2025屆甘肅省高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷

2025年甘肅省高三月考試卷(3月)數(shù)學(xué)本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框。回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)-1+1-a2iA.a>-1B.a<-1或a2.設(shè)集合A={x∣y=A.RB.{-1,0,3.某班研究性小組的同學(xué)為了研究活性碳對(duì)污水中某種污染物的吸附能力,設(shè)計(jì)了一種活性碳污水凈化裝置.現(xiàn)污水中該種污染物含量為W0單位:mg/L,測得污水通過長度為l(單位:m)l0123WW0.5W0.25W0.125研究小組的同學(xué)根據(jù)表格數(shù)據(jù)建立了W關(guān)于l的函數(shù)模型.則與表格中數(shù)據(jù)吻合的函數(shù)模型是A.W=W0+0.5lB.4.高一年級(jí)400名學(xué)生參加數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)競賽活動(dòng),答題后隨機(jī)抽取22名男生和18名女生,計(jì)算得男生的平均得分為82分,女生的平均得分為80分,則估計(jì)本次比賽高一年級(jí)的總體均分為A.81.8B.81.5C81.1D.80.85.從1-9這9個(gè)數(shù)字中任意取出3個(gè)數(shù),組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),從百位到個(gè)位數(shù)字依次增大,則滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是A.84B.120C.504D.7206.若α∈0,π4A.210B.-210C.7.已知梯形ABCD中,AB//CD,AB=2BC=2CD=2AD=4,點(diǎn)M為邊CDA.0,17B.-18.已知A是拋物線y2=16x上一點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn),直線x4+yb=1與y軸交于點(diǎn)P,PF?PA=0,A.b24+b2B.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分。9.已知雙曲線方程為x29-A.雙曲線的漸近線方程為yB.雙曲線的離心率是7C.雙曲線的虛軸長是8D.雙曲線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為610.函數(shù)fx=2A.fx的最小正周期是B.fx的值域是C.fx的圖象是軸對(duì)稱圖形,其中一條對(duì)稱軸是D.fx的零點(diǎn)是11.若自變量x表示時(shí)間,在長為定值T的時(shí)間周期u,u+T中,函數(shù)gu=fA.若fx=3x,x∈0B.若fx=3x,x∈C.若fx=3x2,xD.若fx=lnx,x∈1三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.用一個(gè)平面截正方體,截面形狀為正六邊形,則截出的兩部分幾何體的體積之比是_____.13.已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,S5=20,S7=56,14.如圖,甲、乙兩人在這段弧形路段跑步,該路段的內(nèi)、外弧線為兩個(gè)同心圓的14圓周,內(nèi)弧半徑為12米,路寬為3米,兩人均從外弧A點(diǎn)處跑入該路段,甲沿內(nèi)弧切線方向跑至切點(diǎn)C,又沿內(nèi)弧CB跑至點(diǎn)B處后跑出該路段,乙沿內(nèi)弧切線方向直接跑至外弧上D點(diǎn)處,再沿外弧DE跑至點(diǎn)E處后跑出該路段,則在該路段跑動(dòng)距離更短的是_____(填“甲”或“乙”),兩人跑動(dòng)距離之差的絕對(duì)值約為_____米.(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)為了解高一學(xué)生整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題與提高數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性,某小組通過隨機(jī)抽樣,獲得了每天整理錯(cuò)題和未每天整理錯(cuò)題的各20名學(xué)生3次數(shù)學(xué)考試成績的平均分,繪制了如圖1,2的頻率分布直方圖,并且已知高一學(xué)生3次數(shù)學(xué)考試成績的總體均分為115分.圖1每天整理錯(cuò)題學(xué)生的平均分分布圖2未每天整理錯(cuò)題學(xué)生的平均分分布(1)依據(jù)頻率分布直方圖,完成以下2×2成績不低于總體均分成績低于總體均分合計(jì)每天整理錯(cuò)題未每天整理錯(cuò)題合計(jì)(2)依據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),附:χα0.100.010.001χ2.7066.63510.82816.(15分)正四面體P-ABC的三條棱PA,PB,PC是圓錐PO的三條母線,點(diǎn)A,B,C在圓錐PO的底面內(nèi),過PA且與圓錐PO(1)求證:BC⊥平面PAD(2)求平面PBD與平面PAB所成角的余弦值.17.(15分)數(shù)列an滿足an+12=1an,(1)求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列,并求其通項(xiàng)公式(2)若數(shù)列cn滿足cn=lnan,Sn是數(shù)列cn的前n項(xiàng)和,對(duì)?18.