重難點(diǎn)專題15 空間中的五種距離問題（五大題型）（原卷版）

重難點(diǎn)專題15空間中的五種距離問題【題型歸納目錄】題型一：點(diǎn)線距題型二：異面直線的距離題型三：點(diǎn)面距題型四：線面距題型五：面面距【方法技巧與總結(jié)】空間中的距離求點(diǎn)到面的距離轉(zhuǎn)化為三棱錐等體積法求解．【典型例題】題型一：點(diǎn)線距【例1】已知正方體的棱長為1，則點(diǎn)B到直線的距離為_________．【變式1-1】（2025·高二·山東濟(jì)南·期末）如圖所示為正八面體的展開圖，該幾何體的8個表面都是邊長為1的等邊三角形，在該幾何體中，P為直線DE上的動點(diǎn)，則P到直線AB距離的最小值為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（2025·高二·重慶·期中）如圖在棱長為2的正方體，中E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段上，點(diǎn)P到直線的距離的最小值為（

）

A． B． C． D．題型二：異面直線的距離【例2】（2025·高一·江蘇鎮(zhèn)江·期末）棱長為的正四面體的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積為；直線與之間的距離為.【變式2-1】（2025·高一·全國·課后作業(yè)）邊長為1的正方體中，直線和之間的距離為.【變式2-2】（2025·高一·全國·課后作業(yè)）四面體中，，，，則異面直線與的距離為．【變式2-3】（2025·高一·全國·課后作業(yè)）正方體中，邊長為4，則異面直線與的距離為．題型三：點(diǎn)面距【例3】（2025·高一·廣西玉林·期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面均為正方形，，，點(diǎn)D是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)O為與交點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【變式3-1】（2025·高一·江蘇常州·期末）如圖，在三棱錐中，，，．(1)求三棱錐的體積；(2)求點(diǎn)到平面的距離．【變式3-2】（2025·高一·陜西渭南·期末）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，面，是的中點(diǎn)，，.(1)證明：平面(2)證明：平面平面；(3)求點(diǎn)到平面的距離.【變式3-3】（2025·高一·安徽亳州·期末）如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，點(diǎn)在線段上，且為的重心，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)在棱上，且.(1)證明：平面平面；(2)若，，求點(diǎn)到平面的距離.題型四：線面距【例4】（2025·高一·安徽合肥·期末）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【變式4-1】（2025·高一·全國·課后作業(yè)）如圖，長方體的棱、的長分別為3、4、5，求下列距離：(1)點(diǎn)B到平面的距離；(2)直線到平面的距離．【變式4-2】（2025·高二·全國·課后作業(yè)）已知正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn).(1)求證：∥平面；(2)若正方體的棱長為1，求到平面的距離.【變式4-3】（2025·全國·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線到平面的距離.題型五：面面距【例5】（2025·高二·全國·課后作業(yè)）已知正方體的棱長均為1.(1)求到平面的距離；(2)求平面與平面之間的距離.【變式5-1】（2025·高二·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點(diǎn)，且，D、F、G分別是、、的中點(diǎn)，EF與相交于H．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求平面EGF與平面的距離．【變式5-2】（2025·高一·全國·課后作業(yè)）已知是長方體，且，，.（1）寫出點(diǎn)A到平面的距離；（2）寫出直線AB到平面的距離；（3）寫出平面與平面之間的距離.【變式5-3】（2025·河北衡水·一模）如圖，直角梯形與梯形全等，其中，，且平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面的距離．

【過關(guān)測試】1．（2025·高一·全國·課后作業(yè)）邊長為1的兩個正方形和構(gòu)成大小為的二面角，則異面直線和之間的距離為．2．（2025·高一·全國·課后作業(yè)）空間四邊形中，，，延長到，使得，為中點(diǎn)，則異面直線和的距離為．3．（2025·高一·云南麗江·期中）在三棱錐中，，.(1)求證：；(2)若，，求點(diǎn)到平面的距離.4．（2025·高一·四川成都·階段練習(xí)）正三棱柱的底面正三角形的邊長為為的中點(diǎn)；．(1)求證：；(2)求到平面的距離.5．（2025·高一·寧夏吳忠·期末）如圖，四邊形與四邊形均為等婹梯形，，為的中點(diǎn)．(1)證明平面平面；(2)求點(diǎn)到的距離．6．（2025·高一·廣東·期末）如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E，P分別為，的中點(diǎn)．(1)求證：直線平面；(2)求點(diǎn)A到平面的距離．7．（2025·高一·四川宜賓·期末）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱底面，且，為側(cè)棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．8．（2025·高一·四川眉山·期末）如圖，在四棱錐中，底面，在直角梯形中，，，，，是中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．9．（2025·高一·山西呂梁·期末）如圖，是的直徑，點(diǎn)是上的動點(diǎn)，垂直于所在的平面，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求點(diǎn)到平面的距離.10．（2025·高一·重慶長壽·期末）如圖，正方體中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn).(1)求證：平面(2)若正方體的邊長為2，求點(diǎn)A到平面的距離.11．（2025·高二·山西·階段練習(xí)）在直三棱柱中，，，.（1）求異面直線與所成角的大??；（2）求直線與平面的距離.12．（2025·河南·二模）如圖所示，正六棱柱的底面邊長為1，高為.

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面間的距離.13．（2025·高二·全國·課后作業(yè)）在棱長為的正方體中，、、、分別為、、、的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面之間的距離．14．（2025·黑龍江齊齊哈爾·三模）如圖所示的斜三棱柱中，是正方形，且點(diǎn)在平面上的射影恰是AB的中點(diǎn)H，M是的中點(diǎn)．(1)判斷HM與面的關(guān)系，并證明你的結(jié)論