10.3 幾個(gè)三角恒等式 原卷版

10.3幾個(gè)三角恒等式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一：降冪公式的化簡(jiǎn)求值問題 考點(diǎn)二：輔助角公式的應(yīng)用考點(diǎn)三：三角恒等式變換中的（給角求值、給值求值、給值求角）問題考點(diǎn)四：三角恒等式變換判斷三角形的形狀考點(diǎn)五：三角恒等式變換中證明考點(diǎn)六：三角恒等式的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)七：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).知識(shí)點(diǎn)二輔助角公式輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))【題型歸納】題型一：降冪公式的化簡(jiǎn)求值問題1．（21-22高一下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）的值是（

）A． B． C． D．2．（21-22高三·云南昆明）已知，則（

）A． B．1 C． D．3．（22-23高一下·全國·單元測(cè)試）已知，求的值．題型二：輔助角公式的應(yīng)用4．（24-25高一上·上海·期末）方程在上的解為.5．（23-24高一下·江蘇淮安·期中）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．6．（23-24高一下·四川成都·期中）函數(shù)的最大值為．題型三：三角恒等式變換中的（給角求值、給值求值、給值求角）問題7．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．8．（2024·云南大理·一模）已知，則（

）A． B． C． D．9．（24-25高一上·廣東深圳·期末）已知，則（

）A． B． C． D．題型四：三角恒等式變換判斷三角形的形狀10．（22-23高一下·山東·階段練習(xí)）在中，已知，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰三角形 D．沒有符合條件的三角形11．（21-22高一·全國）在△ABC中，若，則△ABC是（

）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形12．（21-22高一下·上海奉賢·期中）在中，若，則此三角形為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形題型五：三角恒等式變換中證明13．（23-24高一下·四川涼山·期末）（1）①借助兩角和差公式證明：.②在中，求證:.

（2）若，，求的值.14．（2024高一下·上?！ｎ}練習(xí)）（1）證明：；（2）化簡(jiǎn)：．15．（22-23高一下·江蘇徐州·期中）求證下列恒等式：(1)；(2)題型六：三角恒等式的實(shí)際應(yīng)用16．（22-23高一下·四川達(dá)州·期中）如圖所示，已知OPQ是半徑為2，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記，求當(dāng)角取何值時(shí)，矩形ABCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積．

17．（22-23高一下·貴州遵義·期中）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色.位于濰坊濱海的“渤海之眼”摩天輪是世界上最大的無軸摩天輪，該摩天輪輪盤直徑為米，設(shè)置有個(gè)座艙.游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，當(dāng)?shù)竭_(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面米，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一周大約需要分鐘.當(dāng)游客甲坐上摩天輪的座艙開始計(jì)時(shí).

(1)經(jīng)過分鐘后游客甲距離地面的高度為米，已知關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式滿足（其中，，），求摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天輪后多長時(shí)間，距離地面的高度第一次恰好達(dá)到米?(3)若游客乙在游客甲之后進(jìn)入座艙，且中間間隔個(gè)座艙，游客乙進(jìn)入座艙后距離地面高度能否超過游客甲，若能，是在甲進(jìn)入后的多少分鐘以后?18．（22-23高一下·上海青浦）已知OPQ是半徑為1，圓心角為的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn).ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記，矩形的面積為.(1)當(dāng)時(shí)，求矩形的面積的值.(2)求關(guān)于角的解析式，并求的最大值.題型七：三角函數(shù)的化簡(jiǎn)問題19．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求不等式的解集.20．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函數(shù)．(1)求的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求的最小值以及取得最小值時(shí)的集合．21．（24-25高一下·安徽）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求關(guān)于的不等式的解集.【高分演練】一、單選題22．（24-25高一上·陜西西安·期末）（

）A． B． C． D．23．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，則（

）A． B． C． D．24．（24-25高一上·廣東深圳·期末）歡樂港灣摩天輪——“灣區(qū)之光”是深圳的一處標(biāo)志性景點(diǎn)．已知某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為128米，轉(zhuǎn)盤直徑為120米，等距設(shè)置有60個(gè)座艙，開啟后按逆時(shí)針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周大約需要30min，若甲、乙兩人的座艙之間有4個(gè)座艙，則甲、乙兩人座艙高度差的最大值為（

）．A．米 B．米 C．米 D．米25．（24-25高一上·江蘇無錫·期末）已知角滿足，則的值為（

）A． B． C． D．26．（24-25高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．27．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）以表示的結(jié)果為（

）A． B．C． D．28．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．二、多選題29．（24-25高一上·廣東廣州·期末）下列化簡(jiǎn)中，正確的是（

）A． B．C． D．30．（24-25高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）化簡(jiǎn)下式，正確的是（）A．= B．=C． D．=31．（24-25高一上·廣東揭陽·期末）已知函數(shù)，則下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．的最小正周期為，且在上為增函數(shù)D．的圖象向右平移個(gè)單位得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象32．（24-25高一上·重慶沙坪壩·期末）已知，且，則以下正確的有（

）A． B．值域?yàn)镃．在上單調(diào)遞增 D．33．（24-25高一上·福建莆田·期末）下列四個(gè)等式中正確的是（

）A．B．C．D．34．（24-25高一上·吉林長春·期末）如圖，在扇形OPQ中，半徑，圓心角，C是扇形弧PQ上的動(dòng)點(diǎn)，矩形內(nèi)接于扇形，記．則下列說法正確的是（

）A．弧PQ的長為B．扇形OPQ的面積為C．當(dāng)時(shí)，矩形的面積為D．矩形的面積的最大值為三、填空題35．（24-25高一上·陜西榆林·期末）.36．（23-24高一下·全國）的值是..37．（23-24高一下·廣東廣州·期中）函數(shù)的最大值為.38．（24-25高一上·全國）已知，且，則．39．（24-25高三上·天津南開·階段練習(xí)）已知扇形半徑為1，，弧上的點(diǎn)滿足，則的最大值是；最小值是．

四、解答題40．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)當(dāng)時(shí)，若的最大值為，求的值.41．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)解不等式；(3)若為銳角，且，求的值．42．（24-25高一下·安徽馬鞍山）如圖，某公園有一塊扇形人工湖OMN，其中圓心角，半徑為1千米，為了增加觀賞性，公園在人工湖中劃分出一片荷花池，荷花池的形狀為矩形(四個(gè)頂點(diǎn)都落在扇形邊界上)；再建造一個(gè)觀景臺(tái)，形狀為，記(1)當(dāng)角取何值時(shí)，荷花池的面積最大？并求出最大面積.(2)若在OA的位置架起一座觀景橋，已知建造觀景橋的費(fèi)用為每千米8萬元不計(jì)橋的寬度；且建造觀景臺(tái)的費(fèi)用為每平方千米16萬元，求建造總費(fèi)用的范圍.43．（24-25高一下·湖北襄陽·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求該函數(shù)的單調(diào)遞增