二次函數(shù)（考點清單9個考點）解析版

專題07二次函數(shù)（考點清單）

善考點歸納

【考點11二次函數(shù)的相關概念［考點2］二次函數(shù)的性質(zhì)

【考點3］二次函數(shù)的圖像［考點4］二次函數(shù)與系數(shù)的關系

【考點5］待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

【考點6］二次函數(shù)與一元二次方程關系

【考點7］二次函數(shù)與不等式的關系［考點8］二次函數(shù)的實際應用

【考點9］二次函數(shù)綜合

越真題精練

【考點1］二次函數(shù)的相關概念

L下列各式中，y是關于x的二次函數(shù)的是（）

A.y=x+2B.y=C.y=x2-4尤D.y=—^

x

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義逐一判斷即可求解.

【詳解】解：A、y=x+2是一次函數(shù)，故此選項不符合題意；

B、y=;?+l不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意；

C、y=--4x是二次函數(shù)，故此選項符合題意；

D、7=4＞等號右邊是分式，不是二次函數(shù)，故此選項不符合題意.

x

故選：C.

2.若了=（加+2）--2+加x+1是關于x的二次函數(shù)，則加的值為（）

A.-2B.0C.2D.±2

【答案】C

【詳解】根據(jù)二次函數(shù)的定義：形如＞="2+笈+，（縱b、c是常數(shù)，且。工0）的函數(shù)叫

做二次函數(shù).據(jù)此可列出關于參數(shù)加的方程與不等式，求解即可.令加2_2=2,解得皿=2

或%=-2,又：加+2H0,.?.加片-2,故當a=2時，這個函數(shù)是關于x的二次函數(shù)，故選C.

【易錯點分析】明確二次函數(shù)的定義是解題的關鍵，尤其需要注意的是二次項的系數(shù)應不等

于零，忽略關于二次項系數(shù)取值范圍的限制，容易導致錯選D.

3.二次函數(shù)＞-3x+5的二次項是,一次項系數(shù)是,常數(shù)項是.

【答案】V一35

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可。

【詳解】解：二次函數(shù)＞=--3尤+5的二次項是公,一次項系數(shù)是-3,常數(shù)項是5,

故答案為：①Y，（2）-3,（3）5,

【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，要熟練掌握，一般地，形如y=ax2+6x+c（*b、

C是常數(shù)，arO）的函數(shù)，叫做二次函數(shù).其中X、》是變量，。、b、C是常量，。是二次

項系數(shù)，6是一次項系數(shù)，。是常數(shù)項.

【考點2］二次函數(shù)的性質(zhì)

4.已知二次函數(shù)y=-3（x+2）2-3的圖象性質(zhì)，下列說法正確的是（）

A.對稱軸為直線x=2B.頂點為（2,-3）C.最大值是-3D.開口向上

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關鍵.

根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行判斷作答即可.

【詳解】解：由題意知，對稱軸為直線x=-2,頂點為（-2,-3）,最大值是-3,開口向下，

；.C正確，故符合要求；A、B、D錯誤，故不符合要求；

故選：C.

5.將拋物線了=-3。+1『+3向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得拋物線解析式

為（）

A.y=-3（x+4『+lB.y=-3（x-2『+l

C.y=-3（x+4）"+5D.y=-3（x-2）2+5

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟知"上加下減，左加右減”的平移規(guī)律是解

題的關鍵.

【詳解】解：將拋物線了=-3（》+1『+3向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得拋

物線解析式為y=-3（x+l-3『+3-2,即y=-3（x-2）2+l,

故選B.

6.二次函數(shù)y=-（x-3p+5的頂點坐標是（）

A.（-3,5）B.（3,5）C.（-3,-5）D.（3,-5）

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，對于二次函數(shù)y=a（x-/02+左（其中0、b、c

是常數(shù)，。/0）,其頂點坐標是（九k）,據(jù)此可得答案.

【詳解】解：二次函數(shù)/-口-3『+5的頂點坐標是（3,5）,

故選B.

7.已知點/（-4,必），8（-2,%）,C（3,%）在拋物線y=-xZ-2x+c上,則%,y2,%的大

小關系為（）

A.y2>yi>y3B.%>%>%

c.弘>%>%D.%>必>外

【答案】A

【分析】分別計算出自變量為-4,-2和3時的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值得大小即可.二次

函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式，熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征是本題的關鍵.

【詳解】解:把/（工必）,8（-2,%）,C（3,%）分另峨入y7-2x+c得

%=-16+8+c=—8+。,%=—4+4+。=c,%=-9-6+c=-15+c,

故%>%>%

故選：A.

8.二次函數(shù)丁="2+/+<:（。片0）圖象是拋物線，.白變量x與函數(shù)y的部分對應值如下表:

X-3-2-1012

y40-2-204

下列說法不正確的是（）

A.拋物線與y軸的交點坐標為（0,-2）B.拋物線的對稱軸是x=

C.函數(shù)y的最小值為-2D.當x>3時，y隨x的增大而增大

【答案】C

【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，運用待

定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，配方后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個選項中的說法是

否正確，本題得以解決.

