湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2025年湖北云學(xué)名校聯(lián)盟高一年級(jí)3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷命題學(xué)校：鐘祥一中命題人：李鎧峰賈晶晶付萬麗審題人：云學(xué)研究院考試時(shí)間：2025年3月10日15:00－17:00時(shí)長(zhǎng)：120分鐘試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷，草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和管題卡一并上交.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】分別通過解不等式以及求函數(shù)的定義域可得集合A，B，再求交集即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：C.2.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】判斷出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可判斷出答案.【詳解】由題意可知函數(shù)上單調(diào)遞增，又，即，故函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為，故選：B3.已知非零向量與共線，下列說法正確的是（）A.與共線 B.與不共線C.若，則 D.若，則是一個(gè)單位向量【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量共線，向量相等及單位向量的定義分別判斷各選項(xiàng).【詳解】當(dāng)，，，四點(diǎn)在一條直線上時(shí)，與共線，否則與可能不共線，所以AB選項(xiàng)錯(cuò)誤；若，無法確定向量方向，不能確定向量相等，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)單位向量定義可知若，則是一個(gè)單位向量，D選項(xiàng)正確；故選：D4.已知，集合，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別化簡(jiǎn)集合和，根據(jù)充分性和必要性定義判斷即可.【詳解】因?yàn)椋山獾没?，或，由解得或，即或，因?yàn)?，所以，所以，所以是的真子集，所以是的充分不必要條件.故選：A5.紙折扇是我國(guó)古代傳統(tǒng)的工藝制品，它是以細(xì)長(zhǎng)的竹片制成眾多的扇骨，然后將扇骨疊起，其下端頭部以釘鉸固定，其余則展開為扇形，上裱糊以紙，作扇面，并在扇面上題詩(shī)作畫.如圖所示，已知折扇兩端的扇骨長(zhǎng)均為18cm且夾角為，扇面（裱糊以紙的部分）上下的弧長(zhǎng)L與l之比為3:1，則扇面的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇環(huán)的面積公式來求得正確答案.【詳解】大扇形半徑為，則小扇形半徑為，，所以上弧長(zhǎng)，下弧長(zhǎng)為，所以扇環(huán)也即扇面的面積為.故選：B6.已知角為的一個(gè)內(nèi)角，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件分析的范圍，再利用求出，再利用二倍角公式即可求解.【詳解】因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以，所以，又因，且，所以，所以，所以，由二倍角公式有：.故選：A7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性有在上單調(diào)遞減，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，滿足題設(shè)，當(dāng)時(shí)，或，綜上，.故選：B.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.0 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，再結(jié)合條件可得函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，又因?yàn)?，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，即，所以，令，則，，即，所以，即，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，則，，則，，，則.故選：B二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，下列不等關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由不等式性質(zhì)可判斷A；由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷BD；由冪函數(shù)性質(zhì)可判斷C.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋Y(jié)合不等式性質(zhì)可知，A正確；對(duì)于B，由于，故，B正確；對(duì)于C，，則冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，故，D錯(cuò)誤；故選：AB10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.在的值域?yàn)镃.將的圖像向左平移個(gè)單位后為奇函數(shù)D.的單調(diào)遞增區(qū)間為，【答案】ACD【解析】【分析】由正弦型函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)求解判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由圖可知，，，所以，所以，故，所以，由得，故A正確；對(duì)于B，所以，，所以，所以的值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，將的圖像向左平移個(gè)單位后得，是奇函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，，由，，解得，即，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)m使得方程有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，，，，則下列敘述中正確的有（）A. B.C. D.有最小值【答案】ABD【解析】【分析】由題意可得函數(shù)與有4個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象可求得，，進(jìn)而計(jì)算可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】若存在實(shí)數(shù)m使得方程有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則函數(shù)與有4個(gè)不同的交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如圖所示：當(dāng)或，，又時(shí)，則由圖象可知函數(shù)與有4個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，可得，故A正確；且，當(dāng)時(shí)，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得，故B正確；當(dāng)時(shí)，是方程的兩根，所以，所以，所以，，所以，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所認(rèn)有最小值，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D選項(xiàng)，關(guān)鍵在于利用，得到，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求得最小值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，則不等式的解集為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，結(jié)合是偶函數(shù)，可得，再根據(jù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】?jī)绾瘮?shù)是偶函數(shù)，，解得或，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)，符合題意，,在內(nèi)單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，可化為，兩邊取平方可得：，整理的，解得，的解集為.故答案為：.13.