選修三數(shù)學復習知識點

選修三數(shù)學復習知識點演講人：日期：CONTENTS目錄01復數(shù)與向量02矩陣與變換03數(shù)列與數(shù)學歸納法04不等式選講05幾何證明選講01復數(shù)與向量復數(shù)的模復數(shù)z=a+bi的模為|z|=√(a2+b2)，表示復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點到原點的距離。復數(shù)的運算包括加法、減法、乘法及除法，運算過程中需注意虛數(shù)單位i的性質(zhì)。復數(shù)的共軛若z=a+bi，則其共軛復數(shù)為a-bi，且z乘以其共軛復數(shù)結果為一實數(shù)。復數(shù)概念形如z=a+bi（a、b均為實數(shù)）的數(shù)稱為復數(shù)，其中a為實部，b為虛部，i2=-1。復數(shù)概念及運算具有大小和方向的量，可用起點和終點表示，也可用帶箭頭的線段表示。向量的定義實數(shù)與向量相乘，結果仍為向量，方向與原向量相同或相反，長度按比例放大或縮小。向量的數(shù)乘向量加法滿足平行四邊形法則，減法可轉化為加法進行。向量的加法與減法兩向量在同一直線或平行直線上，稱為共線向量，共線向量可相互表示。向量的共線性平面向量基礎知識02矩陣與變換矩陣的基本概念與運算矩陣的定義矩陣是一個按照長方陣列排列的復數(shù)或?qū)崝?shù)集合，是高等代數(shù)學中的常見工具。矩陣的運算包括矩陣的加法、減法、數(shù)乘、乘法以及轉置等運算，這些運算是矩陣理論的基礎。矩陣的逆對于方陣，若存在另一矩陣，使得兩矩陣乘積為單位矩陣，則稱該矩陣可逆，其逆矩陣具有唯一性。矩陣的行列式行列式是矩陣的一個重要屬性，可用來判斷矩陣是否可逆、計算矩陣的秩等。特征值與特征向量特征值與特征向量是矩陣的重要概念，它們在很多領域都有廣泛的應用，如物理學中的振動分析、量子力學等。線性變換線性變換是一種保持直線平行性不變的幾何變換，包括旋轉、縮放、平移等，可通過矩陣乘法來實現(xiàn)。相似變換相似變換是保持圖形形狀不變的幾何變換，包括旋轉、縮放等，可通過矩陣乘法來實現(xiàn)，且變換前后矩陣的特征值不變。正交變換正交變換是一種保持向量長度不變的幾何變換，包括旋轉和反射等，其變換矩陣為正交矩陣，具有很多優(yōu)良的性質(zhì)。常見的矩陣變換類型03數(shù)列與數(shù)學歸納法數(shù)列是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的一列有序的數(shù)。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項，通常用an表示。數(shù)列可以按照不同標準進行分類，如是否有限、是否單調(diào)、是否有界等。斐波那契數(shù)列、卡特蘭數(shù)、楊輝三角等。數(shù)列的基本概念與性質(zhì)數(shù)列的定義數(shù)列的項數(shù)列的分類著名數(shù)列數(shù)學歸納法的定義數(shù)學歸納法是一種數(shù)學證明方法，通常被用于證明某個給定命題在整個（或者局部）自然數(shù)范圍內(nèi)成立。數(shù)學歸納法的應用數(shù)學歸納法廣泛應用于數(shù)學證明，如證明等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及求解一些遞推數(shù)列的通項公式等。數(shù)學歸納法的步驟首先證明當n取第一個值時命題成立；然后假設當n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。數(shù)學歸納法的擴展除了自然數(shù)以外，廣義上的數(shù)學歸納法也可以用于證明一般良基結構，例如集合論中的樹，這種廣義的數(shù)學歸納法應用于數(shù)學邏輯和計算機科學領域，稱作結構歸納法。數(shù)學歸納法原理及應用04不等式選講傳遞性若a>b且b>c，則a>c。加法性質(zhì)若a>b，則a+c>b+c。不等式的性質(zhì)與證明方法乘法性質(zhì)若a>b且c>0，則ac>bc；若a>b且c<0，則ac<bc。不等式的性質(zhì)與證明方法“比較法直接比較兩個數(shù)或兩個代數(shù)式的大小。分析法不等式的性質(zhì)與證明方法從已知的不等式出發(fā)，通過一系列的邏輯推理和變形，得出需要證明的不等式。0102均值不等式對于任意正數(shù)a和b，有(a+b)/2≥√(ab)，等號成立當且僅當a=b。應用：可用于證明不等式，求最值等?？挛鞑坏仁綄τ谌我庹龜?shù)a、b和正數(shù)p、q，有(a^p+b^p)/(p+q)≥(a^q+b^q)/(p+q)，等號成立當且僅當a/b=p/q。應用：在求解一些復雜的不等式時，可以通過構造柯西不等式來求解。琴生不等式對于凸函數(shù)f(x)，若a1+a2+...+an=1，則有f(a1x1+a2x2+...+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+...+anf(xn)。應用：可用于證明一些涉及凸函數(shù)的不等式。幾個重要不等式及其應用05幾何證明選講相似三角形的判定與性質(zhì)相似三角形的判定定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊的延長線相交，所構成的三角形與原三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似；三邊對應成比例，兩個三角形相似；兩角對應相等，兩個三角形相似。相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對應角相等，對應邊成比例，對應高、中線、角平分線、垂線等也成比例；相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。相似三角形的應用利用相似三角形的性質(zhì)解決線段比、面積比、角度計算等問題；在圓中利用相似三角形解決與切線、弦、半徑等相關的計算問題。圓的性質(zhì)及證明方法圓的基本性質(zhì)圓是到定點的距離等于定長的點的集合；圓的任意兩點之間的線段（弦）的中垂線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的弧；圓的任意一條切線垂直于過切點的半徑；圓內(nèi)接四邊形的對角互補，外切四邊形的對角相等。01圓的證明方法利用圓的定義和性質(zhì)進行證明，如證明切線、弦、半徑之間的關系；利用圓的對稱性進行證明，如證明圓內(nèi)接或外切四邊形的性質(zhì)；利用圓與直線的位置關系進行證