不隨時(shí)間改變的電磁場(chǎng)課件

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不隨時(shí)間改變的電磁場(chǎng)*2.1靜電場(chǎng)和靜磁場(chǎng)（Jf和

f為自由電荷和傳導(dǎo)電流）*邊值關(guān)系一、電勢(shì)電場(chǎng)對(duì)電荷作的功與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)電場(chǎng)對(duì)電荷作正功，電勢(shì)下降。*電場(chǎng)強(qiáng)度的梯度等于電勢(shì)的負(fù)梯度只有勢(shì)的差值才有物理意義，如果電荷分布于有限區(qū)域，通常選取無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零。若電荷連續(xù)分布*二、勢(shì)的方程及邊值關(guān)系（泊松方程）（

為自由電荷密度）在界面上，電勢(shì)連續(xù)在分界面上，電勢(shì)的邊值條件*n為界面上由介質(zhì)l指向介質(zhì)2的法線，

為界面的自由電荷面密度導(dǎo)體的靜電條件及導(dǎo)體表面的邊值關(guān)系(1)導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布于導(dǎo)體表面上(2)導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零(3)導(dǎo)體表面上電場(chǎng)必沿法線方向，因此導(dǎo)體表面為等勢(shì)面，導(dǎo)體表面的電勢(shì)處處相等*三、唯一性定理設(shè)區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布

(x)，在V內(nèi)的邊界S上給定（1）電勢(shì)或（2）電勢(shì)的法向?qū)?shù),則V內(nèi)的電勢(shì)唯一地確定。導(dǎo)體表面的邊值關(guān)系

＝常量*例1：求均勻電場(chǎng)E0的電勢(shì)（第55頁(yè)）*例2：兩塊接地的無(wú)限大導(dǎo)體板相互平行，在兩板間區(qū)域內(nèi)分布著自由電荷求導(dǎo)體板間的電場(chǎng)分布和板上感應(yīng)電荷面密度解：直角坐標(biāo)系中的泊松方程為而

與y和z無(wú)關(guān)，*邊界條件因此電場(chǎng)強(qiáng)度為左板感應(yīng)電荷面密度右板感應(yīng)電荷面密度

（自由電荷與感應(yīng)電荷符號(hào)相反）*例3：無(wú)限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體，半徑為a，單位長(zhǎng)度荷電為

，求導(dǎo)體柱外的電勢(shì)和電場(chǎng)。解：在柱坐標(biāo)系中在球坐標(biāo)系中導(dǎo)體柱外的泊松方程*邊界條件為：

(1)在導(dǎo)體表面電荷密度(2)選擇電勢(shì)參考點(diǎn)。在本題中，導(dǎo)體柱無(wú)限長(zhǎng)，電荷分布在無(wú)限空間，不能選無(wú)限遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，可選擇在某一個(gè)柱面上r=R0（R0>a）為零，即方程的解為最后求得*例4：在介電常數(shù)為

的液面上浮著一半徑為a的帶電導(dǎo)體球，電量為Q。導(dǎo)體一半浸入液體中，一半在空氣中（介電常數(shù)

0）(見(jiàn)圖)。求電勢(shì)、電場(chǎng)和導(dǎo)體表面電荷分布。解：以球心為原點(diǎn)選取球坐標(biāo)，極軸垂直液面向上。設(shè)液體中和空氣中的電勢(shì)分別為

1和

2

，在兩個(gè)區(qū)域中有邊界條件是：*（1）（2）邊值關(guān)系為（3）（4）*由于軸對(duì)稱性，電勢(shì)與方位角

無(wú)關(guān)。又因?yàn)閷?dǎo)體表面等勢(shì)，所以在上、下兩個(gè)半球，

都與

無(wú)關(guān)。由此推測(cè)