【詳解】解：把（一1,一2）,（0,-2）,（1,0）代入〉="2+法+,得，

u—b+c=—2

<c=-2,

a+b+c+=O

ci—\

解得，<6=1,

c=-2

（1Y9

??V—%2+x_2=，

Ix-2；....4.

拋物線頂點坐標為對稱軸為直線x=故選項B說法正確，不符合題意；

I24J2

當x=0時，j=-2,拋物線與y軸的交點坐標為（0,-2）,故選項A說法正確，不符合題意；

9

????=1>0,拋物線開口向上，函數(shù)y有最小值為-^，故選項C說法不正確，符合題意；

:對稱軸為直線x=-1,圖象開口向上，

...當x>3時，y隨x的增大而增大，故選項D說法正確，不符合題意；

故選：C.

9.對于二次函數(shù)>=/一4》-1的圖象，下列敘述正確的是（）

A.開口向下B.當x22時，y隨x增大而減小

C.頂點坐標為（-2,-5）D.對稱軸為直線x=2

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解

答.根據(jù)題目中的拋物線的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個選項中的說法是否正確.

【詳解】解：J=X2-4X-1=（X-2）2-5,

拋物線開口向上，對稱軸為x=2,頂點坐標為（2,-5）,當x22時，y隨x增大而最大，

故選項A、B、C錯誤，選項D正確.

故選：D.

io.某超市銷售某款商品每天的銷售利潤y（元）與單價x（元）之間的函數(shù)關系式為

>=--+10%+125,則銷售這款商品每天的最大利潤為（）

A.5元B.125元C.150元D.200元

【答案】c

【分析】本題考查二次函數(shù)的應用，由函數(shù)解析式，利用配方法轉(zhuǎn)化，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最

值.

【詳解】解：J；=-X2+10X+125=-（X-5）2+150,

，當尤=5時，y有最大值，最大值丁=150,

銷售這款商品每天的最大利潤為150元，

故選：C.

【考點3］二次函數(shù)的圖像

11.關于X的二次函數(shù)>="2-2彳+<:和一次函數(shù)y=ax+c（a,c都是常數(shù)，且awO）在

同一平面直角坐標系中的圖象可熊是（）

【答案】D

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)與系數(shù)的關系，分別判斷出

每個選項中二次函數(shù)和一次函數(shù)中。、C的符號，若a、C的符號一致，且與y軸交點坐標相

同即為所求.

【詳解】解：A、拋物線開口向下，與y軸交于正半軸，則。<0,c>0；一次函數(shù)經(jīng)過第一、

二、三象限，則。>0,c>0,二者。、c的符號不一致，不符合題意；

B、拋物線開口向上，與了軸交于負半軸，則。>0,c<0；一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限,

則a>0,c>0,二者“、c的符號不一致，不符合題意；

C、拋物線開口向下，與了軸交于負半軸，則。<0,c<0；一次函數(shù)經(jīng)過第二、三，四象限,

則。<0,c<0,但是二者與y軸的交點不一致，不符合題意；

D、拋物線開口向上，與y軸交于負半軸，則。>0,c<0；一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限,

則。>0,c<0,二者與y軸的交點一致，符合題意；

故選D.

12.函數(shù)y=bx+。和>="2+樂在同一平面直角坐標系內(nèi)的圖像大致是（）

【分析】本題是一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的綜合，熟悉這兩種函數(shù)的圖象與性質(zhì)是關鍵；根

據(jù)二次函數(shù)開口方向、對稱軸的位置可確定。、6的符號；根據(jù)一次函數(shù)的升降及直線與y

軸交點可確定。、6的符號，兩者符號相同時正確，否則錯誤，由此即可確定正確答案.

【詳解】解：A、對于拋物線而言，a>0；對于直線，它與y軸的交點在y軸負半軸上，則

a<0,顯然矛盾，不符合題意；

B、對于拋物線而言，a>0,--<0,則6>0；對于直線，圖象是下降的，則6<0,顯

2a

然矛盾，不符合題意；

C、對于拋物線而言，a<0-,對于直線，它與y軸的交點在V軸正半軸上，則。>0,顯然矛

盾，不符合題意；

D、對于拋物線而言，a<0,-鄉(xiāng)>0,則6>0；對于直線，它與y軸的交點在y軸負半軸

2a

上，則”。，圖象是上升的，貝同>0,顯然符合題意；

故選：D.

13.函數(shù)y="+1與歹=狽2+辦+1（。的圖象可能是（）

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象的綜合判斷，根據(jù)二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象和

性質(zhì)，進行判斷即可.

【詳解】解：當。＞0時，一次函數(shù)的圖象過一，二，三象限，二次函數(shù)的圖象開口向上，

對稱軸在y軸的左側(cè)；

當.＜。時，一次函數(shù)的圖象過一，二，四象限，二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸在y軸的

左側(cè)；

綜上，滿足題意的只有C選項；

故選c.

14.函數(shù)了="+1與＞+6x+l(aw0)的圖象可能是()

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象和二次函數(shù)圖象的識別.首先分兩種情況進行分析，當

。>0時，可以確定一次函數(shù)與二次函數(shù)的大致走向；同理當心0時也可以，再結(jié)合兩函數(shù)

圖象交于（0，1）點即可得出答案.

