導(dǎo)學(xué)案數(shù)學(xué)第八章86861直線與直線垂直

8.6空間直線、平面的垂直8.6.1直線與直線垂直【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解異面直線所成角的概念,會(huì)求兩異面直線所成的角.2.了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系,會(huì)證明空間中兩直線的垂直.【素養(yǎng)達(dá)成】數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀想象、邏輯推理一、異面直線所成的角1.定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O分別作直線a'∥a,b'∥b,我們把直線a'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).2.范圍:0°<α≤90°.3.互相垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,那么就說這兩條異面直線互相垂直.【教材挖掘】(P147)在異面直線所成角的定義中,角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)系嗎?提示:根據(jù)等角定理可知,異面直線a'與b'所成角的大小與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān).但是為了簡(jiǎn)便,點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上,特別是這一直線上的某些特殊點(diǎn)(如線段的端點(diǎn)、中點(diǎn)等).二、空間兩條直線所成角的取值范圍當(dāng)兩條直線a,b相互平行時(shí),我們規(guī)定它們所成的角為0°,所以空間兩條直線所成角α的取值范圍是0°≤α≤90°.【教材挖掘】(P147)兩條直線所成的角與異面直線所成的角是一樣的嗎?提示:不是.【明辨是非】(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)異面直線所成的角θ的取值范圍是0°<θ<90°.(×)提示:異面直線所成的角θ的取值范圍:0°<θ≤90°.(2)若兩條直線垂直,則它們一定相交且所成的角是90°.(×)提示:也可能是異面直線.(3)若兩條直線所成的角為0°,則這兩條直線平行.(√)(4)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直,那么另一條直線也與這條直線垂直.(√)類型一求異面直線所成的角(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例1】(1)(教材P147例2改編)如圖,在正方體ABCDEFGH中,O為側(cè)面ADHE的中心,P是面EFGH的中心,則OP和CD所成的角為()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選B.如圖,連接EG,HF,則P為HF的中點(diǎn),連接AF,OP∥AF,又CD∥AB,所以∠BAF(或其補(bǔ)角)為異面直線OP與CD所成的角,由于△ABF是等腰直角三角形,所以∠BAF=45°,故OP與CD所成的角為45°.(2)已知O為等腰直角三角形POD的直角頂點(diǎn),以O(shè)P所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體,CD是底面圓O上的弦,△COD為等邊三角形,則異面直線OC與PD所成角的余弦值為()A.14 B.24 C.34 【解析】選B.設(shè)OP=r,過點(diǎn)D作OC的平行線交圓O于點(diǎn)E,連接PE,OE,則OE=OC=CD=OD=r,PC=PD=2r,所以∠PDE(或其補(bǔ)角)為異面直線OC與PD所成角,在△PDE中,PE=PO2+=2r,DE=r,所以cos∠PDE=D=r2+2r【總結(jié)升華】求兩異面直線所成角的一般步驟(1)構(gòu)造:通過作平行線或平移平行線,作出異面直線所成的角(或其補(bǔ)角);(2)計(jì)算:求角度,常用解三角形方法;(3)確定:若求出的角是銳角或是直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角.【即學(xué)即練】1.如圖正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別是棱C1C與BC的中點(diǎn),則直線EF與直線D1C所成的角的大小是__________.

答案:60°【解析】連接BC1,A1B,A1C1(如圖).因?yàn)锽C1∥EF,A1B∥CD1,則∠A1BC1即為直線EF與直線D1C所成的角.又因?yàn)锽C1=A1B=A1C1,所以∠A1BC1=60°,所以直線EF與直線D1C2.(教材P148T4改編)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,四邊形BCC1B1為正方形,BC=2AB=4,AB⊥BC,D為C1B1的中點(diǎn),則異面直線A1C1與AD所成角的余弦值為________.

