物理學(xué)(祝之光) 3第三章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)學(xué)習(xí)資料

第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)習(xí)題:3－2，3-7

，3－8，3－9。3-0第三章教學(xué)基本要求3-1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定律3-2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)教學(xué)基本要求一、掌握描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移、角速度和角加速度等概念.二、掌握力對(duì)固定轉(zhuǎn)軸的力矩的計(jì)算方法，了解轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的概念(72學(xué)時(shí)不要求用積分計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量).三、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理和剛體服從質(zhì)點(diǎn)組的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系.四、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律.五、理解角動(dòng)量的概念,理解剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律.七、能綜合應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律及質(zhì)點(diǎn)、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式計(jì)算質(zhì)點(diǎn)剛體系統(tǒng)的簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)問題.六、會(huì)計(jì)算力矩的功(72學(xué)時(shí)只限于恒定力矩的功)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和對(duì)軸的角動(dòng)量.八、能綜合應(yīng)用守恒定律求解質(zhì)點(diǎn)剛體系統(tǒng)的簡(jiǎn)單動(dòng)力學(xué)問題.明確選擇分析解決質(zhì)點(diǎn)剛體系統(tǒng)力學(xué)問題規(guī)律時(shí)的優(yōu)先考慮順序.3-1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理和轉(zhuǎn)動(dòng)定律預(yù)習(xí)要點(diǎn)注意描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方法.閱讀附錄1中矢量乘法.力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩如何計(jì)算?領(lǐng)會(huì)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理的意義.注意區(qū)分平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的計(jì)算式.注意力矩的功的計(jì)算方法.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義是什么?轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與哪些因素有關(guān)?剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式如何?注意它的應(yīng)用方法.一、剛體及剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）.剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng).平動(dòng)：剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同.

轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體中所有的點(diǎn)都繞同一直線作圓周運(yùn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng).

轉(zhuǎn)軸不動(dòng),剛體繞轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)叫剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；垂直于轉(zhuǎn)軸的平面叫轉(zhuǎn)動(dòng)平面.二、描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量角位移角坐標(biāo)角速度角加速度O

定軸(Oz軸)條件下，由Oz軸正向俯視，逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的取正，順時(shí)針取負(fù).三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩和力矩的功P*O(:力臂)剛體繞Oz軸旋轉(zhuǎn),O為軸與轉(zhuǎn)動(dòng)平面的交點(diǎn)，力作用在剛體上點(diǎn)P,

且在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi),為由點(diǎn)O到力的作用點(diǎn)P的位矢.對(duì)轉(zhuǎn)軸z的力矩1.力矩力矩的功2.力矩作功四、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體內(nèi)部質(zhì)量為的質(zhì)量元的速度為動(dòng)能為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的總能量（轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能）定義轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相當(dāng)于描寫轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的物理量.2.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量單位：kg·m2（千克·米2）.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能計(jì)算式：對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體，任取質(zhì)量元dm，其到軸的距離為r，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與平動(dòng)動(dòng)能比較轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能設(shè)棒的線密度為，取一距離轉(zhuǎn)軸OO′

為處的質(zhì)量元求質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均勻細(xì)長(zhǎng)棒，對(duì)通過棒中心和過端點(diǎn)并與棒垂直的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.O′OO′O如轉(zhuǎn)軸過端點(diǎn)垂直于棒剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體的質(zhì)量m、剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān).3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算舉例4.部分均勻剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直2r球體轉(zhuǎn)軸沿直徑l細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過中心與棒垂直l細(xì)棒轉(zhuǎn)軸通過端點(diǎn)與棒垂直五、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體是其內(nèi)任兩質(zhì)點(diǎn)間距離不變的質(zhì)點(diǎn)組，剛體做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)間無相對(duì)位移，質(zhì)點(diǎn)間內(nèi)力不作功，外力功為其力矩的功；并且剛體無移動(dòng)，動(dòng)能的變化只有定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的變化.由質(zhì)點(diǎn)組動(dòng)能定理

合外力矩對(duì)繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量.得剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理注意:

