二項式定理專項訓練解析版

二項式定理專項訓練解析版目錄二、分類訓練（一）.求二項式特殊項問題1．若的展開式的二項式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項為（

）A． B． C．60 D．240【答案】C【詳解】由題意，解得．展開式通項為，由得，解得，∴常數(shù)項為．故選：C．2．若的展開式中二項式系數(shù)之和為32，各項系數(shù)之和為243，則展開式中的系數(shù)是（

）A．32 B．64 C．80 D．16【答案】C【詳解】因為的二項式系數(shù)之和為32，則，解得，即二項式為，因為展開式各項系數(shù)和為243，令，代入可得，解得，即二項式為，則該二項式展開式的通項為，令，解得，則展開式中的系數(shù)為.故選：C.3．的展開式中系數(shù)最大的項為（

）A．第3項 B．第4項 C．第5項 D．第6項【答案】B【詳解】易知的展開式的各項系數(shù)分別為，由二項式系數(shù)的對稱性可知系數(shù)最大的項為第四項.故選：B.4．已知的展開式中，第2項和第6項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的系數(shù)為（

）A．60 B． C．448 D．【答案】A【詳解】∵第2項和第6項的二項式系數(shù)相等，∴，則，則展開式通項公式是，令，得，∴的系數(shù)為，故選：A.5．若的二項展開式中，當且僅當?shù)?項是二項式系數(shù)最大的項，則其展開式中含項的系數(shù)（

）A． B．252 C．7 D．8【答案】A【詳解】因為二項展開式中，當且僅當?shù)?項是二項式系數(shù)最大的項，則，解得，可得的展開式的通項為，令，解得，所以含項的系數(shù)為.故選：A.6．若，則下列結論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A，取，得，A錯誤；對于B，展開式中項的系數(shù)為，B錯誤；對于C，二項式展開式中各項系數(shù)均為正，取，得，C正確；對于D，取，得，取，得，聯(lián)立解得，因此，D錯誤.故選：C7．（多選）已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，則（

）A． B．所有項的系數(shù)和為1C．沒有常數(shù)項 D．的系數(shù)為14【答案】BCD【詳解】因為第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，所以，解得，故A錯誤;令，可得展開式中所有項的系數(shù)和為，故B正確;在中，第項，取，即，所以不存在常數(shù)項，故C正確;取，即，所以，所以的系數(shù)為14，故D正確.故選：BCD（二）與三項式相關問題1．的展開式中所有二次項（即含，，的項）的系數(shù)和為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知，的展開式的通項為，又的展開式的通項為，，所以的展開式的通項為，令，則，所以含的項的系數(shù)為，令，則，所以含的項的系數(shù)為，令，則，所以含的項的系數(shù)為，綜上，的展開式中所有二次項的系數(shù)和為.故選：A.2．已知展開式中的系數(shù)為，函數(shù)的圖象過點，則（

）.A．2 B． C． D．1【答案】D【詳解】在的展開式中，要得到含的項，則有個因式中取，個因式中取項，故的系數(shù)為．又函數(shù)的圖象過點，所以，解得，所以.故選：D3．已知，則（

）A．1 B．2 C．3 D．5【答案】B【詳解】解：令，得；令，得，則，故選：B4．關于的展開式，下列判斷正確的是（

）A．該展開式各項的系數(shù)之和為B．該展開式各項系數(shù)的絕對值之和為720C．該展開式中含的各項系數(shù)之和為D．該展開式中不含字母的各項系數(shù)之和為64【答案】C【詳解】對于A，取，得展開式各項的系數(shù)之和為1，A錯誤；對于B，展開式的通項公式為，，當時，展開式的通項公式為，此時，的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，的系數(shù)為，展開式各項系數(shù)的絕對值之和為，B錯誤；對于C，展開式中含的各項系數(shù)之和為，C正確；對于D，展開式中不含字母的各項即展開式的各項，取，得展開式的各項系數(shù)和為0，D錯誤.故選：C5．（多選）關于的展開式，下列結論正確的是（）A．所有項的二項式系數(shù)和為64 B．所有項的系數(shù)和為0C．常數(shù)項為 D．系數(shù)最大的項為第3項【答案】ABC【詳解】，得二項式的系數(shù)和為，故A正確；令得所有項的系數(shù)和為0，故B正確；常數(shù)項，故C正確；由，系數(shù)為，最大為或，為第3項或第5項，故D錯誤.故選：ABC6．的展開式中，常數(shù)項為.【答案】【詳解】的展開式的通項公式為，，令可得（舍去），所以的展開式中不存在常數(shù)項，的展開式的通項公式為，，令可得，所以的展開式中常數(shù)項為，的展開式的通項公式為，，令可得，所以的展開式中不存在常數(shù)項，的展開式的通項公式為，，令可得，所以的展開式中的常數(shù)項為，又的展開式中沒有常數(shù)項，所以的展開式的常數(shù)項為故答案為:（三）整除與余數(shù)問題1．若能被5整除，則x，n的一組值可能為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，，對于A，，，不能被5整除，A不是；對于B，，，不能被5整除，B不是；對于C，，，能被5整除，C是；對于D，，，不能被5整除，D不是.故選：C2．設，且，若能被13整除，則a等于（