(17分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)P2,4,A,B為橢圓x2(1)證明:向量m=1,4是直線(2)若線段OP與橢圓交于點(diǎn)Q,求△ABQ面積的最大值19.(17分)函數(shù)fx(1)r≠1時(shí),判斷fx(2)若θ∈0,π2,判斷2cos2θ與(3)證明:對(duì)于任意的n∈N*,θ2025年甘肅省高三月考(3月)數(shù)學(xué)試題答案及評(píng)分參考一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。題號(hào)12345678答案CBDCACDB3.本題改編自湘教版必修第一冊(cè)152頁第17題.4.本題改編自湘教版必修第一冊(cè)244頁例7.5.本題改編自湘教版選擇性必修第一冊(cè)183頁第9題.6.本題改編自湘教版必修第二冊(cè)76頁第11題.7.解析:如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系,則A-2,設(shè)Mx則AM=x+cos令x2-1=tcosα=tt2+故選D.8.解析:可知F4,0,P0,b,則PA=∴PF∴PB//x軸,∴∠BPF=∠PFO,而∠APB+∠BPF=90∴cos∠APB=sin∠PFO=OP故選B.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分。題號(hào)91011答案CDABDAD11.本題改編自湘教版必修第一冊(cè)106頁指數(shù)增長的概念.解析:對(duì)于函數(shù)fx=3x,x∈0,+∞,gu=3u+T-3u3u=Tuu>0對(duì)于函數(shù)fx=3x,x∈0,+∞,gu=3u+T-3u對(duì)于函數(shù)fx=3x2,x∈0,+∞,gu=3u+T2-3u對(duì)于函數(shù)fx=lnx,x∈1,+∞,gu=lnu+T-lnulnu=lnu+Tlnu-1u>1,∴g'u=1u+Tlnu-1u三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.113.n2-5n13.本題改編自湘教版選擇性必修第一冊(cè)51頁第8題.14.解析:連接OC,可知OC⊥AD,∠AOC=∠DOC,AC=DC,在Rt△AOC中,cos∠AOC=OC∴∠AOC≈37∴BC的長為12×90-37π∵AD=2AC=18,DE的長為15×所以甲跑動(dòng)的距離更短,少跑2.4米.四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)解:(1)根據(jù)頻率分布直方圖,可得9分成績不低于總體均分成績低于總體均分合計(jì)每天整理錯(cuò)題14620未每天整理錯(cuò)題51520合計(jì)192140(2)假設(shè)H0:數(shù)學(xué)成績不低于總體均分與每天整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題無關(guān)計(jì)算可得χ根據(jù)小概率值α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),可推斷H0不成立,即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績不低于總體均分與每天整理錯(cuò)題有關(guān).16.(15分)解:(1)∵平面PAD⊥平面ABC,PO⊥平面ABC,∴PO?平面PAD,且O∈AD.又∵BC?平面ABC,∴PO⊥BC,∵△ABC為正三角形,∴AD⊥BC,∵PO?平面PAD,AD?平面PAD,PO∩AD=O,∴BC⊥平面PAD;6分(2)設(shè)AD∩BC=M,則M是BC的中點(diǎn).以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),BC的平行線為x軸,AD為y軸,OP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正四面體的棱長為1,則A0,-3設(shè)平面PAB的法向量為m=則m?取平面PAB的一個(gè)法向量為m=3設(shè)平面PBD的法向量為n=則n取平面PBD的一個(gè)法向量為n=1設(shè)平面PAB與平面PBD所成角為θ,∴cosθ即平面PAB與平面PBD所成角的余弦值為3333.1517.(15分)解:1∵an+12∴l(xiāng)na∴數(shù)列l(wèi)nan是以ln2為首項(xiàng),-∴l(xiāng)nan∴l(xiāng)na∴bn+1bn=∴數(shù)列bn是以ln2為首項(xiàng),14∴bn(2)由(1)可知,cn∴S∴S由于對(duì)?n∈N*,S2n<k18.(17分)解:(1)由于點(diǎn)P2,4在橢圓外,AOP=λOA+OBλ∈R,則OP設(shè)Ax則x12+2y即y1-y2x1-x2=-所以直線AB的斜率為y1故直線AB的一個(gè)方向向量為1,-14,從而m=1,4為直線(2)由x由(1)可知,直線AB的斜率為-14,設(shè)直線AB方程為由x2+2y2∴∴-32<m<0,∵∴AB由于Q到直線AB的距離d=2所以SΔABC令t=3-2?m,則3+2?m=令ft則f'∴0<t<92,且t≠3時(shí)∴當(dāng)t=92,即m=-34時(shí),SΔABC19.(17分)解:(1)由于f當(dāng)r>1,x∈-1,0故當(dāng)r>1時(shí),函數(shù)在(-1,0)為減函數(shù),在0,+∞同理,當(dāng)0<r<1時(shí),函數(shù)在(-1,0)為增函數(shù),在0,+∞為減函數(shù)(2)由(1)可知,當(dāng)0<r<1時(shí),fx≤令x=cos2θ,r=1n,由于θ∈0可得2cos2θ1n≤當(dāng)且僅當(dāng)θ=π4