2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題7 反比例函數(shù) 知識點梳理及專項練習(xí)（含解析）

專題7反比例函數(shù)

1.反比例函數(shù)的三種形式是、、(k≠0,k是常數(shù)),其自變量的取值范圍是.

反比例函數(shù)的圖象是，當(dāng)k時，雙曲線的兩個分支在第一、三象限，在，y隨x的增大

而；當(dāng)k時，雙曲線的兩個分支在第二、四象限，在，y隨x的增大而.反比

例函數(shù)的圖象是關(guān)于對稱的中心對稱圖形，又是圖形，其對稱軸為.雙曲線與x軸、y

軸都沒有，兩個分支坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)坐標(biāo)軸.

2.反比例函數(shù)的反比例系數(shù)|k|的幾何意義：過反比例函數(shù)的圖象上任一點P作、

?

?

的垂線PM,PN,則所得的矩形PMON的面積為S=?=?≠0即S=.

?

?????=_____ˉ_____.∵?=?,∴??=?,

實戰(zhàn)演練

1.反比例函數(shù)的圖象分別位于()

6

?

A.第一、第三象?限=

B.第一、第四象限

C.第二、第三象限

D.第二、第四象限

2.點(1,y1),(2,y2),(3,y3),(4，y4)在反比例函數(shù)圖象上,則y1,y2,y3,y4中最小的是()

4

?

A.y1B.y2?=

C.y3D.y4

3.已知點A(x1,y1),B(x2,y2)在反比例函數(shù)的圖象上，且x2，則下列結(jié)論一定正確的是()

6

?=???<0<

?.??+??<0

?.??+??>0

?.??<??

4.?一.?次?函>數(shù)??y=mx+n的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點A、B，其中點A、B的坐標(biāo)為、

?1

?=?????2?

B(m,1),則△OAB的面積是()

A.3B.

13

4

C.D.

715

24

5.一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點A(-1,-2),點B(2,1).當(dāng).y1<y2時，

?2

??=???+???≠0?2=??2≠0

x的取值范圍是()

A.x<-1

B.-1<x<0或x>2

C.0<x<2

D.0<x<2或x<-1

6.若點A(a-1,y1),B(a+1,y2)在反比例函數(shù)的圖象上，且y1>y2,則a的取值范圍是()

?

A.a<-1?=?(?<0)

B.-1<a<1

C.a>1

D.a<-1或a>1

7.根據(jù)物理學(xué)知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強(qiáng)p(Pa)是它的受力面積S(m2)的反比例函數(shù)，其函

數(shù)圖象如圖所示.當(dāng)S=0.25m2時，該物體承受的壓強(qiáng)p的值為Pa.

8.已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(4,a),則a的值為.

6

?=??

9.若A(1,y1),B(3,y2)是反比例函數(shù)圖象上的兩點，則y1、y2的大小關(guān)系是y1y2.(填“>”、

2??11

?2

“=”或“<”)?=(?<)

已知點在反比例函數(shù)是常數(shù)的圖象上，且，則的取值范圍是

10.A(a,y1),B(a+1,y2)2(m).a

?+1

.?=???<??,

11.密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)容器的體積V(單位：m3)變化時，氣體的密度ρ(單位：kg/m3)隨之變化.

已知密度ρ與體積V是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示.

(1)求密度ρ關(guān)于體積V的函數(shù)解析式.

(2)當(dāng)時，求該氣體的密度ρ.

?=10?3

12.設(shè)函數(shù)函數(shù)b是常數(shù)，

?1

1?

(1)若函數(shù)?=和函,數(shù)的??圖=象?交??于+點?(?A?,(?1?,m,),點B(3,1),??≠0,??≠0).

1

①求函數(shù)?,的表?達(dá)?式;

1

②當(dāng)2<x<3?時?,比?較與的大小(直接寫出結(jié)果).

1

(2)若點C(2,n)在函數(shù)?的?圖?象上,點C先向下平移2個單位，再向左平移4個單位，得點D，點D恰好落

1

在函數(shù)的圖象上，求n的?值.

1?3?在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)是常數(shù),>0,x>0)與函數(shù)是常數(shù)，的圖象交于點

?1

A，點A關(guān)于y軸的對稱點為點B?.1=?(?1?1??=???(????≠0)

(1)若點B的坐標(biāo)為(-1,2),

①求,的值;

1

②當(dāng)?<?時?，直接寫出x的取值范圍；

1

(2)若?點B??在函數(shù)是常數(shù)，k?≠0)的圖象上,求的值.

?3

?3=?(?3??+??

14.如圖,反比例函數(shù)y=的圖象與y=2x的圖象相交于點C,過直線上點A(a,8)作AB⊥y軸交于點

?

?

B，交反比例函數(shù)圖象于點D,且?≠AB0=?4B0D).

