陜西省西安市高新第二高級中學2024-2025學年高一下學期第一次月考數(shù)學試題（原卷版+解析版）

高一數(shù)學第一次月考試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如圖，在四邊形ABCD中，若，則圖中相等向量是（）A.與 B.與 C.與 D.與2.設(shè)，則（）A. B.C. D.P與Q的大小與a有關(guān)3.已知函數(shù)的定義域是，則的定義域為（）A. B. C. D.4.在中，角所對邊分別為，且，（）A. B.或 C. D.或5.如圖，已知中，為的中點，，若，則A. B. C. D.6.已知向量，，，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.7.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．每年新春佳節(jié)，我國許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習俗，以此達到裝點環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望．圖一是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點在正六邊形的邊上運動，為圓的直徑，則的取值范圍是（）A. B. C. D.8.邊長為2的正三角形的內(nèi)切圓上有一點P，已知，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.對于任意向量，，，下列命題中正確的是（）A.若，則與中至少有一個為 B.向量與向量夾角的范圍是C若，則 D.10.已知為斜三角形，角A，B，C對邊分別為a，b，c，且，則（）A. B.的最小值為2C.若，則 D.若，則11.在給出的下列命題中，正確的是（）A.設(shè)是同一平面上四個點，若，則點必共線B.若向量是平面上的兩個向量，則平面上的任一向量都可以表示為，且表示方法是唯一的C.已知平面向量滿足則為等腰三角形D.已知平面向量滿足，且，則是等邊三角形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計算：__________.13.已知平面向量滿足與的夾角為，則向量在向量上的投影向量為______.14.在中，角，，的對邊分別為，，，若，，點是邊的中點，且，則的面積為________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.設(shè)全集為，已知集合，（1）當時，求（2）若“”是“”的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.16.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若的面積為，求．17.設(shè)兩個向量滿足，（1）求方向的單位向量；（2）若向量與向量的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍．18.上?；ú某晒εe辦離不開對展覽區(qū)域的精心規(guī)劃.如圖所示，將展區(qū)中扇形空地分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別種植玫瑰花、白玉蘭和菊花.知扇形的半徑為米，，動點在扇形的弧上，點在半徑上，且.（1）當米時，求分隔欄的長；（2）綜合考慮到成本和美觀等原因，希望使白玉蘭種植區(qū)的面積盡可能的大，求該種植區(qū)三角的面積的最大值.19已知向量，，函數(shù)，（1）若，，求的值；（2）在中，角，，對邊分別是，，，且滿足，當取最大值時，，面積為，求的值.

高一數(shù)學第一次月考試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如圖，在四邊形ABCD中，若，則圖中相等的向量是（）A.與 B.與 C.與 D.與【答案】C【解析】【分析】由條件可得四邊形ABCD是平行四邊形，然后逐一判斷即可.【詳解】因為，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以，，，，故ABD錯誤，C正確.故選：C.2.設(shè)，則（）A. B.C. D.P與Q的大小與a有關(guān)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)作差法比較大小即可.【詳解】因為所以.故選：C.3.已知函數(shù)的定義域是，則的定義域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的定義域可得，對于可得，運算求解即可.【詳解】因為函數(shù)定義域是，即，則；對于函數(shù)，可知，解得，所以函數(shù)的定義域為.故選：C.4.在中，角所對邊分別為，且，（）A. B.或 C. D.或【答案】A【解析】【分析】由正弦定理求得，結(jié)合邊的大小關(guān)系即可得解.詳解】由正弦定理有，即，解得，注意到，由大邊對大角有，所以.故選：A.5.