0單調(diào)增加，在32）,（4,+8）單調(diào)減少，證明

P—oc＞6.

4-3.（2024?廣東深圳?二模）已知函數(shù)/（元）='匚-aln尤.

X+1

⑴當(dāng)“=1時，求/（X）的單調(diào)區(qū)間；

（2）①當(dāng)0＜a＜g時，試證明函數(shù)Ax）恰有三個零點；

②記①中的三個零點分別為X[,X2,三，且王＜%＜工3，試證明X；（l-尤3）＞。（尤;-）

4-4.（2024?山東日照?三模）己知函數(shù)/（x）=9-lnr-lna-l有三個零點.

(1)求。的取值范圍；

,X3

(2)設(shè)函數(shù)〃x)的三個零點由小到大依次是占,々，為證明：ae>e.

4-5.(2024?江蘇泰州?一模)己知函數(shù)xe(0,+s),g(x)=〃x)-尸(x).

⑴若a>0,求證：

(0)/(x)在/'(X)的單調(diào)減區(qū)間上也單調(diào)遞減；

(0)g(x)在(。，+°°)上恰有兩個零點；

(2)若。>1,記g(x)的兩個零點為占,受，求證：4<%+尤2<。+4.

4-6.(2024?遼寧?二模)已知函數(shù)/(x)="-lnx-a.

(1)若。=3.證明函數(shù)Ax)有且僅有兩個零點；

(2)若函數(shù)/(x)存在兩個零點X1，z,證明：eXiX1>ex'+e'2+2-2a.

4-7.(2024高三上?湖南長沙?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=lnx-(加-l)x+L

⑴若了(尤)存在極值，求加的取值范圍；

(2)若根=0,已知方程/(/)=2有兩個不同的實根aeR,證明：玉+%>2eln：(其中e，2.71828

是自然對數(shù)的底數(shù))

彩做題祕籍

(四)

導(dǎo)數(shù)與“隱零點”問題

利用“隱零點”證明不等式：關(guān)鍵在于“設(shè)而不求''及"等量代換”，常見的有不含參和含參兩種類型：①不

含參函數(shù)的隱零點問題：已知不含參函數(shù)式X),導(dǎo)函數(shù)方程/a)=o的根存在，卻無法求出，設(shè)方程了a)=o

的根為Xo,則⑦有關(guān)系式了。0)=0成立；(方)注意確定X0的合適范圍.②含參函數(shù)的隱零點問題：已知含參函

數(shù)用,a),其中。為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程了(x,a)=0的根存在，卻無法求出，設(shè)方程了(x,a)=0的根為xo,

則⑺有關(guān)系式f(xo,a)=0成立，該關(guān)系式給出了xo,a的關(guān)系；(〃)注意確定xo的合適范圍，往往和a的取

值范圍有關(guān).

題型5:導(dǎo)數(shù)與“隱零點”問題

5-1.(2024?全國)設(shè)函數(shù)/(x)=e2工一alnx.

（0）討論〃尤）的導(dǎo)函數(shù)/（X）的零點的個數(shù)；

2

（回）證明：當(dāng)a>0時/（x）22a+aln—.

5-2.（2024?海南省直轄縣級單位?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/（x）=x-alnx.

⑴求〃尤）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若y=/（x）有兩個零點，記較小零點為看,求證：（a-l）x0>a.

煉習(xí)與桎升

一、單選題

1.（2024?天津）函數(shù)/（x）=2“+/-2在區(qū)間。1）內(nèi)的零點個數(shù)是

A.0B.1C.2D.3

2.（2024?全國）函數(shù)/（%）=丁+方+2存在3個零點，則”的取值范圍是（）

A.(—0,-2)B.(一?,-3)C.(TT)D.(-3,0)