【詳解】解：當a>0時，直線過一、三象限，拋物線開口向上；

當.<0時，直線過二、四象限，拋物線開口向下，

可得選項B、C、D不符合題意，選項A符合題意，

故選：A.

【考點4】二次函數(shù)與系數(shù)的關系

15.二次函數(shù)>="2+為+。的圖像如圖所示，對稱軸是直線x=l.下列結(jié)論：①必c<0；

②a-，+c>0；③4+b+c<0；（4）am2+bm>a+b（力，為實數(shù)）.其中結(jié)論正確的個數(shù)

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、二次函數(shù)圖像與其系數(shù)間的關系等知識,

熟練掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關鍵.根據(jù)該二次函數(shù)圖像的開口方向、對稱軸以

及與V軸交點位置分析。、氏。的符號，即可判斷結(jié)論①；由函數(shù)圖像可知，當尸-1時，

y>0,即可判斷結(jié)論②；由函數(shù)圖像可知，當x=l時，y<Q,即可判斷結(jié)論③結(jié)合當x=l

時，該二次函數(shù)取最小值，易知°用+Zw?+c2a+6+c（加為實數(shù)），即可判斷結(jié)論④.

【詳解】解：根據(jù)題意，該函數(shù)圖像開口向上，

??a>0,

:對稱軸是直線x=l,

??一］,

2a

b=-2a<0,

:該函數(shù)圖像與了軸交于負半軸,

.,.當x=0時，可有y=c<0,

abc>0,故結(jié)論①不正確；

由函數(shù)圖像可知，當尸-1時，y>0,

a-b+c>0,故結(jié)論②正確；

由圖像可知，當x=i時，y<o,

a+b+c<0,故結(jié)論③正確；

:當x=l時，該二次函數(shù)取最小值，

am2+bm+c>a+b+c（冽為實數(shù)）,

即由2+6加2a+6（m為實數(shù)）.

綜上所述，結(jié)論正確的有②③④，合計3個.

故選：C.

16.拋物線>="2+汝+改。片0）的部分圖象如圖所示，對稱軸為直線x=-l,下列說法正確

的是（）

【答案】C

【分析】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識；根據(jù)圖象的開口、對稱軸

及圖象與坐標軸的交點即可確定答案.

【詳解】解：由圖象知，拋物線開口向下，則。<0,

由拋物線對稱軸在y軸左邊，得-2<0,貝3<0,

2a

ab>0,故A錯誤；

??,拋物線對稱軸為直線--1,

???即-3=-1,當X=-1時，函數(shù)取得最大值，且最大值為正，

2a

2a-b=0,a-b+c>0,

故C正確，B錯誤；

由圖象知，拋物線與x軸有兩個不同的交點，則。/+法+。=0（。x0）有兩個不相等實數(shù)根,

所以爐-4ac>0，

即b2>4ac,

故D錯誤;

故選：C.

26.如圖為二次函數(shù)^=亦2+麻+&“片0）的圖象，對稱軸是x=l,則下列說法：①b>0；

②2a+b=0；（3）4a-2b+c>0；@3a+c>0；⑤〃7（小。+。）<6（常數(shù)加w1）.其中正確

的個數(shù)為（）

【答案】B

【分析】本題考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，由拋物線的開口方向判斷。與0的關系,

由拋物線與V軸的交點判斷c與。的關系，然后根據(jù)對稱軸x=l計算20+6與。的關系；再

由根的判別式與根的關系，進而對所得結(jié)論進行判斷.

【詳解】解：①由拋物線的開口向下知a<0,對稱軸為直線x=-2>0,則6>0,故本

2a

選項正確；

②由對稱軸為直線x=l,

—=1,??.6=-2%則2。+8=0,故本選項正確；

2a

③由圖象可知，當、=-2時，歹<0,則4〃-26+。<0,故本選項錯誤；

④從圖象知，當工=-1時，>=0,則Q-6+C=0,

?/b=-2a,

a+2a+c=0,即3“+c=0,故本選項錯誤；

⑤；對稱軸為直線X=1,

???當X=1時，拋物線有最大值，

a+b+c>m2a+mb+c,

.?.加（加。+6）<。+6（常數(shù)觀wl）,故本選項正確;

故選：B.

17.如圖，拋物線y="2+6x+c(a*0)的對稱軸是直線x=-2,且拋物線與x軸交于/,B

兩點，若。/=5Q8,則下列結(jié)論中：(1)abc>0；②(o+cj-3fO；③5a+c=0；

@a-b+c>Q；⑤若加為任意實數(shù)，則a/+歷”+26..正確的個數(shù)是()

【答案】A

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點可

得a,b,。的符號及。與6的關系，從而判斷①，由。4=502及對稱軸可得點5坐標，從

而判斷②③④，由x=-2時y取最小值可判斷⑤.

【詳解】解：???拋物線開口向上，

〃>0,

???拋物線對稱軸為直線》=-?=-2,

2a

Z?=4Q>0,

???拋物線與y軸交點在x軸下方，

/.c<0,

/.abc<0,①錯誤.