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)求四邊形OCDB的面積.

壓軸預(yù)測

1.已知點A(2,-3)關(guān)于x軸的對稱點A'在反比例函數(shù)的圖象上，則實數(shù)k的值為()

?

A.-6B.?=?

1

C.66

1

2.如圖，是三個反比例?函.?數(shù)6在y軸右側(cè)的圖象，則()

?1?2?3

?1=?,?2=?,?3=?

?.??>??>???.??>??>??

3.?已.?知?>點?A?(>,??),B(+1,?).都??在>反?比?>例?函?數(shù)的圖象上,()

?

?

A.若????則?????=(?<0)

B.若?2<??<?則1,??>??

C.若(?1<??<0則,??<??

D.若0<??<1則,??<??

4.如圖1，<在?平?<面2直,角坐??標(biāo)>系?中?，矩形ABCD四個頂點的坐標(biāo)分別為A(-1,2),B(-1,-1),C(3,-1),D(3,2),當(dāng)雙曲線

與矩形有四個交點時，k的取值范圍是()

?

?=??0)

A.0<k<2B.1<k<4

C.k>1D.0<k<1

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B分別落在雙曲線第一和第三象限的兩支上，連接AB，線

?

?

段AB恰好經(jīng)過原點O,以AB為腰作等腰三角形ABC,AB=A?C=,點C?0落)在第四象限中,且BC∥x軸.過點C作C

D∥AB交x軸于E點,交雙曲線第一象限一支于D點，若△ACD的面積為則k=.

45?4,

6.將直線y=3x+1向下平移1個單位長度，得到直線y=3x+m，若反比例函數(shù).的圖象與直線y=3x+m相交

?

?

于點A，且點A的縱坐標(biāo)是3.?=

(1)求m和k的值;

(2)結(jié)合圖象求不等式的解集.

?

?

7.如圖，一次函數(shù)3?+?與>反比例函數(shù)圖象交于點A(-4,m),B(-1,2),AC⊥x軸于點C,BD⊥y

1?

2?

軸于點D.?=?+??=(?<0)

(1)填空:m=,b=,k=;

(2)觀察圖象，直接寫出在第二象限內(nèi)x取何值時，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值；

(3)P是線段AB上一點,連接PC,PD,若S△PCA=S△PDB,求點P的坐標(biāo).

參考答案

雙曲線>0每一象限內(nèi)減小<0每一象限內(nèi)增大原點軸對稱直線y=±x

??1

?

交點1無.?限=接?近=于?交?不?到?=??≠0

2.x軸y軸|y|·|x|=|xy||k|

1.A【解析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì).因為反比例函數(shù)中k=6>0,所以其圖象位于第一、第三

6

?

象限，故選A.?=

2.D【解析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì).由題意知最.

44

123343

小的是y?,故選D.?=4,?=2,?=,?=1.∵1<<2<4,

3.C【解析】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì).∵雙曲線分別位于第一、三象限，且

6

?

y?,故選C.?=??<0<??,∴??<

4.D【解析】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題、三角形的面積公式.由題知解得

?1+2?=?2?,

?+?=1,

所以A(-,-4),B(2,1),一次函數(shù)的解析式為y=2x-3,令y=0,得.所以一次函數(shù)與x軸的交?點≠為0,(，

133

?=2,

2?=2,?20,

所?以=△?O3,AB的面積是故選D.

11315

2??224

5.D【解析】本題×考?查?一×次?函數(shù)?與?反=比例×函數(shù)×5的=圖象,與性質(zhì).利用圖象法求解，根據(jù)兩點坐標(biāo)求出函數(shù)解析式

并畫出函數(shù)圖象，從而確定當(dāng)y?<y?時，x的取值范圍是x<-1或0<x<2,故選D.

6.B【解析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì).∵k<0，∴在圖象的每一支上，y隨x的增大而增大，當(dāng)點

A(a-1,y?),B(a+1,y?)在圖象的同一支上時,∵y?>y?,∴a-1>a+1,此不等式無解;當(dāng)點A(a-1,y?),B(a+1，y?)分別在

圖象的兩支上時，∵1>0,解得-1<a<1,故選B.

解答本題的關(guān)鍵是?掌?>握?當(dāng)?,∴k<?0?時1，<在0,?+圖象的每一支上，y隨x的增大而增大.

?

?

7.400【解析】本題考查反比例函數(shù)的實?際=應(yīng)用.由題知，即當(dāng)S=0.25m2時，

1000×0.1100100

400(Pa).?=?,?=?,?=0.25=

【解析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.將點(4,a)代入得

3663

2?42

9.8<.?【解析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì).∵m<則?反=比?例,函數(shù)?的=?圖象=經(jīng)?過.第二、四象

1

2

限，∴點A，B在第四象限.∵第四象限內(nèi)，函數(shù)y隨x的增大,而∴增2?大?，1<0,

10.-1<a<0【解析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì).∴，??∴<反?比?.例函數(shù)的圖象在第一、三象限，

∵?2+1>0,

在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小.∵a<a+1，y?<y?,∴a<0,a+1>0,解得-1<a<0.