3.（2024?全國）已知函數(shù)/。）=/-2》+4（/7+邛川）有唯一零點，則。=

11-1

A.--B.-C.-D.1

232

4.（2024?吉林通化?模擬預(yù)測）已知函數(shù)/Xx）=（尤2+2）（/一362+4滿足：①定義域為R；②g<6<4；

③有且僅有兩個不同的零點為，巧，則J+J的取值范圍是（）

A.（-2,-1）B.C.D.（1,2）

5.（2024?河南鄭州?模擬預(yù)測）已知函數(shù)〃耳=?+1七+〃，若/（力=0有3個不同的解毛，巧，/

2ex,e*2e均

且占V9<%3，則----1----1---的取值范圍是（

%x2x3

A.(e,+oo)B.[2e,+oo)

C.（-8e,+co）D.（e,2e）

二、多選題

6.（2024高三上?河北保定?階段練習(xí)）已知函數(shù)/（力=尤3一G2+6X+],則下列說法正確的是（）

A.當(dāng)6=0時，/（x）有兩個極值點

B.當(dāng)a=0時，“X）的圖象關(guān)于（0,1）中心對稱

2

C.當(dāng)6=（，且。>-4時，，（無）可能有三個零點

D.當(dāng)“X）在R上單調(diào)時，0223b

7.（2024?廣東深圳?模擬預(yù)測）對于函數(shù)/⑺和g（x）,設(shè)％小"（力=。},蒼4|g（x）=0},若存在公馬,

使得k-赴歸1,則稱“X）與g（x）互為"零點相鄰函數(shù)".若函數(shù)/（x）=eA3+尤-4與8（%）=11?-如互為"零

點相鄰函數(shù)"，則實數(shù)〃?的值可以是（）

ln5ln3In21

A.---B.---C.---D.-

e

三、填空題

8.（2024?北京）已知函數(shù)/（幻=旭R-行-2,給出下列四個結(jié)論：

①若左=0,Ax）恰有2個零點；

②存在負(fù)數(shù)左，使得"X）恰有1個零點；

③存在負(fù)數(shù)左，使得了*）恰有3個零點；

④存在正數(shù)左，使得Ax）恰有3個零點.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

9.（2024高三上?江蘇南通?開學(xué)考試）已知定義在R上的函數(shù)，（“同時滿足下列三個條件:

①“X)為奇函數(shù)；②當(dāng)0WxW2時，/(X)=X3-3X,③當(dāng)x20時，/(x+2)=/(%)+2.

則函數(shù)y=/（x）-ln|x|的零點的個數(shù)為

xex-x2-2x,x<l

10.（2024高三上?廣東深圳?階段練習(xí)）已知函數(shù)〃尤）=<9，則方程a〃x)]+二l有—

XH--------O,Ari1C

X

個不相等的實數(shù)解.

11.(2024?陜西西安?一模)若函數(shù)〃x)=2丁-加+l(aeR)在(O,+s)內(nèi)有且只有一個零點，則〃x)在

[-2,2]上的最大值與最小值的和為.

四、解答題

12.(2024?全國)己知函數(shù)/(x)=sinx-ln(l+x),/'(x)為了(元)的導(dǎo)數(shù).證明：

jr

(1)/co在區(qū)間(-1,萬)存在唯一極大值點;

(2)/⑺有且僅有2個零點.

13.(2024?全國)已知函數(shù)"X)=；丁+X+1).

(1)若。=3,求“X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明："X)只有一個零點.

14.(2024?全國)已知函數(shù)/(x)=ox-L-(a+l)lnx.

X

(1)當(dāng)。=0時，求f(x)的最大值；

⑵若/")恰有一個零點，求。的取值范圍.

15.(2024?全國)已知函數(shù)/(x)=ln(l+x)+oxeT

⑴當(dāng)。=1時，求曲線y=/(x)在點(0,〃。))處的切線方程；

(2)若“X)在區(qū)間(-1,0),(0,y)各恰有一個零點，求°的取值范圍.

16.(2024高三上?河南?階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/■(x)=(x-2)ln(x-l)-at,aeR.

⑴若在(2,y)上單調(diào)遞增，求。的取值范圍；

(2)已知〃x)有兩個不同的零點占,馬,

(i)求a的取值范圍；

11,

(ii)證明：—+—=1.