設拋物線對稱軸與X軸交點為￡(-2,0),則OE=2,

?：OA=5OB,

：.OE=2OB,即點5坐標為(1,0),

x=l時，y=a+b+c=0,

(tz+c)2-b2=(a+c+b)(q-6+c)=0,②錯誤.

\,a+b+c=5a+c=Q,

c=-5a,

「.5a+c=0,③正確.

當％=-1時，y=a-b+c<0,④錯誤.

???％=-2時y取最小值，

/.am2+bm+c>4a-2b+c,BPam2+bm+2b>4a>⑤)錯誤.

故選：A.

18.如圖，已知二次函數(shù)》="2+a+。(。。0)的圖象如圖所示，其對稱軸為直線％=1,以

下4個結(jié)論：(T)abc<0；</；③。+6<加(。加+6)，其中加。1；④4q+2b+c>0.其

中正確結(jié)論的有()

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【分析】此題主要考查了拋物線的圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，由拋物線的開口方向判

斷〃的符號，由拋物線與y軸的交點判斷。的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與％軸交點情

況進行推理，分別觀察x=2,x=-l,%=1時的函數(shù)值，進而對所得結(jié)論進行判斷即可.

【詳解】解：由圖象可知：”0,。＞0,

Z?>0,

abc<0,故①正確；

當x=-l時，y<0,即。一6+c<0,

當x=l時，y>0,即a+6+c>0,

(?-Z?+c)(a+Z?+c)<0

則(a+c『-/<o

即(a+c)-<b1

所以②正確；

③當x=l口寸，y的值最大.此時昨a+6+c,

2

而當X=7"時，y=am+]jm+ct其中7"片1,

所以。+6+c>am2+bm+c

故a+6>am2+bm，

即a+b>機(。制+6),故③錯誤.

④由對稱知，當x=2時的函數(shù)值與x=0時的函數(shù)值相等，即y=4a+2b+c>0,故④正確;

故選：B.

【考點5]待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

19.將二次函數(shù)y=(x-2『+l的圖象繞點(2,1)旋轉(zhuǎn)180。得到的圖象滿足的解析式為()

A.7=(x-2)2+1B.y=(x+2)2+1

C.y=-(x-2)+1D.y=-(x+2)~—1

【答案】C

【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點的變化確定函數(shù)解析式的變化更簡

便.求出原拋物線的頂點坐標以及繞點(2,1)旋轉(zhuǎn)180。后的拋物線的頂點坐標，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)

后拋物線開口方向向下，利用頂點式解析式寫出即可.

【詳解】解：：拋物線y=(x-2『+l的頂點坐標為(2,1),開口向上

繞點(2,1)旋轉(zhuǎn)180。后的拋物線的頂點坐標為(2,1),開戶口向下，

，所得到的圖象的解析式為y=-(尤-2)2+1,

故選：C.

20.拋物線y=ax2+6x+c與x軸的兩個交點為（TO）,（2,0）,其形狀和開口方向與拋物線

y=-2尤2相同，則拋物線y=ax?+6無+c的表達式為（）

A.y=~2x2-2x+3B.y=—lx1+2x+4

C.y——2廠—2x+4D.y=—2x~+4x+6

【答案】B

【分析】本題考查二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系，及用交點式求函數(shù)解析式，明確。決定拋物

線的開口方向和形狀是解題關鍵.根據(jù)題意可設拋物線的交點式，再由兩拋物線形狀及開口

相同得到a相同，從而確定解析式即可.

【詳解】解：由題意設拋物線的交點式為：y=a（x+l）（x-2）,

???該拋物線的形狀和開口與＞=-2/相同，

a=—2,

，拋物線的解析式為：y=-2（x+l）（x-2）,

整理得：＞=_2/+2x+4,

故選：B.

21.若拋物線的頂點坐標是且經(jīng)過點（1，-8）,則該拋物線的解析式為（）

A.y=-（x+2）~+1B.y=-+2）~-1C.y=-9（x-2）+1D.y=-7（x-2）—1

【答案】A

【分析】設拋物線解析式為y="x+2『+l,將點（1,-8）代入，即可求解.

【詳解】解：設拋物線解析式為y=a（x+2y+l,將點代入，得

-8=a（l+2）2+l

解得：a=—\

，解析式為y=-（X+2）+1,

故選：A.

【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

是解題的關鍵.

22.已知頂點為（2,4）的拋物線過點（4,0）,此拋物線的表達式是（）

A.y=-(x-2)2+4B.y=(x-2)2-4

C.y=(x—2)2+4D.y=—(x—2)2—4

【答案】A

【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標設出二次函數(shù)的解析式了=。(尤-2)2+4(0片0),然后

將(4,0)代入，可求得a的值.

【詳解】解：二次函數(shù)圖象的頂點坐標是(2,4),則設這個二次函數(shù)的解析式為

y=a(x-2)2+4(awO),

把(4,0)代入，得4a+4=0,

解得a=-1,

故這個二次函數(shù)的表達式為：y=-(x-2)2+4.

故選：A.

【點睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關鍵是根據(jù)頂點坐標正確設

出二次函數(shù)的表達式.

