四川省內(nèi)江市資中縣球溪高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（火箭班）

球溪高級(jí)中學(xué)學(xué)年（上）高二期末考試（火箭班）數(shù)學(xué)考生注意：本試卷分選擇題和非選擇題兩部分上.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)寫在本試卷上無效回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題紙上寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷與答題卡一并由監(jiān)考人員收回.85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出焦參數(shù)，根據(jù)焦點(diǎn)的位置確定準(zhǔn)線方程．【詳解】由題意焦點(diǎn)在軸正半軸，，，所以準(zhǔn)線方程為．故選：C．2.過、兩點(diǎn)的直線方程是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由截距式得到直線方程.【詳解】由截距式可得直線方程為，A正確，BCD錯(cuò)誤.故選：A第1頁/共20頁3.已知直線，直線平行，則實(shí)數(shù)（）A.B.C.或D.不存在【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線的位置關(guān)系，直接求解參數(shù)即可.【詳解】由題可得，解得.故選：A4.已知，分別是平面，的法向量，若，則（）A.B.0C.1D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)法向量定義得到，進(jìn)而得到，得到方程，求出答案.【詳解】，故，故，解得.故選：A5.點(diǎn)到直線（為任意實(shí)數(shù)）距離的最大值為（）A.B.1C.D.2【答案】C【解析】到直線法二：利用幾何法即可求出最值.【詳解】法一：點(diǎn)到直線的距離為，第2頁/共20頁，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，所以，所以，所以.法二：易知直線過定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離最大值為定點(diǎn)到的距離，即.故選：C.6.在棱長為1的正方體中，為線段到平面）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，第3頁/共20頁，即，取，又，所以點(diǎn)到面的距離.故選：B.7.某圓拱橋的水面跨度1248為（，）.A.2.5米B.2.7米C.2.9米D.3.1米【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)圖中矩形EFGH為船剛好能通過橋下時(shí)的位置，先求得圓的方程，再將代入求得縱坐標(biāo)判斷.軸的直線為面直角坐標(biāo)系，設(shè)圖中矩形EFGH為船剛好能通過橋下時(shí)的位置，則，，，，設(shè)圓拱橋所在圓的方程為，由已知得：；解得，.故圓的方程為第4頁/共20頁令，解得結(jié)合題意可得這條船能從橋下通過的水面以上最大高度為2.9故選：C.8.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?.我們通常把這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.已知橢圓的蒙日?qǐng)A方程，，分別為橢圓P為蒙日?qǐng)ACP作橢圓的兩條切線，與蒙日?qǐng)AC分別交于A，B兩點(diǎn)，若面積的最大值為25，則橢圓的長軸長為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用橢圓的離心率可得，分析可知為蒙日?qǐng)A的直徑，利用勾股定理可得，再利用基本（均值）不等式即可求解.【詳解】如圖：因?yàn)闄E圓的離心率，所以.因?yàn)?，所以，所以橢圓的蒙日?qǐng)AC的半徑為.因?yàn)椋詾槊扇請(qǐng)A的直徑，所以，所以.第5頁/共20頁因?yàn)?，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以面積的最大值為：.由面積的最大值為25，得，得，進(jìn)而有，，故橢圓的長軸長為.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于借助基本（均值）不等式分析在何時(shí)取得最大值.36分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記方程所表示的曲線為，則下列命題正確的是（）A.曲線可能為圓B.曲線可能為等軸雙曲線C.若，則為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線D.若，則為焦點(diǎn)在軸上的橢圓【答案】ACD【解析】【分析】易知當(dāng)時(shí)，曲線為圓，即A正確，假設(shè)曲線為等軸雙曲線，但方程無解，B錯(cuò)誤；再根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程定義可判斷C正確，又利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得D正確.【詳解】對(duì)于A，易知當(dāng)時(shí)，即時(shí)，曲線方程為，也即，表示圓，即A正確；對(duì)于B，若曲線可能等軸雙曲線可知，顯然此方程無解，因此曲線不可能為等軸雙曲線，即B錯(cuò)誤；第6頁/共20頁對(duì)于C，若，可知，方程可化為，此時(shí)為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，即C正確；對(duì)于D，若，可得，且，所以為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，即D正確.故選：ACD10.將25個(gè)數(shù)排成5行5列：已知第一行，，，，成等差數(shù)列，而每一列，，，，都成公比為的等比數(shù)列.若，，，則下列結(jié)論一定正確的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】首先利用等差數(shù)列和等比數(shù)列性質(zhì)，列方程組求出公比，公差，進(jìn)而求出第一行的值，再分類討論計(jì)算，逐個(gè)判定即可.【詳解】因?yàn)榈谝恍谐傻炔顢?shù)列，設(shè)公差為，每列成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，，，變形三個(gè)方程，，，，后兩個(gè)聯(lián)立得到，即；(?)前兩個(gè)聯(lián)立得到，即；(??)第7頁/共20頁聯(lián)立得到的式子，可解得，即.故B正確.將代入前面式子，當(dāng)此時(shí)，則；，則；，則；當(dāng)此時(shí)，則；，則；，則；綜上所得，A，C錯(cuò)誤，B，D正確.故選：BD.已知過拋物線焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)，則的最小值為6B.若點(diǎn)N為線段AB中點(diǎn)，則點(diǎn)N的坐標(biāo)可以是C.若直線的傾斜角為，則D.【答案】ACD【解析】AB計(jì)算面積判斷C，應(yīng)用焦半徑公式計(jì)算判斷D.