冗1x2

17.(2024高三上?四川成都?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=alnx+x-：有三個零點%1，/，%3(王〈々〈七),

⑴求a的取值范圍；

⑵過點&,0)與(&,0)分別作了(%)的切線，兩切線交于M點，求M點到y(tǒng)軸的距離.

X

18.(2024?全國)已知函數(shù)/(%)=---lnx+x-〃.

⑴若〃”)20,求a的取值范圍;

(2)證明：若“X)有兩個零點%,則%

VH

19.(2024?河北?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(元)=lnx+—-2.

x

⑴若不等式/(x)<-2有解，求實數(shù)加的取值范圍；

⑵若/(X)有兩個不同的零點不，龍2，證明：21ns<lnX]+ln尤2<l+ln機.

20.(2024?陜西)設(shè)力。)=》+犬+…+x”-l,weN,〃22.

(0)求力'⑵;

(0)證明：Z.(x)在內(nèi)有且僅有一個零點(記為%)，且

21.(2024高三上?河南洛陽?開學(xué)考試)(1)證明不等式：ei>ln無(第一問必須用隱零點解決，否則不

給分)；

(2)己知函數(shù)/(>)=(尤-2)e，+a(x-l)2有兩個零點.求a的取值范圍.(第二問必須用分段討論解決，否則不給

分)

22.(2024高三上?河北?期中)已知函數(shù)/(x)=2e'+a(x2-lnx)+x.

⑴若。=-2e-l,求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)記函數(shù)g(x)=f2—aln(無+l)+x+4,若g(x)恒成立，試求實數(shù)0的取值范圍.

23.(2024高三上?云南?階段練習(xí))已知g(x)=xe"-a(lnx+x).

⑴當(dāng)a=l時，求g(x)在(1,+8)上的單調(diào)性;

⑵若/z(x)=xe",令=討論方程〃x)=〃2(MieR)的解的個數(shù).

24.(2024高三上?北京?開學(xué)考試)已知函數(shù)/(%)=依-一，曲線>=〃尤)在(0,/(0))的切線為y=-X+1.

e

(1)求a,6的值；

⑵求證：函數(shù)在區(qū)間(1,”)上單調(diào)遞增；

⑶求函數(shù)/(尤)的零點個數(shù)，并說明理由.

25.(2024高三上?河北保定?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=罷把-[

a￡R.

⑴當(dāng)a=-l時，證明：〃力>1在[-匹0]上恒成立；

(2)當(dāng)a=l時，求在［凡2句內(nèi)的零點個數(shù)..

26.(2024高三上?重慶?階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)x-i,其導(dǎo)函數(shù)為廣(x).

⑴求y=/'(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)g(x)=-小+(a—l)x,求關(guān)于X的方程g(%)=/(%)的解的個數(shù).

27.(2024高三上?河北?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=sin(x-l)-lnx,/(力為〃尤)的導(dǎo)數(shù).

⑴證明：尸(%)在區(qū)間］。,1+鼻上存在唯一極大值點；

⑵求函數(shù)〃力的零點個數(shù).

28.(2024高三上?重慶?開學(xué)考試)已知函數(shù)〃勸=朧M.

⑴求〃尤)的極值；

(2)若關(guān)于無的方程/(X)=根只有一個實數(shù)解，求實數(shù)機的取值范圍.

29.(2024高三上?四川廣安?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=/+3依-2.

⑴討論"X)的單調(diào)性；

⑵若函數(shù)/(X)只有一個零點，求實數(shù)。的取值范圍.

30.(2024高三上?江西南昌?開學(xué)考試)已知函數(shù)/'(%)=，("1).

⑴求函數(shù)g(x)=〃x)+U在(0,+“)上的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑵若方程=1-xlog“x有兩個不同的正根，求。的取值范圍.

31.(2024高三上?福建廈門?階段練習(xí))若函數(shù)/。)=辦3_法+4,當(dāng)x=l時，函數(shù)〃x)有極值為2,

⑴求函數(shù)的解析式；

(2)若〃尤)=上有3個解，求實數(shù)上的范圍.