）A．0 B．1 C．11 D．12【答案】B【詳解】因為，且，所以，因為能被13整除，所以能被13整除，又，所以．故選：B.3．除以的余數(shù)為.【答案】1【詳解】因為，所以除以的余數(shù)是故答案為：4．被15除所得余數(shù)為．【答案】1【詳解】，而是15的倍數(shù)，所以被15除所得余數(shù)為1.故答案為：15．（1）用二項式定理證明能被100整除；（2）求被100除所得的余數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）81．【詳解】（1）因為．故能被100整除．（2），因為展開式中前92項均能被100整除，所以只需求最后一項除以100的余數(shù)．又．前91項均能被100整除，后兩項和為－919，因余數(shù)為正，可從前面的數(shù)中分離出1000，結果為，故被100除所得的余數(shù)為81．（四）多個二項式積的相關問題1．（多選）已知，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】由，所以的展開式中最高次項為次項，即，故A正確；的展開式中，的系數(shù)為，的系數(shù)為，則，故B錯誤；令，得，故C正確；令，得，所以，，故D正確；故選：ACD.2．（多選）已知（，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】的展開式的通項公式為，令，得，令，得，則含有的項為，所以，故A正確；令，礙①，而，所以，故B錯誤；令，得②，（①-②）÷2得，故C正確；，令，得，所以，故D正確，故選：ACD．3．的展開式中常數(shù)項為（

）A． B． C．5 D．10【答案】A【詳解】展開式的通項，顯然，則當，即時，，所以的展開式中常數(shù)項為.故選：A4．在的展開式中，的系數(shù)為（

）A． B． C． D．20【答案】B【詳解】先求展開式中含，的項，易知，顯然其不含，含的項分別為：，，所以在的展開式中，的系數(shù)為.故選：B.5．（多選）已知，則（

）A．的值為2B．的值為80C．的值為D．【答案】ACD【詳解】對于A，令，可得，故A正確；對于B，含的項為，所以，故B錯誤，對于C，令得，，令，，所以，，所以，故C正確；對于D，令，可得，兩邊同乘以，可得，故D正確；故選：ACD.6．的展開式中的系數(shù)為.【答案】【詳解】的展開式通項為，因為，在中，其通項為，令，在中，展開式通項為，令，可得，所以，的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.（五）與系數(shù)和有關的問題1．的展開式中，所有項的系數(shù)和為．【答案】1024【詳解】因為，二項式的展開式中取，可得展開式中所有項的系數(shù)和為，故答案為：.2．在的展開式中，若各項系數(shù)的和為0，則該展開式的系數(shù)為．【答案】【詳解】由各項系數(shù)的和為0可知，令，即，解得；因此的展開式中含有的項為.故答案為：3．若，求：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)129；(2)8256；(3)；(4)16384.【詳解】（1）令，則，令，則①，．（2）令，則②，由，得.（3）由，得．（4）法一：展開式中均小于零，均大于零，.法二：，即為展開式中各項的系數(shù)和，．4．已知，求解：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)1；(2)；(3)；(4).【詳解】（1）令，得①．（2）令，得②，由①②，得，.（3）相當于求展開式的系數(shù)和，令，得．（4），兩邊分別求導，得，令，得．5．設.(1)求；(2)若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值；(3)若，求.【答案】(1)(2)20，21，22(3)【詳解】（1）由，令，可得；令，可得；所以.（2）由題意知的展開式的通項為，，所以，.因為是中唯一的最大值，可得，即，解得，所以的所有可能取值為20，21，22.（3）由題意可得：，所以，，則.因為，所以.6．設，求值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)80(2)2(3)【詳解】（1）由二項式定理可知，在展開式中，第項為．

當時，展開式中含的項的系數(shù)為，∴．（2）令，得，即．

令，得，即，∴．（3）令，得，即．

∴．（六）多個二項式和的相關問題1．已知的展開式中的系數(shù)為0，則的值為（

）A． B． C．640 D．1280【答案】A【詳解】依題意，展開式中項為，其系數(shù)為，展開式中項，其系數(shù)為，由展開式中的系數(shù)為0，得，所以.故選：A2．設，則（

）A．120 B．84 C．56 D．36【答案】A【詳解】由題意可知：，故選：A3．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由題知，故選：D．4．在的展開式中，的系數(shù)是（

）A．690 B． C．710 D．【答案】D【詳解】觀察原式