如圖，已知中，為的中點，，若，則A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的線性運算將用表示，由此即可得到的值，從而可求的值.【詳解】因為，所以，.故.故選：C.【點睛】本題考查向量線性運算以及數(shù)乘運算在幾何中的應(yīng)用，難度一般.向量在幾何中的應(yīng)用可通過基底的表示形式進行分析.6.已知向量，，，則向量與向量的夾角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用平面向量的夾角公式求出夾角余弦值，再利用誘導(dǎo)公式結(jié)合角的范圍進行求解..【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，由題意，得，，，所以，因為，，所以，即向量與向量的夾角為.故選：D.7.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一．每年新春佳節(jié)，我國許多地區(qū)的人們都有貼窗花的習俗，以此達到裝點環(huán)境、渲染氣氛的目的，并寄托著辭舊迎新、接福納祥的愿望．圖一是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，已知圖二中正六邊形的邊長為，圓的圓心為正六邊形的中心，半徑為，若點在正六邊形的邊上運動，為圓的直徑，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計算得出，求出取值范圍，由此可求得的取值范圍.【詳解】如下圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，、、、、、均為邊長為的等邊三角形，當點位于正六邊形的頂點時，取最大值，當點為正六邊形各邊的中點時，取最小值，即，所以，.所以，.故答案為：.【點睛】方法點睛：求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：（1）利用定義：（2）利用向量的坐標運算；（3）利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用．8.邊長為2的正三角形的內(nèi)切圓上有一點P，已知，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】建立坐標系，寫出相應(yīng)的點坐標，得到的表達式，然后利用三角函數(shù)和三角恒等變換等知識求得到范圍.【詳解】如圖，以正三角形的高為軸，以內(nèi)切圓圓心為原點，建立直角坐標系，因為正三角形邊長為2，根據(jù)三角形面積公式得到，所以內(nèi)切圓半徑為，則設(shè)，，則，因為，即，所以，解得，則，因為，則，則，所以.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：求出內(nèi)切圓半徑，設(shè)，由，可解出，利用三角函數(shù)和三角恒等變換求范圍.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.對于任意向量，，，下列命題中正確的是（）A.若，則與中至少有一個為 B.向量與向量夾角的范圍是C.若，則 D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積、夾角、垂直、運算律等知識對選項進行分析，從而確定正確選項.【詳解】A，當為非零向量，且時，，所以A選項錯誤.B，向量與向量夾角的范圍是，所以B選項錯誤.C，若，則，C選項正確.D，，D選項正確.故選：CD10.已知為斜三角形，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則（）A. B.的最小值為2C.若，則 D.若，則【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)正弦定理化簡，結(jié)合推導(dǎo)出，然后化成正切的式子，得到，判斷出A項正確；根據(jù)基本不等式取等號的條件，得到當?shù)淖钚≈禃r，，此時為等腰直角三角形，與題設(shè)矛盾，可知B項不正確；利用正弦定理證出，結(jié)合余弦定理，證出，判斷出C項正確；若，利用余弦定理與三角恒等變換公式，化簡得到，求得或，可知D項不正確．【詳解】A．由，得，因為，所以，兩邊都除以，得，整理得，故A項正確；B．若的最小值為2，則此時，可得，結(jié)合，得，此時，可得，與為斜三角形矛盾，故B項不正確；C．若，由正弦定理，得，結(jié)合，可得，所以，可得，由余弦定理得，因此，，整理得，故C項正確；C．，若，則，可得，即，結(jié)合為三角形的內(nèi)角，可知或，所以或，故D項不正確．故選：AC．11.在給出的下列命題中，正確的是（）A.設(shè)是同一平面上的四個點，若，則點必共線B.若向量是平面上的兩個向量，則平面上的任一向量都可以表示為，且表示方法是唯一的C.已知平面向量滿足則為等腰三角形D.