10

?

(11)1根.據(jù)1圖=象上?點?0A)2的1坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；(2)將V=10代入(1)中的函數(shù)解析式，即可求解.

解：(1)設(shè)密度ρ關(guān)于體積V的函數(shù)解析式為(V>0,k≠0).

?

?

把V=4,ρ=2.5代入得?=

??

?4

解得k=10.?=,2.5=.

所以密度ρ關(guān)于體積V的函數(shù)解析式為

10

?

(2)當(dāng)V=10時.?=?0).

10

10

所以該氣體的密,度?=為1=kg1/m.3.

評分說明：(1)k寫成m等其他字母均可.

(2)不寫V>0,k≠0均不扣分.

①②(2)1

3

131.2(1.)1①k1?=12,=k2?=,2?2②=?x>?1+4(2)0?1<?2

14.(1)y=(2)10

8

(1)根據(jù)點?A縱坐標(biāo)求得a的值，然后根據(jù)AB⊥y軸與AB=4BD求得點D的坐標(biāo)，從而求得反比例函數(shù)的

解析式；(2)先求得兩函數(shù)交點C的坐標(biāo)，再利用△ABO與△ADC面積之差計算四邊形OCDB的面積.

解:(1)由點A(a,8)在y=2x上,則a=4,

∴A(4,8).

∵AB⊥y軸,與反比例函數(shù)圖象交于點D,且AB=4BD,

∴BD=1,即D(1,8).

∴k=8，反比例函數(shù)解析式為

8

?

(2)∵C是直線y=2x與反比例函?數(shù)=.圖象的交點，

88

∵x>0,?=?∴2?=?,

∴x=2,則C(2,4).

1

????=2×4×8=16,

1

???2

?四邊形=×3×4=6,

?????=?????????=10.

壓軸預(yù)測

1.C【解析】本題考查反比例函數(shù)圖象和對稱性.由題意得點A(2,-3)關(guān)于x軸的對稱點A'的坐標(biāo)為(2,3),把點

A'(2,3)代入得k=2×3=6,故選C.

?

?

2.C【?解=析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì).由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，若k>0，那么k的值越大，圖象

離坐標(biāo)軸越遠(yuǎn)，..又y?的圖象在第四象限，∴k?<,故選C.

3.C∴??>??>0.0,∴??>??>??,

4.D【解析】本題考查反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì).由題可知，當(dāng)雙曲線經(jīng)過點B(-1,-1)時,雙曲線與

?

?

矩形ABCD有三個交點,此時k=-1×(-1)=1.根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性，結(jié)合圖象?可=知，?當(dāng)0)0<k<1時，雙曲線與矩形有

四個交點，故選D.

5.2【解析】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角形的面積公式.如圖，過點A作AF⊥BC

于點F，連接BD，設(shè)點A的坐標(biāo)為(a,k),a>0,則點B的坐標(biāo)為(-a,-k/a).∵AB=AC,∴BF=CF=a-(-a)=2a,∴BC=2B

F=4a,∴點C的坐標(biāo)為設(shè)直線AB的解析式為y=mx，代入點A的坐標(biāo)，得即直

???

2

3???.?=??,∴?=?,

線AB的解析式為y=kzx.∵CD∥AB,∴設(shè)直線CD的解析式為將點C坐標(biāo)代入得

???

22

???

直線CD的解析式為由可?得=?+?,(舍負(fù)),∴點?D=的坐?3?標(biāo)+為

4??4??4??

22

??????

?,∴?=?,:∵AB∥CD,∴S△?=BCD?=?S△.ACD?=?=又?=2?+5?

?11?

2?+5?2?+5?.45?4.????=2????????,∴2?4??2?+5?+

解得k=2.

?

?=45?4,

6.(1)m=0,k=3(2)x>1或-1<x<0

(1)根據(jù)直線平移后的方程得到m的值，進(jìn)而得到點A的坐標(biāo)，根據(jù)點A在反比例函數(shù)的圖象上得到k的值；

(2)畫出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解不等式或?qū)⒉坏仁睫D(zhuǎn)換為不等式組求解.

解：(1)∵將直線y=3x+1向下平移1個單位長度，得到直線y=3x+m,

∴3x+1-1=3x+m,

∴m=0.

∵反比例函數(shù)的圖象與直線y=3x+m相交于點A，且點A的縱坐標(biāo)是3，

?

?

∴將y=3代入?y=3x得3x=3,x=1,

∴A(1,3).

∵點A(1,3)在反比例函數(shù)圖象上，

?