23.已知拋物線^=/+法+°,經(jīng)過點/(0,5)和點8(3,2)

⑴求拋物線的解析式；

(2)求拋物線的頂點坐標.

【答案】"=/-4尤+5

(2)(2,1)

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求解析，二次函數(shù)的性質(zhì)；

(1)利用待定系數(shù)法，把問題轉(zhuǎn)化為方程組即可解決.

(2)利用配方法求頂點坐標即可；

【詳解】(1)解：因為拋物線〉=苫2+法+,經(jīng)過點/(0,5)和點3(3,2)

c=5

所以

2=3?+36+c

b=-4

解得

c=5

所以，拋物線的解析式為了=f-4無+5.

(2)'：y=x2-4x+5=(x-2)2+l,

，頂點坐標為(2,1).

24.已知拋物線y=-+c的圖象經(jīng)過點(0,—3),(—6,—3).

⑴求拋物線的解析式；

(2)當-54x41,求V的最大值.

【答案】(1)jp=—X2—6x—3

(2)6

【分析】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識

(1)將圖象經(jīng)過的兩個點的坐標代入二次函數(shù)解析式解答即可；

(2)依據(jù)題意，將(1)得到的解析式進行變形后，結(jié)合-5VxVl,可得當x=-3時，了有

最大值，

【詳解】(1)解：把(0,—3),(—6,—3)代入y=—+6x+c

c=-3b=

解得

-36-6b+c=-3

???拋物線的解析式為>=-%2_6工_3

(2)解：J^=-X2-6X-3=-(^+3)2+6

,該拋物線的對稱軸為直線x=-3

又-1<0故拋物線開口向下

-54尤41,當x=-3時，y取最大值，4.=6.

25.已知拋物線的頂點坐標為(-1,-8),且過點(0,-6).

(1)求此拋物線的解析式.

(2)以x軸為對稱軸，將拋物線進行軸對稱變換，求變換后所得到的拋物線解析式.

【答案】⑴y=2(x+l)2-8

(2)y=-2(x+l)2+8

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的

幾何變換等知識，明確關于X軸對稱的點的坐標特征是解題的關鍵.

(1)設函數(shù)的解析式是片a(x+l)-8,把(0,-6)代入函數(shù)解析式即可求得。的值，則函數(shù)

的解析式即可求得.

(2)關于x軸對稱的點的坐標橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，據(jù)此即可求得變換后的拋

物線解析式.

【詳解】(1)解：由題意設函數(shù)的解析式是y=a(x+iy-8

把。-6)代入函數(shù)解析式得a-8=-6

解得：a=2

則拋物線的解析式是y=2(x+Ip-8；

(2)?.?關于x軸對稱的點的坐標橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)

...拋物線丁=2(x+iy-8以x軸為對稱軸進行軸對稱變換，所得的拋物線的解析式為：

—y=一〔2(x+1)一—8^=—2(x+1)"+8,即y=—2(x+1)2+8.

【考點6］二次函數(shù)與一元二次方程關系

26.若二次函數(shù)>-2》-1的圖象與x軸有交點，則左的取值范圍是()

A.k>—1B.左N—1且左中0C.k<—1D.k4—1且％中0

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關系，二次函數(shù)與x軸有交點，則對應

的一元二次方程有實數(shù)根，貝必=4+410,且左W0解出發(fā)的范圍即可求出答案.

【詳解】解：???二次函數(shù)>=自2-2》-1的圖象與x軸有交點，

.?.△=4+4左20,且左W0,

：.k>-lS.k^Q,

故選：B.

27.拋物線了=x?+x-2與x軸的交點個數(shù)是()

A.無交點B.有且只有一個交點C.有兩個不同的交點D.無法確定

【答案】C

【分析】本題主要考查了拋物線與x軸的交點問題.把二次函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程

的問題，根據(jù)△=從_4flc的取值情況來進行判斷.

【詳解】解：VA=/j2-4ac=l2-4xlx(-2)=9>0,

，拋物線y=/+x-2與x軸有兩個不同的交點,

故選：C.

28.拋物線歹=d-2x+l與x軸的交點個數(shù)為（）

A.無交點B.1個C.2個D.3個

【答案】B

【分析】本題考查了拋物線與x軸的交點，解題的關鍵是通過解方程尤2-2x+1=0得到拋物

線與x軸的交點坐標為（1,0）,從而可判斷拋物線y=2x+l與x軸交點個數(shù).

【詳解】解：當『=0時，X2-2X+1=0，解得玉=%=1,

所以拋物線與x軸的交點坐標為（1,0）,

所以拋物線歹=*—2x+l與X軸只有一個交點.

故選：B.

29.若拋物線y=a/+6x+c與x軸的交點為（-2,0）,（3,0）,則關于x的一元二次方程

ox?+6x+c=0的解為（）

A.X]=3,%2=-2B.占=x2——2C.占=x2=3D.玉=-3,=2

【答案】A

【分析】本題考查二次函數(shù)和一元二次方程的關系，理解關于x的方程62+區(qū)+°=0的根

就是函數(shù)y=ax2+6x+c與x軸的交點橫坐標是解題的關鍵.