【詳解】對(duì)于A，過點(diǎn)A作垂直于準(zhǔn)線，垂足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為6，故A正確；第8頁/共20頁對(duì)于B，假設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)是，則，，由直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，得，兩式相減得，即，所以，所以直線的方程為，將代入得，所以直線不過點(diǎn)，不符合題意，故B不正確；對(duì)于C，設(shè)直線方程為，設(shè)，，由得，所以，，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，設(shè)直線方程為，設(shè)，，由得，所以，，，即，即，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.已知，，則________.第9頁/共20頁【答案】【解析】【分析】利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求解即得.【詳解】.故答案為：13.已知兩直線，互相平行，則________.【答案】2【解析】【分析】本題主要利用兩直線平行的條件來建立關(guān)于的方程，進(jìn)而求解的值.【詳解】因?yàn)橹本€與互相平行，可得.解得.故答案為：2.14.已知P是雙曲線P分別作CA，B，且，則的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)漸近線的傾斜角為，由，可得，即，設(shè)，可得，可得，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】設(shè)漸近線的傾斜角為，則，，，，設(shè)，則，第10頁/共20頁則，，，，的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓C的方程為.（1）求圓C關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程；（2）若點(diǎn)在圓C上運(yùn)動(dòng)，求的最大值和最小值.【答案】（1）（2）最大值為，最小值為.【解析】1）由圓C標(biāo)準(zhǔn)方程得到圓心為，半徑為1，求得圓心關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為即可；（2）由即為點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的平方，利用幾何法求解.【小問1詳解】第11頁/共20頁由圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知圓心為，半徑為1.圓心關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，圓C關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為.小問2詳解】即為圓上的點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離的平方.圓心到原點(diǎn)的距離為，的最大值為，最小值為.16.已知等差數(shù)列的公差，，，成等比數(shù)列；數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）【解析】1）根據(jù)題目條件得到和，求出首項(xiàng)和公差，得到，再利用求出，為等比數(shù)列，故；（2）在（1）基礎(chǔ)上，利用錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】，故，，，成等比數(shù)列，故，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以，?2頁/共20頁將代入得，，，①中，令得，解得，當(dāng)時(shí)，②，①②得，即，所以為首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故；【小問2詳解】，故①，所以②，式子①②得，故.17.已知，是雙曲線4長的.（1）求雙曲線C的離心率；（2）直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若四邊形的面積為，求.【答案】（1）（2）6【解析】1）根據(jù)條件可求的值，進(jìn)而求雙曲線的離心率.第13頁/共20頁（2）根據(jù)雙曲線對(duì)稱性可得三角形的面積為，進(jìn)而可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求.【小問1詳解】，，，.，.雙曲線的離心率.【小問2詳解】直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，如圖：兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)為O對(duì)稱，設(shè)，.又，三角形的面積為.，.又點(diǎn)在雙曲線上，則.所以，所以.18.如圖，等腰梯形ABCD中，，，，于E沿AE翻折至，使得.第14頁/共20頁（1）證明：；（2）求PC與平面PAD所成角的正弦值；（3）求平面PCD與平面PAD的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）.【解析】1）由，得到平面即可求證；（2EDD作于FECEAEP為軸軸軸建立空間直角坐標(biāo)系，由線面夾角的向量法求解即可；（3）求得平面法向量，代入夾角公式即可求解；【小問1詳解】，，又沿AE翻折至，，即.平面，平面，平面.又平面，.【小問2詳解】連接ED，過D作于，又四邊形等腰梯形，且，又，.第15頁/共20頁又且，即.又，，平面，平面平面.以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸軸軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，.設(shè)平面PAD的法向量為則，即令，則，，.設(shè)與平面所成角為則與平面所成角的正弦值為.【小問3詳解】設(shè)平面的法向量為則，即令，則，，.由（2）知平面的法向量為.平面與平面的夾角的余弦值為.第16頁/共20頁19.動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和P到定直線的距離的比是常數(shù).（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程E；（2）過F作斜率不為0的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，①過原點(diǎn)O作的平行線與E交于Q點(diǎn)，證明：為定值；②設(shè)點(diǎn)，直線AG與E交于點(diǎn)C，BG與CF交于點(diǎn)D，求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)的最大值.【答案】（1）（2）①證明見解析；②.【解析】1）根據(jù)題意，由求解；（2）①設(shè)，，分別與橢圓方程聯(lián)立，由，，求解；②解法一：設(shè)，，，根據(jù)B，D，G共線，C，D，F(xiàn)共線，得到求解.解法二：由（2）得到，，兩式相除得到，然后由，結(jié)合B，D，G共線，C，D，F(xiàn)共線得到，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上求解.【小問1詳解】解：，.【小問2詳解】第17頁/共20