2.剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能應(yīng)用計(jì)算.1.如果剛體在運(yùn)動(dòng)過程中還有勢(shì)能的變化，可用質(zhì)點(diǎn)組的功能原理和機(jī)械能轉(zhuǎn)換與守恒定律討論.總之，剛體作為特殊的質(zhì)點(diǎn)組，它服從質(zhì)點(diǎn)組的功能轉(zhuǎn)換關(guān)系.六、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律由動(dòng)能定理：取微分形式：兩邊除dt由于故得剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，合外力矩等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積.七、牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用如果在一個(gè)物體系中，有的物體作平動(dòng)，有的物體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，處理此問題仍然可以應(yīng)用隔離法.但應(yīng)分清哪些物體作平動(dòng)，哪些物體作轉(zhuǎn)動(dòng).把平動(dòng)物體隔離出來，按牛頓第二定律寫出其動(dòng)力學(xué)方程；把定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體隔離出來，按轉(zhuǎn)動(dòng)定律寫出其動(dòng)力學(xué)方程.有時(shí)還需要利用質(zhì)點(diǎn)及剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式補(bǔ)充方程，然后對(duì)這些方程綜合求解.例解法提要分別畫轉(zhuǎn)動(dòng)和平動(dòng)隔離體受力圖,然后列方程求1((2((3((物體的加速度a繩中張力滑輪對(duì)軸正壓力NT1T2,例已知O勻質(zhì)滑輪rm輕繩不伸長(zhǎng)輪繩不打滑m1m2m2m1輪軸有無摩擦力矩Mr滑輪對(duì)圓心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2o21JmraaABT1T1T2T2ABm1gm2gaaONmgyMr+設(shè)rb轉(zhuǎn)動(dòng):T2rT1rMroJb平動(dòng):A:B:T1m1gm1agaT2m2m2((角量與線量關(guān)系:arb將上述四個(gè)關(guān)系式聯(lián)立解得1((a(m2m1(gMrrm1+m2+oJr2(m2m1(gMrrm1+m2+2m(m2m1(gMrrm1+m2+2m2((T1gm1a(+(m1((gMrrm2+2m2m1+m2+2mT2gm2a((m2((gMrrm1+2m2m1+m2+2m3((Nmg+T1T2+232g+2(m2m1(g+m+4m1m2gm1+m2+2m續(xù)上求1((2((3((物體的加速度a繩中張力滑輪對(duì)軸正壓力NT1T2,1((a(m2m1(gMrrm1+m2+oJr2(m2m1(gMrrm1+m2+2m(m2m1(gMrrm1+m2+2m2((T1gm1a(+(m1((gMrrm2+2m2m1+m2+2mT2gm2a((m2((gMrrm1+2m2m1+m2+2m3((Nmg+T1T2+232g+2(m2m1(g+m+4m1m2gm1+m2+2m討論:當(dāng)mMr0,0時(shí)a(m2m1(gm1+m2T1m1gm22m1+m2T2NT12m1gm24m1+m2這就退回到質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的結(jié)果.解法提要例已知O勻質(zhì)滑輪rm輕繩不伸長(zhǎng)輪繩不打滑m1m2m2m1輪軸有無摩擦力矩Mr滑輪對(duì)圓心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2o21JmraaABT1T1T2T2ABm1gm2gaaONmgyMr+設(shè)rb

1）系統(tǒng)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J是桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J1與小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2之和.例:一根質(zhì)量均勻分布的細(xì)桿，一端連接一個(gè)大小可以不計(jì)的小球，另一端可繞水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng).某瞬時(shí)細(xì)桿在豎直面內(nèi)繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，桿與豎直軸的夾角為.設(shè)桿的質(zhì)量為、桿長(zhǎng)為l，小球的質(zhì)量為.求：1）系統(tǒng)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