【詳解】解：；拋物線y=a/+6x+c與x軸的交點為（-2,0）,（3,0）,

2

一元二次方程ax+bx+c=0的解為%=3,x2=-2,

故選A.

39.根據(jù)表格估計一元二次方程/+2》一4=6的一個解的范圍是（）

X-10123

x2+2x-4-5-4-1411

A.-1<x<0B.0<x<1C.1<x<2D.2<x<3

【答案】D

【分析】利用夾逼思想求一元二次方程的近似解.根據(jù)表格當x=2時，/+2>4=4<6；當

x=3時，x2+2x-4=11>6,即—+2工-4=6的一個根在2和3之間.

【詳解】由Y+2》一4=6可得：X2+2X-10=0，

根據(jù)表內(nèi)數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)：

X2+2X-4的值隨著X的增大而增大，

且：當x=2時，x2+2x-4=4；當X=3時，x2+2x-4=11：

...一元二次方程尤?+2x-4=6的其中一個解x的范圍是2<x<3,

故選：D.

【點睛】本題考查利用"夾逼”思想估算一元二次方程的解，觀察表中數(shù)據(jù)找到方程最接近0

時x的取值范圍是解本題的方法.

31.根據(jù)下列表格對應值：判斷關于x的方程依2+瓜+。=0(。彳0)的一個解的范圍是()

X3.243.253.26

ax2+bx+c-0.020.010.03

A.x<3.24B.3.24<x<3.25C.3.25<x<3.26D.3.26<x<3.28

【答案】B

【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到x=3.24時，ax2+bx+c=-0.02<0;x=3.25時，

ax2+bx+c=0,01>0,于是可判斷x在3.24和3.25之間取某一值時，ax2+bx+c=0,由此

得到方程加+bx+c=O(xwO)的一個解x的范圍.

【詳解】解：；x=3.24時，ax2+bx+c=-0.02<0;

x=3.25時,ax2+bx+c=0.01>0,

當3.24<x<3.25時，ax2+bx+c的值可以等于0,

.,?方程加+法+C=0(*0)的一個解x的范圍是3.24<x<3.25.

故選：B.

【點睛】本題考查了估算一元二次方程的近似解：用列舉法估算一元二次方程的近似解，具

體方法是：給出一些未知數(shù)的值，計算方程兩邊結(jié)果，當兩邊結(jié)果愈接近時，說明未知數(shù)的

值愈接近方程的根.

【考點7］二次函數(shù)與不等式的關系

32.如圖，拋物線y=a/+6x+c與x軸的一個交點坐標為(1,0),對稱軸為直線x=-l,當

>>0時，x的取值范圍是()

A.—1<x<1B.-3<x<1C.或x>lD.%<—3或x〉l

【答案】B

【分析】根據(jù)對稱性求出函數(shù)與％軸的另一個交點坐標，圖象法確定解集即可.

【詳解】解：:拋物線了="2+樂+。與X軸的一個交點坐標為(1,0),對稱軸為直線X=-1,

.?.拋物線與X軸的另一個交點坐標為(-3,0),

由圖象可知，當-3<x<l時，圖象在x軸的上方，即y>0,

...當y>0時，x的取值范圍是-3Vx<1；

故選B.

【點睛】本題考查圖象法求不等式的解集.解題的關鍵是利用拋物線的對稱性求出拋物線與

x軸的另一個交點坐標.

33.如圖所示：已知二次函數(shù)乂=狽2+區(qū)+。(。w0)與一次函數(shù)%=履+〃?(430)的圖象相

交于點/(-2,6)和8(8,3),貝!］不等式ax。+6x+c>丘+7〃的取值范圍是()

A.x<—2B.x>8C.x<—2或x>8D.-2<x<8

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可求解.

【詳解】解：：二次函數(shù)必="2+法+。("0)與一次函數(shù)％=丘+皿左片0)的圖象相交于

點/(一2,6)和8(8,3),,

能使ax2+bx+c>kx+m成立的x的取值范圍是x<-2或x>8.

故選：c.

【點睛】本題主要考查了圖象法解不等式，數(shù)形結(jié)合是解題的關鍵.

34.如圖，已知拋物線y=M+6x+c與直線k丘+加交于/（-3,-1）,川0,3）兩點.則關于x

的不等式ax?+6x+c2丘+〃2的解集是（）

A.x<-3或x>0B.xV-3或xNOC.-3<x<0D.-3<x<0

【答案】B

【分析】根據(jù)圖象寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可.

【詳解】‘拋物線y=ax?+bx+c與直線y=履+加交于/（-3,-1）,8（0,3）,

.,.不等式ax2+6x+c2丘+機為：x<-3^x>0,

故選：B.

【點睛】此題考查了二次函數(shù)與不等式的關系，能利用數(shù)形結(jié)合求不等式的解集是解題的關

鍵2

35.已知，拋物線y=a/+6x+c的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答，當“+bx+c<1時，x

的取值范圍是（）

A.—1<x<3B.x<—1或x>3C.x<—1D.x>3

【答案】A

【分析】由圖象可得：當了=1時，x=-l或x=3,可得當ai+bx+cC時，即圖象在直線>=1

的下方，從而可得x的取值范圍是-l<x<3.