答案:30【解析】如圖,過D作DF∥A1C1,交A1B1于點(diǎn)F.則∠ADF為異面直線A1C1與AD所成角(或所成角的補(bǔ)角),因?yàn)樵谥比庵鵄BCA1B1C1中,四邊形BCC1B1為正方形,BC=2AB=4,AB⊥BC,D為C1B1的中點(diǎn),所以由題意知AD=22+22+42=26,DF=12+22=5,AF=42+12=17,所以異面直線A1C1與AD所成角的余弦值為cos∠ADF=【補(bǔ)償訓(xùn)練】在正方體ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中點(diǎn),則DB1與CM所成角的余弦值為__________.

答案:15【解析】將正方體ABCDA1B1C1D1補(bǔ)上一個(gè)棱長(zhǎng)相等的正方體,構(gòu)成一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體,連接CE1,ME1.因?yàn)镈B1∥CE1,所以∠MCE1是異面直線DB1與CM所成角(或其補(bǔ)角),設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a.在△MCE1中,CM=52a,CE1=3a,ME1=132a,那么cos∠MCE1=54類型二證明直線與直線垂直(邏輯推理)【典例2】在空間四邊形ABCD中,兩條對(duì)邊AB=CD=3,E,F分別是另外兩條對(duì)邊AD,BC上的點(diǎn),且AEED=BFFC=12,EF=5.求證:【證明】如圖,連接BD,過點(diǎn)E作AB的平行線交BD于點(diǎn)O,連接OF,EF.因?yàn)镋O∥AB,且AEED=12,所以EOAB因?yàn)锳B=3,所以EO=2.又BFFC=12,所以BFFC所以O(shè)F∥DC,所以O(shè)E與OF所成的角即為AB和CD所成的角,因?yàn)镈C=3,所以O(shè)F=1.在△OEF中,OE2+OF2=5,EF2=(5)2=5,所以O(shè)E2+OF2=EF2,所以∠EOF=90°,所以AB⊥CD.【總結(jié)升華】證明兩異面直線垂直的步驟(1)作出兩異面直線所成的角.(2)求出兩異面直線所成角的余弦值或在特殊三角形中說明垂直關(guān)系.(3)結(jié)論.【補(bǔ)償訓(xùn)練】直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1中點(diǎn)為M,BC中點(diǎn)為N,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1.證明:AB1⊥MN.【證明】由題得MN∥B1C,所以∠AB1C就是異面直線AB1與MN所成角或補(bǔ)角.由題得AC=4+1-2×2×1×cosAB1=5,B1C=2,因?yàn)?2)2+(5)2=(7)2,所以∠AB1C=π2,所以AB1⊥類型三異面直線所成角的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例3】如圖,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,側(cè)面都是矩形,底面四邊形ABCD是菱形且AB=BC=23,∠ABC=120°,若異面直線A1B和AD1所成的角為90°,求線段AA1的長(zhǎng).【解析】連接CD1,AC.由題意得四棱柱ABCDA1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,所以A1B∥CD1,所以∠AD1C(或其補(bǔ)角)為A1B和AD1所成的角.因?yàn)楫惷嬷本€A1B和AD1所成的角為90°,所以∠AD1C=90°.因?yàn)樗睦庵鵄BCDA1B1C1D1中,AB=BC=23,所以△ACD1是等腰直角三角形,所以AD1=22因?yàn)榈酌嫠倪呅蜛BCD是菱形,且AB=BC=23,∠ABC=120°,所以AC=23×sin60°×2=6,AD1=22AC=32所以AA1=AD12-A【總結(jié)升華】關(guān)于異面直線所成角的應(yīng)用當(dāng)已知條件中含有異面直線所成角時(shí),應(yīng)先作出該角,才能應(yīng)用此條件,但要注意作出的角不一定是已知異面直線所成角,也可能是其補(bǔ)角,應(yīng)分情況討論.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在四面體ABCD中,E,F分別是AB,CD的中點(diǎn).若BD,AC所成的角為60°,且BD=AC=1,求EF的長(zhǎng).【解析】取BC的中點(diǎn)O,連接OE,OF.因?yàn)镋,F分別是AB,CD的中點(diǎn),所以O(shè)E∥AC,OF∥BD,且OE=12AC,OF=12所以O(shè)E與