1、

2都只與r有關(guān)。設(shè)這個(gè)解滿足邊界條件（2）及邊值關(guān)系（4），利用邊值關(guān)系（3），有根據(jù)邊界條件（1），得*所以電位移矢量D為電場(chǎng)強(qiáng)度為*上、下半球上電荷面密度請(qǐng)參閱課本中第62頁(yè)的例題*2.2用分離變量法求解拉普拉斯方程如果自由電荷只出現(xiàn)在一些導(dǎo)體的表面上，在空間中沒(méi)有其他自由電荷分布，那么選擇這些導(dǎo)體表面作為區(qū)域V的邊界，則在V內(nèi)部自由電荷密度

=0，因而泊松方程化為比較簡(jiǎn)單的拉普拉斯（Laplace）方程如果求解的問(wèn)題中具有對(duì)稱軸，取此軸為極軸，則電勢(shì)

不依賴于方位角

，在球坐標(biāo)系中拉氏方程的通解為*

為勒讓德函數(shù)，an和bn待定常數(shù)，由邊界條件確定。例1一個(gè)內(nèi)徑和外徑分別為R2和R3的導(dǎo)體球殼，帶電荷Q，同心地包圍著一個(gè)半徑為Rl的導(dǎo)體球(Rl＜R2)．使這個(gè)導(dǎo)體球接地，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)和這個(gè)導(dǎo)體球的感應(yīng)電荷．（P64）***例介電常數(shù)為

的介質(zhì)球置于均勻外電場(chǎng)E0中，求電勢(shì)。

設(shè)球半徑為R0，球外為真空，這問(wèn)題具有抽對(duì)稱性，對(duì)稱軸為通過(guò)球心沿外電場(chǎng)E0方向的軸線，取此軸線為極軸。解：極化電荷只存在介質(zhì)球的表面，在球內(nèi)和球外的兩個(gè)區(qū)域沒(méi)有自由電荷，故電勢(shì)滿足拉氏方程。球外：*球內(nèi)：（1）在無(wú)窮遠(yuǎn)處，，則所以（2）R=0,

2為有限值，因此*（3）在介質(zhì)球面上，（R=R0）代入

1、

2的方程中比較P1的系數(shù)，可得*由此求得比較其他Pn項(xiàng)的系數(shù)，可得最后*電象法的基本思路是：利用點(diǎn)電荷電場(chǎng)的特性，用區(qū)域以外假想的點(diǎn)電荷代替導(dǎo)體表面感應(yīng)電荷分布或介質(zhì)界面的電荷分布對(duì)區(qū)域內(nèi)電場(chǎng)的影響，同時(shí)保證邊界條件得到滿足。這樣，區(qū)域內(nèi)真實(shí)的點(diǎn)電荷與區(qū)域外假想的點(diǎn)電荷在所研究區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生的總電場(chǎng)就是所求的電場(chǎng)。2.3電象法*例:設(shè)在一無(wú)限大接地導(dǎo)體平面上方，與平面相距為d處，有一點(diǎn)電荷q，求平面以上空間內(nèi)的電勢(shì)分布及導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷密度。電勢(shì)滿足的邊界條件*（0,0,d）點(diǎn)電荷q和（0,0,-d）點(diǎn)電荷-q，相距2d，在空間產(chǎn)生的電勢(shì)為導(dǎo)體面上感應(yīng)電荷密度為*例2

如圖，半徑為a的接地導(dǎo)體球外有一點(diǎn)電荷q，其與導(dǎo)體球心相距l(xiāng)(l＞a)，求導(dǎo)體外真空中的電勢(shì)和導(dǎo)體球上的面電荷分布。

解：以導(dǎo)體球心為原點(diǎn)建立球坐標(biāo)，極軸通過(guò)點(diǎn)電荷q。邊界條件是設(shè)象電荷q‘在極軸上，距原點(diǎn)l'＜a，同時(shí)撤掉導(dǎo)體球，q'與原電荷q在空間任一點(diǎn)p(r,,)產(chǎn)生的電勢(shì)為*要求在r＝a的球面上滿足邊界條件：*上式要求對(duì)任意

都成立，則有物理意義的解是*