【詳解】解：由圖象可得：當了=1時，x=—l或x=3,

...當ax2+6x+c<1時，x的取值范圍是-1<x<3；

故選A

【點睛】本題考查的是利用二次函數(shù)的圖象解不等式，熟練的利用數(shù)形結(jié)合的方法解題是關

鍵.

36.如圖為拋物線y="2+6x+c的一部分，其對稱軸為直線x=2,若其與x軸的一交點為

8(6,0),則由圖象可知，不等式af+bx+oO的解集是()

A.x>6B.0<x<6C.x<—2或x>6D.-2<x<6

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得拋物線與x軸的另一交點為(-2,0),再由當

y=ax2+bx+c>0時，拋物線圖象位于x軸的上方，即可求解.

【詳解】解：:.拋物線的對稱軸為直線x=2,與x軸的一交點為8(6,0),

.?.拋物線與x軸的另一交點為(-2,0),

..,當y=ax?+6x+c>0時，拋物線圖象位于x軸的上方，

不等式“+bx+c>0的解集是-2<x<6.

故選：D

【點睛】本題考查的是二次函數(shù)與不等式的關系，解答此題的關鍵是求出圖象與x軸的交點，

然后由圖象找出當>>0時，自變量x的范圍，本題鍛煉了學生數(shù)形結(jié)合的思想方法.

【考點8］二次函數(shù)的實際應用

37.草莓是云南多地盛產(chǎn)的一種水果，今年某水果銷售店在草莓銷售旺季，試銷售成本為每

千克20元的草莓，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，也不高于每千克40元，經(jīng)試銷

發(fā)現(xiàn)，銷售量y(千克)與銷售單價x(元)符合一次函數(shù)關系，如圖是y與x的函數(shù)關系

圖象.

⑴求y與x的函數(shù)解析式；

(2)設該水果銷售店試銷草莓獲得的利潤為少元，求水的最大值.

【答案】(1)V=-2X+340(20VXV40)

(2)當x=40時，少最大，最大值為5200元.

【分析】此題考查的是一次函數(shù)的應用和二次函數(shù)的應用，掌握利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)

的解析式和利用二次函數(shù)求最值是解決此題的關鍵.

(1)利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式即可；

(2)根據(jù)"總利潤=每千克利潤x千克數(shù)”即可求出少與x的函數(shù)關系式，然后利用二次函

數(shù)求最值即可.

【詳解】(1)解：設y與x的函數(shù)關系式為>

20后+6=300

根據(jù)題意，得:

30上+6=280

左=一2

解得:

6=340

二了與x的函數(shù)解析式為了=-2x+340(20VxV40)；

(2)解:由已知得：沙=(x-20)(-2尤+340)

=-2X2+380X-6800

=-2(X-95)2+11250,

?一一2<0,

?,?當x(95時，少隨工的增大而增大,

?1-20<x<40,

.,.當x=40時，沙最大，最大值為-2(40-95>+11250=5200元.

38.某超市在"元宵節(jié)”來臨前夕，購進一種品牌元宵，每盒進價是20元，超市規(guī)定每盒售

價不得少于25元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)：當售價定為每盒25元時，每天可賣出250盒,

每盒售價每提高1元，每天要少賣出10盒.

⑴試求出每天的銷售量y(盒)與每盒售價x(元)之間的函數(shù)關系式；

⑵當每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤尸(元)最大？最大利潤是多少？

⑶為穩(wěn)定物價，有關管理部門限定：這種元宵的每盒售價不得高于38元.如果超市想要每

天獲得不低于2000元的利潤，那么超市每天至少銷售元宵多少盒？

【答案】⑴y=-m+5oo

(2)當每盒售價定為35元時，每天銷售的利潤P(元)最大，最大利潤是2250元

⑶120盒

【分析】本題考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的實際應用.

(1)根據(jù)每盒售價每提高1元，每天要少賣出盒，列出函數(shù)關系式即可；

(2)根據(jù)總利潤等于每盒的利潤乘以銷量，列出二次函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，

求最值即可；

(3)由題意，P>2000,求出x的取值范圍，結(jié)合25WXW38,得到30WxW38,再根據(jù)一

次函數(shù)的性質(zhì)，進行求解即可.

讀懂題意，正確的列出函數(shù)關系式，是解題的關鍵.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意，y=250-10(x-25>-10x+500；

(2)由題意：P=(x-20)(-10x+500)=-10x2+700x-10000=-10(x-35)2+2250,

...當x=35時，P取得最大值,最大值為2250,

答：當每盒售價定為35元時，每天銷售的利潤尸(元)最大，最大利潤是2250元；

(3)由題意得：P>2000

當尸=2000時，

-10x2+700x-10000=2000，

/一70x+1200=0,

解得％1=30,、2=4。，

VP>2000,

???30<x<40,

又,?,25<x<38,

???30<x<38,

又?:y=-10x+500,

隨x的增大而減小，

...當x=38時，y有最小值，

y最小=-10x38+500=120（盒），

...超市每天至少銷售元宵120盒.