32.(2024?河北保定?二模)已知函數(shù)/(%)=(彳+2)孑+/+依，其中常數(shù)aeR,e是自然對數(shù)的底數(shù).

⑴若°=-3,求“X)的最小值；

(2)若函數(shù)g(x)=/(x)-2cosx恰有一個零點，求a的值.

33.(2024高三上?重慶?階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=aln尤-￡,(aeR).

X

⑴討論f(x)的單調(diào)性;

⑵若函數(shù)g(x)=〃x)+W在區(qū)間(1,+8)上恰有一個零點，求a的取值范圍.

34.(2024?河南?模擬預(yù)測)已知函數(shù)f{x)=a}nx-bx(a,b￡R,aw0).

⑴求證：曲線>=/(%)僅有一條過原點的切線；

(2)若〃=2b>0時，關(guān)于x的方程/(九)=m-必有唯一解，求實數(shù)機的取值范圍.

35.(2024?新疆?三模)已知函數(shù)/(%)=ax2+(〃+i)x]nx-l,且(無)=幺^.

(1)討論g(%)的單調(diào)性;

2

⑵若方程/CO'Yy+xInx—1有兩個不相等的實根為,々，求實數(shù)。的取值范圍，并證明口+巧〉——e.

XxX2

36.(2024?江西鷹潭?一模)設(shè)機為實數(shù)，函數(shù)/(x)=2/nlnx-2x(m￡R).

⑴當(dāng)機=；時，直線y=ax+人是曲線y=/(x)的切線，求a+〃的最小值；

(2)已函數(shù)有兩個不同的零點為，巧(0<x1<x2),若尤。=3±孕(彳/-1)，且/(%)<0恒成立，求

實數(shù)力的范圍.

37.(2024高三下?重慶沙坪壩?階段練習(xí))已知函數(shù)=-asinx.

⑴證明：當(dāng)a>2時，“X)在區(qū)間(0馬上存在極值點；

(2)記〃尤)在區(qū)間?上的極值點為相，在區(qū)間[0,可上的零點的和為小請比較2機與〃的大小.

38.(2024高三上?內(nèi)蒙古烏蘭察布?期中)設(shè)函數(shù)〃x)=-/lnx+q+如

(1)試討論函數(shù)〃尤)的單調(diào)性；

⑵如果a>0且關(guān)于X的方程〃x)=機有兩個解石,%(占<%2),證明：xl+x2>2a.

39.(2024高三上?遼寧大連?期中)已知函數(shù)/(x)=e，-T—a㈠自然對數(shù)的底數(shù))有兩個零點.

⑴求實數(shù)。的取值范圍；

(2)若/(X)的兩個零點分別為4，X?,證明：Xlx2>^—.

十以

40.(2024高三下?重慶九龍坡?開學(xué)考試)已知/(x)=21ogJX-e?(a>0且"1).

⑴試討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。>1時，若/(x)有三個零點國,％,三.

①求。的范圍；

②設(shè)占<々<龍3，求證：3x；+2x：+x；>2e-2.

41.(2024高三上?廣東河源,開學(xué)考試)已知函數(shù)/(x)=ln(x+l),g(x)=〃x)+ae',其中aeR.

⑴求過點且與函數(shù)/(x)的圖象相切的直線方程；

2

⑵①求證：當(dāng)x>0時，e%>l+x+y；

②若函數(shù)g(無)有兩個不同的零點工，“求證：|X2-X]|<2^+|-1.

全國名校大聯(lián)考2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一聯(lián)考(月考)數(shù)學(xué)試題)已知函數(shù)〃x)=21nx+w(。eR).

(1)若〃尤)W0在(0,+e)上恒成立，求a的取值范圍：

(2)設(shè)g(x)=--/(x),X],4為函數(shù)g(x)的兩個零點，證明：xix2<l-

43.(2024?江蘇南京?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=lnx,g(尤)=：f-2x+l.

(1)求函數(shù)夕(x)=g(x)-3〃X)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)設(shè)=,aeR.

