2024年廣東省廣州市普通高中畢業(yè)班沖刺訓(xùn)練（三）數(shù)學(xué)試題和答案

試題PAGE1試題2024年廣州市普通高中畢業(yè)班沖刺訓(xùn)練題（三）數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆在答題卡的相應(yīng)位置填涂考生號。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，則A．B．C． D．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3.已知等差數(shù)列的前項和為，若，則A．1 B．2 C．4 D．64.設(shè)是兩個不同平面，是兩條不同直線，則的一個充分條件是A． B．C． D．與相交5.已知雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，且與拋物線（）的焦點(diǎn)重合，雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為A． B．3 C． D．6.已知，，且，則A． B．C． D．7.已知半徑為的球的球心到正四面體各個頂點(diǎn)的距離都相等，若正四面體與球的球面有公共點(diǎn)，則正四面體的棱長的取值范圍為A． B． C． D．8.在△中，角的對邊分別為，若的平分線的長為，則邊上的中線的長等于A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知變量和變量的一組成對樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)落在一條直線附近，，，相關(guān)系數(shù)為，線性回歸方程為，則當(dāng)越大時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)當(dāng)時，當(dāng)時，成對樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)滿足當(dāng)時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性回歸方程滿足參考公式：，.10.設(shè)函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為B．函數(shù)有極小值且極小值為C．若方程有兩個不等實根，則實數(shù)m的取值范圍為D．經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的曲線的切線方程為11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn),在上（在第一象限），點(diǎn)在上，以為直徑的圓過焦點(diǎn)，，則A．若，則 B．若，則C．的面積最小值為 D．的面積大于三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，則=．13.選手甲和乙進(jìn)行乒乓球比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，采用五局三勝制，則在甲最終獲勝的情況下，比賽進(jìn)行了三局的概率為．14.已知，若關(guān)于的不等式有整數(shù)解，則的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.（13分）已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若存在，使得≥成立，求實數(shù)的取值范圍．（15分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，三棱錐的體積為，平面與平面的交線為.（1）求四棱錐的體積，并在答卷上畫出交線（注意保留作圖痕跡）.（2）若，,且平面平面，在上是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求的長度；若不存在，請說明理由．（15分）在第二十五屆中國國際高新技術(shù)成果交易會上，中國科學(xué)院的科研團(tuán)隊帶來了可以在零下70攝氏度到零上80攝氏度范圍內(nèi)正常使用的寬溫域鋰電池，為新能源汽車在冬季等極端溫度下的使用提供了技術(shù)支撐．中國新能源汽車也在科研團(tuán)隊的努力下，在世界舞臺上扮演著越來越重要的角色．已知某鋰電池生產(chǎn)商對一批鋰電池最低正常使用零下溫度進(jìn)行了檢測，得到如下頻率分布直方圖．（1）求最低正常使用零下溫度的第60百分位數(shù)；（2）以抽樣檢測的頻率作為實際情況的概率：①若隨機(jī)抽取3塊電池，設(shè)抽到鋰電池最低正常使用零下溫度在的數(shù)量為，求的分布列；②若鋰電池最低正常使用零下溫度在之間，則為類鋰電池．若以抽樣檢測的頻率作為實際情況的概率，從這批鋰電池中隨機(jī)抽取10塊，抽到塊為“類鋰電池”的可能性最大，試求的值．18.（17分）將上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮M坐標(biāo)不變），所得曲線為E．記，，過點(diǎn)的直線與E交于不同的兩點(diǎn)A，B，直線QA，QB與E分別交于點(diǎn)C，D．（1）求E的方程；（2）設(shè)直線AB，CD的傾斜角分別為，，求的值．19.（17分）已知函數(shù)．（1）若≥對于任意恒成立，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)的零點(diǎn)按照從大到小的順序構(gòu)成數(shù)列，，證明：；（3）對于任意正實數(shù)，證明：．2024年廣州市普通高中畢業(yè)班沖刺訓(xùn)練題（三）參考答案答案：D【詳解】因為，，所以答案：B【詳解】因為復(fù)數(shù)，所以對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限．3.答案：B【詳解】因為為等差數(shù)列，，所以，所以.4.【答案】C【詳解】選項A：當(dāng)滿足時，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故A錯誤；選項B：當(dāng)滿足時，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故B錯誤；選項C：因為，又，所以，故是的一個充分條件，故C正確；當(dāng)滿足與相交時，可能相交，如圖：用四邊形代表平面，用四邊形代表平面，故D錯誤；5.【答案】D【詳解】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，又因為，則點(diǎn)，又因為點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，所以，所以雙曲線的離心率6.