39.某賓館有50個房間可供游客居住，當每個房間每天的定價為180元時，房間會全部住

滿，當每個房間每天的定價增加10元時，就會有一個房間空閑，如果游客居住房間，賓館

需對每個房間每天支出20元的各種費用，設每個房間的定價增加x元，此時入住的房間數(shù)

為y間，賓館每天的利潤為川元.

⑴直接寫出y（間）與x（元）之間的函數(shù)關系；

（2）如何定價才能使賓館每天的利潤w（元）最大？

⑶若賓館每天的利潤為10800元，則每個房間每天的定價為多少元？

【答案】（1）歹=50-5》（0<》<500,且x是10的整數(shù)倍）

（2）當定價為350元時利潤最大

⑶若賓館每天的利價為10800元，則每個房間每天的定價為定價為380元或者320元

【分析】本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應用及一元二次方程的應用，注意利用配方

法求函數(shù)的最值，難度不大；

（1）用一共有的房間減去房價增長減少的房間數(shù)即可；

（2）利用房間數(shù)乘每一間房間的利潤即可得到函數(shù)解析式，配方法求得最大值即可.

（3）令w=10800,得到一元二次方程求解即可.

【詳解】（1）解：^=50-^x（0<x<500,且x是10的整數(shù)倍）；

（2）解：w=[50x|（180+x—20）

1,

=——X2+34X+8000

10

1,

=一一(x-170/+10890；

10

.,.當x=170時,w最大為10890.

，當定價為x+180=350元時利潤最大.

(3)^w=-^(x-170)2+10890=10800,

解得：x=200sKx=140.

答：若賓館每天的利價為10800元，則每個房間每天的定價為定價為200+180=380(元)，

或者140+180=320(元).

40."水幕電影”的工作原理是把影像打在拋物線狀的水幕上，通過光學原理折射出圖象.水

幕是由若干個水嘴噴出的水柱組成的(如圖)，水柱的最高點為P,48=2m,BP=Sm,水

嘴高AD=6m.

⑴以A為坐標原點，48所在的直線為x軸，4D所在的直線為了軸，建立平面直角坐標系,

求拋物線的解析式；

(2)求水柱落點C與水嘴底部A的距離AC.

【答案】⑴N=-1(X-2)2+8

(2)/C=6

【分析】本題考查了二次函數(shù)的應用問題，待定系數(shù)求得解析式，即可求解.

(1)根據(jù)題意可得拋物線的解析式為y=a(x-2)2+8,將。(0,6)代入，即可求解;

(2)令y=0,解方程，即可求解.

【詳解】(1)解：設拋物線的解析式為y=“(x-6)2+左

*.*AB=2m,BP=8m,

y=a(x-2)2+8

???AD=6m.

：.。(0,6)

把。(0,6)代入V=。(工一2/+8得：

4?！?

?,?_CL-....1.

2

19

y=(X-2)2+8

(2)解：令片。

/.0=-1(X-2)2+8

A(x-2)2=16

解得：再=6,x2=-2

...點C(6,0)

/.4c=6

41.如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形苗圃園，已知墻長為18米，設這

個苗圃園垂直于墻的一邊長為x米.

--------------18m-----------------?

/〃//〈〃/〃///〃///〃〃〃/〈〃//

苗圃園

⑴若苗圃園的面積為72平方米，求x的值.

(2)若平行于墻的一邊長不小于8米，當x取何值時，這個苗圃園的面積有最大值

【答案】(1)x的值是12(2)這個苗圃園的面積有最大值彳平方米

【分析】(1)根據(jù)題意列出一元二次方程，然后解方程即可得出答案；

(2)先根據(jù)題意求出x的取值范圍，然后表示出苗圃園的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求

最大值即可.

【詳解】(1)解:由題意可得，

x(30-2尤)=72,

即X2-15X+36=0,

解得西=3,%=12,

當x=3時，30-2x=24>18,故舍去;

當x=12時，30—7x=6,

由上可得，尤的值是12；

（2）設這個苗圃園的面積為S平方米,

由題意可得，

S=x（30-2x）=-2^x-y^|+］，

???平行于墻的一邊長不小于8米，且不大于18米，

8<30-2x<18,

解得6?xVll,

.?.當x=?15時，S取得最大值22竽5，

22

答：當x15時，這個苗圃園的面積有最大值2竽25平方米.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的應用和二次函數(shù)的應用及性質(zhì)，掌握一元二次方程的

解法及二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.

【考點9］二次函數(shù)綜合

42.如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線了=辦2+反+<:（。力0）的頂點坐標為。（3,6）,

并與V軸交于點3（0,3）

圖1圖2

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①所示，P是拋物線上的一個動點，且位于第一象限，AP=2,求A/3尸的面積的

最大值；

⑶如圖②所示，在對稱軸/C的右側(cè)作N4CD=30。交拋物線于點。，直接寫出。點的坐標.

【答案】（l）y=T，+2x+3

釁

⑶存在，。（3+36,-3）

【分析】（1）由題意可設拋物線解析式為y=〃（x-3『+6,將3（0,3）代入可得。=-^,則

可求出該拋物線的解析式；