已知函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】先由的正負(fù)分類討論（可先由時(shí)函數(shù)的單調(diào)性判斷），再時(shí)的函數(shù)為二次函數(shù)形式判斷求解．【詳解】若，則，在上是減函數(shù)，不是最小值，不合題意；若，則時(shí)，是增函數(shù)，因此時(shí)，，函數(shù)無最小值；若，則時(shí)，是減函數(shù)，，時(shí)，，因此在時(shí)是增函數(shù)，由得，所以，當(dāng)時(shí)，，的最小值是，不是，不合題意，綜上，的取值范圍是．故答案為：14.已知函數(shù)在時(shí)取得最大值．且關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)得到，討論的取值，結(jié)合確定的最小值，從而求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在時(shí)取得最大值，且關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，兩式作差得，所以，因?yàn)椋?，得，，?dāng)時(shí)，，將代入，得，不滿足，不合題意；當(dāng)時(shí)，，將代入，得，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，此時(shí)，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16，17小題15分，第18，19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.計(jì)算下列各式的結(jié)果：（1）；（2）已知，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)計(jì)算公式直接化簡(jiǎn)可得值；（2）利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)求值.【小問1詳解】；【小問2詳解】由誘導(dǎo)公式可知，即，所以.16.已知命題，，命題，．（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若命題p，q有且僅有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知可得在有解，利用對(duì)勾函數(shù)求得的最大值即可；（2）利用不等式的解集為，可求得q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍，結(jié)合已知可求得命題p，q有且僅有一個(gè)為真命題，實(shí)數(shù)m的取值范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，，可得在有解，所以，令，由?duì)勾函數(shù)可知函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，所以，所以命題p為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為；【小問2詳解】若，，則，解得．所以q為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為；當(dāng)命題p為真命題，q為假命題時(shí)，m應(yīng)滿足，所以，當(dāng)命題p為假命題，q為真命題時(shí)，m應(yīng)滿足，所以，綜上所述：命題p，q有且僅有一個(gè)為真命題，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．17.“綠色出行，低碳環(huán)?！币殉蔀樾碌臅r(shí)尚，近幾年，國(guó)家相繼出臺(tái)了一系列的環(huán)保政策，在汽車行業(yè)提出了重點(diǎn)扶持新能源汽車的政策，為新能源汽車行業(yè)的發(fā)展開辟了廣闊的前景．某新能源沉車配件公司為擴(kuò)大生產(chǎn)，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某種組件，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為2000萬元，每生產(chǎn)萬件，需另投入成本萬元，且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每件的售價(jià)為2000元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完．（1）年利潤(rùn)y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）的關(guān)系式（利潤(rùn)=銷售收入-成本）；（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，公司所獲年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？【答案】（1）（2）50；2200【解析】【分析】（1）由題意，分和兩種情況求利潤(rùn)；（2）結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及基本不等式即可求解.【小問1詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以年利潤(rùn)y（萬元）與年產(chǎn)量x（萬件）的關(guān)系式為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，開口向下，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，因?yàn)?，所以，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為50萬件時(shí)，公司所獲年利潤(rùn)最大，利潤(rùn)最大為2200.18.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將的圖象向左平移個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位，再把所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，若在內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.（2）利用圖象變換求出值，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求出范圍.【小問1詳解】依題意，，由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】將的圖象向左平移個(gè)單位，向下平移1個(gè)單位，得，再把所有點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得，則，得，因?yàn)椋?，所以的解析式為，由，得，由函?shù)在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)，得，解得，所以的取值范圍是.19.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镈，對(duì)于區(qū)間，若滿足，恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間I上的增長(zhǎng)系數(shù)為1；若滿足，恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間I上的增長(zhǎng)系數(shù)為2；若滿足，恒有，則稱函數(shù)在區(qū)間I上的增長(zhǎng)系數(shù)為n．（1）求函數(shù)，在上的增長(zhǎng)系數(shù)；（2）若3和4都是函數(shù)在上的增長(zhǎng)系數(shù)，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)，在上的增長(zhǎng)系數(shù)僅為n，求n的最小值及此時(shí)m的取值范圍．【答案】（1）在上的增長(zhǎng)系數(shù)為1；在上的增長(zhǎng)系數(shù)為2；（2）（3）n的最小值為5；【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出值域，結(jié)合增長(zhǎng)系數(shù)的定義求解即可；（2）令，根據(jù)增長(zhǎng)系數(shù)的定義得到，根據(jù)不等式求解即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出值域，結(jié)合增長(zhǎng)系數(shù)的定義得到，進(jìn)而得到，根據(jù)不等式有解且求解即可.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，而，所以函數(shù)在上的增長(zhǎng)系數(shù)為1；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)