【答案】C【詳解】由，得，于是，即，由，，得，則或，即或（不符合題意，舍去），所以.故選：C7.【答案】D【詳解】設(shè)正四面體的棱長為，則其內(nèi)切球、棱切球、外接球的半徑分別為．由題意知，球的球心落在正四面體的幾何中心，即內(nèi)切球、棱切球、外接球公共的球心，又球的半徑為定值。當(dāng)球是正四面體的外接球時，棱長最小，此時，得．當(dāng)球是正四面體的內(nèi)切球時，最大，此時，得故正四面體的棱長的取值范圍為．故選：D.8.【答案】A【詳解】由題意知，設(shè)，則，如圖所示，由可得，整理得，即，又因為，所以，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，由中線長公式，中線長，9答案：BCD10.答案：ACD【詳解】對A：由題意可知的定義域為，，令，解得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故A正確；對B：當(dāng)時，取得極大值為，故B錯誤；對C：由上分析可作出的圖象，要使方程有兩個不等實根，只需要與有兩個交點(diǎn)，由圖可知，，所以實數(shù)的取值范圍為，故C正確.對D：設(shè)曲線在處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則切線斜率，解得，，所以切線斜率，所以切線方程為，故D正確.11.答案：ABD【詳解】對于A，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，又，，則，所以，故A正確；對于B，設(shè)點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影為點(diǎn)，易證，又，，即，，，故B正確；對于C，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)都在第一象限，設(shè)，，由焦半徑公式可得，，，令，設(shè)，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值.當(dāng)點(diǎn)在第二象限時，設(shè)，，則，，所以，同理令，且，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，綜上，面積的最小值為，故C錯誤；對于D，當(dāng)點(diǎn)都在第一象限，，，則，所以，即，，當(dāng)點(diǎn)在第二象限時，同理可得，即，，綜上，的面積大于，故D正確.故選：ABD.12.【答案】20【詳解】由，令可得，，∴．在中，令，可得，∴13.【答案】【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲獲勝為事件，比賽進(jìn)行三局為事件，，，故．14.【答案】【詳解】不等式，即，設(shè)，，設(shè)，，所以單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，因為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，不等式有整數(shù)解，即有整數(shù)解，若時，即，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，，所以無整數(shù)解，不符合題意，當(dāng)時，因為，顯然是的兩個整數(shù)解，符合題意，綜上可知，.15.【詳解】（1）解：由題意知：數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，當(dāng)時，，所以，整理得：，2分又當(dāng)時，，3分因為滿足上式，4分所以，故數(shù)列的通項公式為5分（2）解：由（1）知，可得，6分故；8分解法1：由，可得，9分即，則，10分又由，12分當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故實數(shù)的取值范圍為．13分解法2：由，9分可得，10分當(dāng)，即時，，12分則，故實數(shù)的取值范圍為．13分16.1分，，，2分，3分延長BC，AD，設(shè)BC的延長線和AD的延長線交點(diǎn)為M，連接PM，則平面PAD和平面PBC的交線l為直線PM5分證明：取AD的中點(diǎn)E，連接PE，，E是AD的中點(diǎn)，，平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，，平面ABCD，6分,,即7分以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線BA、BM分別為軸，以過點(diǎn)B作平面ABCD的的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.8分則，，，，，，，9分設(shè)，則，10分設(shè)平面PCD的法向量為，則，即，令，得，11分設(shè)平面CDN的法向量為，則，即令，可得，12分夾角的余弦值為，，13分解得：或，14分即在直線l上存在點(diǎn)N，的夾角的余弦值為，此時或15分17、【詳解】（1）設(shè)最低正常使用零下溫度的第60百分位數(shù)為，由直方圖可知最低正常使用零下溫度在的頻率為0.4，在的頻率為0.65，因此最低正常使用零下溫度的第60百分位數(shù)一定在內(nèi)，1分則有，解得，所以最低正常使用零下溫度的第60百分位數(shù)為28℃．3分（2）①由題意可知的可能值是0,1,2,3，，5分；6分；7分；8分，所以的分布列為01230.0640.2880.4320.2169分②由題意可知，設(shè)抽到類鋰電池的數(shù)量為，則，10分若抽到塊的可能性最大，則，，12分即13分即解得，14分由于，故．15分18、【詳解】（1）解：設(shè)所求軌跡E上的任意點(diǎn)為(x,y)，與x2+y根據(jù)題意，可得x=x1y=代入方程x2+y2=2所以曲線E的軌跡方程為x22（2）方法一：解：設(shè)A(x設(shè)直線AC的方程為x=ty+1聯(lián)立方程組x=ty+1x22+則y1又因為t=x1所以y3=?12+t2x3=ty3+1=x1C(3x1?42又因為P,A,B三點(diǎn)共線，可得y1x1即x2y1所以kCD=y所以tanαtanβ方法二：解：設(shè)直線AC的方程為y=k(x?1)，A(x聯(lián)立方程組y=k(x?1)x22則Δ=(?4k可得32x1可得y3所以C(3x19、【詳解】（1）根據(jù)題意可知，不等式在上恒成立，設(shè)，則，，設(shè)，則，，則，若，存在區(qū)間，使在區(qū)間上單調(diào)遞減；則，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，不滿足題意，故，即.下證明：當(dāng)時，不等式成立，因為，，設(shè)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，則，