①求證：函數(shù)y=/z(x)存在零點；

②設(shè)。<0,若函數(shù)y=/z(x)的一個零點為S.問：是否存在a,使得當(dāng)xe(o,m)時，函數(shù)y=/i(x)有且僅有

一個零點，且總有恒成立？如果存在，試確定。的個數(shù)；如果不存在，請說明理由.

2犬+a+2

44.(2024高三上?山西臨汾?期中)已知函數(shù)/(x)=e*-qsinx-l,g(x)=-二------+a(cosx-sinx)+2,

在(0,萬)上有且僅有一個零點X。.

⑴求。的取值范圍；

(2)證明：若l<a<2,則g(x)在(-萬,0)上有且僅有一個零點A，且質(zhì)+x1Vo.

45.(2024高三上?廣東深圳?階段練習(xí))已知a>0,函數(shù)〃x)=xe*-。，g(x)=xlnx-a.

⑴證明：函數(shù)“X),g(x)都恰有一個零點；

(2)設(shè)函數(shù)的零點為A，g(x)的零點為證明占尤2=".

46.(2024?海南海口?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=xe"2.

⑴求的最小值;

(2)設(shè)F{x)=f(x)+a(x+1)?(a>0).

(回)證明：尸(x)存在兩個零點,巧；

(團(tuán))證明：廠(%)的兩個零點七，巧滿足演+々+2<。.

47.(2024高三上?甘肅天水,階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=lnx+ax2+(2a+l)x.

(1)討論函數(shù)/*)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)。=0時，g(x)=(%-1)/(%)-%2-1,證明：函數(shù)g(無)有且僅有兩個零點，兩個零點互為倒數(shù).

48.(2024?四川遂寧?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(x)=lnx+ax2+(2a+l)x.

(1)若函數(shù)/(x)在x=l處取得極值，求曲線y=/(x)在點(2,7(2))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/*)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)。=。時，g(x)=(x-l)/(x)-x2-1,證明：函數(shù)g(x)有且僅有兩個零點，且兩個零點互為倒數(shù).

49.(2024高三?湖南長沙,階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=InX-eR)在其定義域內(nèi)有兩個不同的零點.

(1)求。的取值范圍；

(2)記兩個零點為占,且占<%，已知2>0,若不等式“In%—l)+lnx「1>0恒成立，求X的取值范

圍.

50.(2024,廣西?模擬預(yù)測)已知/'(x)=(x3-ar+l)lnx.

(1)若函數(shù)/(x)有三個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)在(1)的前提下，設(shè)三個零點分別為占,超，為且毛<%<三，當(dāng)玉+W>2時，求實數(shù)a的取值范圍.

51.(2024?貴州遵義?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/OOnJd+aY+bx+i(兄匕6尺).

(1)若b=0,且/⑺在(0,+8)內(nèi)有且只有一個零點，求。的值；

(2)若°2+6=0,且有三個不同零點，問是否存在實數(shù)。使得這三個零點成等差數(shù)列？若存在，求出

。的值，若不存在，請說明理由.

52.(2024?浙江?二模)設(shè)。<■!，己知函數(shù)/(x)=(x-2)e'-a(x2_2*+2有3個不同零點.

⑴當(dāng)。=0時，求函數(shù)“X)的最小值：

⑵求實數(shù)。的取值范圍；

⑶設(shè)函數(shù)/'(X)的三個零點分別為芯、々、演，且%”3<0,證明：存在唯一的實數(shù)。，使得看、X］、龍3成

等差數(shù)列.

53.(2024高三上,山東臨沂?期中)已知函數(shù)/(*)=叱和g(x)=§有相同的最大值.

xe

(1)求。，并說明函數(shù)版?=/(無)-gQ)在(1,e)上有且僅有一個零點；

(2)證明：存在直線y=b,其與兩條曲線丁=/(幻和'=8。)共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交

點的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列.

54.(2024?湖北黃岡?三模)已知函數(shù)〃x)=xsinx+cosx+ax2,g(x)=xln2.

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⑴當(dāng)。=0時，求函數(shù)/(X)在求兀，兀］上的極值;

(2)用max卜表示