2）在圖示位置系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；

3）在圖示位置系統(tǒng)所受重力對(duì)軸的力矩.解:l2）系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：3）系統(tǒng)所受重力有桿的重力和小球的重力.則系統(tǒng)所受重力對(duì)軸的力矩的大小為：l小實(shí)驗(yàn)長(zhǎng)的易控些，理由見下頁(yè)長(zhǎng)的易控些，理由見下頁(yè)長(zhǎng)桿哪個(gè)易控些？為什么？短鉛筆小實(shí)驗(yàn)小實(shí)驗(yàn)例例已知qqmB()A()LmLL2LOO兩勻直細(xì)桿地面q從小傾角處開始靜止釋放求aa兩者瞬時(shí)角加速度之比1L1LLL2213singmLq1mLsingmLq1mL32122解法提要aaaJJJM根據(jù)MM短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)3-2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律預(yù)習(xí)要點(diǎn)認(rèn)識(shí)質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)的角動(dòng)量的定義，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量如何計(jì)算?剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理的內(nèi)容及數(shù)學(xué)表達(dá)式是怎樣的?角動(dòng)量守恒定律的內(nèi)容及守恒定律的條件是什么?一、角動(dòng)量1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)量為

的質(zhì)點(diǎn)以速度在空間運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻相對(duì)原點(diǎn)O

的位矢為，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于原點(diǎn)的角動(dòng)量大小的方向符合右手法則.單位或質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)O的角動(dòng)量在某坐標(biāo)軸Oz上的投影稱為該質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸Oz的角動(dòng)量.

質(zhì)點(diǎn)作圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，其對(duì)過圓心O且運(yùn)動(dòng)平面垂直的軸Oz的角動(dòng)量：

或又故得（取正號(hào)LZ與Oz同向，負(fù)號(hào)反向）2.剛體的角動(dòng)量O剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)都在與軸垂直的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，剛體對(duì)軸的角動(dòng)量為其所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一軸的角動(dòng)量之和.即L為正，其方向沿Oz正向，反之沿Oz負(fù)向.對(duì)剛體組合系統(tǒng)，總角動(dòng)量為各部分對(duì)同軸角動(dòng)量之和.二、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角動(dòng)量定理剛體所受的外力矩等于剛體角動(dòng)量的變化率.將上式變形后積分角動(dòng)量定理:作用在剛體上的沖量矩等于剛體角動(dòng)量的增量.由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律表示作用在剛體上的合外力矩的時(shí)間積累,稱為沖量矩.角動(dòng)量守恒定律:

當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)受到的合外力矩為零時(shí)，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒.三、角動(dòng)量守恒定律若，花樣滑冰跳水運(yùn)動(dòng)員跳水注意1.對(duì)一般的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，若質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某一定點(diǎn)所受的合外力矩為零時(shí)，則此質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于該定點(diǎn)的角動(dòng)量始終保持不變.2.角動(dòng)量守恒定律與動(dòng)量守恒定律一樣,也是自然界的一條普遍規(guī)律.則常量.（1）解：桿和球在豎直方向所受重力和支持力與軸平行，對(duì)軸無力矩；桌面及軸皆光滑，無摩擦力矩；軸對(duì)桿的反作用力過軸也無力矩.因此，球與桿在碰撞過程中，所受外力矩為零，在水平面上，碰撞過程中系統(tǒng)角動(dòng)量守恒.即：例：在光滑水平桌面上放置一個(gè)靜止的質(zhì)量為m’、長(zhǎng)為2l、可繞過與桿垂直的光滑軸中心轉(zhuǎn)動(dòng)的細(xì)桿.有一質(zhì)量為m的小球以與桿垂直的速度

與桿的一端發(fā)生完全彈性碰撞，求小球的反彈速度及桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度

.彈性碰撞動(dòng)能守恒（2）其中聯(lián)立(1)、(2)式求解例解法提要在鉛直位置，兩種碰撞過程的角動(dòng)量都守恒。但機(jī)械能守恒，不守恒。((ab((對(duì)角動(dòng)量守恒O+1mlv0=1mlv1+J0w機(jī)械能守恒+211mv20=211m2v1+21J0w2解得O=w21mv((1m+m3lv1=1m+m3((1mm3-vm31m若鋼珠碰后反跳。例下述兩種情況，碰撞階段剛結(jié)束時(shí)求Omvl1m彈性碰撞w=桿的角速度w=鋼珠的速度v1？？非彈性碰撞Omlv1mw桿、彈系統(tǒng)的角速度碰撞過程的機(jī)械能損失量=w？=？EDk((ab((J0=31ml2J0=31ml2+1ml2對(duì)角動(dòng)量守恒O+1mlv0=wJ0解