已知平面向量滿足，且，則是等邊三角形【答案】ACD【解析】【分析】對于A，根據(jù)共線定理判斷A、B、C三點共線即可；對于B，根據(jù)平面向量的基本定理，判斷命題錯誤；對于C，根據(jù)向量的運算性質(zhì)可得OA為BC的垂線且OA在的角平分線上，從而可判斷C；對于D，根據(jù)平面向量的線性表示與數(shù)量積運算得出命題正確；【詳解】對于A，，∴，∴，且有公共點C，∴則點A、B、C共線，命題A正確；對于B，根據(jù)平面向量的基本定理缺少條件不共線，故B錯誤；對于C，由于，即，，得，即OA為BC的垂線，又由于，可得OA在的角平分線上，綜合得為等腰三角形，故C正確；對于D，平面向量、、滿足，且，∴，∴，即，∴，∴、的夾角為，同理、的夾角也為，∴是等邊三角形，故D正確；故選ACD.【點睛】本題主要考查利用命題真假的判斷考查了平面向量的綜合應(yīng)用問題，屬于中檔題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.計算：__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式指數(shù)冪運算法則及換底公式計算即可得出結(jié)果.【詳解】易知原式故答案為：13.已知平面向量滿足與的夾角為，則向量在向量上的投影向量為______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義求出，再根據(jù)在方向上的投影向量為計算可得.【詳解】因為，所以，又向量與的夾角為，且，所以，所以向量在向量上的投影向量為.設(shè)，由與得，解得或，所以或，所以向量在向量上的投影向量為或.故答案為：或14.在中，角，，的對邊分別為，，，若，，點是邊的中點，且，則的面積為________.【答案】或【解析】【分析】利用正弦定理進行邊化角求出角A，結(jié)合向量中線定理求解，最后利用三角形面積公式求面積即可.【詳解】因為，所以．由正弦定理得，因為，，所以，則，而，解得或，因為點是邊的中點，且，所以，得到，即，當時，，解得(負根舍去)，即，此時的面積為，當時，，解得(負根舍去)，即，此時面積為．故答案為：或四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.設(shè)全集為，已知集合，（1）當時，求（2）若“”是“”的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）運用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求出B，再根據(jù)集合的補運算和并集運算，求解即可；（2）根據(jù)題意得到集合之間的關(guān)系，分類討論，列出不等關(guān)系，求解即可.【小問1詳解】當時，，或，又因為，則或【小問2詳解】因為“”是“”成立的充分條件，則，集合，，當，即，即，符合題意；當時，，解得：綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是16.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若的面積為，求．【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）由已知，結(jié)合正弦定理邊角互化，再根據(jù)余弦定理求得即可求解；（2）由三角形面積公式求得，根據(jù)及余弦定理得出，再由完全平方公式即可求解．【小問1詳解】由正弦定理得，，即，由余弦定理得，，又，所以．【小問2詳解】因為的面積為，所以，即，由，則，即，所以，即．17.設(shè)兩個向量滿足，（1）求方向的單位向量；（2）若向量與向量的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，求得的坐標和模后求解；（2）根據(jù)向量與向量的夾角為鈍角，由，且向量不與向量反向共線求解.【小問1詳解】由已知，所以，所以，即方向的單位向量為；【小問2詳解】由已知，，所以，因為向量與向量的夾角為鈍角，所以，且向量不與向量反向共線，設(shè)，則，解得，從而，解得.18.上?；ú某晒εe辦離不開對展覽區(qū)域的精心規(guī)劃.如圖所示，將展區(qū)中扇形空地分隔成三部分建成花卉觀賞區(qū)，分別種植玫瑰花、白玉蘭和菊花.知扇形的半徑為米，，動點在扇形的弧上，點在半徑上，且.（1）當米時，求分隔欄的長；（2）綜合考慮到成本和美觀等原因，希望使白玉蘭種植區(qū)的面積盡可能的大，求該種植區(qū)三角的面積的最大值.【答案】（1）米（2）平方米【解析】【分析】（1）首先求出，在中，利用余弦定理求出；（2）在中，先利用正弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式，利用三角恒等變換化簡結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】因為，所以，在中，，，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以的長為米；【小問2詳解】因為，，設(shè)，，則，在中，由正弦定理得，所有，則，當，即時，面積取得最大值，最大值為平方米.19.已知向量，，函數(shù)，（1）若，，求的值；（2）在中，角，，對邊分別是，，，且滿足，當取最大值時，，面積為，求的值.【答